圆锥曲线与射影几何

圆锥曲线与射影几何

射影几何是几何学的重要容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。

例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-

y x 的左支上，A D ≠,直线

CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直

线2

1=

x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。

我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：

有一点

A 在一条双曲线部，过A 引两条直线与双曲线分别交于

B ,

C ,

D ,

E 。连

BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。

又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连

BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。

D

证明： 对

C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得：

DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线,

同理P ，Q ，N 三点共线

所以

P ，Q ，M ，N 四点共线。

又因为

BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A

的极线，即

PQ 是A 的极线。

回到原图，由极线的定义与性质得

PQ OA ，且FAGH

为调和点列。

有了前面的铺垫再证例1就简单了。 证明： 过

P 点作X PH ⊥轴，则PH 是C 点的极线，AHBC 为调和点列 因为

A (-1,0),

B (1,0),

C (2,0)

所以H （2

1,0）

即

P 在直线2

1=x 上

关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。 例2：

M 是抛物线)0(22≥=p px y 的准线上的任意点，过M 点作抛物线的切线

1l ,2l ，切点分别为A ,B (A 在X 轴的上方)。

（1） 求证：直线AB 过定点。

（2） 过

M 作X 轴的平行线l 与抛物线交于P ，与AB 交于Q .

证明

PQ MP =。

证明：

（1）同例一，我们很容易得到AB 是M 的极线。

在准线上再取一点N ，过N 点作抛物线的切线3l ,4l ，切点为C ,D ,CD 为N 的极线

所以

AB ，CD 的交点E 的极线为MN 即直线

AB 过定点E

（2）易得M ，P ，Q ，以及l 与抛物线另一端的交点∞M 为调和点列。

因为∞M 是无穷远点

所以

PQ MP =，证毕。

仿射几何是射影几何的“子几何”，相对与射影几何，仿射几何有着更为丰富的性质。

例3：已知椭圆122

22

=+b

y a x ，求这个椭圆接三角形的面积的最大值。 对于例3，因为面积不是射影不变量，所以我们不能单单用射影变换来解题。我们可以对变

换的条件加以限制，使之变成仿射变换，欧式平面上两个几何图形的面积比是仿射不变量。

证明：我们把平面直角坐标系中的每一个点

),(y x 变成)','(y x ，其中

x x ='，

ay y ='

显然，当

'''M Q P ∆为正三角形时，面积最大。

此时

2

4

33'''a S M Q P =∆

根据仿射变换的性质，

a

b

S S M Q P PQM =∆∆''' 所以ab S PQM 4

3

3=∆ 例4：作斜率为3

1的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于A ，B 两点，且)2,23(P 在直线的左上方。求证：

PAB ∆的切圆圆心在一条定直线上。

证明：由于关于椭圆的计算比较烦杂，我们仍对椭圆作仿射变换。

我们把平面直角坐标系中的每一个点

),(y x 变成)','(y x ，其中

'，'

猜想这条定直线平行于Y 轴

作

PH 垂直于X 轴，与AB 交点为C ，过P 点作X 轴的平行线与AB 交于D 。

若猜想成立，由于︒=∠90CPD ，则ACBD 为调和点列

现在证明

ACBD 为调和点列：

设

),23(a C ，易得)23,26(a D -，x a y OC 2

3=

过过D 点作⊥DE OC ，垂足为E ，a

x a y DE

3623+-= 将两条直线方程联立，解出

E 的横坐标为2182108a

+ 所以

⋅+=⋅22)23(a OE OC ⋅+2)23(1(a

36)1821082=+a 所以D 的极线过C 点，即ACBD 为调和点列

由于︒=∠90CPD ，则CPB APC ∠=∠

所以

PAB ∆的切圆圆心在PC 上

其实，类似的题目还有很多，这里不再叙述。学几何，我们不能局限于解析几何，有时可以跳出来，从几何的本质入手，这样跟有利于我们学习数学。