高斯投影
大地测量学第六章高斯投影及其计算
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
高斯投影
(带1号 36)768306.376800.m360m
p1
xp1 xp1 , xp2 xp2
o
y
y y p1=500000+ p1
=+（带号）636780.360m
y yp2 = 500000+ p2
=+（带号）227559.720m
500km
例：
有一国家控制点的坐标:
x=3102467.280m ,y=19367622.380m，
D
oLeabharlann yⅢⅡx=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y
x=Dcosα
y=Dsinα
Ⅱ
o
Ⅲ
p
DⅠ
α
x
Ⅳ
笛卡尔坐标系
N＝ L（取整）+1
6
若已知某点的经度为L，则该点所在 3º带的带号按下式计算：
n＝ L （四舍五入） 3
6)、高斯平面直角坐标系
坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影
y轴 — 赤道的投影
赤道
原点O — 两轴的交点
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
中央子午线
由于我国的位于 北半球，东西横跨12 个6º带，各带又独自 构成直角坐标系。
由高斯-克吕格投影的直角坐标基本公式(3—2)
建立平面直角坐标(x,y)与地理坐标(λ,φ)之间的函数关系：
高斯平面直角坐标系数学上的笛卡尔平面直角坐标 系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
高斯投影及分带介绍
高斯投影及分带介绍2011年09月29日星期四 10:17高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第 1、2 (60)带。
高斯-克吕格投影
高斯-克吕格投影高斯-克吕格(GAUSS-KRUGER)是等角横切椭圆柱投影，由德国数学家高斯提出，后经克吕格扩充并推倒出计算公式，故称为高斯-克吕格投影，简称高斯投影。
该投影以中央经线和赤道投影后为坐标轴，中央经线和赤道交点为坐标原点，纵坐标由坐标原点向北为正，向南为负，规定为X轴，横坐标从中央经线起算，向东为正，向西为负，规定为Y轴。
所以，高斯-克吕格坐标系的X、Y轴正好对应MAPGIS坐标系的Y和X。
为了控制变形，本投影采用分带的办法。
我国1:2.5-1:50万地形图均采用6度分带；1:1万及更大比例尺地形图采用3度分带，以保证必要的精度。
6度分带从格林威治零度经线起，每6度分为一个投影带，全球共分为60个投影带。
东半球的30个投影带的中央经线用L0=6n-3计算（n为投影带带号），从0到180度，其编号为1-30。
西半球也有30个投影带，从-180度回到0度，其编号为31-60，各带的中央经线用L0=6(n-30)-3-180计算。
该投影带将地球划分为60个投影带，每带经差为6度，已被许多国家作为地形图的数学基础。
一般从南纬度80到北纬度84度的范围内使用该投影。
3度分带法从东经1度30分算起，每3度为一带。
这样分带的方法在于使6度带的中央经线均为3度带的中央经线。
但是，在标准比例尺图幅编号中，带号是从西经-180度算起，每6度为1带，自西向东1-60。
这样，我们国家的高斯带号在标准图幅编号中，要加30，如20带，表示为J50等。
6度分带投影区的代号与其所对应的经度范围如6度分带图表所示。
由于高斯-克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值，所以各带的坐标完全相同，使用时只需变一个带号即可。
因此，计算一个带的坐标值，制成一个表，就可以供查取各投影带的坐标时使用，称为高斯坐标表，表中的值成为通用坐标值。
在高斯坐标系中，为了避免横坐标Y有负值，将其起算原点向西移动500公里，即对横坐标Y值按代数法加上500000米。
高斯投影坐标系的基本原理与应用
高斯投影坐标系的基本原理与应用引言：高斯投影坐标系是一种广泛应用于测绘和地理信息领域的坐标系统。
它的发展源于数学家高斯的工作，并在19世纪得到了实际应用。
本文将介绍高斯投影坐标系的基本原理以及其在大地测量、地图制图和导航系统中的应用。
第一部分：高斯投影坐标系的基本原理高斯投影坐标系基于地球形状的近似模型，将地球表面投影到平面上，以便更方便地处理和计算地理信息。
它是一种平面直角坐标系，通过将地球划分为一系列小块，每个小块上的坐标系都是局部的，使得精度可以得到有效控制。
高斯投影坐标系采用的是两个基本参数：中央子午线和纬度原点。
中央子午线是经度的基准线，用来确定坐标起点的位置。
纬度原点是纬度的基准线，通常设在地理区域的中心位置。
这两个参数决定了一个地理位置在高斯投影坐标系中的坐标值。
高斯投影坐标系还采用了一种著名的圆柱投影方式，即横轴墨卡托投影。
这种投影方式将地球表面投影到一个圆柱体上，然后再展开成平面。
通过这种方式，可以有效地保持地图的形状和角度，但是面积会出现一定程度的变形。
第二部分：高斯投影坐标系的应用1. 大地测量：高斯投影坐标系在大地测量中被广泛应用。
通过在地球上各个位置设置坐标起点，并引入中央子午线和纬度原点，可以精确计算出两个地理位置之间的距离和方向。
这对于地理测量、地形分析和地震监测等方面都具有重要意义。
2. 地图制图：高斯投影坐标系被广泛用于地图制图中。
通过将地球表面投影到平面上，可以方便地绘制各种比例尺的地图。
高斯投影坐标系还提供了一种统一的坐标体系，使得不同地区的地图可以进行精确的对比和拼接。
3. 导航系统：高斯投影坐标系在导航系统中也有重要应用。
通过GPS技术和高斯投影坐标系的转换算法，可以实现精确定位和导航功能。
这对于交通导航、航空导航和地理定位等方面都具有重要意义。
结论：高斯投影坐标系是一种基于地球形状近似模型的坐标系统。
它的基本原理是通过将地球表面投影到平面上，方便处理和计算地理信息。
高斯投影原理
高斯投影原理高斯投影原理是地图投影中常用的一种方法，它是由德国数学家高斯在19世纪提出的。
高斯投影原理的基本思想是将地球表面上的经纬度坐标系投影到一个平面上，以便于制作地图和进行测量。
在实际应用中，高斯投影原理被广泛用于各种地图的制作和测量工作中。
高斯投影原理的核心是将地球表面上的三维坐标投影到一个二维平面上。
这种投影会引入一定的形变，但是可以通过适当的数学变换来减小形变的影响。
高斯投影原理的优势在于可以将地球表面上的曲线投影成直线或者近似直线，这样就方便了地图的制作和使用。
在高斯投影原理中，地球被看作是一个椭球体，而投影面通常是一个圆柱面或者圆锥面。
根据投影面的不同，高斯投影可以分为圆柱高斯投影和圆锥高斯投影两种。
在实际应用中，圆柱高斯投影常用于大范围的地图制作，而圆锥高斯投影常用于局部地图的制作。
高斯投影原理的具体数学表达可以通过一系列的数学公式来描述。
这些公式涉及到大量的数学知识，包括球面三角学、微积分、线性代数等。
通过这些数学公式，可以将地球表面上的经纬度坐标转换为平面坐标，或者将平面坐标转换为经纬度坐标。
在实际应用中，高斯投影原理需要考虑到地图的精度和形变的影响。
由于地球是一个椭球体，而不是一个完美的球体，因此在进行投影时需要考虑到椭球体的形状参数。
此外，由于地图投影会引入形变，因此需要通过一些数学手段来补偿这种形变，以保证地图的精度。
总的来说，高斯投影原理是地图投影中非常重要的一种方法。
它通过将地球表面上的经纬度坐标投影到一个平面上，方便了地图的制作和使用。
在实际应用中，需要考虑到地球的形状参数和形变的影响，以保证地图的精度。
通过高斯投影原理，我们可以更好地理解地图的制作和使用，为地理信息系统的发展提供了重要的理论基础。
高斯克吕格投影性质
高斯-克吕格投影性质高斯—克吕格投影性质高斯—克吕格（Gauss—Kruger）投影简称“高斯投影”,又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定,后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928)于 1912年对投影公式加以补充，故名.该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式.投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面.取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴,构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯—克吕格投影在长度和面积上变形很小,中央经线无变形,自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用,可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算.高斯投影：它是一种横轴等角切圆柱投影。
它把地球视为球体,假想一个平面卷成一个横圆柱面并把它套在球体外面，使横轴圆柱的轴心通过球的中心，球面上一根子午线与横轴圆柱面相切。
这样，该子午线在圆柱面上的投影为一直线,赤道面与圆柱面的交线是一条与该子午线投影垂直的直线。
将横圆柱面展开成平面,由这两条正交直线就构成高斯-克吕格平面直角坐标系。
为减少投影变形,高斯-克吕格投影分为3o带和6o带投影.高斯－克吕格投影是设想用一个椭圆柱横套在地球椭球的外面,并与设定的中央经线相切.高斯－克吕格投影分带规定：该投影是国家基本比例尺地形图的数学基础,为控制变形,采用分带投影的方法,在比例尺 1:2。
高斯投影正反算原理
高斯投影正反算原理高斯投影是一种常用于地图制图的投影方式，也被广泛应用于其他领域的空间数据处理。
高斯投影正反算是对于已知的地球坐标系上的位置（经纬度），通过计算得到该点的平面坐标（东、北坐标），或者对于已知的平面坐标（东、北坐标），通过计算得到该点的地球坐标系上的位置（经纬度）的过程。
本文将详细介绍高斯投影正反算的原理。
一、高斯投影简介高斯投影是一种圆锥投影，其投影面在地球表面的某个经线上，也就是说，投影面是以该经线为轴的圆锥面。
经过对圆锥体的调整后，使其切于地球椭球面，在该经线上进行投影，同时保持沿该经线方向的比例尺一致，从而达到地图上各点在包括该经线的垂直面上映射的目的。
这种投影方式在某一特定区域内得到高精度的结果，因此广泛应用于地图制图。
二、高斯投影数学模型对于高斯投影正反算，需要先建立高斯投影坐标系与地球坐标系的转换模型。
1.高斯投影坐标系的建立高斯投影坐标系的建立需要确定圆锥面的基本参数，首先需要确定其所处的中央子午线，再确定该子午线上的经度为零点，并利用该经线上某一点的经度和该点的高度来确定该点所在的圆锥体。
圆锥体的底面包括所有与地球椭球面相切的圆面，通过对这些圆面进行调整，使得圆锥体转动后能够在中央子午线上进行投影。
在此基础上，可建立高斯投影坐标系，其中投影面为圆锥面，且中央子午线与投影面的交点称为该投影坐标系的中心，投影面的上端点和下端点分别对应正北方向和正南方向。
2.地球坐标系的建立地球坐标系是以地球椭球体为基础建立的，其坐标系原点确定为地球椭球体上的一个特定点。
在已知该点经纬度和高度的前提下，可确定以该点为中心的地球椭球体，并可根据它与地球坐标系之间的转换关系得到平面坐标系。
3.高斯投影坐标系与地球坐标系之间的转换关系由于高斯投影坐标系与地球坐标系存在不同的坐标体系和基准面，因此需要通过数学关系式来建立它们之间的转换关系。
（1）高斯投影坐标系转地球坐标系：已知高斯投影坐标系中任意一点的东北坐标（N，E），以及所属的中央子午线经度λ0、椭球参数a和e，则可通过以下公式求出该点的地球坐标系经纬度（φ，λ）和高度H：A0为以地球椭球体中心为原点，高斯投影坐标系中心投影坐标为（0，0）的点到椭球面的距离。
第八章 椭球面元素归算至投影面——高斯投影
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
上式转换精度至0.01“
32
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。 ②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经 线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y 值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。 ③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是 凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反， 这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线 和纬线的投影是互相垂直的。 ④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。
若已知某点的经度为L，则该点所在3º
带的带号按下式计算：
n L 3
入）
（四舍五
20
高斯平面直角坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影 y轴 — 赤道的投影 原点O — 两轴的交点
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
赤道
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
中央子午线
21
由于我国的位于 北半球，东西横跨12 个6º带，各带又独自 构成直角坐标系。
2
[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件； 3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
高斯投影
高斯坐标即高斯-克吕格坐标系（1）高斯-克吕格投影性质高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名"等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。
德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichGauss，1777一1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。
投影后，除中央子午线和赤道为直线外，其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。
设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。
将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
（2）高斯-克吕格投影分带按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。
分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。
通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
六度带自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，带号依次编为第1、2…60带。
三度带是在六度带的基础上分成的，它的中央子午线与六度带的中央子午线和分带子午线重合，即自1.5度子午线起每隔经差3度自西向东分带，带号依次编为三度带第1、2…120带。
高斯投影原理
按照6º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6º N－3º （N为6º 带的带号） 例：20带中央子午线的经度为 L。＝6º × 20－3º ＝117 º 按照3º 带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º ，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3º n （n为3º 带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。＝3º × 120＝360 º
2
p2
2
x p1x 302855 .650m p 302855.650m 136780.360m y y .360m p (带号)636780
1
p1
1
国家统一坐标：
xp xp , xp xp
1 1 2 2
p2
p1
o
y
y p1=500000+ y p1
=+ 636780.360m （带号）
赤道 子午线 O y 平行圈 x
中央子午线
④ 除赤道外的其余纬线， 投影后为凸向赤道的曲线， 并以赤道为对称轴。 ⑤ 经线与纬线投影后仍然 平行圈 保持正交。 赤道 ⑥ 所有长度变形的线段， 子午线 其长度变形比均大于l。 ⑦ 离中央子午线愈远，长 中央子午线 度变形愈大。
x
O
y
整个投影变形最大的部位在赤道和投影最外一条经线的交点上(纬 度为0°经差为±3°时，长度变形为1.38‰ ，面积变形为2.7‰)
一定经差分带，分别进行投影。
N 中 央 子 午 线
c
赤道
赤道
S
高斯投影必须满足：
高斯投影平面
1．高斯投影为正形投影，
简要介绍高斯投影的方法
简要介绍高斯投影的方法高斯投影（Gauss Projection）是一种空间变换技术，可以将一个平面图像投影到椭球体上，从而实现地理信息叠加与处理。
在处理地理空间数据时，高斯投影可以将空间位置和大小关系转换为数字编码l。
它是一种基于独立的非等轴大圆劣弧投影方式，可以取代一般地理空间分析系统中所采用的经纬度投影方式，大大减少地理空间数据的变换过程，使空间信息处理更加方便快捷。
高斯投影可以根据各种椭球体模型，将一个平面图像投影到椭球体上。
使用高斯投影，将把一个地理位置的数字表示转换为另一种投影的数字表示，以确定其位置，同时实现空间变换，把一个地理空间变形到另一种地理空间。
它是一种基于多参数的误差矩阵模型的空间信息处理，模型的精度随空间数据的变换距离而受到影响和改变。
高斯投影一般用于各种GIS系统中的地理空间数据处理，主要有三个步骤：第一，选取一个椭球体模型，确定高斯参数，这包括椭球体轴长，磁偏角等；第二，将经纬度坐标转换为空间坐标，即空间信息的经纬度变换到直角坐标；第三，使用高斯投影把空间坐标投影到椭球面上，实现空间信息的空间位置变换，得到所需的地理空间数据。
使用高斯投影进行空间数据变换，可以实现精度高、时间短、数据准确、空间信息容易辨认等优点。
它有一定的特殊性，只能用于精度不要求特别高的投影，而且不能实现实时地理信息处理，因此不能实现实时地图更新。
而且，高斯投影的转换方式需要花费较多的计算时间，因此处理大量的空间数据时需要更快的处理速度，这也是高斯投影存在的一个缺点。
高斯投影是一种存在较久的数字化技术，在处理空间位置坐标及大小关系时，可以大大减少空间数据的变换，而且可以在短时间内大量处理空间数据，极大程度便于各种GIS系统中的空间信息处理，是一种实用性很强的空间数据投影、变换技术。
高斯投影及高斯投影--坐标系
arcsin
b b
a a
arcs
in
b b
a a
2
arcs
in
b b
a a
19
3.1.2 地图投影变形及其表述
4、面积比与面积变形
椭球面上单位圆面积为 ，投影后的面积为ab，
则面积变形为：
n ab / ab
q B MdB dB ln tg( B ) e . (1 esin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
6
3.1.2 地图投影变形及其表述
引入等量纬度后，投影公式为：
其中：l = L - L0
q B MdB dB ln tg( B ) e . (1 esin B)
0 N cos B
4 2 2 (1 e sin B)
引入等量纬度后，使相同角度量的dq与dL所 对应的椭球面上的弧长相同。
3.1.2 地图投影变形及其表述
上式中
dq MdB N cosB
q为等量纬度，计算公式为
1
1 tg 2 2A0
mL2 mB2
(mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin 2
sin 2A0 1 cos2 2A0
2mLmB cos (mB2 mL2 )2 4mL2mB2 sin2
13
3.1.2 地图投影变形及其表述
由此得，长度比极值为：
q
q
F ( x )(x ) ( y )(y ) q l q l
第四章 7高斯投影坐标正反算
——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释
提前在黑板上写出四个m2
上一讲应掌握的内容
1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 x F1 ( L, B) 坐标投影公式： y F2 ( L, B) 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 ）
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m
xX N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B(5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
N sin B cos 5 B(61 - 58t 2 t 4 )l 6 720
dl tan Adq
2 2 2 2 E ( dq ) 2 F tan A ( dq ) G tan A ( dq ) m2 2 2 2 r2 ( dq ) tan A ( dq )
E 2 F tan A G tan 2 A = r 2 sec 2 A E cos 2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A = r2
高斯投影及换带计算
测绘学院《大地测量学基础》课件
24
高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
测绘学院《大地测量学基础》课件
Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
y3
6N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
测绘学院《大地测量学基础》课件
30
3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。
适用于电算的高斯投影计算公式
适用于电算的高斯投影计算公式1．高斯投影正算公式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-++=64244222)5861(7201)495(24121m t t m t m Nt X x ηη ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+=522242322)5814185(1201)1(61m t t t m t m N y ηηη []52342)2(12)231(60180m t m m t -++++=ηηπγ 式中，x ，y 分别为高斯平面纵坐标与横坐标， γ为子午线收敛角，单位为度。
X 为子午线弧长，对于克氏椭球：B B B B B B X cos )sin 0039.0sin 6976.0sin 9238.133sin 7799.32005(8611.111134753+++-= 对于“IAG 75”椭球：B B B B B B X cos )sin 0039.0sin 6976.0sin 9602.133sin 8575.32009(0047.111134753+++-= 其余符号为：02222,180cos ,1,cos ',L L l l B m cN B e tgB t -==+=== πηη222'bb a e -=，称作第二偏心率；b ac 2=，称作极曲率半径。
0L 为中央子午线经度。
对于克氏椭球：90178271.6399698,1470067385254.0'2==c e 对于“IAG 75”椭球：65198801.6399596,1950067395018.0'2==c e 算出的横坐标y 应加上500公里，再在前冠以带号，才是常见的横坐标形式。
2．高斯投影反算公式：[]6424222222)459061(25.0)935(5.7901n t t n t t n t B B f f f f f f f f f +++-++-+-=ηηπη[]542322)24285(5.1)21(30180cos 1n t t n t n B l f f f f f +++++-=ηπ[]542322)352(12)1(60180n t t n t n t f f f f f +++-+-=ηπγ 式中，f B 为底点纬度，以度为单位。
高斯-克吕格投影介绍
高斯-克吕格投影1. 高斯-克吕格投影定义中文名称：高斯-克吕格投影英文名称：Gauss-Kruger projection定义：由高斯拟定的，后经克吕格补充、完善，即等角横切椭圆柱投影。
设想一个椭圆柱横切于地球椭球某一经线(称“中央经线”)，根据等角条件，用解析法将中央经线两侧一定经差范围内地球椭球体面上的经纬网投影到椭圆柱面上，并将此椭圆柱面展为平面所得到的一种等角投影。
所属学科：地理学，地图学简单介绍：由于这个投影是由德国数学家、物理学家、天文学家高斯于19 世纪20 年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格于1912 年对投影公式加以补充，故称为高斯-克吕格投影。
即等角横切椭圆柱投影。
假想用一个圆柱横切于地球椭球体的某一经线上，这条与圆柱面相切的经线，称中央经线。
以中央经线为投影的对称轴，将东西各3°或1°30′的两条子午线所夹经差6°或3°的带状地区按数学法则、投影法则投影到圆柱面上，再展开成平面，即高斯-克吕格投影，简称高斯投影。
这个狭长的带状的经纬线网叫做高斯-克吕格投影带。
这种投影，将中央经线投影为直线，其长度没有变形，与球面实际长度相等，其余经线为向极点收敛的弧线，距中央经线愈远，变形愈大。
随远离中央经线，面积变形也愈大。
若采用分带投影的方法，可使投影边缘的变形不致过大。
我国各种大、中比例尺地形图采用了不同的高斯-克吕格投影带。
其中大于1∶1万的地形图采用3°带；1∶2.5万至1∶50万的地形图采用6°带。
2. 3°、6°带高斯-克吕格投影选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。
海域使用的地图多采用保角投影，因其能保持方位角度的正确。
我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的均采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，又叫横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。
(完整版)高斯投影正反算
高斯投影正反算学院：资源与环境工程工程学院专业：测绘工程学号：X51414012姓名：孙超一、高斯投影概述想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体的中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。
高斯投影由于是正形投影，故保证了投影的角度不变性，图形的相似性以及在某点各方向上长度比的同一性。
由于采用了同样法则的分带投影，这即限制了长度变形，又保证了在不同投影带中采用相同的简便公式和数表进行变形引起的各项改正的计算，并且带与带间的互相换算也能用相同的公式和方法进行。
高斯投影的这些优点必将使它得到广泛的推广和具有国际意义。
二、高斯投影坐标正算公式1.高斯投影必须满足以下三个条件1）中央子午线投影后为直线2）中央子午线投影后长度不变3）投影具有正形性质，即正形投影条件2.高斯正算公式推导1）由第一个条件可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，所以高斯投影必然有这样一个性质，即中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线。
2）由于高斯投影是换带投影，在每带内经差ｌ是不大的，ｌρ是一个微小量，所以可以将 X=X （ｌ，q ），Y=Y （l ，q ）展开为经差为l 的幂级数，它可写成如下的形式X=m 0+m 2l 2+m 4l 4+…Y=m 1l+m 3l 2+m 5l 5+…式中m 0,m1,m2,…是待定系数，他们都是纬度B 的函数。
3）由第三个条件：∂y ∂l =∂x ∂q 和∂x ∂l =-∂y ∂q ，将上式分别对l 和q 求偏导2340123423401234...........x m m l m l m l m l y n n l n l n l n l =+++++=+++++可得到下式0312123403121234111,,,, 234111,,,,234dm dm dm dm n n n n dq dq dq dq dn dn dn dn m m m m dq dq dq dq ⎧====⎪⎪⎨⎪=-=-=-=-⎪⎩L L 经过计算可以得出232244524632235242225sin cos sin cos (594)224sin cos (6158)720cos cos (1) 6cos (5181458)120N N x X B B l B B t l N B B t t l N y N B l B t l N B t t t l ηηηηη=+⋅+-+++-+=⋅+-++-++-三、高斯投影坐标反算公式推导1.思路：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解。
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高斯-克吕格投影我国现行的大于1：50万比例尺的各种地形图都采用高斯-克吕格（Gauss-Kruger ）投影。
从地图投影的变形角度来看，高斯-克吕格投影属于等角投影。
该投影没有角度变形。
从几何概念来分析，高斯-克吕格投影是一种横切椭圆轴投影。
它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上，使其与某一条纬线（称为轴子午线或中央子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心，用解析法按等角条件，将椭球面上轴子午线东西两侧一定经差范围内的区域投影到椭球柱面上，再沿着过极点的母线将椭圆柱剪开，然后将椭圆柱展开成平面，即获得投影后的图形。
如图6-12所示，为高斯-克吕格投影的几何概念图。
图6-12 高斯-克吕格投影的几何概念高斯-克吕格投影的基本条件为：（1） 中央子午线的投影为直线，而且是投影的对称轴，赤道的投影为直线并与中央子午线正交；（2） 投影后没有角度变形，即经纬线互相垂直，且同一地点各方向的长度比不变；（3） 中央子午线上没有长度变形。
若以高斯-克吕格投影中的中央子午线的投影为X 轴，以赤道的投影为Y 轴，两轴的交点为原点，则就构成高斯-克吕格平面直角坐标系，如图6-12所示。
根据高斯-克吕格投影的上述三个条件，即可导出高斯-克吕格投影的大地坐标（L ，B ）与高斯平面直角坐标（x ，y ）之间的函数关系式（6-8）。
+++-++=)49tan 5(cos sin 24cos sin 2422342ηηB B B N L B B N L S x++-++-+=)tan tan 185(cos 120)tan 1(cos 6cos 42552233B B B N L B B N L B LN y η（6-8） 式中：x 、y −− 平面直角坐标系的纵、横坐标；L 、B −− 椭球面上大地坐标系的经、纬度；S −− 由赤道至纬度B 的经线弧长；N −−卯酉圈曲率半径；η −− η2 = e '2cos 2B ，其中e '为地球的第二偏心率。
高斯-克吕格投影的没有角度变形，面积变形是通过长度变形来表达。
长度变形的基本公式为：44424222cos 81)tan 2(cos 61)1(cos 211BL L B B L B --+++=ημ （6-9） 由公式（6-9）可知高斯-克吕格投影长度变形的规律是：中央子午线没有长度变形；沿纬线方向，离中央子午线越远变形越大；沿经线方向，纬度越低变形越大；最大投影变形在赤道和投影最外一条经线的交点上。
如在6︒分带投影中，长度最大变形为0.138%。
显然，随着投影带的增大，变形误差会继续增加，这就是采取分带投影的原因。
我国1:2.5万~1:25万地形图均采用分带投影，1:1万及更大比例尺地形图采用3︒分带投影，以保证地图有必要的精度。
6︒分带法：从格林尼治0︒经线（子午线）开始，自西向东每6︒为一投影带，全球共分60个投影带，各带的编号用自然数1，2，3，⋯，60表示，如图6-13所示。
东半球各投影带中央子午线的经度为(6n-3)︒，其中n 为投影带号。
我国领土位于东经72︒~136︒之间，共包括11个投影带，即13~23带。
3︒分带法：从东经1︒30'经线开始，每3︒为一投影带，将全球共分120个投影带。
各投影带中央子午线的经度分别为东经，9︒，⋯⋯，180︒，西经177︒，⋯⋯，3︒，0︒。
东半球各投影带中央子午线的经度为(3n)︒。
如图6-14为6︒带与3︒带的中央子午线与带号关系。
图6-13 高斯-克吕格投影分带示意图在高斯-克吕格平面直角坐标系中，由于我国位于北半球，X 值全为正，而在每个投影带中，位于中央子午线以西的点的Y坐标均为负值。
为避免Y坐标出现负值，可将各带的坐标纵轴向西平移500km（半个投影带的最大宽度不超过500km），图6-14所示。
此外，由于采用了分带方法，各带的投影完全相同，具有相同坐标值的点在每个投影带中均有一个对应点，为确定该点在地球上的正确位置，还需要在其横坐标之前加上带号，这样的坐标称为通用坐标。
图6-14 纵坐标轴西移一、问题的提出目前，大多公路设计单位在公路控制测量普遍采用GPS测量，在测量作业中，有些设计单位经常把公路控制测量和地形图测量委托给测绘部门进行，而一般测绘部门都是按照国家控制测量的做法和要求进行测量，没有考虑公路测量的特殊要求，这样经常会遇到一个问题：就是控制测量报告中提到的精度一般比较高，比如某导线的导线全长相对闭合差达十几万分之一，可到现场用全站仪实测却往往“不是那么一回事”，实测某两点之间的距离与用坐标反算的距离相差很大，有时可达几千分之一，无法满足工程施工的要求。
这一问题产生的原因从本质上讲是国家控制测量与公路行业控制测量的差别所致。
二、国家控制测量与公路控制测量的区别国家控制测量与公路控制测量的技术侧重点是不同的。
国家控制测量一般着重解决从地球表面经参考椭球面至高斯平面的计算基准问题，对投影变形大小仅作宏观控制，无法顾及个别区域变形很大的问题；而公路控制测量不仅要解决从球面到平面的计算基准问题，同时还要考虑工程施工时如何将理论数据从平面经参考椭球面再回放到地球表面的问题。
一方面有投影就不可避免地产生变形，另一方面工程施工要求不改化，解决矛盾的方法只有一个，就是选择合适的投影形式，使得工程项目的全部区域范围之内的投影变形都要足够小，而且小到可以忽略不计的程度，这就是公路控制测量选择计算基准面的根本要求。
国家控制测量统一采用高斯投影形式，如我国通常采用北京54坐标或西安80坐标，国际上常用WGS-84坐标。
而公路控制测量却不拘束于高斯投影方式，只要其坐标系统的投影变形足够小即可。
那么多么小才可以忽略不计呢？一般认为，投影变形小于控制测量要求精度的1/5~1/2时，可以忽略之，《公路勘测规范JTJ061-99》明确规定:“平面控制网的坐标系的确定，宜满足测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km”。
这时的相邻点相对点位中误差为1/20000。
所以国家控制测量使用的坐标系统有时不一定适用于公路控制测量。
[例1]广东省廉江市拟设计的某地公路，其起点经纬度为北纬21度38分57.46秒，东经110度07分46.91秒；终点经纬度为北纬21度38分15.40秒，东经110度12分29.33秒。
该路线平均高程约为33米，路线呈东西走向，按北京54坐标，它位于第19个6度带的中央子午线东经111度的投影带内，但其起终点的投影变形长度均大于1/40000，不满足公路控制测量要求，故不能直接采用国家控制测量坐标（具体算法见本文投影长度变形值的计算）。
三、公路控制测量坐标系统的选择既然国家控制测量的坐标系统不一定适用于公路控制测量，那么公路控制测量应该如何选取坐标系统呢？在《公路全球定位系统（GPS）测量规范JTJ/T066-98》（以后简称《测量规范》）中规定：“3.2.2.GPS的WGS-84大地坐标系统转换到所选平面坐标系统时，应使测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km。
根据测区所处地理位置及平均高程情况，可按下列方法选定坐标系统：3.2.2.1当投影长度变形值不大于2.5cm/km时，采用高斯正形3。
带平面直角坐标系。
3.2.2.2当投影长度变形值大于2.5cm/km时，可采用公路抵偿坐标系统，并可选用下列方式：（1）投影于1954年北京坐标系或1980年西安坐标系椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。
（2）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3。
带平面直角坐标系。
（3）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。
”1、投影长度变形值的计算但其投影长度变形值该如何计算呢？这就涉及到地球表面与参考椭球面，高斯平面之间的改化计算关系了。
大家都知道，与大地水准面比较吻合的地球椭球面称之为参考椭球面，它与地球表面大致相差一个大地高Hm，可近似等于当地的海拔。
地球表面至参考椭球面的边长改化公式如下：S=S0(1－Hm/R)其中，S0为地面观测点AB边长的平距值，S为参考椭球面两点的弧长，Hm为两点大地高的平均值，R为测线方向的法截弧曲率半径，取6370km即可。
而参考椭球面至高斯平面的距离改化计算公式如下：S0′=S(1+ym2/2/Rm2)其中，S0′为高斯平面两点间的曲线弦长，S为参考椭球面两点的弧长，ym为高斯平面两点平面直角横坐标自然值的平均值，Rm为两点间平均纬度处参考椭球平均曲率半径，一般取6370km，Rm=R。
所以可推导出S0′=S0(1－Hm/R)(1+ym2/2/Rm2)S0′=S0(1+ym2/2/R2－Hm/R－Hmym2/2/R3)一般取ym2/2/R2－Hm/R即可。
即S0′=S0(1+ym2/2/R2－Hm/R)故（S0′－S0）/S0=ym2/2/R2－Hm/R令K=（S0′－S0）/S0所以某点的投影长度变形值K=ym2/2/R2－Hm/R如例1，利用高斯正算公式，可算得其在WGS-84坐标系中的坐标。
起点（2395220.023，19409908.836）终点（2393882.827，19418023.550）其起点横坐标的自然值y=409908.836－500000=-90091.164m终点横坐标的自然值y=418023.550－500000=-81976.45m起点的投影长度变形值=（-90091.164）2/2/63700002-33/6370000≈1/9506终点的投影长度变形值=（-81976.45）2/2/63700002-33/6370000≈1/11365起终点的投影长度变形值均大于每公里2.5cm，即1/40000。
所以，本例子不能套用国家控制坐标系北京54坐标或西安80坐标，也不能套用国际WGS-84坐标。
该测区的坐标系统可采用公路抵偿坐标系统，使其投影长度变形值小于1/40000。
2、公路抵偿坐标系统的具体算例对例1，按《测量规范》，我们可选用：（1）投影于1954年北京坐标系或1980年西安坐标系椭球面上的高斯正形投影任意带平面直角坐标系。
这次我选用投影于1954年北京坐标系椭球面上的高斯任意带平面直角坐标系作例。
假设新的中央子午线设在两点中间，可取整数，即东经110度，通过高斯正算公式，可算得起终点在新坐标系的坐标为起点（2395015.893，513425.729），终点（2393731.054，521548.308）。
当选择Hm=33m时，可验算测区起、终点的投影长度变形值分别约为1/330000，1/1800000。
均小于1/40000。
（2）投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3。
带平面直角坐标系。
从投影长度变形值公式K=ym2/2/R2－Hm/R可知，如果ym2/2/R2=Hm/R，即Hm=ym2/2/R，这时的投影长度变形值接近于零。