中考数学专题 动态几何之单动点形成的面积问题(含解析)
初三压轴题专项----因动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题
教学目标
对中考可能出现的压轴题类型进行模块复习
教学内容
常见解法：
1.观察要求的图形是什么形状，各点坐标是否知道；
2.是否有一条边与x轴、y轴平行或重合，是否为规那么的图形，如是，直接用公式计算；
3.割，大多应用于四边形或多边形；
4.补，即用作差法求面积。实在没有方法就做高形成梯形，再做差。
2.如图，：抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，并且 = .
〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕过点 作 ∥ 轴，交抛物线于点 ，设抛物线的顶点为点 ，试判断△ 的形状，并说明理由；
〔3〕设点 在抛物线的对称轴 上，且△ 的面积等于△ 的面积，请写出点 的坐标〔无需写出解题步骤〕．
3.：抛物线 经过点 ， ，且对称轴 与 轴交于点 .
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕如图，点 、 分别是 轴、对称轴 上的点，且四边形 是矩形，点 是 上一点，将 沿着直线 翻折， 点与线段 上的 点重合，求 点的坐标；
〔3〕在〔2〕的条件下，点 是对称轴 上的点，直线 交 于点 ， ，求 点坐标.
Байду номын сангаас家庭作业：
1.如图，在直角坐标平面内，点 的坐标为〔3,0〕，第一象限内的点 在直线 上，∠ =45度．
〔1〕求点 的坐标；
〔2〕如果二次函数的图像经过 、 、 三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标 ；
〔3〕如果将第〔2〕小题中的二次函数的图像向上或向下平移，使它的顶点落在直线 上的点 处，求△ 与△ 的面积之比．
1.如图，在平面直角坐标系 中，直角梯形 的顶点 为坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ∥ ， =4， =3， =5，点 在边 上， =3，过点 作 的垂线 ，交 轴于点 ．
中考数学动态几何之面积问题真题与分析
中考数学动态几何之面积问题真题与分析动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。
前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。
从四方面进行动态几何之面积问题：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。
一、静态面积问题：典型例题：例1：如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】A ．91032π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2B ．932π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2C ．9632π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2D ．()693π-米2【答案】 C 。
【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接OD ，则DOC AOD S S S ∆=-扇形影阴。
∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC=12OA=12×6=3。
∵∠AOB=90°，CD ∥OB ，∴CD ⊥OA 。
在Rt △OCD 中，∵OD=6，OC=3，∴2222CD=OD OC 6333-=-=。
又∵CD 333sin DOC ==OD 62∠=，∴∠DOC=60°。
∴2DOC AOD 60619S S S =333=6336022ππ∆⋅⋅=--⋅⋅-扇形影阴（米2）。
故选C 。
例2：如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】A ．3B ．2C ．3D ．2例3：如图，直线l 与反比例函数2y=x的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点,若AB ：BC=(m 一l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用m表示)为【 】A.2m 12m -B. 2m 1m -C. ()23m 1m -D. ()23m 12m- 【答案】B 。
中考数学动点问题归纳总结2.动点与函数图象之面积问题
2.动点与函数图象之面积问题1.如图,在直角坐标系xOy 中,已知()0,1,0)A B ,以线段AB 为边向上作菱形ABCD ,且点D 在y 轴上．若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ,则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为( ).A ．B ．C ．D ．答案：A解析：解：∵()0,1,0)A B ,∴1,OA OB ==2AB ∴===,∵tan 1OB BAO OA ∠=== 60BAO ∴∠=︒,∴菱形ABCD 的高为22⨯= ∵菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,∴菱形沿y 轴方向滑落的速度为1,沿x ①点A 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是三角形,面积2122S t =⋅⋅=, ②点A 在x 轴下方,点C 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是梯形,面积1[(1)]22St t =-+=-, ③点C 在x 轴下方时,x 轴下方部分为菱形的面积减去x 轴上方部分的三角形的面积,2212t))22S t =⨯--=--, 纵观各选项,只有A 选项图形符合．故选A ．2.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到点B ,运动时间为t ,分别以AP 与PB 为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( ).A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：解：设P 点运动速度为v (常量),AB a = (常量),则,-AP vt PB a vt ==； 则阴影面积222111)()()222222a vt a vt s πππ-=--（ 2222()444v t avt vavt tπππ-+==-+ 由函数关系式可以看出,D 的函数图象符合题意．故选D ．3.如图,在矩形ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,动点,P Q 分别从点,C D 出发,沿线段,CB DC 方向匀速运动,已知,P Q 两点同时出发,并同时到达终点,B C ．连接,OP OQ ．设运动时间为t ,四边形OPCQ 的面积为S ,那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：A解析：作OE BC ⊥于E 点,OF CD ⊥于F 点,如图,设,BCa ABb ==,点P 的速度为x ,点F 的速度为y , 则,CP xt DQ yt ==,所以,CQ b yt =-O Q 是对角线AC 的中点,OE OF ∴、分别是ACB ACD 、V V 的中位线,11,22OE b OF a ∴==, ,P Q Q 两点同时出发,并同时到达终点,a b x y∴=,即ay bx =, 1111()22221114441(0)4OCQ OCPS S S a b yt b xt ab ayt bxt a ab t x ∴=+=⋅-+⋅⋅=-+=<<V VS ∴与t 的函数图象为常函数,且自变量的范围为0a t x<<4.如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P 从点B 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1/cm s ．若,P Q 同时开始运动,设运动时间为(),t s BPQ V 的面积为()2y cm ．已知y 与t 的函数图象如图2,则下列结论错误的是（ ）.A ．6AE cm =B ．4sin 5EBC ∠= C ．当010t<≤时, 225y t = D ．当12t s =时,PBQ V 是等腰三角形答案：D解析：(1)结论A 正确,理由如下：分析函数图象可知,10,4BCcm ED cm ==, 故1046AE AD ED BC ED cm ====﹣﹣﹣.(2)结论B 正确,理由如下：如图,连接EC ,过点E 作EF BC ⊥于点F ,由函数图象可知,10BC BE cm ==114010522BEC S BC EF EF EF ==⋅⋅=⋅⋅=V 8EF ∴=,84sin 105EF EBC BE ∴∠===. (3)结论C 正确,理由如下：如图,过点P 作PG BQ ⊥于点G ,BQ BP t==Q 211142sin 22255BPQ y S BQ PG BQ BP EBC t t t ∴==⋅⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=V . (4)结论D 错误,理由如下：当12ts =时,点Q 与点C 重合,点P 运动到ED 的中点,设为N ,如图,连接,NB NC .此时8,2AN ND ==,由勾股定理求得：NB NC ==10,BC BCN =∴Q V 不是等腰三角形,即此时PBQ V 不是等腰三角形.故选D.5.如图,正方形ABCD 中,8AB cm = ,对角线AC BD 、相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以1/cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、时停止运动,设运动时间为(),ts OEF V 的面积为()2s cm ,则()2s cm 与()t s 的函数关系可用图像表示为（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：根据题意,8BE CF t CE t ===-,Q 四边形ABCD 为正方形,,45OB OC OBC OCD ∴=∠=∠=︒,Q 在OBE V 和OCF V中 OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()OBE OCF SAS ∴≌V V ,OBE OCF S S ∴=V V ,218164OBCOECF S S ∴==⨯=四边形V 2116(8)214162CEFOECF S S t t t t ∴-=--⋅=--四边形V21(4)8(08)2t t t =-+≤≤， ∴2()s cm与()t s 的函数图象为抛物线一部分,顶点为()4,8,自变量为08t ≤≤．6.正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均为4cm ,且AB 与MN 都在直线l 上,开始时点B 与点M 重合.让正方形沿直线向右平移,直到A 点与N 点重合为止,设正方形与三角形重叠部分的面积为()2ycm ，MB 的长度为()x cm ,则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D解析：根据题意分析可得：正方形与三角形重叠部分的面积先越来越快的增大；当MB 的长度为4时,面积为8,取得最大值；随后,越来越快的减小,最后为0．7.如图,两个边长相等的正方形ABCD 和EFGH ,正方形EFGH 的顶点E 固定在正方形ABCD 的对称中心位置,正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S ,旋转的角度为,S θ与θ的函数关系的大致图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：如图,过点E 作EM BC ⊥于点,M EN AB ⊥于点N ,Q 点E 是正方形的对称中心,EN EM ∴=,由旋转的性质可得NEK MEL ∠∠=,在Rt ENK V 和Rt EML V 中,NEK MEL EN EMENK EML ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩故可得ENK EML ≌V V ,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的148.如图,A 点在半径为2的O e 上,过线段OA 上的一点P 作直线l ,与O e 过A 点的切线交于点B ,且60APB ∠︒=,设OP x =,则PAB V 的面积y 关于x 的函数图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：因为AB 切O e 于A ,所以90PAB ∠︒=在Rt PAB V 中,2,60AP x APB ∠︒=-=60,(2)AB tan AB x AP︒∴=-⋅=Q21(2)(2)22y x y x ∴=-=-且02x ≤<.9.矩形ABCD 中,8 , 6 AD cm AB cm ==.动点E 从点C 开始沿边CB 向点B以2 /cm s 的速度运动至点B 停止,动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1 /cm s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ,设运动时间为x (单位：s ),此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm ),则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：分两种情况讨论：当4x ≤时,2682248y x x x⨯+⨯=-=- ,此时函数的图象为抛物线的一部分,它的最上点是抛物线的顶点(0,48),最下点为(4,16),当46x <≤时,点E 停留在点B 处,故488y x =-,此时函数的图象为直线488y x =-的一部分,它的最上点为(4,16),最下点为(60)，．结合图象可选A.10.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动,当P 运动到B 点时,P Q 、两点同时停止运动,设P 点运动的时间为,t APQ V 的面积为S ,则S 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D 解析： 当02t<≤时,P 点在AB 上,Q 点在BC 上,这时,,2AP t BQ t == ,2122S t t t ∴⨯⨯==当24t <≤时,P 点仍在AB 上,Q 点在CD 上,这时,AP t APQ=V 的边AP 上的高为4,1422S t t ∴⨯⨯==.11.如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S (阴影部分),则S 与t 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：由图中可知：在开始的时候,阴影部分的面积最大,可以排除B,C 。
专题27 动态几何之单动点形成的面积问题(原卷版+解析版)-1.doc
2016中考数学预测押题--专题27 动态几何之单动点形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四S射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长。
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BM=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.原创模拟预测题2. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则当3时，x 的取值是A. 1B. 14C. 13D. 3原创模拟预测题3. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A= 30，动点P 从点B 出发，沿B-C-D 的路线向点D 运动。
动点产生的面积问题
运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．动点产生的面积问题内容分析知识结构模块一：面积计算的问题知识精讲【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】 【解析】A B CDE F 图1GHABCDE F 图2GH【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析BAB CDMP【例10】已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明：△CMG≌△NBP；（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB 上，CE＝CD．（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEA BCDEFGPMN【例12】 如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例13】 如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】xA BCD EFG【例14】 如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】 如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDE PAQ 图1备用图HAB C DEF G【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形．A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ． （1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例17】 已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB DEFABCD图1备用图备用图ABCD【例18】如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DGGHE的度数．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDEFGH【例19】已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0)，A(8，0)，B(4，4)，C(0，4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M 在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与m的函数关系式．【难度】★★★【答案】【解析】x【例20】 在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCD E F P O【习题2】已知直线2y x=-+与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线(0)y kx b k=+≠经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．【难度】★★★【答案】【解析】【习题3】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【习题4】 如图，已知：过点A （8，0）、B （0，y =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1） 写出点C 的坐标和t 的取值范围； （2） 求s 与t 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业【作业2】 如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）． （1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业3】 如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2） 当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDP Q【作业4】如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x==-+，的图像交于点A，动点P从点O开始在线段O向点A方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x 轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PAMN，设它与△ABO重叠部分的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动的时间t（秒）的关系式．【难度】★★★【答案】【解析】。
专题10 动点产生的面积关系(解析版)
专题10 动点产生的面积关系教学重难点1.体会点的运动过程，能从点的运动过程中抓住一些不变的量；2.能从点的运动过程中建立自变量与面积的关系式；3.让学生学会求一些基本图形的面积；4.体会压轴题的解题方法和思路。
【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先让学生初步体会到压轴题中求图形面积的种类，可以看看每一类图形学生都是怎么求解的；2再根据第2个图引导学生总结求三角形面积的一般方法。
时间5分钟左右完成。
压轴题中求图形面积类型：三角形面积的一般求解方法：【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。
例1（2020静安区建承中学一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【整体分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D 作DH ∠BC 于H ，在∠ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB∠∠OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标. 【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在∠ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∠DH//y轴，∴25 CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355 CH DH==⨯=．∴64255 BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32 DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∠OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∠∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∠∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA ． ∴△OAB∠∠OFA ， ∴13OB OA OA OF ==． ∴OF=9，即F （9，0）；设直线AF 的解析式为y=kx+b （k≠0），可得093k b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得133k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF 的解析式为：133y x =-， 将x=2代入直线AF 的解析式得：73y =-，∴E （2，73-）. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.例2..已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB =（如图所示）。
专题27 动态几何之单动点形成的面积问题(压轴题)
《中考压轴题》专题27：动态几何之单动点形成的面积问题一、选择题1.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，点E 在边AD 上，∠ABE=45°，BE=DE ，连接BD ，点P 在线段DE 上，过点P 作PQ ∥BD 交BE 于点Q ，连接QD ．设PD=x ，△PQD 的面积为y ，则能表示y 与x 函数关系的图象大致是A. B. C. D.2.如图，已知点A 是直线y=x 与反比例函数k y x =（k ＞0，x ＞0）的交点，B 是k y x=图象上的另一点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ．设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为A. B. C. D.3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是A. B. C. D.4.如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是A. B. C. D.5.如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是A．B．C．D．6.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E应运动到A．点C处B．点D处C．点B处D．点A处7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．8.如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8B．12C．212D．1721.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=秒时，S1=2S2．2.如图，已知动点A在函数4y=x(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于_.3.如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了▲秒（结果保留根号）.1.如图，抛物线21y x mx n 2=-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．2.如图，矩形OABC 的顶点A （2，0）、C （0，23）.将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转30°，得矩形OEFG ，线段GE 、FO 相交于点H ，平行于y 轴的直线MN 分别交线段GF 、GH 、GO 和x 轴于点M 、P 、N 、D ，连结MH.（1）若抛物线2l :y ax bx c =++经过G 、O 、E 三点，则它的解析式为：▲；（2）如果四边形OHMN 为平行四边形，求点D 的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN 抛物线l 交于点R ，动点Q 在抛物线l 上且在R 、E 两点之间（不含点R 、E ）运动，设ΔPQH 的面积为s ，当33<s <62时，确定点Q 的横坐标的取值范围.3.在平面直角坐标系中,抛物线()2y x k 1x k =+--与直线y kx 1=+交于A,B 两点，点A 在点B 的左侧.（1）如图1，当k 1=时，直接写出．．．．A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线()()2y x k 1x k k >0=+--与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）.在直线y kx 1=+上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积．5.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．6.如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为．7.如图1，矩形ABCD 的边AD 在y 轴上，抛物线2y x 4x 3=-+经过点A 、点B ，与x 轴交于点E 、点F ，且其顶点M 在CD 上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ；（4分）（2）若点P 是抛物线上一动点（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AB 交于点G ，与直线BD 交于点H ，如图2．①当线段PH=2GH 时，求点P 的坐标；（4分）②当点P 在直线BD 下方时，点K 在直线BD 上，且满足△KPH ∽△AEF ，求△KPH 面积的最大值．（4分）8.如图1、2，已知四边形ABCD 为正方形，在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD （或延长线）于E ，作PF ⊥DC （或延长线）于F ，作射线BP 交EF 于G ．（1）在图1中，设正方形ABCD 的边长为2，四边形ABFE 的面积为y ，AP=x ，求y 关于x 的函数表达式；（2）结论：GB ⊥EF 对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC ∽△PFB ．9.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？11.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A 向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．12.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当S△MFQ：S△MEB=1：3时，求点M的坐标．13.如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，103）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．16.在平面直角坐标系xOy中，点M（2,2），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM.点P是»AB上的动点.（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E.①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围.17.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．18.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．19.如图1，抛物线y=ax 2+bx ﹣1经过A （﹣1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．（2）如图1，当点P 的横坐标为32时，求证：△OBD ∽△ABC ．（3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．（4）当以点O 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标．20.如图，已知直线l 的解析式为1y x 12=-，抛物线y =ax 2＋bx ＋2经过点A （m ，0），B （2，0），D 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（1）求抛物线的解析式及A 点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P （x ，y ）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P 作PE 垂直x 轴于点E,延长PE 与直线l 交于点F ，请你将四边形PAFB 的面积S 表示为点P 的横坐标x 的函数，并求出S 的最大值及S 最大时点P 的坐标；（3）将（2）中S 最大时的点P 与点B 相连，求证：直线l 上的任意一点关于x 轴的对称点一定在PB 所在直线上．21.如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q.（1）求证：△APQ ∽△CDQ ；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位的速度向B 点移动，移动时间为t 秒.①当t 为何值时，DP ⊥AC ？②设APQDCQ S S y ∆∆=+，写出y 与t 之间的函数解析式，并探究P 点运动到第几秒到第几秒之间时，y 取得最小值.22.如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的三个顶点的坐标分别是A （4，3），O （0，0），B （6，0）．点M 是OB 边上异于O ，B 的一动点，过点M 作MN ∥AB ，点P 是AB 边上的任意点，连接AM ，PM ，PN ，BN ．设点M （x ，0），△PMN 的面积为S ．（1）求出OA 所在直线的解析式，并求出点M 的坐标为（1，0）时，点N 的坐标；（2）求出S 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）若S ：S △ANB =2：3时，求出此时N 点的坐标．23.如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与y 轴交于点C(0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为()2,0-，抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E.（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标.24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线的顶点，点P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D 重合）．（1）求∠OBC 的度数；（2）连接CD 、BD 、DP ，延长DP 交x 轴正半轴于点E ，且S △OCE =S 四边形OCDB ，求此时P 点的坐标；（3）过点P 作PF ⊥x 轴交BC 于点F ，求线段PF 长度的最大值．25.如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．26．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；=2S△BPD；（2）当m为何值时，S四边形OBDC（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．27．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M （0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．28．在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AOP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．29．如图，抛物线2y x 2x 3=--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点.（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）.若FG=22DQ ，求点F 的坐标.30．如图，已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC.（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标.31.如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．32.在平面直角坐标系中，已知M 1（3，2），N 1（5，﹣1），线段M 1N 1平移至线段MN 处（注：M 1与M ，N 1与N 分别为对应点）．（1）若M （﹣2，5），请直接写出N 点坐标．（2）在（1）问的条件下，点N 在抛物线2123y x x k 63=++上，求该抛物线对应的函数解析式．（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B ，与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 中点，点C （0，m ）是y 轴负半轴上一动点，线段EC 与线段BO 相交于F ，且OC ：OF=2：3，求m 的值．（4）在（3）问条件下，动点P 从B 点出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少），将△ABP 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的△ABP 面积的14，求此时BP的长度．33.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1．（1）求证：∠APE=∠CFP ；（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，12S y S =．①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y的值．34.如图1，点A是ｘ轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点。
中考数学 专题30 动态 几何之面动形成的面积问题(含解析)
专题30 动态几何之面动形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写面动形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，面动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
一.平移形成的面积问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M 落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN 的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】（1）t－2（2）t=4或t=203（3）221t2t(2t4)4S520t22t84(t8)43<<<<⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩4）t=143或t=5或6≤t≤8。
中考专题3(由动点形生成的面积问题)
由动点形生成的面积问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，解决这类问题常用到以下与面积相关的知识（1）图形的割补(2)等积变形（3）等比转化例题1（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当△APE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由例题2（2010 湖北孝感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线1+=x y 与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上。
（1）二次函数的解析式为y= ；（3分）（2）证明点)12,(--m m 不在（1）中所求的二次函数的图像上；（3分）（3）若C 为线段AB 的中点，过C 点作x CE ⊥轴于E 点，CE 与二次函数的图像交于D点。
①y 轴上存在点K ，使以K 、A 、D 、C 为顶点的四边形是平行四边形，则K 点的坐标是 ；（2分）②二次函数的图像上是否存在点P ，使得ABD PO E S S ∆∆=2？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由。
（4分）例题3（2010 四川自贡）如图，在直角坐标平面内，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），B点在x轴上且在点A的右侧，AB＝OA，过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y＝x2的图象于点C和D，直线OC交BD于M，直线CD交y轴于点H。
记C、D的横坐标分别为x C，x D，点H的纵坐标y H。
（1）证明：①S△CMD∶S梯形ABMC＝2∶3 ②x C·x D＝－y H（2）若将上述A点坐标（1，0）改为A点坐标（t，0），t＞0，其他条件不变，结论S△CMD：S梯形ABMC＝2∶3是否仍成立？请说明理由。
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
中考专题3解答(由动点形生成的面积问题)
由动点形生成的面积问题例题1【2010四川宜宾答案】解：（1）由题意知：A （0，6），C （6，0）， 设经过点A 、B 、C 的抛物线解析式为y=ax 2+bx+c则：⎪⎩⎪⎨⎧++=+-==c b a c b a c 63603906解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=6131c b a∴该抛物线的解析式为6312++-=x x y （2）如图：设点P （x ，0）， ∵PE ∥AB ，∴△CPE ∽△ABC ， ∴2ABC CPE )BCCPS （△△=S又∵S △ABC =21BC ×OA=27 ∴2CPE )9x -627（△=S ∴S △CPE =3)6(2x -=124312+-x xS △ABP ＝21BP ×OA=3x+9设△APE 的面积为S则S= S △ABC —S △ABP —S △CPE =427)23(3163122+--=++-x x x 当x=23时，S 最大值为427 ∴点P 的坐标为（23，0）（3）假设存在点G （x ，y ），使△AGC 的面积与（2）中△APE 的最大面积相等．在（2）中，△APE 的最大面积为427，过点G 做GF 垂直y 轴与点F ． ①当y ＞6时，S △AGC =S 梯形GFOC —S △GFA —S △AOC =21（x+6）y —21x （y-6）—21×6×6=3x+3y-18 即3x+3y-18=427，yxCBOA又∵点G 在抛物线上，6312++-=x x y ， ∴3x+3)631(2++-x x -18=427解得：23,2921==x x ，当x=29时，y=415，当x=23时，y=427．又∵y ＞6，∴ 点G 的坐标为（23，427） ②当y ＜6时，如图： S △AGC =S △GAF +S 梯形GFOC —S △AOC =21x （6—y ）+)6(21+x y -18=3x+3y-18即3x+3y-18=427， 又∵点G 在抛物线上，6312++-=x x y ， ∴3x+3)631(2++-x x -18=427解得：23,2921==x x ，当x=29时，y=415，当x=23时，y=427．又因为y ＜6，所以点G 的坐标为（29，415）．综和①②所述，点G 的坐标为（23，427）和（29，415）．（3）解法2：可以向x 轴作垂线，构成了如此下图的图形:则阴影部分的面积等于S △AGC =S △GCF +S 梯形AGFO —S △AOC下面的求解过程略．这样作可以避免了分类讨论．例题2【2010 湖北孝感答案】（1）解：).)2(41(14122-=+-=x y x x y 或 （2）证明：设点141)12,(2+-=--x x y m m 在二次函数的图像上，则有：.141122-+=-m m m整理得,0842=+-m m.01684)4(2<-=⨯--=∆∴原方程无解141)12,(2+-=--∴x x y m m 不在二次函数点的图象上 说明：由,01)121()12(14122>+---++m m m m 得到从而判断点)12,(--m m 不在二次函数图像上的同样给分。
中考压轴题之【因动点产生的面积问题】精品解析
中考压轴题之【因动点产生的面积问题】精品解析例1【2013年苏州市中考第29题】如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1思路点拨1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值．满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--． 整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）．所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．例 2【2012年菏泽市中考第21题】如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式； （2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1思路点拨1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．2．联结PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．3．过点向x 轴作垂线，四边形PB ′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 3【2012年河南省中考第23题】如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（1）题由于CP //y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD ＝PC sin ∠ACP ，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以AE =．所以sin AEO ∠=因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以221sin 4)1)2PD PC ACP m m m =∠==-++=-+所以PD （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而211cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-， BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 4【2011年南通市中考第28题】如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线myx=上，所以m＝2．设直线l的解析式为y kx b=+，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得0,2 1.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1,1.kb=⎧⎨=-⎩所以直线l的解析式为1y x=-．（2）由点(,1)P p p-(p＞1)的坐标可知，点P在直线1y x=-上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2 图3 图4 （3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p = ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例5【2010年广州市中考第25题】如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1思路点拨1．数形结合，用b 表示线段OE 、CD 、AE 、BE 的长．2．求△ODE 的面积，要分两种情况．当E 在OA 上时，OE 边对应的高等于OC ；当E 在AB 边上时，要利用割补法求△ODE 的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD ＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6【2010年扬州市中考第28题】如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值． （3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图思路点拨1．第（1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨论x 的临界点． 2．第（2）题要按照点F 的位置分两种情况讨论．3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=． (2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x==．所以21223y AE EF x =⋅=．如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3t an (5)4E F B E B x ==-．所以21315288y A E E F x x =⋅=-+．②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得3x =因为3x =+3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---． 解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．例7【2009年兰州市中考第29题】如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图2思路点拨1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．满分解答（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．在Rt△ABE中，BE＝8，AE＝10－4＝6，所以AB＝10．由△ABE≌△BCF，知BF＝AE＝4，CF＝BE＝6．所以EF＝8＋6＝14，CH＝8＋4＝12．因此点C的坐标为（14，12）．（3）过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N．因为PM//BE，所以AP AM MPAB AF BF==，即1068t A M M P==．因此34,55AM t PM t==．于是3410,55PN OM t ON PM t==-==．设△OPQ的面积为S(平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S OQ PN t t t t=⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t=，所以当476t=时，△OPQ的面积最大．此时P的坐标为(94 15，5310)．（4）当53t=或29513t=时,OP与PQ相等．图3 图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组5,81,m tm t=⎧⎨=+⎩解得53t=．②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组537.5,81,m tm t=-⎧⎨=+⎩解得29513t=．③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组51010,81,m tm t-=-⎧⎨=+⎩解得53t=，但这时点P不在BC上．图5 图6 。
中考数学压轴题---因动点产生的面积问题[含答案]
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因动点产生的面积问题例1（ 2011年南通市中考第28题）如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x轴的平行线分别交曲线m y x=(x ＞0)和m y x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线m y x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-．（2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，（2）．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得1132x +=或1132x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时1132p +=．②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x xx x⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得152x +=或152x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时152p +=．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例2（2011年上海市松江区中考模拟第24题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．（1）求点E 的坐标；（2）二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点B 和点E ． ①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上方，满足S △CEM ＝2S △ABM ，求点M 的坐标．图1满分解答（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．C EM M EF C O E O FM C S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222t t t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+．（ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）．（ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t ，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C 、M 、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小．可以求得直线AC 的解析式为445y x =-+，当x ＝3时，85y =．因此点M （3，58）在直线AC 上．因为点A 、E 关于抛物线的对称轴对称，所以ME ＋MC ＝MA ＋MC ． 当A 、M 、C 三点共线时，ME ＋MC 最小，△CEM 的周长最小．例3（2010年广州市中考第25题）如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1满分解答(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122O E O C b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD ＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例4（ 2010年扬州市中考第28题）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=．(2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=．如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4E F B E B x ==-．所以21315288y A E E F x x =⋅=-+．②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532．因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142s i n (6)(6)2255AEF S AE AF A xx x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =±．因为1362x =+在3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---．解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．例5（2009年兰州市中考第29题）如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2满分解答（1）Q (1,0)，点P 每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点C 作x 轴的垂线交直线BE 于F ，交x 轴于H ．在Rt △ABE 中，BE ＝8，AE ＝10－4＝6，所以AB ＝10．由△ABE ≌△BCF ，知BF ＝AE ＝4，CF ＝BE ＝6．所以EF ＝8＋6＝14，CH ＝8＋4＝12．因此点C 的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N ．因为PM //BE ，所以AP AM M P ABAFBF==，即1068t A M M P ==．因此34,55A M t P M t==．于是3410,55P NO M t O N P M t==-==．设△OPQ 的面积为S (平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S O Q PN t t t t =⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t ≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t =，所以当476t=时，△OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为(9415，5310)．（4）当53t =或29513t=时, OP 与PQ 相等．图3 图4附加题的一般思路是：点Q的横坐标是点P的横坐标的2倍．先求直线AB、BC、CD的解析式，根据直线的解析式设点P的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO＝PQ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt△AMP中，设AM＝3m，MP＝4 m，AP＝5m，那么OQ＝8m．根据AP、OQ的长列方程组5, 81,m tm t=⎧⎨=+⎩解得53t=．②如图5，在Rt△GMP中，设GM＝3m，MP＝4 m，GP＝5m，那么OQ＝8m．在Rt△GAD中，GD＝7.5．根据GP、OQ的长列方程组537.5,81,m tm t=-⎧⎨=+⎩解得29513t=．③如图6，设MP＝4m，那么OQ＝8m．根据BP、OQ的长列方程组51010,81,m tm t-=-⎧⎨=+⎩解得53t=，但这时点P不在BC上．图5 图6例6（2008年长春市中考第25题）在直角坐标系中，抛物线cbxxy++=2经过点（0，10）和点（4，2）．（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线cbxxy++=2滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，AB落在x轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.图1（1）因为抛物线cbxxy++=2经过点（0，10）和点（4，2），所以10,164 2.cb c=⎧⎨++=⎩解得6b=-，10c=．因此抛物线的解析式为y＝x2－6x＋10．（2）①因为CD＝1，点D在y轴上，所以点C的横坐标为1．在y＝x2－6x＋10中，当x＝1时，y＝5．所以边BC 的长为5．②因为矩形边长一定，所以BC＝5．如图2，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为1:5时，点C的纵坐标为1．解方程x2－6x＋10＝1，得123x x==．此时点C的坐标为(3，1)．如图3，当矩形ABCD在x轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为5:1时，点C的纵坐标为4．解方程x2－6x＋10＝4，得133x=+，233x=-．此时点C的坐标为(3＋3，4)或(3－3，4)．图2 图3考点伸展在本题情景下，以CD为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？解：由于CD＝1，抛物线的顶点为（3，1），因此与坐标轴相切的⊙C有三个，点C的坐标分别为（1，5），（－1，17），（3，1）．在本题情景下，以CB为半径的⊙C如果与坐标轴相切，那么符合条件的点C有哪些？解：由于点（5，5）恰好在抛物线上，因此与坐标轴相切的⊙C有两个，点C的坐标分别为（5，5），（－5，65）．。
专题04 因动点产生的面积问题
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题04因动点产生的面积问题【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。
有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．y = - ( x + 1)(x - 4) = - x 2 + x + 2 = - ( x - )2 + ．顶点坐标为 ( ， ) ．图 4图 5 图 6【典例分析】【例 1】如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与 x 轴交于 A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与 y 轴交于点 C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q ，交抛物线于另一点 E ，直线 BM 交 y 轴于点 F ．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3 时，求点 M 的坐标．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．△2．把 MFQ 和△MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME ，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含 m 的式子表示），于是得到关于 m 的方程．3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设 y ＝a(x ＋1)(x －4)．代入点 C(0, 2)，得 2＝－4a ．解得 a = - 1．所以21 1 3 1 3 252 2 2 2 2 83 252 8与 n 无关，两条底边的比考点伸展第（2）题 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3，何需点 M 一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，△MFQ 与△MEB 的高的比 也与 n 无关．FQ m MQ m= =MN 4 - m ME 3 - 2m如图 3，因此只要点 E 与点 M 关于直线 x ＝ 3 2对称，点 M 在直线的左侧，且点 M 不在坐标轴上，就存在 S△MFQ∶△S MEB ＝1∶3，点 M 的横坐标为 1（如图 3）或－12（如图 4）．图 3图 4（t ﹣1）2+ △=3 m 2﹣ m ﹣3）．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．结合已知条件和（2）中的结果 ．则根据图形得到：S △ CBK =S △CEK +S △=BEK EK•m+ •EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代 入推知：﹣ m 2+3m= ．易求得 K 1 （1，﹣ ），K 2 （3，﹣）． 27 4⎩16a + 4b - 3 = 0【例 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与 x 轴交于点 A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与 y 轴交于点 C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△ PBQ存在时，求运动多少秒使△ PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3△）当 PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K ，使 △S CBK ：△S PBQ =5：2，求 K 点坐标．思路点拨（1）把点 A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为 t 秒．利用三角形的面积公式列出 S △PBQ 与 t 的函数关系式 S PBQ ﹣ 用二次函数的图象性质进行解答；9 9 10 10．利（3）利用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 y= 3 4x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点 K 的坐标为（m ，3 8 4求得 S △CBK = 9 1 1 4 2 23 9 154 8 8满分解答（1）把点 A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得⎧4a - 2b - 3 = 0 ⎨，a=3解得⎨8OC==t5t．∴S△=12（6﹣3t）•32+9S△PBQ最大10．答：运动1△秒使PBQ的面积最大，最大面积是9⎧⎪⎪b=-3⎪⎩4，所以该抛物线的解析式为：y=3x2﹣834x﹣3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC=32+42=5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴BHQ∽BOC△，∴HB BG HbBC，即35，∴HQ=32PB•HQ=15t=﹣910t2+95t=﹣910（t﹣1）10．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，=910；c = -3 ， ⎪k =4 x ﹣3．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．则点 E 的坐标为（m ，34 m ﹣3﹣（ 3 m 2﹣ 4m ﹣3）=﹣ 3 m 2+当△PBQ 的面积最大时，△∵S CBK ：S△=5PBQ：2，S△=9∴S △CBK = 9S △CBK =S △CEK +S △BEK = 12×4•EK4 m 2+3m ． 4 m 2+3m=（3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+c （k≠0）．把 B （4，0），C （0，﹣3）代入，得⎧4k + c = 0 ⎨ ⎩⎧解得 ⎨3 4 ， ⎪⎩c = -3∴直线 BC 的解析式为 y=3∵点 K 在抛物线上．∴设点 K的坐标为（m ， 3 m 2﹣ 83 4m ﹣3）．4m ﹣3）．∴EK=38 38 3 2 m ．10．4 ．=12EK•m+12 •EK•（4﹣m ）=2（﹣ 3 m 2+ 83 2m）=﹣ 3即：﹣ 394 ．∴K1（1，﹣27），K2（3，﹣）．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得⎨解得a=1，b=-．解得m1=1，m2=3．1588【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．△3．PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线y=1x+1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．2在△Rt AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE=5．所以sin∠AEO=因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此s in∠ACP=25．5⎧4a-2b-3=0,⎩16a+4b-3=3.122255．⨯ (- m 2+m + 4) = - (m + 2)(m - 4) ，①当 △S PCD ∶△S PCB ＝9∶10 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ． ②当 △S PCD ∶△S PCB ＝10∶9 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ．考点伸展第（△3）题的思路是： PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比．而 DN = PD cos ∠PDN = PD cos ∠ACP = 5 2 5 1 1 5 5 2 5BM ＝4－m ．1 9 5 5 10 21 10 32 5 9 9【例 4】如图，在 △Rt ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD ⊥AC 于点 D （点 P 不与点 A 、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q ．设点 P 的运动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；（2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；（△3）设 PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出 t 的值．2=3t，思路点拨（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．满分解答（1）在△Rt ABC中，∠A=30°，AB=4，∴AC=23，∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°，在△Rt ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=AP cosA=2t×3∴CD=AC﹣AD=23﹣3t（0＜t＜2）；（2）在△Rt PDQ中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴P A=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×3t=23，∴t=1；（3）当 0＜t≤1 时，S=S △PDQ = 1DQ×DP=13 =2（t ﹣1）， ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ = 1× 3 t×t ﹣ 13 t 2 (0＜t ≤ 1)∴S= ⎨ 22 PQ= 12 AP=t ，AF= 1 ∴∠PGF=90°，PG= 1 t= 12 AC=3 ，QM= 12 PQ= 1 ∴∠QMN=90°，AN= 1 cos30 ︒ =3 t =23 t ， ∴t= 32 ×3 t×t= 3 2 t 2，当 1＜t ＜2 时，如图 2，CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2 3 t ﹣2 3 =2 3 （t ﹣1）， 在 △Rt CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan ∠CQE=2 3 （t ﹣1）× 32 ×23 （t ﹣1）×2（t ﹣1）=﹣3 3 2 t 2+4 3 t ﹣2 3 ，⎧ ⎪ ⎪- 3 3 t 2 + 4 3t - 2 3 (0＜t ＜2 )⎪⎩ 2；（4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3，2AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t ，∴AP+PF=2t+2t=2，2；当 PQ 的垂直平分线过AC 的中点 M 时，如图 4，2AP=t ，在 △Rt NMQ 中，NQ= MQ∵AN+NQ=AQ ，∴ 3 + 2 32 3 3 t，10∴BF= 1 (x ＞0)和 y = - (x ＜0)于 M 、N 两点．当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点时，如图 5，1BC=1，PE= PQ=t ，∠H=30°，2 2∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H ，∴BH=BF=1，在 △Rt PEH 中，PH=2PE=2t ，∴AH=AP+PH=AB+BH ，∴2t+2t=5，∴t= 54，即：当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 123 5秒或 秒或 秒．4 4【例 5】如图，直线 l 经过点 A (1，0)，且与双曲线 y = m x(x ＞0)交于点 B (2，1)．过点 P( p , p -1) (p ＞1)作 x轴的平行线分别交曲线 y = m mx x（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y ＝2 上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数 p ，使得 △S AMN ＝4△S AMP ？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明 理由．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把 S △AMN ＝4△S AMP 转化为 MN ＝4MP ，按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，△0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6【例6】如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．△Rt CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=43，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．△Rt CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当△Rt CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在△Rt CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在△Rt CDE的运动过程中，设AC=h△，OAB△与CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．思路点拨（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜6-23时，③6-23≤h≤6时，依此即可求解．满分解答（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；(2)如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=43；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∴S=S △EDC ﹣S △EFM =1= S=S △AOB △-S ACM =113 + 13 + 3 S=S △OMC = 1h 2+4h+8(最大值为 15- 3 )；②2≤h ＜6-2 3 时，S=18- h 2（最大值∵CD=4，DE=4 3 ，AC=h ，AN=NM ，∴CN=4﹣FM ，AN =MN =4+h ﹣FM ，∵△CMN ∽△CED ，∴ CN MN = ，CD DE4 - FM 4 + h - FM∴ ，4 4 3解得 FM=4﹣3 + 1h ， 21 3 + 1 3 + 1×4×4 3 ﹣ （4 3 -4﹣h ）×（4﹣ h ）=﹣ 2 2 2 4h 2+4h+8， S=15- 3 ．最大②当 2≤h ＜6-2 3 时，2224×6×6- h （h+ h ）=18-h 2，S=15- 3 ． 最大③如图 3，当 6-2 3 ＜h≤6 时，3 OB× 3 OC=（6-h ）2，22S=6 3 ．最大综上所述，①h ＜2 时，S= -3 + 143 + 34为 15- 3 ）；③6-2 3 ≤h≤6 时，S=3 （6-h ）2（最大值为 6 3 ）2【变式训练】1．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m ，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ）BC=6-S=11⎛1⎫⎛3⎫3333x+x+6⎪⋅ 63-x⎪=-x2+33x+183=-⎭⎝A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2【答案】C【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在△Rt CBE中，∵∠CEB=90°，∴B E=11x 22∴A D=CE=3BE=63-311 x,AB=AE+BE=x+6-x=x+6 222∴梯形ABCD面积(CD+AB)⋅CE=22⎝22⎭888(x-4)2+243∴当x=4时，S最大=243．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；故选C．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，∆APQ 的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）=2⨯2-1(4-x)2-⨯2⨯(x-2)-⨯2⨯(x-2)A．B．C．D．【答案】A【详解】①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y=S1 AQ⋅AP=x2；22②当2≤x≤4时，y=S∆APQ=S正方形ABCD -S∆CP'Q'-S∆ABQ'-S∆AP'D112221=-x2+2x，2所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，故选A．3．如图，已知直线y=3x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆42D．17上一动点，连结PA、PB△．则PAB面积的最大值是（）A．8【答案】C【详解】解：∵直线y=34B．12C．21x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，2∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x-4y-12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：∴5×CM=4×1+3×4，111×AB×CM=×O A×OC+×OA×OB，222∴CM=16 5，∴圆C上点到直线y=31621x-3的最大距离是1+=，455 12121∴△PAB面积的最大值是⨯5⨯=，252故选C．4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，AB=8cm，C H是AB边上的高，正方形DEFGt = 4 - ⨯ [2 - (4 - t )]2 = - (t - 2)2 + 4 ；t的边 DE 在高 CH 上，F ，G 两点分别在 AC ，AH 上．将正方形 DEFG 以每秒1cm 的速度沿射线 DB 方向匀速运动，当点 G 与点 B 重合时停止运动．设运动时间为 ts ，正方形 DEFG 与 ∆BHC 重叠部分的面积为 Scm 2，则能反映 S 与 t 的函数关系的图象（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】由题意得： AH = BH = CH = 4 ， FE = FG = GH = EH = 2 ，（1）当 0剟2 时，如图 1，设 EF 交 CH 于点 K ，则 S = S矩形EDHK= t ⨯ 2 = 2t ；（2） 2 < t … 4 时，如图 2，设 EF 与 BC 交于点 M ， DE 于 BC 交于点 N ，S = S 正方形DEFG - S∆EMN 1 1 2 2（3） 4 < t … 6 时，如图 3，设 GF 交 BC 于点 L ，S = S1⨯ [2 - (t - 4)]2= (t - 6)2 ， 2 2∴当 0剟2 时，函数图象是正比例函数，当2 < t … 4 时，是开口向下的抛物线，当4 < t … 6 时，是开口向上的抛物线，故选： B ．5．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（）A．2B．+1C．-1D．2【答案】B【详解】如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA=AB，由题可得∠AOB=45°，∴∠ACB=90°，∴CD=AB=1，AC=BC==CO，连接OD，则OD≤OC+CD，+1，∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD=此时OD⊥AB，∴△AOB的面积最大值为AB×OD=×2（+1）=+1，当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时，+1，同理可得，△AOB面积的最大值为故选：B．6．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．连接AB、BN，在△Rt AOB和△Rt ANB中∴△Rt AOB≌△Rt ANB，∴AN=AO=2，设BM=x，∴MN2=（BM-1）（BM+1），∴MN=，∵∠AOM=∠BNM=90°，∠AMO=∠BMN，∴△BNM∽△AOM，∴即，，解得x=，S△AOM=．故选B．7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__________【答案】15【详解】∵D是抛物线y=-x2+6x上一点，∴ S V BCD = ⨯ 5 ⨯ (- x 2 + 6 x - 3) = - ( x - 3)2 + 15，Q - < 0，∴设 D( x , - x 2 + 6 x )，∵顶点 C 的坐标为(4,3)，∴OC = 42 + 32 = 5，∵四边形 OABC 是菱形，∴ BC = OC = 5, BC P x 轴，1 52 252∴ S V BCD 有最大值，最大值为 15，故答案为 15.8．如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ ACD △和BCE ，那么 DE 长的最小值是______________．【答案】1【详解】设 AC ＝x ，则 BC ＝2－x ，∵△ACD △和 BCE 都是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝ 2 x ，CE ＝ 2 (2－x) .2 2∴∠DCE ＝90°.∴DE 2＝DC 2＋CE 2＝（2 x ）2＋[ 2 (2－x) ]2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.2 2∴当 x ＝1 时，DE 2 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为 1.9．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。
2019中考数学压轴选择填空精讲精练7——单动点形成的面积问题
专题7单动点形成的面积问题例题精讲例1.如图，在△ABC中，△C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，△C=90°，AB=10cm，BC=8cm，△AC= √AB2−BC2=6cm．设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6﹣t）cm，CQ=2tcm，△S四边形PABQ=S△ABC﹣S△CPQ= 12AC•BC﹣12PC•CQ= 12×6×8﹣12（6﹣t）×2t=t2﹣6t+24=（t﹣3）2+15，△当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15．故选C．例2.如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE△AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A.235B.5 C.6 D.254【答案】B【解析】【解答】解：若点E在BC上时，如图△△EFC+△AEB=90°，△FEC+△EFC=90°，△△CFE=△AEB，△在△CFE和△BEA中，{∠CFE=∠AEB∠C=∠B=90°，△△CFE△△BEA，由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时CFBE = CEAB，BE=CE=x﹣52，即yx−52=x−5252，△y= 25(x−52)2，当y= 25时，代入方程式解得：x1= 32（舍去），x2= 72，△BE=CE=1，△BC=2，AB= 52，△矩形ABCD的面积为2× 52=5；故选B．例3.如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a和b 同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【解答】如图①，当0≤t＜1时，BE=t，DE= √3t，△s=S△BDE= 12×t× √3t= √32t2；如图②，当1≤t＜2时，CE=2-t，BG=t-1，△DE= √3（2-t），FG= √3（t-1），△s=S五边形AFGED=S△ABC-S△BGF-S△CDE= 12×2× √3-12×（t-1）× √3（t-1）-12×（2-t）× √3（2-t）=-√3t2+3 √3t-32√3；如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t，GF= √3（3-t），△s=S△CFG= 12×（3-t）× √3（3-t）= √32t2-3 √3t+ 9√32，综上所述，当0≤t＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故答案为：B．例4.如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.【答案】 D【解析】【解答】解：过点A向BC作AH△BC于点H，所以根据相似比可知：EF12=6−x6，即EF=2（6-x）所以y= 12×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故答案为：D．例5.如图，在ΔABC中，∠B=90∘，AB=3cm，BC=6cm，动点P从点A开始沿AB向点以B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则ΔPBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）。
中考数学专题探究-----面积问题(一)(含答案)
中考数学专题探究-----面积问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。
但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。
因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。
考点一：面积的函数关系式问题典型例题：1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）； 则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8； （2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4； （3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ； 如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：图12（1）图12（2）图12（3）2、（2009宁夏）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． （1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 解：（1）过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ． 则2AD =，当MN 运动到被CD 垂直平分时，四边形MNQP 是矩形， 即32AM =时，四边形MNQP 是矩形， 32t ∴=秒时，四边形MNQP 是矩形．tan 60PM AM =°=，MNQP S ∴=四边形（2）1°当01t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·11)2t ⎤=+⎦2=+2°当12t ≤≤时1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·))4<≤a C PQBA M NC PQBA M NCPQBA M N1)12t ⎤=-⎦·= 3°当23t <<时，1()2MNQP S PM QN MN =+四边形·1))2t t ⎤=-+-⎦=3、（2010年辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）． （1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．解：（1） ∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H ∴A （0，4），B （6，4），C （8，（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），∴4c =．则抛物线关系式为24y ax bx =++． 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得CPQB A M N3664464840a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． 解得1432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．所求抛物线关系式为：213442y x x =-++． （3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ．∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OA m m m m m 421)8(21)4(2186421⨯-----+⨯⨯=）（ 2882+-=m m （ 0＜m ＜4）∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值． 又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． （4）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG ．4、如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题： （1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒； （3）求y 与x 之间的函数关系式．解：（1）6． （2）8．（3）①当03x <≤时，B（第28题）Q 1A B C D Q 2 P 3 Q 3 EP 2 P 1 O2111sin 60222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1····． ②当3x <≤6时，1222222121sin 6021(12-2)22APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?····=2.x + ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)223x x x =--⨯--·6．2x =+-． （解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=P 3O ABC DQ 3G H F又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)3226).COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△···又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)6226).2x x =-⨯⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)(6)26ACP OCP S S x x =-=---△△2x =+-考点2、面积最值问题典型例题：1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 （1）当t=4时，求S 的值（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值解．（1）t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合， 重合部分是BDC ∆＝3232221=⋅⋅ (2)当时，如图104≤≤tQB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t 由PQR ∆∽BQM ∆∽CRN ∆得2)324(-=∆∆t S S PQR BQM 2)326(t S S PQRCRN -=∆∆ 22)4(43)324(-=-=∆∆t S t S PQR BQM,22)6(43)326(t S t S PQRCRN -=-=∆∆ S ＝3255)-(t 23t)-(6434t 4333222+-=---）（ 当t 取5时，最大值为325当t 取6时，有最大值32 综上所述，最大值为325二、名题精练：1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(03)--，、，，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；图11（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF（3）求PBC△面积的最大值，并求此时点P的坐标．解：（1）设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a a b c=++≠，、、为常数，由抛物线的对称性知B点坐标为(30)，，依题意得：93a b ca b cc⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩解得：3abc⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪=⎪⎩∴所求二次函数的解析式为2y x=-（2）P点的横坐标为m，P∴2-设直线BC的解析式为(0)y kx b k k b=+≠，、是常数，依题意，得30k bb+=⎧⎪⎨=⎪⎩3kb⎧=⎪∴⎨⎪=⎩故直线BC的解析式为y x=∴点F的坐标为3m m⎛⎝，2(03)3PF m m∴=-<<（3）PBC△的面积12CPF BPFS S S PF BO=+=△△·=2213322m⎛⎫⎫⨯⨯=-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭（第25题）（第25题）∴当32m =时，PBC △93把32m =代入23233y =53y =∴点P 的坐标为35324⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB ，已知OA=2 ∠AOB=30°,D 、E 两点同时从原点O 出发，D 点以每秒3个单位长度的速度沿x 轴的正方向运动，E 点以每秒1个单位长度的速度沿y 轴的正方向运动，设D 、E 两点运动的时间为t 秒。
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专题27 动态几何之单动点形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE.（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接AD 、DF 、AF ，AF 交DP 于点A ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长。
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BM=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.图1FEDCABP【答案】（1）当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析； （3）PQ 的中点O 所经过的路径的长为6π；（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为 【解析】试题解析：（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值． 设AP=x ，则PB=8-x ，根据题意得这两个正方形面积之和=x 2+（8-x ）2=2x 2-16x+64=2（x-4）2+32， 所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK ． 依题意画出图形，如图所示．设AP=a ，则PB=BF=8-a ． ∵PE ∥BF ，113图3OHG FE D CA BPMN图2OQCD ABP P∴， 即， ∴PK=，∴DK=PD-PK= a-=，∴S △APK =PK•PA=••a=，S △DFK =DK•EF=•8-a ）=，∴S △APK =S △DFK ；所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为：×2π×4=6π；（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为．如图，分别过点G 、O 、H 作AB 的垂线，垂足分别为点R 、S 、T ，则四边形GRTH 为梯形．PK APBF AB =88PK aa =-(8)8a a -(8)8a a -28a 1212(8)8a a -2(8)16a a -121228a 2(8)16a a -34113如图，作点M 关于直线XY 的对称点M′，连接BM′，与XY 交于点O ．由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．在Rt △BMM′中，由勾股定理得：BM′=∴OM+OB 的最小值为 考点：四边形综合题．2. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则当y=34时，x 的取值是【 】A. 1B. 14C. 133【答案】C 。
【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，分类思想的应用。
22113MM BM '+=113故选C。
3.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=30，动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动。
设△ABP 的面积为y (B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图像大致为【】A. B. C. D.【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。
【分析】当点P在BC上运动时，如图1，∵△ABP的高1PE BP sin PBE BP sin A x2 =⋅∠=⋅∠=，∴△ABP的面积1111y AB PE=2x x 2222=⋅⋅⋅⋅=。
当点P在BC上运动时，如图2，故选C。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ： ①当l 经过点A 时，射线QP 交AD 于点E ，求AE 的长； ②当l 经过点B 时，求t 的值．【答案】（1）5 （2）， （3）3、t ＝2.5，【解析】试题分析：（1）在矩形ABCD 中，由△APE ∽△OPQ ，得．②（ⅰ）如图③，当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ，tt t t S 565254)3(212+-=⋅-=)30(<<t 1445=t 225AC AB BC =+=3,=⋅=∴=OQ OP APAE OP AP OQ AE 图②BQ ＝CP ＝AP ＝t ，∠QBP ＝∠QAP∵∠QBP ＋∠PBC ＝90°，∠QAP ＋∠PCB ＝90° ∴∠PBC ＝∠PCB CP ＝BP ＝AP ＝t∴CP ＝AP ＝AC ＝×5＝2.5 ∴t ＝2.5．（ⅱ）如图④，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ，考点：矩形、相似三角形点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似5.如图，已知动点A 在函数2y=x(x>o)的图象上，AB⊥x 轴于点B ，AC⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点Ｅ，使AE=AC 。
直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P ，Q 。
当QE ：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _。
2121【答案】32。
【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】过点D 作DG⊥x 轴于点G ，过点E 作EF⊥y 轴于点F 。
∴图中阴影部分的面积=221141433AB 22t 242⨯=⋅=⋅=。
6. 如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2．当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S 1，△OEF的面积为S 2。
试探究：21S S -是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由。
【答案】存在。
∵四边形OAPN 是矩形，∠OAF=∠EBO=45°， ∴△AME、△BNF、△PEF 为等腰直角三角形。
∵E 点的横坐标为a ，E （a ，2﹣a ）， ∴AM=EM=2﹣a 。
∴AE 2=2（2﹣a ）2=2a 2﹣8a+8。
∵F 的纵坐标为b ，F （2﹣b ，b ），∴BN=FN=2﹣b 。
∴BF 2=2（2﹣b ）2=2b 2﹣8b+8。
∵PF=PE=a+b﹣2，∴EF 2=2（a+b ﹣2）2=2a 2+4ab+2b 2﹣8a ﹣8b+8。
∵ab=2，∴EF 2=2a 2+2b 2﹣8a ﹣8b+16。
∴EF 2=AE 2+BF 2。
∴线段AE 、EF 、BF 组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边。
∴此三角形的外接圆的面积为()()2221S EF 2a b 2a b 2442πππ==⋅+-=+-。
∵()PEF OME OMPF 111S PF ON PM S PF PE S OM EM 222∆∆=+⋅=⋅=⋅梯形，，， ∴S 2=S 梯形OMPF ﹣S △PEF ﹣S △OME ，=12（PF+ON ）•PM﹣12PF•PE﹣12OM•EM学习好资料 欢迎下载=12 [PF （PM ﹣PE ）+OM （PM ﹣EM ）]= 12（PF•EM+OM•PE ）=12PE （EM+OM ） =12（a+b ﹣2）（2﹣a+a ）=a+b ﹣2。
∴()221S S a b 2a b 22π-=+--+-。
设m=a+b ﹣2，则222121S S m m m 222ππππ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭， ∵<02π-，∴当2m π=时，21S S -有最大值，最大值为12π。
【考点】单动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，二次函数的性质，偶次幂的非负性质，转换思想的应用。