圆锥曲线与射影几何
高考数学 圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结 试题
卜人入州八九几市潮王学校数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的间隔的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的间隔的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值〞与＜|F F|不可无视。
假设＝|F F|，那么轨迹是以F，F为端点的两条射线，假设﹥|F F|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
比方：①定点，在满足以下条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．B．C．D．〔答：C〕；②方程表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点间隔与此点到相应准线间隔间的关系，要擅长运用第二定义对它们进展互相转化。
如点及抛物线上一动点P〔x,y〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的HY方程〔HY方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的HY位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在轴上时〔〕〔参数方程，其中为参数〕，焦点在轴上时＝1〔〕。
方程表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。
比方：①方程表示椭圆，那么的取值范围为____〔答：〕；②假设，且，那么的最大值是____，的最小值是___〔答：〕〔2〕双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1〔〕。
方程表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
比方：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公一共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：〕；②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，那么C的方程为_______〔答：〕〔3〕抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
圆锥曲线和射影几何
圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。
在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。
例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠,直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。
求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线21=x 上。
如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。
但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。
我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。
我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于B ,C ,D ,E 。
连BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。
又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。
如图1 连BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。
D证明： 对C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得：DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线,同理P ，Q ，N 三点共线所以P ，Q ，M ，N 四点共线。
又因为BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A的极线，即PQ 是A 的极线。
回到原图，由极线的定义与性质得PQ OA ，且FAGH为调与点列。
有了前面的铺垫再证例1就简单了。
证明： 过P 点作X PH ⊥轴，则PH 是C 点的极线，AHBC 为调与点列 因为A (-1,0),B (1,0),C (2,0)所以H （21,0）即P 在直线21=x 上关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。
圆锥曲线与射影几何
圆锥曲线与射影几何------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。
在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。
例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠,直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。
求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线21=x 上。
如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。
但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。
我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。
我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于B ,C ,D ,E 。
连BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。
又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。
如图1连BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ是A点的极线。
D证明：对C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得：DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线,同理P ，Q ，N 三点共线 所以P ，Q ，M ，N 四点共线。
又因为BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即PQ 是A 的极线。
回到原图，由极线的定义与性质得PQ OA ，且FAGH 为调和点列。
有关圆锥曲线的结论(终审稿)
有关圆锥曲线的结论公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
有关圆锥曲线的经典结论
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x ya b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。
设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。
（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。
该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。
1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
如图1中。
事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。
所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。
2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。
椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。
3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。
仍可利用到角公式获证。
这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。
二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。
射影几何简介
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笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
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他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
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为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
1
B′ O . A′
C′
B
C
D′ A
D
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那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
探究数学中圆锥曲线的光学性质
椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点顾名思义，就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用这个原理设计的.反之，也成立.太阳灶设计就是按照这个原理.如图1.虽然课本上给出了性质，但没有任何证明.讲课时可以借助GeoGebra软件的作图和轻松设置变量为滚动条功能来直观显示，并用几何方法和学生进行简单论证.如图2，对于抛物线y2=2px上任意一点A(y022p,y0)处切线称为镜面，A点不是原点（0，0）时切线镜面直线M″M′有斜率k(k≠0)，过A垂直镜面直线M″M′的直线N″N′称为法线.AF″垂直于准线x=-p2.F″(-p2，y0)，F(p2，0)，则k F″F=y0-0-p2-p2=y0-p，过A的切线方程为y-y0=k(x-y022p)，切线与抛物线联立方程ìíîïïy-y0=k(x-y022p)y2=2px,把x=y22p带入直线y-y0=k(x-y022p)，则y-y0=k(y22p-y022p)的Δ=0，得到k=py0.k M″M′∙k N″N′=-1，k∙k F″F= -1.∴F″F⊥M″M′.由抛物线定义，||AF″= ||AF.∠F″AM″=∠M″AF=∠M′AF′’，∴∠F″AM″和∠M′AF′为对顶角，F″、A、F′三点共线.AF″垂直于准线x=-p2.∴反射光线AF′平行x轴.当过A的直线无斜率时（即点A（0，0）时），结论显然成立.探究数学中圆锥曲线的光学性质河北省三河市第二中学张振富065201摘要：椭圆、双曲线、抛物线都有焦点，焦点使这些圆锥曲线有丰富的光学性质.生活中很多物品设计中利用了这些性质.数学教学中利用建模思想，从实物中抽象出数学问题，利用这些性质解决问题.关键词：光学性质；圆锥曲线；光学性质图1··30椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同.从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.依次如图3、4.胶片电影放映机的聚光灯内安装的椭球反射镜就是应用了这个原理.如图5.例1椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点，当一束光照到镜面时，光线依入射角等于反射角的规律反射．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后通过椭圆的另一个焦点（如图6所示）．已知F 1，F 2是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过椭圆上的点P (1,32)做椭圆的切线l ,M ,N 分别是F 1，F 2在该切线上的射影，则||F 1M ⋅||F 2N 的值为().A.2B.3C.4D .5解析：入射光线F 1P ，反射光线PF 2，过P 点椭圆x 24+y 23=1的切线方程为直线MN :1∙x 4+32∙y3=1（镜面），F 1M ⊥MN ，F 2N ⊥MN ，PE ⊥MN 交x 轴与E ，直线PE 方程y -32=2(x -1)（法线），E (14,0)，入射角∠F 1PE =反射角∠EPF 2=θ，sin∠F 1PM =||MF 1||PF 1=cos θ，sin∠F 2PN =||NF 2||PF 2=cos θ；||MF 1=||PF 1cos θ，||NF 2=||PF 2cos θ，椭圆x 24+y 23=1中c =1，点P (1,32)，∴PF 2⊥F 1F 2，||PF 2=32，||PF 1=52，cos ∠F 1PF 2=cos2θ=2(cos θ)2-1=||PF 2||PF 1=3252=35，||MF 1∙||NF 2=||PF 1⋅cos θ||PF 2∙cos θ=||PF 1||PF 2(cosθ)2=32∙52∙45=3,所以选B.引申：任意椭圆x 2a 2+y 2b2=1，一般性规律||MF 1∙||MF 2=b 2，cos∠F 1PF 2=cos2θ=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(||PF 1+||PF 2)2-2||PF 1||PF 2-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(2a )2-2||PF 1||PF 2-(2c )22||PF 1||PF 2=4b 2-2||PF 1||PF 22||PF 1||PF 2=4b 22||PF 1||PF 2-1=2(cos θ)2-1，∴(cos θ)2=b 2||PF 1||PF 2，||MF 1∙||NF 2=||PF 1cos θ⋅||PF 2·cos θ=||PF 1||PF 2(cos θ)2=||PF 1||PF 2∙b 2||PF 1||PF 2=b 2.拓展：求梯形面积S MF 1F 2N 的取值范围1510-5-10-15-510152025303540N ″M ′法线′’A28.02°64.98°28.02°M 镜面N ′’p =3.828.02°xy图2F F F F F F C A B影片门图3图4图5MN2F 1F 2E -2-101231-1-2θ=26.57图6··31.解：S MF 1F 2N =12(||MF 1+||NF 2)∙||MN =12(||PF 1∙cos θ+||PF 2cos θ)∙(||PF 1sin θ+||PF 2sin θ)=12(2a )cos θ⋅(2a )sin θ=a 2sin(2θ)，若b c ，∃P ，使∠F 1PF 2 π2，∴∠F 1PF 2=π2时，S MF 1F 2N最大值=a 2.若b ＞c ，∀P ，∠F 1PF 2<π2，当P 在椭圆短轴端点时∠F 1PF 2最大，此时sin(2θ)=2sin θcos θ=2∙c a ∙b a =2bca 2，故S MF 1F 2N 最大值=a 2∙2bc a 2=2bc .例2双曲线的光学性质为：如图7，从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质，某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图8，其方程为x 2a 2-y 2b2=1，F 1、F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°，tan∠ABC =-34，则该双曲线的离心率为（）.A. B.5C.D .10解析：若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射，入射光线F 2A ,反射光线AD ，反向延长AD 过F 1，入射光线F 2B ，反射光线BC ，反向延长BC 过F 1，∠BAD =90°，∠BAF 1=90°.tan∠ABC =-34,tan∠ABF 1=34，cos∠ABF 1=45.令||AF 1=3k ，则||AB =4k ，||BF 1=5k .令||AF 2=x ，||BF 2=4k -x .由双曲线定义||AF 1-||AF 2=3k -x =2a =||BF 1-||BF 2=5k -(4k -x ).∴x =k ，2a =||AF 1-||AF 2=3k -x =2k .Rt△F 2AF 1中，||F 1F 22=||AF 12+||AF 22=(3k22=10k 2，∴|F 1F 2|=10k =2c ，则e =2c 2a =所以选C.应用：抛物线具有如下光学性质，从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点（4,23)，则||FM =().A .2B .3C .4D .5解析：如图9，由抛物线光学性质，从F发出的光线经抛物线上的点M 反射后经过点P (4,23)，入射光线FM ，反射光线MP .∴MP 平行x 轴.则由M (x M ,23)在抛物线上得x M =3.由抛物线定义||FM =x M +p2=3+1=4.所以选C.高中数学教学中，应重视课本，在大量教辅资料面前回归教材.在教学中教师若能用灵活的教学方法，充分发挥课本的功能，就可以事半功倍，提高课堂教学效果.F 1F 2Oy x图742-2-4-6-4-2246FA DCBF 2图8yx4321-1-2-1123456M ″M P M ′FC ′(4,23)图9y x··32。
圆锥曲线的起源
起源编辑2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的高的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1]。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
其中; △‘为一与△同号的值，。
定理说明应用该定理于椭圆时,应将代入。
应用于双曲线时,应将代入,同时不应为零,即ε不为零。
求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。
定理补充联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。
其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。
这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
若曲线与直线y=kx+相交于E、F两点,则:这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。
由这个公式我们可以推出：若曲线为椭圆,则若曲线为双曲线,则由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：联立两方程得……（二次式子）（*）所以x1+x2=……①，x1x2=……②；所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长了。
定理简证设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0应用韦达定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)∆=4mnB^2(ε-C^2)对于等价的一元二次方程∆的数值不唯一,且∆的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号的∆'=mn(ε-C^2)作为∆的值。
射影几何在圆锥曲线中的应用
射影几何在圆锥曲线中的应用。
射影几何在圆锥曲线中的应用一、引言射影几何是现代数学中的一个重要分支，它不仅在几何学中具有广泛的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥着重要作用。
而在圆锥曲线的研究中，射影几何更是扮演着关键的角色。
本文将探讨射影几何在圆锥曲线中的应用，深入剖析相关理论，并结合实际例子进行分析，帮助读者更全面地理解这一主题。
二、射影几何的基本概念射影几何是研究几何中不变性质的一门学科，它主要研究图形在投影变换下的性质。
在射影几何中，有一些基本概念需要了解。
首先是射影空间的概念，它是将n维欧氏空间中的点和直线扩充为射影空间中的点和超平面，从而使得无穷远处的点也有了几何意义。
其次是投影变换的概念，它将射影空间中的点投影到一个维数较低的子空间上，保持了射影空间中的同一直线上的点在投影后仍然在一条直线上。
还有射影几何中的几何元素，如点、直线、圆锥曲线等。
三、圆锥曲线的基本性质圆锥曲线是指平面上满足一般二次方程方程的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这三种曲线在几何上有着独特的性质，而射影几何恰好能够帮助我们更好地理解这些性质。
椭圆是一个闭曲线，它有两个焦点，而双曲线是一个开曲线，它有两个渐近线，抛物线则是一种特殊的双曲线。
在射影几何中，我们可以通过投影变换将椭圆、双曲线和抛物线转化为标准形式，从而更好地研究它们的性质和特点。
四、射影几何在圆锥曲线的研究中的应用在圆锥曲线的研究中，射影几何发挥着重要作用。
首先是通过射影几何的方法来研究圆锥曲线的渐近线和双曲线的渐近线的性质，可以更清晰地理解曲线的渐近线与离心率的关系。
其次是射影几何可以帮助我们更好地理解曲线的偏心率和焦点之间的关系，从而揭示曲线的几何本质。
射影几何还可以应用于圆锥曲线的投影性质和对偶性质的研究中，从而为曲线的相关性质提供更深入的理解。
五、射影几何在圆锥曲线的实际应用除了理论研究，射影几何在圆锥曲线的实际应用中也发挥着重要作用。
人教版高中数学第三讲3.1平行射影
[ 变 式训练 ] △ABC 在 平 面 α 上 的 平行 射 影 是 ________．
答案：三角形或一条线段
1．应加强对于具体图形的相对位置关系与射影的关 系的认识，并注意图形的射影的形成是由点线的射影所 形成的．
2．正射影是平行射影中的特殊情况，平行射影也可 以认为是图形所在平面与平面 α 的夹角发生变化时的正 射影，要注意两者的区别与联系．
32
第三讲 圆锥曲线性质的探讨
3．1 平行射影
[学习目标] 1.理解几何图形在平面上的正射影、平 行射影的定义及其在平面上的正射影与平行射影的关 系． 2.了解椭圆的定义．
[知识提炼·梳理]
1．几何图形在平面上的正射影 (1)点 A 是平面 α 外一点，过点 A 向平面 α 作垂线， 设垂足为点 A′，那么把 A′称作点 A 在平面 α 的正射影． (2)一个图形 F 上的各点在平面 α 上的正射影也组成 一个图形 F′，则图形 F′称作图形 F 在平面 α 上的正射影．
温馨提示 1.直线的正射影是点或直线.2.圆的正射 影是圆、椭圆或线段．
2．几何图形在平面上的平行射影
设直线 l 与平面 α 相交，把直线 l 的方向称为投影方 向．过点 A 作平行于 l 的直线，必与平面 α 交于点 A′， 那么把点 A′称作点 A 沿直线 l 的方向在平面 α 上的平行 射影，一个图形上各点在平面 α 上的平行射影所组成的 图形称作该图形的平行射影．正射影是平行射影的特例．
又 BC∩AC＝C， 所以 PH⊥平面 ABC， 故点 H 是 P 点在平面 ABC 内的正射影．
类型 2 平行射影的判定及应用 [典例 2] 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，若梯形不在 平面 α 内，则它在平面 α 上的平行射影是________． 解析：如果梯形 ABCD 所在平面平行于投影方向， 则梯形 ABCD 在 α 上的射影是一条线段．
有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+. 二、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
射影几何是研究图形的射影性质
射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。
一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。
射影几何的发展简况十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。
这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。
这门几何学就是射影几何学。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。
早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。
那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。
在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。
这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。
在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。
稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。
1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。
他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。
浅析射影几何及其应用
浅析射影几何及其应用湖北省黄冈中学一、概述射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。
在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何,但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。
在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究,对以下专题进行了研究:1、射影几何的基本概念及交比不变性2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一）3、对偶原理4、二次曲线在射影几何上的应用5、布列安桑定理和帕斯卡定理6、二次曲线蝴蝶定理二、研究过程1、射影几何的基本概念及交比不变性射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点,但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。
射影几何所研究的对象是图形的位置关系,和在射影变换下图形的性质。
射影，顾名思义,就是在光源(可以是平行光源或者是点光源)，图形保持的性质。
在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。
然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。
此外,射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。
在中学的几何中,我们认为两条平行的直线是不相交的。
但是在射影几何中,我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。
一条直线有且只有一个无穷远点,平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。
所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理：1、过两点有且只有一条直线2、两条直线有且只有一个交点这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。
简述几何学的发展史
简述几何学的发展史摘要：本文简要的阐述了几何学思想的发展简史，包括欧氏几何的确立，射影几何的发展，解析几何、非欧几何的诞生与发展，直至几何学的统一。
关键词：几何学；发展史几何学是一门古老而实用的科学，是自然科学的重要组成部分。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一、欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
二、解析几何的诞生解析几何是变量数学最重要的体现。
解析几何的基本思想是在平面上引入“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对（x,y）建立一一对应的关系，于是几何问题就转化为代数问题。
解析几何的真正创立者应该是法国数学家迪卡儿和费马。
1637 年迪卡儿在《更好的指导推理和寻求科学真理的方法论》的附录《几何学》[1]中清晰的体现了解析几何的思想。
而费马则是在论平面和立体的轨迹引论中阐述了解析几何的原理，他在书中提出并使用了坐标的概念，同时建立了斜坐标系和直角坐标系。
三、非欧几何的诞生与发展非欧几何的诞生源于人们长久以来对欧几里得《原本》中第五公设即平行公设的探讨，但一直未得到公设的结论。
直到数学家高斯、波约和俄国数学家罗巴切夫斯基在自己的论著中都描述了这样一种几何，以“从直线外一点可以引不止一条直线平行于已知直线”作为替代公式，进行推理而得出的新的一套几何学定理，并将它命名为非欧几何，一般称为“罗氏几何”。
1854 年德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基的几何思想，从而建立了一种更为一般化的几何，称为“黎曼几何”。
他认为欧氏几何和罗氏几何都是黎曼几何的一种特例。
圆锥曲线的谢国芳定理——继帕斯卡定理之后又一朵射影几何的奇葩_baidu
圆锥曲线的谢国芳定理——继帕斯卡定理和布列安桑定理之后又一朵射影几何的奇葩谢国芳（Roy Xie）Email: roixie@摘要：本文在帕斯卡定理和布列安桑定理的基础上得到了关于圆锥曲线的一个美妙深刻的新定理，作为推论证明了双心六边形的三条对角线和三条对边切点的连线六线共点。
关键词：帕斯卡定理布列安桑定理极线配极原理双心六边形Abstract: In this article we derive an elegant and deep new theorem concerning conic sections based on Pascal’s theorem and Brianchon’s theorem, and prove that the three diagonals and the three lines connecting two tangent points on each pair of opposite sides of a bicentric hexagon are concurrent as a corollary.Key words: Pascal’s theorem, Brianchon’s theorem, polar line, polar reciprocation, bicentric hexagon帕斯卡（Pascal）定理和布列安桑（Brianchon）定理是关于圆锥曲线的两个基本定理，帕斯卡定理断言，圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线（见图1），其逆定理也同样成立，即如果一个六边形的三组对边的交点共线，则它的六个顶点在一条圆锥曲线上。
图1 帕斯卡（Pascal）定理布列安桑定理是帕斯卡定理的对偶定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点[1]（见图2），其逆定理亦同样成立，即如果一个六边形的三条对角线共点，则它的六条边和一条圆锥曲线相切。
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圆锥曲线与射影几何
射影几何是几何学的重要容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。
在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。
例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-
y x 的左支上，A D ≠,直线
CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。
求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直
线2
1=
x 上。
如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。
但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。
我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。
我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：
有一点
A 在一条双曲线部，过A 引两条直线与双曲线分别交于
B ,
C ,
D ,
E 。
连
BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。
又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。
如图1 连
BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。
D
证明： 对
C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得：
DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线,
同理P ，Q ，N 三点共线
所以
P ，Q ，M ，N 四点共线。
又因为
BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A
的极线，即
PQ 是A 的极线。
回到原图，由极线的定义与性质得
PQ OA ，且FAGH
为调和点列。
有了前面的铺垫再证例1就简单了。
证明： 过
P 点作X PH ⊥轴，则PH 是C 点的极线，AHBC 为调和点列 因为
A (-1,0),
B (1,0),
C (2,0)
所以H （2
1,0）
即
P 在直线2
1=x 上
关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。
例2：
M 是抛物线)0(22≥=p px y 的准线上的任意点，过M 点作抛物线的切线
1l ,2l ，切点分别为A ,B (A 在X 轴的上方)。
（1） 求证：直线AB 过定点。
（2） 过
M 作X 轴的平行线l 与抛物线交于P ，与AB 交于Q .
证明
PQ MP =。
证明：
（1）同例一，我们很容易得到AB 是M 的极线。
在准线上再取一点N ，过N 点作抛物线的切线3l ,4l ，切点为C ,D ,CD 为N 的极线
所以
AB ，CD 的交点E 的极线为MN 即直线
AB 过定点E
（2）易得M ，P ，Q ，以及l 与抛物线另一端的交点∞M 为调和点列。
因为∞M 是无穷远点
所以
PQ MP =，证毕。
仿射几何是射影几何的“子几何”，相对与射影几何，仿射几何有着更为丰富的性质。
例3：已知椭圆122
22
=+b
y a x ，求这个椭圆接三角形的面积的最大值。
对于例3，因为面积不是射影不变量，所以我们不能单单用射影变换来解题。
我们可以对变
换的条件加以限制，使之变成仿射变换，欧式平面上两个几何图形的面积比是仿射不变量。
证明：我们把平面直角坐标系中的每一个点
),(y x 变成)','(y x ，其中
x x ='，
ay y ='
显然，当
'''M Q P ∆为正三角形时，面积最大。
此时
2
4
33'''a S M Q P =∆
根据仿射变换的性质，
a
b
S S M Q P PQM =∆∆''' 所以ab S PQM 4
3
3=∆ 例4：作斜率为3
1的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于A ，B 两点，且)2,23(P 在直线的左上方。
求证：
PAB ∆的切圆圆心在一条定直线上。
证明：由于关于椭圆的计算比较烦杂，我们仍对椭圆作仿射变换。
我们把平面直角坐标系中的每一个点
),(y x 变成)','(y x ，其中
'，'
猜想这条定直线平行于Y 轴
作
PH 垂直于X 轴，与AB 交点为C ，过P 点作X 轴的平行线与AB 交于D 。
若猜想成立，由于︒=∠90CPD ，则ACBD 为调和点列
现在证明
ACBD 为调和点列：
设
),23(a C ，易得)23,26(a D -，x a y OC 2
3=
过过D 点作⊥DE OC ，垂足为E ，a
x a y DE
3623+-= 将两条直线方程联立，解出
E 的横坐标为2182108a
+ 所以
⋅+=⋅22)23(a OE OC ⋅+2)23(1(a
36)1821082=+a 所以D 的极线过C 点，即ACBD 为调和点列
由于︒=∠90CPD ，则CPB APC ∠=∠
所以
PAB ∆的切圆圆心在PC 上
其实，类似的题目还有很多，这里不再叙述。
学几何，我们不能局限于解析几何，有时可以跳出来，从几何的本质入手，这样跟有利于我们学习数学。