浅谈总体分布的拟合优度检验
生物统计第6章 拟合优度检验(即
有效 口服 O1=58 T1=(98)(122)/193=61.95 注射 O3=64 T3=(95)(122)/193=60.05 总数
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2×2列联表理论数的计算
无效 O2=40 T2=(98)(71)/193=36.05 O4=31 T4=(95)(71)/193=34.95 71 193 95 总数 98
2014-8-4
6.3.2
2×2列联表的精确检验法
P= （a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!/(N!a!b!c!d!)
(7.5）
• 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，可 直接用该概率值作为判断的标准；(例 7.5) • 若a、b、c、d中的任何一个都不出现0时， 还应当将这种组合的概率以及最接近于0 的那个观测值至0的各种组合的概率都计 入作为判断的标准； (例7.6) 2014-8-4
2014-8-4
例题解答
(2) 矫正
正常翅 残翅
O-T-0.5 (O-T-0.5)2 (O-T-0.5)2/T
16.5 16.5 272.25 272.25 0.926 2.778 2=0.926+2.778=3.704 H0: O-T=0, α=0.05, df=1, 20.05=3.841, 2< 20.05 结论：正常翅与残翅的分离比符合3：1
2014-8-4
6.3.2
2×2列联表的精确检验法
例7.6 观测性别对药物的反应如下，问男女对该 药是否有区别？ 有 无 男 4 1 5 女 3 6 9 7 7 14 解：根据式(7.5)，计算得P1=0.122 由于每一格的实际观测数均未再现0，这 时还应将四格中最小的那个数再逐个降低到 0。 并保证在行列及总数均不变的情况下，计算每 一种情况的概率。本例中只有一种：
拟合优度检验方法分析
（三）计算理论次数 依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5； 黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5； 红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对 相对性状分离现象时 ，用黑色无角牛和红 色有角牛杂交 ，子二代出现黑色无角牛192 头，黑色有角牛78头，红色无角牛72头， 红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性 状是否符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的 遗传比例？
检验步骤：
（一）提出无效假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9:3:3:1的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9:3:3:1的理论比 例。 （二）选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4：自由 度df=k-
数据格式与计算公式
类别或组段 观察频数
理论频数
1
O1
E1
2
O2
E2
…
…
…
k
Ok
Ek
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
2 P
k i 1
(Oi
Ei )2 , Ei
a为参数的个数
k 1 a
df = k-1-a
注意：理论频数Ei不宜过小（如不
小于5），否则需要合并组段！
计算步骤
(1)
H
§ 7.1 拟合优度检验
回顾下2分布——p56
❖ 设有一平均数为μ、方差为 2的正态总 体。现从此总体中独立随机抽取n个随机 变量：x1、x2、…、 xn，并求出其样本方 差S2
拟合优度检验
计算上例的χ 值并做推断。先计算各理论数Ti。
2
给药方式 口服
（B ）
有效（ A ）
O1=58 ( 98)(122 ) = 61.95 T1 = 193 O3=64 ( 95)(122 ) = 60.05 T3 = 193
无效（ A ）
总数
T2
( 98)( 71) = 36.5 =
193
O4=31 ( 95)( 71)
列联表中的数据可以用以下符号表示： a c a+c b d b+d a+b c+d N
在行总数和列总数及N都保持不变的情况下，a、b、c、d的各种组合 的概率可以由下式给出：
P=
( a + b )!( c + d )!( a + c )!( d + b )!
N !a !b !c !d !
零假设：不存在处理效应。若P > α 则接受零假设；反之则拒绝。 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，则直接用该概率值作为判断标 准。若无，则应当将这个组合的概率以及从最接近于0的哪个观测值到 0的各种组合的概率都计入。这样才能构成一个尾区的概率。
将以上数据列成下表：
Y_R_ 实际观测数O 理论频率p 理论数T O-T (O-T) 2/ T 315 9/16 312.75 2.25 0.016
Y_rr 101 3/16 104.25 -3.25 0.101
yyR_ 108 3/16 104.25 3.75 0.135
yyrr 32 1/16 34.75 -2.75 0.218
2. 总体参数未知 例 调查到幼儿园接小孩的家长性别，以10人为一组，记录每组女性的人数，共得到
100组，列入下表的第2列中。问女性家长人数是否符合二项分布。 解：人群中男女比率各 占一半，但去接小孩的 家长中是否也是这个比 率就不一定。因此二项 分布的参数ϕ 是未知 的，需从样本数据估 计。
卡方-拟合优度检验
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
5第五章 拟合优度检验
体色 F2观测尾数
鲤鱼遗传试验F2观测结果
青灰色 1503 红色 99 总数 1602
⒈ 提出无效假设与备择假设
H 0 : 鲤鱼体色F2 代分离符合3： 1 比率 H A : 鲤鱼体色F2 代分离不符合3： 1 比率
⒉计算理论次数 青灰色的理论数为： E1=1602 ×3/4=1201.5 红色的理论数： E2=1602×1/4=400.5 2 3.计算 c 因为该资料只有k=2组，所以此例的 自由度为2-1=1 ( O，需进行连续性矫正。 E 0.5) 2
9 9 p(0) , 9 3 3 1 16 3 p(1) p(2) , 16 1 p(3) 16
9 T0 179 100.6875 , 16 3 T1 T2 179 33.5625 16
1 T3 179 11.1875 16
按公式
行总数 列总数 Ei 总数
计算各格理论值，填于各格 括号中。再计算统计量：
2
( 254 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 246 263.5 0.5)
( 219 236.5 0.5)
2
236.5 2 ( 281 263.5 0.5)
263.5 263.5 1.222 1.222 1.097 1.097 4.638
尾区概率 P=P1+P0=0.122+0.010=0.132。 由于不知什么性别对药物反 应强烈；∴应进行双侧检验， 即与 =0.025 比较。 2 ， ∴接受H0，男女对该药反应 无显著不同。
2 P
0.025
作业26/11
p102
如何理解拟合优度检验？
如何理解拟合优度检验？在数据分析中，对于定类变量和低测度的定序变量，通常不能使用均值、T检验和方差分析等方法来处理。
对于不符合正态分布的定类数据或低测度定序数据，其检验方法是利用交叉表技术分行分列计算交叉点的频数，利用卡方距离实施卡方检验，基于频数和数据分布形态分析不同类别的数据是否存在显著性差异，对于定类数据的对比检验，也叫独立性检验。
低测度数据对于定类变量，其数值大小和顺序并不代表什么意义，对于定类变量和低测度的定序变量，均值和方差都不能描述变量特征，故不能通过分析其平均值、方差等参数开展数据分析。
在做统计分析时，对于这类变量通常需要借助中位数、频数、百分比以及不同分布情况，实现数据描述。
对于低测度数据，比较典型的研究是关于结构成分的研究，实际上是一种借助频数来分析数据分布形态，并进而发现数据分布差异性的检验。
拟合及拟合优度由于低测度数据的特点，直接进行基于均值的检验显然是不行的，于是人们借助数学模型，提出了拟合的概念。
所谓拟合，就是分析现有观测变量的分布形态，检查其分布能够与某一期望分布（或标准分布）很好地吻合起来。
在数学上，拟合的过程就是寻找能很好地温和当前数据序列的数学模型的过程。
为了评价拟合的程度，人们提出了判定拟合有效性的机制，这就是拟合优度。
拟合优度也借助检验概率的概念来评价数据拟合的质量。
目前，对于低测度数据序列的处理最常见的分析方法是卡方检验。
特别是基于交叉表的卡方检验在数据分析中具有重要的地位，它们都建立在拟合概念的基础上。
另外，二项分布、游程检验等单样本检验也可以看做是数据拟合的重要应用。
与此同时，对定距或定序变量的分布形态判定，也是数据拟合的应用之一，在分布形态判定过程中所获得的检验概率就是该序列与标准分布形态的拟合优度。
卡方检验卡方检验的目标就是检查观测值的频数与期望频数之间的差异显著性。
由于卡方检验要求便于对个案进行分类并计算频数，因此卡方检验通常基于定类数据或低测度定序数据，并基于它们分类计算个案的实际频数，然后通过实际频数与期望频数的距离，来判定实际频数是否与预期目标存在差异。
拟合优度检验方法分析
03
拟合优度检验的应用场景
拟合优度检验的应用场景
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04
拟合优度检验的局限性
数据分布假设
拟合优度检验通常基于一定的数据分 布假设，如正态分布、卡方分布等。 如果数据不符合这些假设，检验结果 的可靠性将受到影响。
为了确保检验结果的准确性，需要对 数据进行适当的分布检验或变换，以 使其满足检验方法的假设。
详细描述
卡方检验通过计算观测频数与期望频数的平方差的加和，得到卡方统计量。该统 计量用于衡量实际观测频数与期望频数之间的不一致程度。如果卡方统计量较小 ，说明实际观测频数与期望频数较为接近，模型的拟合优度较高。
斯皮尔曼秩检验
总结词
斯皮尔曼秩检验是一种非参数拟合优度检验方法，基于观测数据的秩次进行比 较。
拟合优度检验是评估模型质量的指标之一，建议研究者综 合使用其他评估指标，如预测误差、解释性等，以全面评 估模型性能。
考虑数据特点
在进行拟合优度检验时，应充分考虑数据的特点和分布情 况，选择合适的检验方法和参数设置，以保证检验结果的 准确性和可靠性。
06
参考文献
参考文献
参考文献1
该文献对拟合优度检验的基本原理进行了阐述，详细介绍了各种检验方法的数学推导和适用场景，为后续的实证 分析提供了理论指导。
多重比较问题
拟合优度检验在进行多个样本或参数的比较时，可能会出现 多重比较问题，导致第一类错误（假阳性）的概率增加。
为解决多重比较问题，可以采用适当的统计方法进行校正， 如Bonferroni校正或FDR校正，以控制第一类错误的概率。
模型复杂度
拟合优度检验在处理复杂模型时可能 会遇到困难，特别是当模型包含多个 交互项、非线性关系或高阶项时。
[课件]第七章_总体分布的拟合优度检验PPTPPT共27页
![[课件]第七章_总体分布的拟合优度检验PPTPPT共27页](https://img.taocdn.com/s3/m/d43153d685254b35eefdc8d376eeaeaad1f31617.png)
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
[课件]第七章_总体分布的拟合优度检验 PPT
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
谢谢！
拟合优度检验
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223
1
142
2
48
3
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4
4
根据我们对泊松分布产生的一般条件的理 解，可以用一个泊松随机变量来近似描述每 年爆发战争的次数。也就是说，我们可以假 设每年爆发战争次数分布 X 近似泊松分布。
现在的问题是：
上面的数据能否证实 X 具有泊松分布的 假设是正确的？
【引例2】某钟表厂对生产的 钟进行精确性检查，抽取100个 钟作试验，校准24小时后进行 检查，将每个钟的误差（快或 慢）按秒记录下来。
第七章 拟合优度检验
拟合优度检验的应用
总体分布未知，从样本数据中发 现规律（总体分布），再利用拟 合优度检验对假设的总体分布进 行验证。
【引例1】某地区在1500到1931 年的432年间，共爆发了299次战
争，具体数据如下（每年爆发战
争的次数可以看作一个随机变量
X）：
战争次数 X 发生 X 次战争的年数
＝(2-1)(2-1)
H0 : O T ＝0,1 0.05, df 2 12 1 1,
取
α
=0.05，
2 0.05
3.841,
2
12.39102.05
2 0.05
5. 给出结论： 接受H0，不同给药方式的治疗效果没有显著
不同。
注意：本例的 df =1应当矫正，矫正后的 χ2 值更 小，不会影响结论，可以不再矫正。
X）：
战争次数 X 发生 X 次战争的年数
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4
【例2】引例1，检验每年爆发战争次数分 布是否服从泊松分布。 解：H0：O-T=0 （X 服从参数为 λ 的泊松分布）
第7章拟合优度检验
312.75 104.25 104.25 34.75
2.25 -3.25 3.75 -2.75
5.0625 10.5625 14.0625 7.5625
0.016 0.101 0.135 0.218
X^2=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470
§7.2.2 二项分布的检验
解：
提出假设
(Oi- Ei)2 Ei
0.0606 0.3125
0.15 0.4932 0.1176 0.625
0.3 0.973
计算检验的统计量 =3.0319 df=8-1=7 7,0.05=14.067 > =3.0319
结论：观测值与理论值是一致的。
§7.2 拟合优度检验
§7.2.1 检验步骤 §7.2.2 二项分布的检验 §7.2.3 对正态性的检验
接受零假 设：即女性 家长人数符 合二项分 布。
§7.2.3 对正态性的检验
1. 例：1000个调查数据 该观测数是否服从正态分布？
组限 观测数 编码变量
原始数据 (f) （Y)
(3.92,3.96)
4
0
(3.97,4.01) 36
1
为此，我们可以构建一组服从正
态分布的理论数，然后利用2检
验，比较观测数和理论数是否相
32
556
问是否符合自由组合律？
解：已知 Y_R_:Y_rr:yyR_:yyrr =9/16:3/16:3/16:1/16
实际观测数(O) 理论频率（p） 理论数（E） O-E (O-E)^2 (O-E)^2/E
Y_R_ Y_rr yyR_ yyrr
315
101
108
KS分布检验和拟合优度χ2检验
KS分布检验和拟合优度χ2检验KS分布检验和拟合优度χ2检验是统计学中常用的两种检验方法，用于评估一个样本数据集是否符合某个已知理论分布。
本文将介绍这两种检验方法的原理、应用场景以及具体步骤。
一、KS分布检验KS分布检验是一种非参数检验方法，用于检验一个样本数据集是否符合某个已知理论分布。
它的原理是计算样本数据的累积分布函数（CDF）与理论分布的累积分布函数之间的最大差值（即KS统计量），然后和显著性水平进行比较，从而判断样本数据是否来自该理论分布。
KS分布检验的步骤如下：1. 建立假设：设定零假设和备择假设，一般零假设是样本数据符合某个已知理论分布，备择假设是样本数据不符合该理论分布。
2. 计算累积分布函数：根据已知理论分布，计算出每个数值对应的累积分布函数值。
3. 计算观察累积分布函数：对于样本数据集中的每个观察值，计算出对应的累积分布函数值。
4. 计算KS统计量：计算观察累积分布函数和理论累积分布函数之间的最大差值，即KS统计量。
5. 判断结果：将KS统计量与临界值比较，若KS统计量大于临界值，则拒绝零假设，即样本数据不符合该理论分布；若KS统计量小于等于临界值，则接受零假设，即样本数据符合该理论分布。
KS分布检验适用于任何理论分布的检验，常用于正态分布、指数分布等分布的检验。
它可以直观地判断样本数据与理论分布之间的差异，并给出数值化的统计结果。
二、拟合优度χ2检验拟合优度χ2检验是一种参数检验方法，用于检验一个样本数据集是否来自某个已知理论分布。
它的原理是计算样本数据的频数与理论分布的频数之间的差异，然后利用χ2统计量进行检验。
χ2统计量的计算公式为：χ2 = Σ((观察频数-理论频数)²/理论频数)其中，Σ表示对所有类别的频数求和。
拟合优度χ2检验的步骤如下：1. 建立假设：设定零假设和备择假设，一般零假设是样本数据符合某个已知理论分布，备择假设是样本数据不符合该理论分布。
2. 计算理论频数：根据已知理论分布，计算出每个类别的理论频数。
第四节分布函数的拟合优度检验
例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，
按不同颜色小汽车分类如下
汽车颜色 红 棕 黄 白 灰 蓝 事故次数 75 125 70 80 135 115
问：交通事故是否与汽车的颜色有关？ (α0.05) 分析：
如果交通事故的发生与汽车的颜色无关，则每种 颜色的小汽车发生交通事故的可能性是一样的.
所以拒绝H0，认为交通事故与汽车的颜色有关.
例2.某电话交换台，在100分钟内记录了每分钟被呼 唤的次数X，设f i为出现该 X值的频数，结果如下：
X 0123456789 f i 0 7 12 18 17 20 13 6 3 4
问总体X（电话交换台每分钟呼唤次数）服从泊松 分布吗？ (α0.05)
(3) 若在原假设 H0下，总体分布的形式已知，但有r 个参数未知，这时需要用极大似然估计法先估计这 r 个参数. 2. 将 x 轴分成K个互不重迭的小区间：
（ ， b 1 ） ,[ b 1 ， b 2 ） , ,[ b K 1 ， ）
3.计算样本的n个观察值落入以上每个区间的个数， 记为fi （ i=1,2, ……,K），称其为实际频数. 所有实 际频数之和 f1+ f2+ …+ fk 等于样本容量n.
P {1.4 5 9 X 1.5 5 } 9Φ （ 1.8） 7 Φ （ 1.3） 0 0 .96 0 9 .93 0 0 3 .02 661
P{X15.5}91Φ（1.8） 7 10.969 0.03307
列表计算：
X 分组
fi
Pi
nPi
1 (－∞，99.5) 5 0.0655 6.55
2.32 0.5560 5.3678
总体分布的拟合优度检验
也就也就
也就
表明疾病不具有家族聚集性
表明疾病不具有家族聚集性表明疾病不具有家族聚集性
表明疾病不具有家族聚集性。
。。
。表
表表
表
7
77
7.
..
.2
22
2
二项分布的拟合优度
二项分布的拟合优度二项分布的拟合优度
二二
二、
、、
、Poisson分布的拟合优度检验
分布的拟合优度检验分布的拟合优度检验
分布的拟合优度检验一
一一
一、
、、
、二项分布的拟合优度检验
二项分布的拟合优度检验二项分布的拟合优度检验
二项分布的拟合优度检验【例7.4】某研究人员在某地随机抽查了150
户3口之家，结果全家无某疾病有112户，家
:
::
:样本与该理论分布有区别
样本与该理论分布有区别样本与该理论分布有区别
样本与该理论分布有区别
0.05α=
(2)
(2)(2)
(2)列出各组的实际频数与
列出各组的实际频数与列出各组的实际频数与
列出各组的实际频数与理论频数
二项分布的拟合优度χ
χχ
χ2
22
2检验计算表
检验计算表检验计算表
检验计算表
每户发
每户发每户发
每户发
病人数
病人数病人数
病人数
(1)
(1)(1)
(1)
观察
观察观察
观察
问题:
::
:试判断这份样本
试判断这份样本试判断这份样本
拟合优度检验的基本思想
拟合优度的基本思想（一）基本思想在OLS根据残差平方和最小的拟合准则提供了一个回归直线与数据拟合程度的度量，但是可以很容易的证明，只要把所有的数据Y乘以一个相同的尺度，那么残差平方和就可以扩大任意倍数。
所以残差平方和作为衡量尺度有缺陷。
于是推想：由于回归方程的拟合值依赖数据X，则我们关心的问题是，是否可以将X中的变差（即样本的方差，是每个样本观测值与样本均值的偏差）作为数据Y中的一个推断因子？由于拟合优度衡量的是，我们所建立的线性模型利用（或解释）了样本中多少信息，利用的信息越多越好。
信息如何衡量呢？通常用变差（方差），如样本原始数据中含有的信息（波动性）用相依变量的离差平方和表示。
至少从残差平方和为最小这一意义上来说是所有相依变量的变差可以利用数据的实际观测值与均值之间的偏离来度量，即(Yi−Y¯)，总变差(total variation)可以利用离差的平方和表示，即SST=∑(Yi−Y¯)2利用回归方程表示，可以将所有样本之间的关系表示为式（1）：(1)Y=Xb+e=Y^+e如果利用单个样本表示，则有式（2）:(2)yi=yi^+ei=X′ib+ei如果回归方程中包含常数,，则有: ∑i=1nei=0;Y¯=X¯b;Y^¯=Y¯=X¯b利用以上条件，得到式（3）:(3)Yi−Y¯=Y^i+ei−Y¯=Y^i−Y¯+ei=(Xi′−X¯)b+ei这说明，样本与均值的偏离等于拟合值与均值的偏离加上残差，进一步等于X与均值的偏离和残差的和。
这说明样本与均值的偏离大部分可以由X与均值的偏离来加以解释。
注意到方程：Yi−Y¯=(Xi′−X¯)b+ei两端都是与均值的偏离，因此可以将其表示成为式（4）:(4)M0Y=M0Xb+M0e其中M0为中心化矩阵(也是对称幂等矩阵)，其作用是将样本观测值转变成为与均值的偏离, 即中心化矩阵。
拟合优度检验和独立性检验
拟合优度检验和独⽴性检验分类数据分类数据是对事物进⾏分类的结果，它虽然是⽤数值表⽰，但是数值仅仅反映对象的不同特征，其⼤⼩没有意义。
分类数据的结果是频数，对其进⾏统计分析主要利⽤χ2分布。
χ2统计量χ2统计量可⽤于测定2个分类变量之间的相关程度。
⽤f o表⽰观察值频数，f e表⽰期望值频数，则χ2=∑(f o−f e)2f e利⽤χ2统计量，可以对分类数据进⾏拟合优度检验和独⽴性检验。
拟合优度检验拟合优度检验(goodness of fit test)：依据总体分布，计算出各类别的期望频数，与观察频数进⾏对⽐，判断两者是否有显著差异，从⽽对分类变量进⾏分析。
原假设和备择假设H0：观察频数与期望频数⼀致H1：观察频数与期望频数不⼀致检验统计量χ2=∑(f o−f e)2f e⾃由度为df=R−1，R为分类变量的类型的个数。
在假设检验中，我们在⼆项分布总体、⼤样本情况下，对总体⽐例采⽤z检验：z=p−π0π0(1−π0)n对于总体⽐例，同样可以使⽤拟合优度检验（⽐例可视为2个类别的分类变量）。
z检验只能针对⼆项分布问题，⽽χ2检验既可以分析⼆项分布，也可以分析多项分布（对总体的多个⽐例的假设进⾏检验）。
√列联分析：独⽴性检验拟合优度检验是针对⼀个分类变量的检验，对于两个分类变量，我们会关⼼它们是否有关联，称为独⽴性检验，通过列联表的⽅式呈现。
列联表列联表是由2个以上的变量交叉分类的频数分布表。
将⾏变量视为R（3类），列变量视为C（3类），可以把每⼀个列联表称为R×C列联表。
下表为3×3列联表：独⽴性检验分析列联表中⾏变量和列变量是否独⽴。
原假设和备择假设H0：不存在依赖关系H1：存在依赖关系计算个单元期望频数值f e=RTn×CTn×n=RT×CTn其中f e是给定单元中的期望频数，RT是单元所在⾏的合计，CT是单元所在列的合计，n是样本量。
⾃由度为df=(R−1)(C−1)。
分布检验和拟合优度χ检验
分布检验和拟合优度χ检验
例8.1
❖根据表8-2中第(5)列数据，取最大绝对差数Ｄ
1ooo =0.025作为检验统计量。若取a=0.05， n=1000，从临界值表中查得：
❖
D(1000,0.05)
。1.36 0.043
1000
❖因为Ｄ1ooo＜0.043，故认为样本数据所提供的信息 无法拒绝H0，即接受H0，认为可做正态分布的拟合。
9 10/10 9/10 1/10
7.0~7.9 0
1
10 10 10/10 10/10 0
分布检验和拟合优度χ检验
四、实例
❖2、确定检验统计量： D maxF甲 F乙
❖本例 D=5/10
n甲 n乙
❖3、检验与判断。由于n1=n2=10，属小样本，查附表 12得临界值Ｄ0.05=7/10，因为D=5/10<7/10，所以接 受Ho假设，认为两矿的金属含量率相同。
D n mF a (x ) x F n (x )
❖若对每一个x值来说，Fn(x)与F(x)都十分接近，则表 明实际样本的分布函数与理论分布函数的拟合程度很 高。
分布检验和拟合优度χ检验
三、检验步骤
❖1.建立假设组：
❖H0：Fn(x)=F(x) ❖H1：Fn(x)≠F(x) ❖2.计算样本累计频率与理论分布累计概率的
数之间的紧密程度。以Ｘ2分布为依据的这种检验， 称为Ｘ2拟合优度检验
分布检验和拟合优度χ检验
第三节 卡方(Ｘ2)拟合优度检验
❖英国统计学家Pearson(皮尔逊)于1900年首先 提出了卡方统计量。
❖1、数据：由随机变量X的N个观测组成。这N个 观测可划分为k类，即把X的样本空间S划分成k
❖个相Si互互∩S不独j=相立ф交。,(i≠的即j)部，分ik1Ss1，i Ss2，…，Sk，且Si与Sj
浅谈总体分布的拟合优度检验
浅谈总体分布的拟合优度检验引言在统计学中，拟合优度检验（Goodness-of-fit test）是用来检验一个样本是否来自于某个特定的总体分布的方法。
总体分布指的是一个概率分布，比如正态分布、伯努利分布等。
拟合优度检验的目的是评估样本数据与总体分布之间的吻合程度，从而判断样本数据是否可以通过总体分布来描述。
拟合优度检验在许多领域都有广泛的应用，比如生物学、医学、经济学等。
本文将讨论拟合优度检验的概念、常用的方法以及实际应用。
1. 拟合优度检验的概念拟合优度检验是一种用来评估观察到的数据与理论分布之间的吻合程度的方法。
它的核心思想是通过统计检验的方法来判断样本数据是否与某个总体分布一致。
拟合优度检验的原假设（null hypothesis）通常是样本数据符合某个特定的总体分布。
而备择假设（alternative hypothesis）则是样本数据不符合该总体分布。
常用的拟合优度检验方法有卡方检验（chi-square test），Kolmogorov-Smirnov检验等。
2. 卡方检验（Chi-square test）卡方检验是一种常用的拟合优度检验方法，它适用于分类数据或离散数据。
其基本思想是通过计算观察频数和期望频数之间的差异来判断样本数据是否来自于某个特定的总体分布。
卡方检验的步骤如下：1.设置原假设和备择假设：原假设通常是样本数据符合某个总体分布，备择假设则是样本数据不符合该总体分布。
2.计算期望频数：根据原假设和样本数据的大小，计算期望频数。
3.计算卡方统计量：利用观察频数和期望频数计算卡方统计量，该统计量反映了观察值与期望值之间的差异。
4.设置显著性水平：选择适当的显著性水平（一般为0.05）。
5.比较卡方值和临界值：利用显著性水平和自由度，比较计算得到的卡方值和临界值。
6.做出判断：如果计算得到的卡方值小于临界值，则接受原假设，即样本数据可以通过总体分布来描述。
如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，即样本数据不符合总体分布。
第章 总体分布的拟合优度检验Goodness of Fit Test for(一)
第章总体分布的拟合优度检验Goodness ofFit Test for(一)Goodness of Fit Test for第章总体分布的拟合优度检验在统计学中，总体分布的拟合优度检验（Goodness of Fit Test）是一种用来检验观测数据是否符合特定的理论或期望分布的方法。
它通过比较观测数据和期望分布之间的差异，来判断是否可以拒绝假设，即是否认为观测数据和期望分布是不同的。
一、检验的目的总体分布的拟合优度检验是用于检验一个给定的数据集是否来自于一个特定的理论分布。
这种检验可以用来检验各种类型的理论分布，如正态分布、泊松分布、指数分布等。
二、检验的原理总体分布的拟合优度检验一般使用卡方检验或Kolmogorov-Smirnov检验来进行。
卡方检验通常用于检验观测数据与期望频数之间的差异，而Kolmogorov-Smirnov检验则用于检验观测数据与期望分布之间的差异。
三、检验的步骤进行总体分布的拟合优度检验的步骤如下：1. 提出假设首先需要提出零假设（H0）和备择假设（Ha）。
其中零假设通常表示观测数据符合特定的理论分布，备择假设则表示观测数据不符合特定的理论分布。
2. 计算期望频数计算特定理论分布下的期望频数，以便与观测数据进行比较。
3. 计算统计量计算卡方统计量或Kolmogorov-Smirnov统计量。
4. 计算p值根据计算得到的统计量，计算出对应的p值。
5. 做出决策根据得到的p值，与显著性水平α进行比较，如果p值小于α，则拒绝零假设，认为拟合不好；如果p值大于等于α，则不能拒绝零假设，认为拟合较好。
总体分布的拟合优度检验在实际中具有广泛的应用，如医学、金融、工程等领域。
通过对真实数据和特定理论分布进行比较，可以更好地理解和揭示自然规律和人类行为，为未来的决策和行动提供更科学和可靠的依据。
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099.939 141.802 100.601 047.580 016.878 004.790 001.133 6.201 000.278
Oi Ei
(5) 3.061 1.198 2.601 5.580 1.122
2. 实际工作中需要了解样本观察频数（Observed frequency，简记为O）是否与某一理论频数（ Expected frequency，简记为E）相符。
2020/4/5
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本章介绍的拟合优度检验方法
1. 卡方检验
2. 正态性检验的W法（Shapiro-wilk法）、D法（ Kolmogorov-Smirnov法）
第七章 总体分布的拟合优度检验
Goodness of Fit Test for Distribution of Population
2020/4/5
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为什么要知道总体分布？
1. 参数统计学推断方法（如t检验、F检验）均以 服从某一分布（如正态分布）为假定条件。
解：如果家庭成员之间的发病与否（X）互
不影响，则X符合二项分布（两种互斥结果
、试验条件不变、各次试验独立）。也就
表明疾病不具有家族聚集性。 2020/4/5
华中科技大学同济医学院 宇传华
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表 7.2 二项分布的拟合优度χ2 检验计算表
每户发 观察 理论概率 理论
χ2 分量
α=0.05
ˆ
发病总人数 调查总人数
01121 20 211 3 7 3150
63 450
0.14
1ˆ 1 0.14 0.86
理论概率 P( X
0)
3 0
0.140
0.863
0.63606 ，…
理论家庭数=150*理论概率 =3-1-1=1。
2χ 020/240/.505,1=3.84, ∴p<0.华05中（， 科y技u… c大hu学a具@同1有 6济3.医c家 o学m）院庭制宇作聚传华集性
2. 计算步骤
(1) H 0:样本的总体分布与该理论分布无区别 H1 :样本与该理论分布有区别
0.05
(2)列出各组的实际频数与理论频数
(3) Pearson 2 统计量
2 P
k （实际频数-理论频数）2
i 1
理论频数
O1 E1 2 (O2 E2 )2 ... (Ok Ek )2
2020/4/5
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第一节 卡方拟合优度检验 的原理与计算步骤
1. 原理
判断样本观察频数（Observed frequency）
与理论(期望)频数（Expected frequency ）之差
是否由抽样误差所引起。
2020/4/5
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0
2020/4/5
f(2)2(1/2)22(/21)e2/2
自由度＝1 自由度＝2 自由度＝3 自由度＝6 P＝0.05的临界值
3 3.84 6 7.81 9
1122.59 15
18卡方值华中科技大学同济 Nhomakorabea学院 宇传华
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卡方分布下的检验水准及其临界值
2020/4/5
累计χ2 值
病人数 家庭数
家庭数
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
0
112 0.6360 95.4084
2.885
2.885
1
20 0.3106 46.5948
15.179 18.065
2
11 0.0505
7.5852
3
7 0.0027
0.4116 7.996 12.513 30.578
150
8
H0:该病分布服从二项分布，H1:不服从二项分布
α=0.05
理论概率 P( x) x e
x!
fx
2020/4/5
n
0 103 1143 7 1 586 1.41889
413 华中科技大学同济医学院 宇传华
413
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P（7）＝0.000556
卡方分量
表 7.3 Poisson 分布的拟合优度χ2 检验计算表
方格内 细胞数
(X) (1)
0 1 2 3 4 5 6 7 合计
实际 方格数 （Oi）
(2)
103 143
98 42 18
6 2 1 413
理论概率 (Pi) (3)
0.24198 0.34335 0.24359 0.11521 0.04087 0.01160 0.00274 0.00067
理论 方格数 （Ei）
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第二节 离散型随机变量分布的 拟合优度检验
一、二项分布的拟合优度检验
二、Poisson分布的拟合优度检验
2020/4/5
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一、二项分布的拟合优度检验
【例7.4】某研究人员在某地随机抽查了150 户3口之家，结果全家无某疾病有112户，家 庭中1人患病的有20户，2人患病的有11户， 3人全患病有7户，问该病在该地是否有家族 聚集性。
E1
E2
Ek
k 1 (计算理论分布时所用
自由度 参数的个数)
（4） 确定概率 P 并作出统计推论。
2020/4/5
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注意：理论频数不宜过小，否则需要合并
χ2分布（chi-square distribution）
纵高
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
二、Poisson分布的拟合优度检验
【例7.3】将酵母细胞的稀释液置于某种计量 仪器上，数出每一小方格内的酵母细胞数， 共观察了413个小方格，结果见表7.3第1、2 列，试问该资料是否服从Poisson分布？
H0:方格内酵母细胞的个数服从 Poisson 分布;
H1:…个数不服从 Poisson 分布
数据格式与计算公式
类别或组段 观察频数
理论频数
1
O1
E1
2
O2
E2
…
…
…
k
Ok
Ek
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
P2
k
i1
(Oi Ei)2, Ei
k1a
注意：理论频数Ei不宜过
a为参数的个数 2020/4/5
小（如不小于5），否则需 华中科技大学同济医学院 宇要传合华 并组段！
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