1998年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

1 sin2 x sin2 x dx
cot
x
ln
sin
x
dx sin 2
x
1dx
cot x ln sin x cot x dx x
cot x ln sin x cot x x C .
【解析】作积分变量代换 u x2 t2 , t : 0 x u : x2 0 ,
du d x2 t2 2tdt dt 1 du , 2t
1 n
0
,但
yn
不是无穷小；
排除掉(A)、(B)、(C),故选(D).
(2)【答案】(B)
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是
分段函数. f (x) (x2 x 2) x x2 1 ,当 x 0, 1时 f (x) 可导,因而只需在 x 0, 1处
1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1) lim x0
1 x 1 x 2 x2
.
(2) 曲线 y x3 x2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A
.
(3)
ln sinwk.baidu.comx sin2 x dx
四、(本题满分5分)
确定常数 a,b, c 的值,使 lim x0
ax sin x x ln(1 t3 ) dt
c(c
0).
bt
五、(本题满分5分)
利用代换 y u 将方程 ycos x 2ysin x 3y cos x ex 化简,并求出原方程的通 cos x
解.
六、(本题满分6分)
3
设数列
xn
与
yn
满足
lim
n
xn
yn
0 ,则下列断言正确的是
()
(A) 若 xn 发散,则 yn 发散
(B) 若 xn 无界,则 yn 必有界
(C) 若 xn 有界,则 yn 必为无穷小
(D)
若1 xn
为无穷小,则 yn 必为无穷小
(2) 函数 f (x) (x2 x 2) x3 x 的不可导点的个数是
y f (x) 为曲边的梯形面积.
(2)
又设
f (x) 在区间 (0,1) 内可导,且
f (x) 2 f (x) x
,证明(1)中的 x0 是唯一的.
2
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九、(本题满分8分)
设有曲线 y x 1 ,过原点作其切线,求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x
考察 f (x) 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由
(x2 x 2)x(1 x2 ),
f
(x)
( x 2
(
x2
x x
2) 2)
x(x2 x(1
1), x2 ),
(x2 x 2)x(x2 1),
.
(4) 设 f (x) 连续,则 d x tf (x2 t2 )dt
dx 0
(5) 曲线 y x ln(e 1 )(x 0) 的渐近线方程为 x
. .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)
xn
2k 1,
0,
n 2k 1, 0, n 2k, yn 2k,
n 2k 1, k 1, 2,
n 2k,
,
满足 lim n
xn yn
0
,但
yn 不是有界数列；
(C)的反例:
xn
:1,
1 2
,
1 3
,
,1, n
有界数列, yn 1(n 1, 2,
), 满足
lim
n
xn yn
lim
n
x (a , a ) 时,必有
()
(A) (x a)[ f (x) f (a)] 0
(B) (x a)[ f (x) f (a)] 0
(C) lim f (t) f (x) 0(x a) ta (t x)2
(D) lim f (t) f (x) 0(x a) ta (t x)2
ln sin
x cot
x
dx
ln sin
xd
cot
x
分部 [cot x ln sin x cot xd ln sin x]
cot
x
ln
sin
x
cot
x
cos sin
xdx x
cot x ln sin x
cos2 x sin2 x dx
(4)【答案】 xf (x2 )
cot x ln sin x
2 1 x2 1
lim
lim
x x0 2 1 x 1 x 2 x0
4x2
1 x2 1
1
2
1 x2
x2 lim x0
2 2x2
1. 4
方法2：采用洛必达法则.
原式 洛 lim
1 x
1 x 2 lim 2
1 1 x 2
1 1 x
x0
x2
x0
2x
1 1
lim 1 x 1 x lim 1 x 1 x 洛 lim 2 1 x 2 1 x
x2
2
x0
x2
lim
x0
1 4
x2
o1
x2 x2
o2
x2
1. 4
(2)【答案】 37 12
【分析】求曲线与 x 轴围成的图形的面积,应分清楚位于 x 轴上方还是下方,为此,要先求
此曲线与 x 轴交点.
【解析】 y x3 x2 2x 与 x 轴的交点,即 x3 x2 2x x(x 2)(x 1) 0 的根
(5) 设 A 是任一 n(n 3) 阶方阵, A 是其伴随矩阵,又 k 为常数,且 k 0, 1,则必有
(kA) (A) kA
(B) k n1A
(C) k n A
()
(D) k 1A
三、(本题满分5分)
x tan( x )
求函数 f (x) (1 x) 4 在区间 (0, 2 ) 内的间断点,并判断其类型.
x tf (x2 t2 )dt 0
u x2 t2
0
tf
x2
(u)
1 2t
du
0 x2
1 2
f
(u)du
1 2
x2
f (u)du ,
0
d x tf (x2 t2 )dt 1 d x2 f (u)du 1 f (x2 ) x2 1 f (x2 ) 2x xf (x2 ) .
dx 0
2 dx 0
2
2
(t)
【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 F(t) f (x)dx ,(t) , (t) 均一 (t)
阶可导,则
F(t) (t) f (t) (t) f (t) .
(5)【答案】 y x 1 e
【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.
轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、(本题满分8分)
设 y y(x) 是一向上凸的连续曲线,其上任意一点 (x, y) 处的曲率为 1 ,且此曲 1 y2
线上点 (0,1) 处的切线方程为 y x 1,求该曲线的方程,并求函数 y y(x) 的极值.
十一、(本题满分8分)
设 x (0,1) ,证明： (1) (1 x) ln2 (1 x) x2; (2) 1 1 1 1 1 .
受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为 k(k 0) .试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出
函数关系式 y = f v .
八、(本题满分8分)
设 y f (x) 是区间[0,1] 上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 x0 (0,1) ,使得在区间[0, x0 ] 上以 f (x0 ) 为高的矩形面积,等于在[x0,1] 上以
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分,把答案填在题中横线上.)
(1)【答案】 1 4
【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
1 x 1 x 2 1 x 1 x 2
原式 lim x0
x2 1 x 1 x 2
2 1 x 1 x 4
计算积分 2 1 2
dx . x x2
七、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y (从海平面算 起)与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m ,体积为 B ,海水比重为 ,仪器所
()
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(3)
已知函数 y
y(x)
在任意点
x
处的增量
y
yx 1 x2
, 其中
是比 x(x 0) 高阶
的无穷小,且 y(0) , ,则 y(1)
()
(A) e 4
(B) 2
(C)
(D) e 4
(4) 设函数 f (x) 在 x a 的某个邻域内连续,且 f (a) 为其极大值,则存在 0 ,当
已知1 (1, 4,0, 2)T ,2 (2,7,1,3)T ,3 (0,1, 1, a)T , (3,10,b, 4)T ,问： (1) a,b 取何值时, 不能由1,2 ,3 线性表示？ (2) a,b 取何值时, 可由1,2 ,3 线性表示？并写出此表达式.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
0
x4 4
x3 3
x2
0 1
x4 4
x3 3
x2
2 0
0 (1 1 1) (4 8 4) 5 8 37 .
43
3
12 3 12
(3)【答案】 cot x ln sin x cot x x C.
【解析】因为 cot
x
csc2
x
1 sin 2
x
,所以
ln sin x sin2 x dx
由曲线方程
y
x
ln(e
1 x
)
知,铅直渐近线可能在两处：
x
1 e
及
x
0
,但题设
x
0
,所以
x
1 e
不予考虑,考虑
x
0
的情况.当
x
0
时,
lim x ln(e 1)x 1 t lim ln(e t) 洛 lim 1 0 ,
x0
x
t
t
t e t
所以无铅直渐近线；
因
lim y(x) lim x ln(e 1) lim x ln e ,
所以有斜渐近线 y x 1 . e
【相关知识点】1.铅直渐近线：如函数
y
f (x) 在其间断点 x
x0
处有
lim
xx0
f (x) ,则
x x0 是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当 lim f (x) a, (a为常数）,则 y a 为函数的水平渐近线. x
斜渐近线：若有 a lim f (x) ,b lim[ f (x) ax] 存在且不为 ,则 y ax b 为斜渐近线.
ln 2 ln(1 x) x 2
十二、(本题满分5分)
设 (2E C1B) AT C1 ,其中 E 是4阶单位矩阵, AT 是4阶矩阵 A 的转置矩阵,
求A.
1 2 3 2 1 2 0 1
B 0 1 2 3 ,C 0 1 2 0 , 0 0 1 2 0 0 1 2
0 0 0
1
0
0
0
1
十三、(本题满分8分)
x0 4x 1 x2
x0
4x
x0
4
lim
x0
2
1 1 x 2
1 1 x 1 .
4
4
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至 x2 项,
1
x
1
1 2
x1 8
x2
o1
x2
,
1 x
1
1 2
x1 8
x2
o2
x2
,
从而
原式
lim
1
1 2
x
1 8
x2
o1
x2
1
1 2
x
1 8
x2
o2
由 yn
( xn
yn
)
1 xn
及
lim
n
xn
yn
0, lim 1 x n
n
0 可知 yn 为两个无穷小之积,故 yn 亦为无
穷小,应选(D).
方法2:排除法.
(A)的反例: xn
n,
yn
1 n2
,
lim
n
xn
yn
lim n
n
1 n2
lim
n
1 n
0 满足题设,但 lim n
yn
0
不发散；
(B)的反例:
x
x
x x
故无水平渐近线.
再考虑斜渐近线:
lim y lim ln(e 1) 1,
x x
x
x
lim
x
y
x
lim
x
x
ln(e
1 x
)
1
lim
x
x
ln
e
ln(1
1 ex
)
1
lim x ln(1 1 ) lim x 1 1 ,
x
ex x ex e
( x 时, ln(1 1 ) 1 ) ex ex
4
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为 x 1, 0, 2.
当 1 x 0 时, y 0 ；当 0 x 2 时, y 0,从而
A
0
ydx
2
ydx
0 (x3 x2 2x)dx
2 (x3 x2 2x)dx
1
0
1
x x
x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
【解析】方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.
6
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