1.2《直角三角形》(第2课时)导学案

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1.2直角三角形的性质与判定(II)

课题：直角三角形的性质与判定（II）
一、学习目标：
（一）掌握勾股定理，并能够利用勾股定理进行有关计算
（二）经历勾股定理的探索和验证过程，发现对图形性质或数量关系猜想及检验的能力，体会拼图验证的合理性，灵活利用勾股定理解决实际问题
（三）理解并掌握勾股定理的逆定理，能够利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形
3、木匠制作了一个三角形木板，量得三边长分别是5cm，10cm和7cm，问这个三角形谁否为直角三角形？
（3）展示反馈
A
B
C
D
7cm
1、已知△ABC中,∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
（1）已知：a=1，b=2，求c；
（2）已知：a =15，c =17，求b；
（3）已知：a = 4，b=7，求c；
二、课堂流程：1.导入新课，展示目标。2.独学。3.对学、群学。
4.班内大交流。5。
三、定向导学：
（一）预习尝试
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c），
用这四个三角形拼一个正方形，并计算这个正方形的面积。
2、梯子AB的长为5m，斜立在竖直的墙上，这是梯子的底端与墙底的距离BC=3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1m，梯子的底端在水平方向沿直线也将滑动1m吗？
四、整理导学案。
五、总结反思，布置作业。
3、在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2，那么△ABC是Rt△吗？
（2）体验学习
1、在△ABC中，CD⊥AB与点D，BC=10，AD=15.BD=6，求AC。
2、小刚想知道学校的旗杆的高，他发现旗杆上绳子垂到地面还多1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现绳子刚好接触地面，你知道旗杆的高是多少了吗？

1.2 直角三角形第2课时教案

一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点：直角三角形全等的判定【类型一】应用“HL ”证明三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．【类型二】利用“HL ”证明线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型三】利用“HL ”证明角相等如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型四】利用“HL ”解决动点问题如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，PQ ＝AB .P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AM 上运动，且点P 不与点A ，C 重合．那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC 与△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝10，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合，不合题意．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：①当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°，∴在Rt △ABC 与Rt △QP A 中，AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QP A (HL)，即AP ＝BC ＝10；②当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC ，不合题意．综上所述，当点P 运动到距离点A 为10时，△ABC 与△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型五】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)，∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有SSS 、SAS 、ASA 、AAS. 三、板书设计一、选择题:1. 两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A. AASB.SASC.HLD.SSS4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( )A.AB=D E,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( )①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个12A BCD第2题图第5题图第7题图第8题图7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==︒∠∠8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（） A ． A B=AC B ． ∠BAC=90° C ． B D=AC D ． ∠B=45°二、填空题:B AEFCD9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”.10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________.11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第11题图第12题图第13题图13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形.15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP=_______时，△ABC≌△APQ．16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .17.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度18.如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为__________m.第17题图第18题图三、解答题:19. 如图，,于点，，平分交于点，请你写出图=⊥=∠AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F中三对．．全等三角形，并选取其中一对加以证明．20.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证: Rt△AB E≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.21. 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．22. 已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE 是过A 点的一条直线,且B 、C 在DE 的异侧,BD ⊥AE于D,CE ⊥AE 于E,求证:BD=DE+CE.23. 如图,在△ABC 中,以AB 、AC 为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE 、ACF,连结EF,过点A 作AD ⊥BC,垂足为D,反向延长DA 交EF 于点M.(1)用圆规比较EM 与FM 的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定BA ECDBAEM FCD。

初中数学导学案2：直角三角形

直角三角形（1）学习目标：进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.学习重点：了解勾股定理及其逆定理的证明方法.学习难点：结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.学习过程：一、学前导读1、勾股定理的内容是：_______________ ___它的条件是：______________________________结论是：__________________________________2、每个命题都是由，两部分组成.命题“对顶角相等”的条件是，结论是二、课堂导学1、自学感知①勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形是直角三角形.②互逆命题在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题③互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.2、合作探究探索一：证明定理：如果三角形两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.条件：结论：已知：（如图）在△ABC 中，AB 2+AC 2=BC 2.求证：△ABC 是直角三角形.证明：练习：1.如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形2. 如图，BA ⊥DA 于A ，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA ∥DC探索二：1.观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？如果两个角是对顶角，那么它们相等.如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧.如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等. A BA B 2 C 1D C B A 12915在这几组的两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_______和_______，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题注意：①互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题.②一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假.练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.（1）四边形是多边形：（2）等边对等角：（3平行四边形的两组对边相等：2. 互逆定理一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.练习：找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来.（1）内错角相等，两直线平行（2）全等三角形对应角相等(3）对顶角相等三、反思感悟1. 运用勾股定理及其逆定理应注意什么?2. 写一个命题的逆命题应注意什么?四、知识反馈1、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：A：两直线平行，同位角相等.B：如果ab=0，那么a=0，b=0.2、命题：等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是____________________________3、若一个直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长20cm，则两直角边为___ _4、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为____ _5、在△ABC中，已知AB=13cm，BC=10cm, BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=AC.。

北师大九上数学1[1].2直角三角形导学案

1.2直角三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．【重点难点】重点：探索并掌握直角三角形的判别条件.难点：运用直角三角形判别条件解题.新课导引木工师傅中巧如鲁班者大有人在，不知何年何人用鲁班尺发明了三等分任一角的方法，所谓鲁班尺或称木工尺，是形如图(1)所示的直角尺．【问题探究】在过尺的拐角内点B 与尺边BD 垂直的尺边缘直线上取一点C ，使BC 等于尺宽AB ．任给一角∠EOF ，先用鲁班尺画一条与OE 相距为尺宽AB 的平行线l ，如图(2)所示，再使鲁班尺的边缘上的点A 落在l 上，C 点落在OF 上，且边缘线BD 过O 点，如图(3)所示．沿边缘DB 画出的直线l ＇与OF 的夹角∠BOC 是∠EOF 的31．解析事实上，作AG ⊥OE ，G 为垂足，则Rt △OAG ≌Rt △OAB ≌Rt △OCB ，故∠AOG ＝∠AOB ＝∠BOC ＝31∠EOF ．教材精华知识点1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c 2＝a 2+b 2(c 为斜边长)． √勾股定理的作用．(1)已知直角三角形的两边求第三边．(2)已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系．(3)用于证明平方关系的问题．(4)利用勾股定理作出长为n 的线段．勾股定理的各种表达形式．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边长分别为a ，b ，c ，则a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c 2＝a 2+b 2，c ＝22b a +，a ＝22b c -，b ＝22a c -．勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形．勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．直角三角形的判定．(1)首先确定最大边(如c )．(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系．若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是直角三角形；若c 2≠a 2+b 2，则△ABC 不是直角三角形．勾股数．(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．(2)勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．拓展应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．知识点2 互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．拓展每个命题都有逆命题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．拓展每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL ”表示．√定理的作用：判定两个直角三角形全等．√定理的证明：如图1－30所示，已知Rt △ABC ，Rt △A ′B ′C ′，∠C ＝∠C ′＝90°，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，求证Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′．证明：∵在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∴BC ＝22AC AB -，B ′C ′＝22C A B A ''-''.∵AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，∴BC ＝B ′C ′．∴Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′(SSS)．知识拓展 “HL ”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．规律方法小结 1．方程思想：在学习勾股定理的过程中，要注意利用勾股定理寻找等量关系，通过列方程来解几何问题．2．数形结合思想：运用勾股定理判定直角三角形就是由数量关系来判定几何问题，实现数和形之间的相互转化．课堂检测基本概念题1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假．基础知识应用题2、如图1－31所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝50，BC ＝30，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．3、在正方形ABCD 中，如图1－32所示，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC ＝41BC ，求证∠EFA ＝90°．综合应用题4、试判断三边长分别为2n 2+2n ，2n +1，2n 2+2n +1(n ＞0)的三角形是否是直角三角形．5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得∠MAD＝30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得∠MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少?(精确到0．1海里，3≈1．732)体验中考1、如图1-41所示，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，求AD的长度．2、如图1－45所示，在直角梯形ABC D中．A D∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且A E＝AC．（1）求证B G＝FG；（2）若A D＝D C＝2，求AB的长．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析写某个命题的逆命题时，要分清命题的题设和结论．必须认真审题，分清命题结构，最后写成“如果……，那么……”的形式．解：如果两直线平行，那么同位角相等．这个命题是真命题．2、分析给出△ABC 是直角三角形，同时给出两边长，我们会想到利用勾股定理来解题．解：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，AB ＝50，BC ＝30．∴由勾股定理，得AC ＝4030502222=-=-BC AB . 又∵S △ABC ＝21BC ·AC ＝21AB ·CD ， ∴30402450BC AC CD AB ⨯=== . 答：CD 的长是24．【解题策略】在有关直角三角形的问题中，除了掌握好直角三角形的性质(两锐角互余，三边满足勾股定理等)外，还要注意一般三角形的所有性质．3、分析由已知条件会想到勾股定理，同时由结论我们会想到利用勾股定理的逆定理．证明：设正方形ABCD 的边长为4a ，则EC ＝a ，BE ＝3a ，CF ＝DF ＝2a ．在Rt △ABE 中，由勾股定理，得：AE 2＝AB 2+BE 2＝(4a )2+(3a )2＝25a 2．在Rt △ADF 中，由勾股定理，得：AF2＝AD2+DF2＝(4a)2+(2a)2＝20a2．在Rt△ECF中，由勾股定理，得：EF2＝EC2+CF2＝a2+(2a)2＝5a2．在△AFE中，AF2+EF2＝20a2+5a2＝25a2，又∵AE2＝25a2，∴AF2+EF2＝AE2．由勾股定理的逆定理，得△AEF是直角三角形，且AE为最大边，∴∠EFA＝90°．规律·方法用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另外两边的平方和；(3)比较最大边的平方与另外两边的平方和，如果相等，那么此三角形为直角三角形．注意不要盲目比较其中任意一边的平方与另外两边的平方和的关系，这样做容易得出错误的结论．4、分析先确定最大边，然后判断最大边的平方是否等于其他两边的平方和．解：∵(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1＞0，(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2＞0(n＞0)，∴2n2+2n+1为三角形中最大边．又∵(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，∴(2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2．根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．【解题策略】运用差值比较法确定最大边是用勾股定理的逆定理判定三角形形状的关键．5、分析本题是一道实际应用问题，解此类问题的关键是将其转化为数学问题．求货轮与灯塔M的距离即求MD的长，可利用Rt△ADM和Rt△BDM，由勾股定理建立等量关系，列方程求解．解：由已知得AB=20海里，∠MAD=30°，∠DBM= 45°，MD⊥AD．设MD=x，在Rt△BDM中，∠DBM＝45°，∴BD=MD=x，∴AD=AB+BD=x+20．在Rt △ADM 中，∠MAD =30°，∴MD =21AM ，∴AM =2MD =2x ．在Rt △ADM 中，由勾股定理，得：AD =x x x MD AM 3)2(2222=-=-，有x +20=x 3，(3-1)x =20，∴x =)13(101320+=-≈27．3(海里)．故货轮到达灯塔正东方向的D 处时，货轮与灯塔的距离约为27．3海里体验中考1、分析本题考查等腰三角形“三线合一”和勾股定理．解：在△ABC 中，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=CD=12BC=3 cm ．在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，∴4== （cm ）．2、分析本题主要考查和直角三角形有关的知识．证明：（1）∵∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于F ，∴∠ABC ＝∠A FE ．∴AC ＝A E ，∠E A F ＝∠CAB ，∴△ABC ≌△A FE ，∴AB ＝A F ．连接A G ．∵A G ＝A G ，AB ＝A F ，∴Rt △AB G ≌Rt △A FG ，∴B G ＝FG ．解：（2）∵A D ＝D C ＝2，∴△A D C 为等腰三角形．又∵DF ⊥AC ，∴A F＝C F，∴A F＝12 AC．又∵AC＝A E，∴A F＝12A E．∵在Rt△A FE中，A F＝12A E，∴∠A EF＝30°，∴∠D A F＝30°，∴在Rt△A FD中，DF＝1，∴A F=，∴AB＝A F【解题策略】运用已知等量关系，得出直角三角形中一个角的度数，可求出问题的解．。

北师大版八年级下册数学1.2《直角三角形》导学案(共2课时)

1.2 直角三角形（一）学习目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

学习过程：一、前置准备➢角1、直角三角形的两个锐角；2、有两个角互余的三角形是.➢边1、说出你知道的勾股数2、勾股定理的内容是：_____________________________;它的条件是：______________________________________;结论是：__________________________________________。

二、自主学习：将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：下面试着将上述命题证明：已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2求证：△ABC是直角三角形。

得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形。

三、合作交流：1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

（3）三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。

2、阅读课本P16“想一想”，回答下列问题：①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？②什么是互逆定理？③是否任何定理都有逆定理？④思考我们学过哪些互逆定理？四、归纳总结：1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？五、当堂训练：1、判断A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。

（）B：命题正确时其逆命题也正确。

导学案直角三角形全等的判定(HL)

B'C'AA'B'C'AA'1.2直角三角形全等的判定初二（______）班学号__________ 姓名________________【学习目标】1、了解直角三角形全等的判定定理（HL ），完善三角形全等知识点。

2、能用HL 证明两个直角三角形全等，并解决实际问题。

【学习重点】理解HL 的数学原理【学习难点】能用HL 证明两个直角三角形全等，并解决实际问题。

【基础部分】一、复习回顾与课前自学：1、判断两个三角形全等的方法有：_______________________________________________2、判断下列命题的真假，若是真命题，请说明依据（1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ （4）斜边及一直角边分别相等的两个直角三角形全等 ______（真/假），依据：____________ 3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=4cm ，则AC=_____cm4、已知：如图，在Rt ABC ∆和'''Rt A BC ∆中，'0C=C 90∠∠=°，''AB=A B 5=，''AC=A C 3=．求证：'''Rt ABC Rt A BC ∆≅∆【要点部分】5、已知：如图，线段a ,c （a <c ）,直角α求作：Rt ABC ∆，使C α∠=∠，BC a =，AB c =.与小组其他同学所作的三角形比较，观察思考，你们所作的三角形全等吗？6、已知：如图，在Rt ABC ∆和'''Rt A BC ∆中，'0C=C 90∠∠=°，''AB=A B ，''AC=A C ．求证：'''Rt ABC Rt A BC ∆≅∆（提示：用勾股定理求2BC 和2BC ，再用SSS 证明三角形全等）规范书写格式：在___________和___________中______________________⎧⎨⎩∴___________________(______)小结：斜边、直角边判定定理：_______________________________________的两个直角三角形全等这一定理可以简述为：_________________________ 或 ______________温馨提示：（笔记）__________________________________________________________________________【目标检测】7、已知：如图AB CD =，DE AC ⊥，BF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，且DE BF =. 求证：（1）AE CF = （2）AB // CD第___组___层评价等级______ca α8、如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。

春八年级数学下册 1.2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定导学案北师大版(2021年整

2017年春八年级数学下册1.2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定导学案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年春八年级数学下册1.2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定导学案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年春八年级数学下册1.2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定导学案（新版）北师大版的全部内容。

第2课时直角三角形全等的判定1.通过探索判定直角三角形全等的条件，学会利用HL进行判定的方法2.会灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等，并能已知斜边和直角边作直角三角形。

阅读教材P18-20“随堂练习”之前的内容，掌握等直角三角形全等的判定方法，学生独立完成下列问题:1.判定两个直角三角形全等的定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”)2。

判断：如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°)是否全等，在( ）里填写理由；如果不全等，在（）里打“×”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′（ASA ）(2）AC＝A′C′,BC＝B′C (SAS ）（3）AB＝A′B′，∠B＝∠B′（AAS ）（4）∠A＝∠A′,∠B＝∠B′（×）(5）AC＝A′C′，AB＝A′B′（HL ）活动1 小组谈论例1 已知:R△ABC和Rt△A'B ' C’，∠C=∠C'=90°，BC=B'C',BD、B'D’分别是AC、A'C'边上的中线且BD=B'D' （如图)．求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C’．证明：在Rt△BDC和Rt△B’D'C’中，∵BD=B'D’，BC=B'C’，∴Rt△BDC≌Rt△B ’D 'C ' （HL定理)．CD=C'D’．'DA'B'C'CDBAB′A A′B C C′又∵AC=2CD，A ’C ’=2C ’D ’，∴AC=A'C’．∴在Rt△ABC和Rt△A 'B ’C ’中，∵BC=B’C ',∠C=∠C ’=90°，AC=A’C '，∴Rt△ABC≌CORt△A'B’C（SAS)在直角三角形中,利用HL证明三角形全等。

《直角三角形》第二课时教学设计

《直角三角形》第二课时教学设计一、教学设计说明本节课是一节公理探索课，或者说是一节概念形成课。

对于两个三角形的全等，学生在学习本节课之前已有了一定的学习，比如边角边、角边角、边边边公里的探索以及角角边定理的学习。

为了培养学生的数学能力，培养学生研究数学问题的兴趣与品质，在设计教学时，这要突出一个“新”。

例如引课，给学生设计了一个关于全等的陌生的问题情境，设计此情境的目的一是在于激发学生的兴趣；二是在学生头脑中营造数学问题的形成思想，即数学源于问题。

在教学过程中始终贯穿着以学生发展为本的思想；在教学目标的确立上突出方法与过程这一环节；在师生关系的定位上，建立起学生主导的师生关系。

二、教学分析1.教学内容分析本节课是北京师范大学出版社九年义务教育三年制初级中学教科书《数学》八下第一章第2节第2课时的内容。

（1）直角三角形全等的判定是三角形全等判定的最后一个内容，是三角形全等判定必不可少的内容。

本节课渗透着由一般到特殊的思想，也是学习角的平分线一节的知识准备，它对公理的探索是学生由不自觉向自觉的过程探索的升华，对学生学习数学能力的培养起着积极的作用。

（2）本节课的知识内容与人们的生产生活有着较为密切的联系。

如在例题中设置了话题的程度及倾斜角的问题。

通过本节课的学习，引导学生把数学知识与生活、生产实践相结合，培养学生的应用意识。

2.教学对象分析学生有了三角形全等判定的基础，初步形成了如何探索数学问题的方法和手段，知识准备也已经到位。

由于与边角边、角边角、边边边公理的探索方式相类似，在学生心理上会对本节课有一种“不用探索，结论成立”的想法。

鉴于此，引课就显得很关键，所以本节课的关键放在如何创设情境，激发学生的学习兴趣上。

三、教学目标1.知识与技能使学生掌握斜边直角边公理，并能运用公理解决有关直角三角形全等的判定问题。

2.过程与方法使学生主动参与数学活动，通过观察猜测、动手实践、总结归纳的探索过程，培养学生的数学能力和数学素养。

1.2直角三角形第二课时导学案

1.2 直角三角形（二）一、学习准备：1、如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是____________．1题 2题2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,C 与E 重合,求出CD 的长？二、学习目标：1、掌握两直角三角形全等的判定定理。

2、能利用所学定理解决简单的实际问题。

三、学习提示：阅读P18~20完成下列任务： 1，自主探究：做一做，按P19同学所做三角形的关系。

定理：相等的两个直角三角形全等，简称：2. 合作探究：证明上面的定理：3 AO B东北F度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？4、练习：1、P20随堂练习1、22、如图，C D ⊥AD ，C B ⊥AB ，AB=AD ，求证：CD=CB 。

四、学习小结：你有哪些收获五、夯实基础：1、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）。

A 、两条直角边对应相等 B 、有两条边对应相等C 、一条边和一个锐角对应相等D 、一条边和一个角对应相等。

2、已知∠ABC =∠ADC=90°，E 是AC 上一点，AB=AD ，求证：EB=ED六、能力提升1、如图，在△AFD 和△BCE 中，点A ，E ，F ，C有下面四个论断：（1）AD=CB ；（2）AE=CF ；(3)∠B=∠D=90°；(4)A D ∥BC ；请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论，并证明。

作业：P21习题1.6--1、2、3、DC B ACB C。

1.2直角三角形性质和判定2

2、
归纳：在直角三角形中，如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
三、例题讲解
四、练习见书P6
五、小结
教学பைடு நூலகம்思
3、了解上述两个定理之间的联系。
教学重点：直角三角形的两个性质定理
教学难点：直角三角形性质定理的应用
教学程序
教学要求
教学内容与方法
二次备课
一、创设情境导入新课
活动：
请大家拿一块30°的直角三角板，请量一量30°角所对的直角边与斜边有什么关系？你能证明你的发现吗？
二、合作交流，解读探究
1、
归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所队的执教便等于斜边的一半。
陬市镇中学八年级《数学》科<<导学案>>
备课日期：2014-2-15设计：刘芬上课教师：审核：______
上课日期：__月__日第____周星期____第节第课时（总节数）
课题：1.1直角三角形的性质和判定（2）
教
学
目
标
1、掌握有一个锐角是30°的直角三角形的性质定理及其应用
2、掌握有一条直角边等于斜边一半的直角三角形的性质定理及其应用

全国初中数学优质课一等奖《直角三角形全等的判定》教学设计

《§1.2.2直角三角形》教学设计XXX 学校 XXX一、教学内容解析本节课是北师大版八年级下册《三角形的证明》的第二节课，是在学生已经历了一般三角形全等的判定、勾股定理及其逆定理的验证等相关知识的基础上，对直角三角形全等的判定作进一步深入和拓展，同时又是进一步研究轴对称、等腰三角形、四边形等知识的工具性内容，具有不容忽视的基石作用，因此本节课在教材中起着承上启下的作用。

从认知基础的角度看，一方面，学生已经历了平行线的证明、勾股定理及其逆定理的验证，理解几何命题之间的因果关系，这些都为“HL ”定理的合情推理奠定了基础。

另一方面，“HL ”定理是一般三角形全等判定的延伸。

从思想方法的角度看，“HL ”定理是学生通过动手操作，从特例到一般结论的研究，综合运用了勾股定理等相关旧知化为一般三角形全等的判定而获得，而定理在实际生活中的应用又是数学建模的过程。

因此，本节的灵魂是化归思想、类比思想、模型思想、特殊与一般思想的具体化身。

从数学本质的角度看，实验-观察-归纳-猜想-验证是获得定理的关键，而灵活运用定理是知识转化为能力的催化剂。

根据以上分析，确定本节课的教学重点为：直角三角形全等的判定定理“HL ”的探究与应用。

二、目标与目标解析：依据《新课程标准》及学生的实际情况制定教学目标如下：1、知识与技能目标：能通过探索掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

2、过程与方法目标：经历“探索--发现--猜想--证明”的过程，体会合情推理在获得结论中发挥的作用。

3、情感与价值目标：在自主探究定理证明的过程中培养勇于探索的精神，在合作交流环节中感受合作获得新知带来的成功喜悦，激发对数学证明的兴趣和信心。

三、教学诊断分析1、预测在“发散探究”环节，由于学生存在差异，部分学生会存在不同的问题，例如，变式2中，可能会出现由“C B BC ''=，C A AC ''=，A A '∠=∠”不能得出结论的错误判断这种情况。

八年级数学下册 1.2 直角三角形(第2课时)导学案(新版)北师大版

八年级数学下册 1.2 直角三角形（第2课时）导学案（新版）北师大版1、2 直角三角形（第2课时）学习目标：掌握直角三角形全等的判定定理（HL）、学习过程：一、复习回顾：1、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2、命题与逆命题，定理与逆定理的关系。

3、判断两个三角形全等的方法有哪几种？4、已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。

想一想，怎么画？二、新课学习：1、定理：__________和__________对应相等的两个直角三角形全等。

（简述为“斜边、直角边”或“HL”）已知：求证:证明：练习：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等、三、例题解析：1、课本P20例题2、如图，在△ABC和△ABC中，CD，CD分别分别是高，并且AC＝AC，CD=CD、∠ACB=∠ACB、求证：△ABC≌△ABC、3、如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF、求证：AB=AC四、课堂训练：1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）A：两条直角边对应相等的两个直角三角形。

B：两锐角对应相等的两个直角三角形。

C：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。

D：有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8、15、17 ②4、5、6、③7、5、4、8、5 ④24、25、7 ⑤5、8、10 A：①②④ B：②④⑤ C：①③⑤ D：①③④3、已知，如图，△AB C中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（）个（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC、（A）1 （B）2 （C）3 （D）4五、归纳总结：六、课后作业：1、下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。

八年级数学下册12直角三角形导学案2北师大版

直角三角形课题直角三角形（二）学习目标1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理学习重难点重点：直角三角形全等“HL”判定定理。

难点：从图中找出隐含条件。

旧知识链接一般三角形全等判定方法有：。

问题探究一预习反馈1．请同学们阅读教材18页～20的内容，并完成教材20页的随堂练习2.直角三角形全等判定方法有：二合作探究1、在Rt△ABC中，∠C = 90°，且DE⊥AB，CD = ED，求证：AD是∠BAC 的角平分线。

2、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。

求证：CE = DE。

3、在△ABC与△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．EDABCCBADE'CCA D B'''BDA21EF AB CD三形成提升1、填空：.如下图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C=∠F =90°。

（1）若∠A=∠D ，BC=EF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（2）若∠A=∠D ，AC=DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （3）若∠A=∠D ，AB=DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （4）若AC=DF ，AB=DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （5）若AC=DF ，CB=FE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. 2、如下图，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB=AD ，求证：CD=CB 。

1.2直角三角形全等的判定(2)导学案

1.2直角三角形全等的判定（2）班级________姓名____________一.学习目标：1．能证明角平分线的性质定理及逆定理、三角形三条角平分线交于一点； 2．从简单的数学例子中体会反证法的含义．二．学习重点：角平分线的性质定理及逆定理；学习难点：逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力．三．教学过程一、旧知回顾：1．角平分线的定义2．角平分线的画法：3、角平分线的性质4、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝10，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，且BD :CD ＝2:3，则点D 到线段AC 的距离为 .5. 如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于点O ，连接AO ，则∠1与∠2的关系 .二、探索活动（一）：证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

已知：求证：问题一：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”的逆命题是什么？试着说说看。

问题二：你认为这个逆命题是真命题吗？如果是真命题，如何证明？已知：求证：点P 在∠AOB 的平分线上（提示：连结OP 证明OP 是∠AOB 的平分线）问题三：在角的外部，有没有到角的两边距离相等的点？问题四：“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上”你认为这个结论正确吗？如果正确，你怎样说明它的正确性？——在证明时，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导了矛盾的结果，从而证明了命题的结论一定成立，这种方法称为“反证法”探索活动（三）：问题一：在知识回顾第4题，我们探寻到了∠1 =∠2，那么该如何证明呢？问题二：解决完之后，同学们有什么发现呢？拓展一：如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F . 你能证明点F 在∠DAE 的平分线上吗？拓展二：如图，直线l 1 、l 2 、l 3表示三条相互交叉的公路，现要修建一个加油站，要求到这三条公路的距离相等，可供选择的地址有处？课堂反馈： 1．如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm .2、已知(如右图)BD ⊥AM 于点D ，CE ⊥AN 于点E ，BD 、CE 交点F ，CF=BF ，求证：点F 在∠A 的平分线上.l12 3EDCBA 3、如图，已知∠B=∠C=90º，M 是BC 中点，MN ⊥AD ，若∠1＝∠2，求证∠3=∠4你还有什么发现？课堂小结：课堂作业：1、三角形中到三边距离相等的点是（）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2、如图，在△ABC 中，已知AC=BC ，∠C=900，AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB,垂足为E 。

北师大版八年级数学下册《直角三角形》第二课时导学案2

D 1 A
B
C 直角三角形（2）
【学习目标】
1、掌握直角三角形的判定定理，并能灵活应用.
2、通过动手操作、独立思考、相互交流，提高学生的逻辑思维能力以及协作精神．
学习重点、难点：“直角三角形判定定理”的灵活应用.
【学习过程】
一、新课知识点学习
1、请你写出定理：“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题。

这是一个真命题吗？请你证明。

先根据题意画图。

已知：
求证：
证明：
2、已知：如图，△ABC 中，CD 是△ABC 的AB 边上的中线，CD=21AB ，求证：△ABC 是直角三角形。

二、知识点应用 1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 中点且DC=AC ．
(1)求∠B 的度数；(2)猜想：AC 与AB 的关系，并说明你猜想的理由．教师补
充定理
2．已知：如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE中点，G是AB的中点．说明GF⊥DE．
3．如图，△ABC是边长为8 cm的正三角形，D是AC中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，如果DM⊥BC，垂足为M．
求证：DB=DE；。

初二级数学下1.2直角三角形(2)导学案

初二（）班姓名：___________学号：___初二级数学下1.2直角三角形(2)导学案学习目标：①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性②利用“HL’’定理解决实际问题重点:利用“HL’’定理解决实际问题已知：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′ 证明：6、写出定理：_____________________________分别相等的两个直角三角形全等，简述为_____________或_______几何语言：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C=∠C′=90°∵____________________________⎧⎨⎩∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（）7、例题如图1—16，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等， (1)△ABC ≌△DEF 吗?(2)两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？三、对应练习A 'B'C 'C BAED CBA8、如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．9、已知：如图，DA BE ⊥，BC=DE ，AB=AD求证：090=∠+∠E B四、课堂小结五、课堂小测1、判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两边分别相等的两个直角三角形全等；(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．2、如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．。

解直角三角形(第2课时)导学案

课题名称：九年级上册1.4解直角三角形（第2课时）【学习目标】1、掌握直角三角形的边角关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，提高分析、解决问题的能力。

3、培养数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯。

【教学重、难点】1、已知一角和一边的直角三角形的解法。

2、三角函数在解直角三角形中的灵活运用。

【导学流程】一、自主预习 1.创设教学情境：1）在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，第1题图①三边之间的等量关系：②两锐角之间的关系：③边与角之间的关系：==B A cos sin ；==B A sin cos ； ==BA tan 1tan ； ==B Atan tan 1． 2.出示学习目标:3.学生自主学习，完成预习题：(预习课本第16页至第17页例题3和例题4) 1)填写下表：已知一条边和一个锐角解直角三角形的方法，组内交流。

在Rt △ABC 中，∠C=90°⑴已知c, ∠A, 则∠B=_____,a=______, b=______⑵已知a, ∠A,则∠B=_______,b=______, c=______⑶已知b, ∠A ,则∠B=______,a=______,c=_______例题3、在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c=128，∠B=60°，解这个直角三角形.例题4、在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°，b=5，解这个直角三角形.4.组内交流质疑：针对预习题目中出现的问题，组内进行交流，互相解答疑惑。

二、展示交流:5.小组汇报交流：各小组代表交流讨论结果。

6.教师精讲点拨：根据小组交流情况加以订正总结强调。

浙教版数学八年级上册_《直角三角形(2)》导学案2

姓名年级：八年级学科：数学第次课课时课题直角三角形的判定教学目标1.掌握直角三角形几种常用的判定方法2. 理解并掌握斜中线性质的逆应用重点难点斜中线性质在直角三角形中的灵活应用教学过程【知识梳理：直角三角形的判定】1. 直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形（2）有两个角互余的三角形是直角三角形（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，且这条边为斜边2. 补充知识点在直角三角形中：若一个锐角为30°↔它所对的直角边等于斜边的一半【例题讲解】【例1】下列条件中：（1）∠A+∠B=∠C；（2）∠A：∠B：∠C= 1:2:3；（3）∠A=90°-∠B；（4）∠A=∠B=12∠C.其在能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都错【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是（）A．7＋ 5 B．10 C．4＋2 5 D．12【例4】在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形【例5】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E，F是BD的中点，连结EF.求证：CD＝2EF.【例6】如图，在△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于点D，E是BC的中点，∠A=55°，求∠CED的度数。

【同步训练】1. 把等边△ABC的一边AB延长一倍到点D，连结CD，则△ADC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定2. 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6第2题第3题3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AB＝6，则DE的长是（）A．2 B．3 C．4 D．2.54. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°.求证：AC＝12 AB.5. 如图，在在△ABC中，AB=BC，AE⊥AB交BC于点E,D是BE的中点，连接AD. ∠BAC=120°，AD=3cm，求BC的长。

北师大版八年级下册数学1.2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定导学案

1.2 直角三角形第 2 课时直角三角形全等的判断学习目标：1、认识直角三角形全等的判断定理（HL ），发展演绎推理能力；2、采纳着手动脑相联合的方式，进一步学习严实科学的证明方法；3、经过推理、论证的训练，养成谨慎的科学态度，不懈的研究精神和优秀的说理方法。

学习过程：一、前置准备1、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2、命题与抗命题，定理与逆定理的关系。

二、自主学习问题 1：两边分别相等且此中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？假如此中一边所对的角是直角呢？请证明你以为正确的结论。

问题 2：（做一做）已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形。

作直角三角形：写出已知、求作、作法。

与教材第 19 页小明作的直角三角形进行比较，你们俩个作直角三角形的是全等的吗？得出定理：证明这个定理。

已知：求证：证明：三、例题解说例如图，有两个长度相等的滑梯，左侧滑梯的高度AC 与右侧滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ B和∠ F的大小有什么关系？四、概括总结1、直角三角形全等的判断定理及运用。

2、怎样作一个直角三角形？五、知识应用D是△ ABC 的 BC 边上的中点，DE⊥AC ，DF⊥ AB ，垂足分别为 E、F，且 DE=DF，求证 BF=CE.[分析 ] 此题解决的重点是利用“ HL”证明△ BFD ≌△ CED当堂训练：1、以下各选项中的两个直角三角形不必定全等的是（）A.两条直角边对应相等的两个直角三角形。

D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

2、以下长度的三条线段能构成直角三角形的是（）① 8、 15、17 ②4、5、6、③7.5、4、8.5④ 24、25、 7⑤ 5、8、10A. ①②④B.②④⑤C.①③⑤D.①③④3、以下命题中，假命题是（）A. 三个角的度数之比为1： 3： 4 的三角形是直角三角形。

B.三个角的度数之比为 1： 3： 2 的三角形是直角三角形。