滑动平均模型
基于matlab的arima算法
一、介绍ARIMA算法自回归积分滑动平均模型（ARIMA）是一种常用于时间序列分析和预测的方法。
它通过对时间序列数据进行自回归、差分和滑动平均操作来建立模型，从而对未来的数据进行预测。
二、ARIMA算法原理1. 自回归（AR）：ARIMA模型中的自回归部分是指利用过去的观测值来预测未来的值。
这一部分通过使用时间序列数据的滞后值来建立模型，从而预测未来的观测值。
2. 积分（I）：ARIMA模型中的积分部分是指对时间序列数据进行差分操作，以消除非平稳性。
通过对时间序列数据进行一阶或多阶的差分操作，可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。
3. 滑动平均（MA）：ARIMA模型中的滑动平均部分是指使用过去的预测误差来预测未来的观测值。
这一部分通过使用滞后的预测误差来建立模型，从而进一步提高预测的准确性。
三、ARIMA算法在MATLAB中的应用1. 数据准备：在使用MATLAB进行ARIMA算法的建模前，需要先准备好时间序列数据，并对其进行必要的预处理，包括检查数据的平稳性、趋势性和季节性等。
2. ARIMA模型构建：在MATLAB中，可以使用arima函数来构建ARIMA模型。
通过指定模型的阶数和参数，可以建立符合实际数据特征的ARIMA模型。
3. 模型诊断：建立ARIMA模型后，需要对模型进行诊断，以确保其符合统计假设。
在MATLAB中，可以使用模型诊断函数来进行检验，包括残差的自相关性和偏自相关性等。
4. 模型预测：利用建立好的ARIMA模型对未来的数据进行预测。
在MATLAB中，可以使用forecast函数来实现对未来数据的预测，并得到相应的置信区间。
四、ARIMA算法的特点和优势1. 灵活性：ARIMA算法可以适用于各种类型的时间序列数据，包括具有趋势和季节性的数据。
通过调整模型的阶数和参数，可以灵活地适应不同的数据特征。
2. 准确性：ARIMA算法在时间序列预测方面具有较高的准确性，尤其适用于对短期未来数据的预测。
第3章自回归滑动平均模型
如此并且正因为这个原因，AR 模型已经成为最常用的线性时间序列模型之一.
形式上，AR(p)模型{Yt}可以写为 (B)Yt Zt ，这里 (B) (1 1B
pBp) ，
BYt Yt 1 。于是，Yt 1Yt 1
pYt p Zt 。正式地，我们有如下定义。
定义 3.1 称{Yt}为 AR(p)过程，如果
3.2 滑动平均模型
设{Zt}是具有均值为零方差为 2 的独立同分布的随机变量序列并用 Zt i.i.d.(0, 2 ) 表示之。假如我们只要求{Zt}是不相关的而不必是独立的， 则{Zt}有时被称为白噪音序列并用 Zt WN(0, 2) 表示之。从直观上说，这 意味着序列{Zt}是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用 {Zt}表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt WN(0, 2 ) 或者意味着 Zt i.i.d.(0, 2 ) 或者意味着{Zt}是具有均值为零方差为 2 的不相关的随机变 量序列。用 {Z t } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
问题 2. 对于假设 1，情况又怎样呢？
这个假设是无关紧要的，因为一当我们建立了{Yt } 的正确形式，它就不
需要了。虽然当 1时，过程{Yt}不再收敛，我们仍可以重写(3.4)如下。
既然Yt 1
Yt
Zt
，方程两边同时除以
1
，我们有
1
1
Yt
Yt 1
Zt 1
(3.5)
在(3.5)中用 t 1代替 t ，我们得到Yt 1 (Yt 2 Zt 2 ) 。将此表达式代入 (3.5)中并且向前迭代 t ，我们有
为了证明 2
1，设 和 是 (z)
0 的根。由因果性，
初计量经济学之时间序列分析
初计量经济学之时间序列分析1. 引言时间序列分析是计量经济学中的一个重要领域，研究的是时间序列数据的性质、模式和预测方法。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，包括经济指标、股票价格、气象数据等。
时间序列分析可以帮助我们理解和预测经济现象的发展趋势，为政府和企业决策提供科学依据。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、方法和应用。
首先，我们将介绍时间序列分析的基本步骤和基本假设。
然后，我们将介绍时间序列模型的常用类型，包括自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）和自回归滑动平均模型（ARMA）。
最后，我们将介绍时间序列的应用领域，包括经济预测、金融风险管理和气象预测。
2. 时间序列分析的基本步骤时间序列分析的基本步骤包括数据的收集和准备、数据的探索性分析、模型的选择和估计、模型的诊断和预测。
下面将对每个步骤进行详细介绍。
2.1 数据的收集和准备数据的收集和准备是时间序列分析的第一步。
我们需要收集时间序列数据，并进行数据清洗和预处理。
数据清洗包括删除缺失值、处理异常值和去除趋势。
数据预处理包括对数据进行平滑处理、差分和变换。
2.2 数据的探索性分析数据的探索性分析是时间序列分析的第二步。
我们需要对时间序列数据进行可视化和统计分析，以了解数据的基本性质和模式。
可视化方法包括绘制时间序列图、自相关图和偏自相关图。
统计分析方法包括计算统计指标、分析趋势、季节性和周期性。
2.3 模型的选择和估计模型的选择和估计是时间序列分析的第三步。
我们需要选择合适的时间序列模型，并进行参数估计。
常用的时间序列模型包括自回归模型（AR）、滑动平均模型（MA）、自回归滑动平均模型（ARMA）和季节性模型。
2.4 模型的诊断和预测模型的诊断和预测是时间序列分析的最后一步。
我们需要对模型进行诊断，检验模型的拟合程度和残差的平稳性、独立性和正态性。
然后，我们可以使用模型进行未来值的预测。
3. 时间序列模型时间序列模型是描述和预测时间序列数据的数学模型。
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）原⽂链接：https:///qq_39521554/article/details/79028012什么是移动平均法? 移动平均法是⽤⼀组最近的实际数据值来预测未来⼀期或⼏期内公司产品的需求量、公司产能等的⼀种常⽤⽅法。
移动平均法适⽤于即期预测。
当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是⾮常有⽤的。
移动平均法根据预测时使⽤的各元素的权重不同 移动平均法是⼀种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含⼀定项数的序时平均值，以反映长期趋势的⽅法。
因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出事件的发展趋势时，使⽤移动平均法可以消除这些因素的影响，显⽰出事件的发展⽅向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。
移动平均法的种类 移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。
⼀、简单移动平均法 简单移动平均的各元素的权重都相等。
简单的移动平均的计算公式如下： Ft＝（At-1＋At-2＋At-3＋…＋At-n）/n式中， ·Ft–对下⼀期的预测值； ·n–移动平均的时期个数； ·At-1–前期实际值； ·At-2，At-3和At-n分别表⽰前两期、前三期直⾄前n期的实际值。
⼆、加权移动平均法 加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不同的权重。
其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作⽤是不⼀样的。
除了以n为周期的周期性变化外，远离⽬标期的变量值的影响⼒相对较低，故应给予较低的权重。
加权移动平均法的计算公式如下： Ft＝w1At-1＋w2At-2＋w3At-3＋…＋wnAt-n式中， ·w1–第t-1期实际销售额的权重； ·w2–第t-2期实际销售额的权重； ·wn–第t-n期实际销售额的权 ·n–预测的时期数；w1＋ w2＋…＋ wn＝1 在运⽤加权平均法时，权重的选择是⼀个应该注意的问题。
自回归滑动平均模型参数估计方法的仿真比较
自回归滑动平均模型参数估计方法的仿真比较摘要：自回归滑动平均模型（arma模型）是最常用的平稳序列模型之一，本文在模型阶数已知的情况下，重点研究arma模型中未知参数的矩估计和自回归逼近估计，进行仿真计算，并对计算结果进行比较分析。
关键词：自回归滑动平均模型；矩估计；自回归逼近估计；仿真比较分析中图分类号：o213文献标识码：a文章编号：1001-828x（2011）09-0278-02一、引言将随机现象在不同时间点上所处的状态用数据表示出来，就得到一组动态数据，我们可以用时间序列方法为动态数据拟合一个模型，这个模型就揭示了随机现象自身的内在规律。
动态数据经过适当的数学处理后[1][2]，会呈现出某种平稳波动性，我们称这种序列为平稳序列。
自回归滑动平均模型(arma模型)是最常用的平稳序列模型之一，本文重点研究arma模型中未知参数的两种估计方法。
二、自回归滑动平均模型定义1 对时间序列，如果对任何，有，那么就称是一个白噪声，记为。
白噪声是最简单的平稳序列，它的各项之间是不相关的。
定义2 设是白噪声，如果实系数多项式和无公共根，且满足和与那么就称是一个自回归滑动平均模型，记为模型。
三、参数估计方法假设的拟合模型是模型，和已知，现在、和的估计、、，记，，，，下面介绍两种估计方法：1.矩估计[4]矩估计是先利用延伸的yule-walker方程[1]计算出，然后再计算出 (本文使用逆相关函数法[1]求)，具体步骤如下：第一步：计算样本自协方差函数；第二步：解样本延伸yule-walker方程得到；第三步：计算数据；第四步：从数据出发，按照逆相关函数法[1]即可求得和。
2.自回归逼近估计[1]自回归逼近估计是先对观测数据近似拟合一个自回归模型[1]，然后算出残差序列，再对残差平方和极小化得到的，具体步骤如下：第一步：对拟合ar模型，取自回归阶数的上界，利用bic定阶准则[1]求出的估计，并计算出模型自回归系数的最小二乘估计[1] ；第二步：计算残差序列；第三步：取，用和构造矩阵，，，第四步：线性方程组的解就是最小二乘估计；第五步：噪声方差的估计，其中四、仿真计算下面使用matlab软件[3]，对arma模型的矩估计和自回归逼近估计进行仿真计算。
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
3.4 滑动平均模型的拟合
j = 1,2, L, Q
3
ˆ ( j) = 令 A(j) = AIC( j ) = ln α
2
2j n
或
ˆ 2 ( j) + BIC( j ) = ln σ
j log n n
ˆ 从 A(1) , A( 2) , L , A( j ), L , A(Q ) 中选取最小值 q
ˆ ) = min AIC( j ) AIC(q
1 (2π ) | Γn |
n 2 1 2
exp(− x′Γn−1 x) 其 中 Γn 为
1 1 n ln(2π ห้องสมุดไป่ตู้ − ln(Γn ) − x′Γn−1 x 2 2 2
ˆ, σ ˆ 2 即为 β 与 由此方法求出的则此 β
ˆ, σ ˆ, σ ˆ 2 使 ln L( β ˆ 2 ) = max{ln L( β , σ 2 )} 再求 β
ˆ 为 q 估计值 其中 q
ˆ1 , ε ˆ2 , L, ε ˆ n 是否独立序列 若是 则 MA(q) 模型为真 否则不是 MA(q) 模 2 检验 ε
型 也可采用拟合优度检验方法与峰度偏度检验方法作 {ε t } 的正态性检验
1≤ j ≤ Q
ˆ 满足 即q
ˆ 即为 q 的 AIC 准则估计 由此得出的 q
二
MA(q) 模型参数的估计方法
1. 矩估计法 设对原始数据作中心化处理后所得的中心化样本值数据为 x1 , L , x n 计算其自相关函
ˆk 数 γ k 的估计值 γ
再代入滑动平均模型 MA( q ) 的参数与自相关函数的关系式中 即得
序列的方法 如 1 首先由初值 ε 0 , ε −1 , L , ε − q ˆ +1 与 MA( q ) 模型
时序预测中的ARIMA模型阶数选择方法分享
在时间序列预测中，ARIMA（自回归积分滑动平均模型）是一种广泛应用的方法。
它可以帮助我们分析和预测时间序列数据的趋势和周期性。
然而，选择ARIMA模型的阶数是一个关键问题，它直接影响到模型的准确性和可靠性。
本文将分享一些常用的ARIMA模型阶数选择方法，希望对时间序列预测工作有所帮助。
首先，我们需要了解ARIMA模型的三个核心参数：p、d和q。
其中，p代表自回归项数，d代表差分阶数，q代表滑动平均项数。
在选择ARIMA模型的阶数时，我们需要找到最合适的p、d和q值，以最大程度地提高模型的预测准确性。
一种常用的ARIMA模型阶数选择方法是自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。
ACF表示了时间序列与其自身滞后版本之间的相关性，而PACF则表示了在移除其它滞后项的影响后，两个滞后版本之间的相关性。
通过分析ACF和PACF的图形，我们可以初步确定ARIMA模型的p和q值。
一般来说，p和q的值可以通过观察ACF和PACF的截尾情况来确定，截尾的滞后阶数就是p和q的值。
另一种常用的ARIMA模型阶数选择方法是信息准则，比如赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）。
这些信息准则考虑了模型的拟合优度和复杂度，通过最小化AIC或BIC来选择最佳的ARIMA模型阶数。
一般来说，AIC和BIC越小，模型的拟合效果越好。
除了ACF、PACF和信息准则，还有一些统计检验方法可以用来确定ARIMA模型的阶数。
比如单位根检验（ADF检验）可以用来确定时间序列是否平稳，从而确定差分阶数d；而Ljung-Box检验可以用来检验时间序列的白噪声性质，从而确定模型的p和q值。
需要注意的是，上述方法仅能作为ARIMA模型阶数选择的参考，实际选择时需要结合时间序列数据的特点和实际问题的需求来综合考虑。
此外，随着机器学习和深度学习技术的发展，一些新的模型选择方法也正在逐渐应用到时间序列预测中，比如基于神经网络的模型选择方法等。
时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
2
qk
j0bjbjk,0kq
E(XX ) k
t tk
0,kq
(5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t } 的自协方差函数 是q步截尾的：
q2bq0,k0,|k|q.
并且有谱密度
(1.6)
f() 2 2|B (ei)|22 1 k q qke ik, [ ,]. (1.7)
b1,b2 ,bq(bq0)使得
则称
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1, j1
q
Xt t bj tj,tZ
(1.2)
j1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
如果进一步要求多项式 B ( z ) 在单位圆周 上也没有零点：B z 0 , 当 | z | 1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0
1
0
0 qq
k
k 1
,
qk 1
1
c
0
0 q1
1
q
2
q
(1.11)
则有：
其中 b q 1 2(qA C ),20C T C , (1.12)
kl im kk1Tk .
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t b t 1 ,t W N ( 0 ,2 ) ,|b | 1
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
如何建立ARMA和ARMA模型如何进行模型的拟合与选择
如何建立ARMA和ARMA模型如何进行模型的拟合与选择如何建立ARMA模型及进行模型的拟合与选择ARMA模型（自回归滑动平均模型）是一种常用的时间序列模型，可以帮助我们对数据进行预测和分析。
本文将介绍如何建立ARMA模型以及进行模型的拟合与选择。
一、ARMA模型的介绍ARMA模型是一种线性平稳时间序列模型，由自回归部分（AR）和滑动平均部分（MA）组成。
AR部分使用过去时间点的观测值作为自变量进行预测，MA部分使用过去时间点的误差项作为自变量进行预测。
ARMA模型的最一般形式为ARMA(p, q)，其中p代表AR部分的阶数，q代表MA部分的阶数。
二、建立ARMA模型的步骤1. 检验时间序列的平稳性ARMA模型要求时间序列是平稳的，即均值和方差保持不变。
可以通过绘制时间序列的图形、计算移动平均和自相关函数等方法来检验平稳性。
若发现非平稳性，则需要进行差分处理，直到得到平稳序列。
2. 确定模型的阶数通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），可以确定AR部分和MA部分的阶数。
ACF反映了序列与其滞后之间的关系，PACF则消除了中间滞后的干扰，更准确地显示滞后与序列之间的关系。
根据图形上截尾的特点，可以确定合适的阶数。
3. 估计模型参数利用最大似然估计或解方程组等方法，对ARMA模型进行参数估计。
最大似然估计是大多数情况下的首选方法，它通过最大化样本的对数似然函数，寻找最适合数据的参数估计值。
4. 模型检验和诊断对估计得到的模型进行检验和诊断，主要包括残差的自相关性检验、白噪声检验、模型拟合优度检验等。
如果模型不符合要求，需要重新调整模型的阶数或其他参数。
三、模型拟合与选择的方法1. 拟合优度准则模型的拟合优度准则可以用来衡量模型的优劣程度。
常见的拟合优度准则包括AIC（赤池信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）等。
这些准则基于模型的似然函数和模型参数的数量，从而在模型选择时提供一个客观的评估指标。
时间序列分析中的ARIMA算法介绍及应用案例分析
时间序列分析中的ARIMA算法介绍及应用案例分析时间序列分析是一种从历史数据中提取信息并预测未来趋势的方法，它在金融、经济、气象等领域有广泛的应用。
而ARIMA模型则是时间序列分析中最常用的一种模型。
本文将介绍ARIMA模型的原理及应用案例。
一、ARIMA模型的原理ARIMA模型全称为AutoRegressive Integrated Moving Average Model，即自回归积分滑动平均模型。
它是一种将自回归模型和滑动平均模型结合在一起的时间序列模型，用于对非平稳时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型可以表示为ARIMA(p, d, q)，其中p表示自回归项数，d表示差分次数，q表示滑动平均项数。
如果时间序列是平稳的，可以使用ARMA模型，而非平稳时间序列则需要使用ARIMA模型。
ARIMA模型的建立一般有三个步骤：确定阶数，估计系数，检验模型。
首先，我们需要通过观察时间序列的自相关图和偏自相关图来确定p和q的值。
自相关图可以反映时间序列的自相关性，即同一时间点前后的样本值之间的相关性。
而偏自相关图是指当与其他滞后时期的影响被移除后，两个时期之间的相关性。
如图1所示：图1 自相关图和偏自相关图在确定p和q的值之后，我们需要进行差分运算，将非平稳序列转换为平稳序列，以确保ARIMA模型的有效性。
当d=1 时，表示进行一次一阶差分运算，将原来时间序列的差分序列变为平稳序列。
当然也有可能需要进行多阶差分。
最后，我们需要通过最大似然估计法或最小二乘法来估计ARIMA模型的系数，进而用模型进行预测。
二、ARIMA模型的应用案例为了更好地理解ARIMA模型的应用，我们可以通过一个实际案例来进行分析。
案例：某导购商城每天的销售额某月份的数据如下：日期销售额（万元）2020-06-01 1022020-06-02 892020-06-03 772020-06-04 622020-06-05 812020-06-06 932020-06-07 1042020-06-08 982020-06-09 762020-06-10 702020-06-11 672020-06-12 932020-06-13 93 2020-06-14 111 2020-06-15 93 2020-06-16 77 2020-06-17 72 2020-06-18 56 2020-06-19 81 2020-06-20 99 2020-06-21 110 2020-06-22 104 2020-06-23 81 2020-06-24 75 2020-06-25 59 2020-06-26 84 2020-06-27 95 2020-06-28 112 2020-06-29 92 2020-06-30 77通过观察时间序列的图像，我们可以看出该序列的趋势、季节性和噪声。
简单滑动平均模型第三组
该模型认为过去的数据对未来的影响逐渐减弱， 因此赋予较近期的数据较大的权重，较远期的数 据较小的权重。
计算方法
01 方法一
简单算术平均法，将所有历史数据加起来除以数 据的个数。
02 方法二
加权平均法，根据数据的远近程度赋予不同的权 重，然后加权求和。
03 方法三
移动平均法，每次只考虑最近n个数据点，并去掉 最远的数据点，再求平均值。
02 抗噪声能力强
由于其平滑特性，简单滑动平均模型能够有效地 过滤掉数据中的随机噪声，突出长期趋势。
03 对数据要求低
模型对输入数据的要求较低，不需要过多的预处 理和清洗工作。
缺点
滞后性
由于简单滑动平均模型仅考虑过 去的数据，因此可能存在滞后于 市场变化的情况，无法及时捕捉
到市场的短期波动。
对异常值敏感
简单滑动平均模型可以用于分析金融 市场的趋势和周期性变化，帮助投资 者把握市场动态。
风险管理
在金融领域，简单滑动平均模型可以 用于计算资产价格的变动，帮助投资 者评估风险并做出相应的投资决策。
气象预测
温度预测
通过计算过去一段时间内的平均 温度，可以对未来温度进行预测。
降水概率预测
简单滑动平均模型可以用于分析 降水概率的变化趋势，帮助气象 部门进行灾害预警和应急响应。
技术指标分析
简单滑动平均模型是股票技术分析中的常用工具之一，可以帮助投 资者进行买卖决策和风险管理。
简单滑动平均模型与其他模
04
型的比较
与指数平滑模型的比较
指数平滑模型
通过赋予近期数据更大的权重来预测未来值，适 用于具有趋势和季节性的时间序列数据。
简单滑动平均模型
通过计算固定窗口期内数据的平均值来预测未来 值，适用于具有平稳性的时间序列数据。
自回归滑动平均模型
自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列模型，用于预测未来值的方法。
它结合了自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA），能够更好地捕捉时间序列数据的特征。
自回归模型是基于过去的观察值来预测未来值的模型。
它假设未来值和过去值之间存在相关性，即当前值与之前的若干值相关联。
自回归模型将过去的观察值作为自变量，当前值作为因变量，通过调整自变量系数来预测未来值。
滑动平均模型是通过给定的窗口大小，在当前值与其前面若干值的线性组合的基础上，对未来值进行预测的模型。
滑动平均模型认为当前值的变动由之前几个值的加权平均引起，权重通过最小化预测误差来确定。
ARMA模型结合了自回归模型和滑动平均模型的优点，既可以捕捉时间序列数据的历史趋势，也可以考虑数据的随机波动。
ARMA模型的一般形式为ARMA(p,q)，其中p是自回归模型的阶数，q是滑动平均模型的阶数。
使用ARMA模型进行预测时，首先需要确定模型的阶数。
可以通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定。
ACF和PACF可以展现数据的相关性和延迟效应，根据它们的曲线图可以估计出ARMA模型的阶数。
确定了模型的阶数后，就可以使用最小二乘法或极大似然法来估计模型的系数。
然后，可以利用估计出的系数进行模型的拟合和预测。
如果模型的残差序列与随机序列相似，说明模型的预测效果较好。
总之，自回归滑动平均模型是一种常用的时间序列预测方法，它综合考虑了过去观察值的相关性和随机波动，可以较好地捕捉时间序列数据的特征。
但在使用ARMA模型进行预测时，需要注意选择适当的阶数，并根据模型的残差序列来评估预测效果。
自回归滑动平均模型（ARMA）是时间序列分析中的一种重要工具，常用于预测未来的数值或观测序列。
该模型结合了自回归（AR）和滑动平均（MA）两种模型的优点，既能考虑序列的历史信息，又能捕捉随机波动的特征，使得预测结果更加准确和可靠。
在ARMA模型中，自回归（AR）部分用于描述当前值与历史值之间的相关性，滑动平均（MA）部分用于描述当前值与误差（即残差）之间的相关性。
ARIMA模型
简介
对时间序列数据进行分析和预测比较完善和精确的算法是博克思-詹金斯(Box-Jenkins)方法，其常用模型包 括：自回归模型（AR模型）、滑动平均模型（MA模型）、（自回归-滑动平均混合模型）ARMA模型、（差分整 合移动平均自回归模型）ARIMA模型。
ARIMA(p，d，q)模型是ARMA(p，q)模型的扩展。ARIMA(p，d，q)模型可以表示为：
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其中L是滞后算子（Lag operator），
定义
非平稳时间序列，在消去其局部水平或者趋势之后，其显示出一定的同质性，也就是说，此时序列的某些部 分与其它部分很相似。这种非平稳时间序列经过差分处理后可以转换为平稳时间序列，那称这样的时间序列为齐 次非平稳时间序列，其中差分的次数就是齐次的阶。
将记为差分算子，那么有
ARIMA模型
计量经济模型
01 简介
目录
02 定义
ARIMA模型（英语：Autoregressive Integrated Moving Average model），差分整合移动平均自回归模 型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析方法之一。ARIMA(p，d，q)中， AR是“自回归”，p为自回归项数；MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分 次数（阶数）。“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。
对于延迟算子，有
因此可以得出
设有d阶齐次非平稳时间序列，那么有是平稳时间序列，则可以设其为ARMA(p,q)模型，即
其中，分别为自回归系数多项式和滑动平均系数多项式。为零均值白噪声序列。可以称所设模型为自回归求 和滑动平均模型，记为ARIMA(p,d,q)。
滑动平均模型
ε t = β −1 ( B) xt = ∑ ϕ j B j xt = ∑ ϕ j xt − j = lim ∑ ϕ j xt − j
= ∑∑ β i β j E (ε t − iε t + k − j ) + E (ε tε t + k ) − ∑ β j E (ε tε t + k − j )
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t +k ε t −i )
i =1
q
由于 {ε t } 是一白噪声序列 故知当 k 对于任意的 1 ≤ k
显然 对于模型 2.2.1 式 可改写为 2.2.2
xt + β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q = ε t
则可视为 ε t 的 AR( q ) 序列 即
ε t = β 1ε t −1 + β 2 ε t − 2 + L + β q ε t − q + x t
i =1 j =1 j =1
q
q
q
− ∑ β i E (ε t + k ε t − i )
i =1
q
17
= ∑ β i β i + k E (ε
i =1
q −k
2 t −i
) + 0 − β k E (ε ) + 0 = [∑ β i β i + k − β k ]σ 2
2 t i =1
q−k
q ⎧ 2 + σ β i2 ) ( 1 ∑ ⎪ i =1 ⎪ q−k ⎪ 2 因此有 γ k = C ( k ) = ⎨σ ( − β k + ∑ β i β i + k ) i =1 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩
滑动平均法及其现实应用案例
移动平均法移动平均法又称滑动平均法、滑动平均模型法（Moving average，MA）什么是移动平均法?移动平均法是用一组最近的实际数据值来预测未来一期或几期内公司产品的需求量、公司产能等的一种常用方法。
移动平均法适用于即期预测。
当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是非常有用的。
移动平均法根据预测时使用的各元素的权重不同移动平均法是一种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。
因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。
移动平均法的种类移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。
一、简单移动平均法简单移动平均的各元素的权重都相等。
简单的移动平均的计算公式如下：Ft=(At-1+At-2+At-3+…+At-n)/n式中，∙Ft--对下一期的预测值；∙n--移动平均的时期个数；∙At-1--前期实际值；二、加权移动平均法加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不同的权重。
其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作用是不一样的。
除了以n为周期的周期性变化外，远离目标期的变量值的影响力相对较低，故应给予较低的权重。
加权移动平均法的计算公式如下：Ft=w1At-1+w2At-2+w3At-3+…+wnAt-n式中，∙w1--第t-1期实际销售额的权重；∙w2--第t-2期实际销售额的权重；∙wn--第t-n期实际销售额的权∙n--预测的时期数；w1+ w2+…+ wn=1在运用加权平均法时，权重的选择是一个应该注意的问题。
经验法和试算法是选择权重的最简单的方法。
一般而言，最近期的数据最能预示未来的情况，因而权重应大些。
时间序列预测的相关模型
时间序列预测的相关模型
时间序列预测常用的模型包括：
1. 移动平均模型（MA）：一种基于过去误差的模型，假设当前预测值是过去一段时间内的误差的平均值。
2. 自回归模型（AR）：一种基于过去数值的模型，假设当前预测值与过去一段时间内的数值有关。
3. 自回归滑动平均模型（ARMA）：将AR和MA模型结合起来，综合考虑过去数值和误差，以提高预测的准确性。
4. 季节性自回归模型（SAR）：考虑时间序列数据的季节变化，以提高预测的精度。
5. 季节性自回归滑动平均模型（SARMA）：将SAR和ARMA模型结合起来，综合考虑季节性变化和误差，以提高预测的准确性。
6. 季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）：在SARMA模型的基础上，引入差分运算，以消除时间序列数据中的趋势和季节性变化。
7. 季节性指数平滑模型（SES）：一种简单的模型，根据历史数据的指数平均值来进行预测。
8. 灰色模型（GM）：一种基于少量样本数据进行预测的模型，适用于缺乏大量历史数据的情况。
以上是常用的时间序列预测模型，不同的数据类型和预测任务可以选择不同的模型进行预测。
sarima模型定义
sarima模型定义SARIMA模型是一种用于时间序列分析和预测的统计模型。
它是基于ARIMA模型的扩展，可以用于处理季节性数据。
我们来了解一下ARIMA模型。
ARIMA模型是自回归滑动平均模型的一种，用于描述时间序列数据的自相关和滑动平均关系。
ARIMA模型包括三个主要的参数：自回归阶数(p)、差分阶数(d)和滑动平均阶数(q)。
通过对时间序列数据进行差分操作，可以将非平稳时间序列转化为平稳序列，从而使得ARIMA模型能够应用于更广泛的数据。
然而，ARIMA模型并不能处理具有明显季节性的数据。
这时候，我们就需要引入SARIMA模型。
SARIMA模型在ARIMA模型的基础上增加了季节差分参数，用于捕捉季节性变化的影响。
SARIMA模型的参数包括季节自回归阶数(P)、季节差分阶数(D)和季节滑动平均阶数(Q)。
SARIMA模型的建立过程通常包括模型识别、参数估计和模型检验。
模型识别是确定ARIMA和季节性参数的过程，可以通过自相关图(ACF)和偏自相关图(PACF)来辅助识别。
参数估计可以使用最大似然估计法或最小二乘法来进行。
模型检验可以通过观察残差序列的自相关性和偏自相关性来评估模型的拟合程度。
SARIMA模型的预测过程包括两个阶段：预测模型的建立和预测结果的计算。
在建立预测模型时，需要使用历史数据对模型进行训练。
一旦模型建立完成，就可以使用该模型对未来的数据进行预测。
预测结果的计算可以通过递归式或迭代式算法来实现。
SARIMA模型在实际应用中有着广泛的应用。
例如，它可以用于经济学中的时间序列分析，用于预测未来的经济指标。
此外，SARIMA模型还可以用于气象学中的气象数据分析，用于预测未来的气温、降水等气象变量。
在市场营销中，SARIMA模型也可以用于销售预测和需求预测，帮助企业做出合理的生产和供应决策。
然而，SARIMA模型也存在一些局限性。
首先，SARIMA模型对数据的平稳性要求较高，如果数据不满足平稳性的条件，模型的预测效果可能会较差。
自回归滑动平均模型
可编辑ppt
4
例 3.1 考虑 MA(1) 模型Yt
Zt
1Zt
。它的相关函数满足
1
1,
k 0,
Y (k)
1 (1
2 1
),
0,
k 1, 其它.
考虑另一个 MA(1) 模型
1
Xt Zt
Zt 1
1
那么有 X (k) Y (k) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
(i) 对于所有的t ，Yt 满足(3.4)；
(ii) EYt 0 ， varYt 2 (1 2) ；
(iii)
cov(Yt ,Yt k ) cov
jZt j ,
Zl tkl
j0
l0
2
2j k
j0
2 k (1 2) 。
因此，这个新定义的{Yt}是平稳的并且问题 1 的答案是存在
平稳 AR(1)过程{Yt}满足(3.4)。
k
Yt
iZt i
i0
Y k 1 t k1
·暂假定 1。既然{Yt}是平稳的，那么对于所有的 t ， EYt2 常量 。
特别地，命 Yt 2 EYt2 ，则我们有：当 k
时，
2 k
Yt
jZt j
j0
Y 2k 2
2
t k1
0
因此依 L2 ，Yt
。 Zj
j0
tj
可编辑ppt
10
对于这个新定义的过程Yt
j 0 jZt j ，我们有如下性质：
更可取呢？
可编辑ppt
5
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
两个自变量的时间序列模型
两个自变量的时间序列模型
以下是一些常见的模型：
1.ARIMA模型（自回归滑动平均模型）：ARIMA模型是一种经典的时间序列模型，可以用于预测和分析具有自相关和滑动平均性质的数据。
ARIMA模型包括自回归（AR）、差分（I）和滑动平均（MA）三个部分，可以根据数据的特点选择合适的参数。
2.VAR模型（向量自回归模型）：VAR模型是一种多变量时间序列模型，可以同时考虑多个自变量之间的相互影响。
VAR模型基于每个自变量的过去值与其他自变量的过去值之间的关系进行建模，通过估计每个变量的滞后阶数来确定模型。
3.SARIMA模型（季节性自回归滑动平均模型）：SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，可用于处理具有季节性的时间序列数据。
SARIMA 模型考虑了季节性因素，并在ARIMA模型的基础上增加了季节性差分项。
4.GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）：GARCH模型是一种用于建模和预测时间序列波动性的模型。
GARCH模型考虑了时间序列的波动性自相关性，并可以捕捉到波动性的异方差性质。
这些模型在时间序列分析和预测中广泛应用，可以根据数据的特点和需求选择合适的模型。
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缓慢下降
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随 均机值序为列零{，xt方}对差任为何有x限t和常xt都数不相关，且
Ext 0
r0
2 x
rk 0(k 0)
• 正态白噪声序列型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var
( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var (xt
)
2
1
2
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var (xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt
yˆt
yˆ t 1
N
yˆtN 1
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1) yˆt yt1 (1 ) yˆt1
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
等,则称xt 为随机过程 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
rt,s rs,t
rt,t Var (xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t， Ex2 ，且满足以下条件： t 1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常数 )
2)
Varxt
2(与t无关的有限常数) x
3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关rt,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t
r0
E[(xt
)2
]
2 x
• 自相关函数：
k
rk
2 x
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质
E(xt ) t xpt (x)dx
pt (x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质 rt,s Cov(xt , xs ) E(xt Ext )( xs Exs )
rk r0
0 1, k k , k 1
自相关函数的估计
T
ˆx
(xt x)(xtk x)
t 1 T
(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T t 1
xt
平稳序列的判断
ρk
ρk
1
1
0
k
平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
0
k
非平稳序列的自相关函数
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt1 t xt1 xt2 t1
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt t t1 2t2 3t3
E(xt xtk )
2 k (1 2 4 6 )
t充分大时，rt ,t k
2 1
k 2
k Var(xt )
仅与k有关，与t无关
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk )
Ext (1xtk1 x2 tk2 xp tk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext p xtk p 1 rk1 2rk2 prk p
(1) 滑动平均模型
yˆt
yt
yt 1
N
ytN 1
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
yˆtw
a0 yt
a1 yt1
N
aN 1 ytN 1
其中
N 1
ai
i0 1 N
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确