随机过程引论课件3

t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E[e j(u1Xt1 ] un Xtn )
为随机过程X的n维特征函数.
u1, u2 ,..., un R
称函数集合：
{t1,t2,...,tn (u1,u2,...,un ), n N,ti T ,ui R,i 1, 2,.., n}
（）对（1，2，L ,n）的任一个排列（k1 ,L ,kn ）,有 Ft1 ,L ,tn(x1 ,L , xn ) Ftk1 ,L (x ,tkn k1 ,L , xkn )
若自然数m<n, 则有 Ft1 ,L ,tm(x1 ,L , xm ) Ft1 ,L ,tm ,,tm1 ,L ,tn(x1 ,L , xm ,+ ,L ,+)
则称函数集F为随机过程X的n维分布函数族。
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
1
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
有限维分布函数族具有以下相容性条件
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
正态分布 X～N(µ, σ2),密度函数为
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
,

x

, ,
(
0)常 数
2
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机变量V服从[0,1]上的均匀分布.分别计算当
t 3 和t 时,随机过程X的一维分布函数.
4
2
解：
t 3 时， 4
Xt
V cos 3 4

2V 2
由于函数 x 2 V 的反函数为 2
V h( x ) 2x, 其导数为 h( x ) 2,
fV
(h(x)) 0
h(x)
0 h(x) 1 其它

2
0
0 2x 1 其它

2
0
2 x0 2 其它
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
4
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
A

x1,
A 2

x2
)
P( A x1, A 2x2 )
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
8
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
Introduction to Stochastic Process
0,

1
,
分布函数为
F(x）
4

3 2
,
3
1,
x 2 2
2 x 2 2 2x 3 2
2 x3 2
2
（2）F0, (x1, x2 ) P( X 0 x1, X x2 )
3
3

P(

2
时，X t

V
cos
2

0,
此时X 服从单点分布,则
2
F (x) P{X x}
2
2
1 0
x0 x0
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
6
School of Mathematics and Statistics Xidian University
Ft1 ,L ,tn(x1 ,L , xn ) P( Xt1 x1 ,L ,Xtn xn ),
为随机过程X的n维分布函数。
将随机过程X的所有有限维分布函数的全体记为
F=Ft1 ,L ,tn(x1 ,L ,xn )：n N，t1 ,t2 ,L ,tn T，x1 ,x2 ,L ,xn R
（2） 若X与Y相互独立,Z=X+Y,则
Z (u ) X (u ) Y (u )
(可推广到n个相互独立随机变量)
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process

q)n
k 0
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
泊松分布
P(X k ) k e ,
k!
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
3
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
利用随机变量的函数的概率密度计算公式，得
f 3
4
(x)


随机过程引论
Introduction to Stochastic Process百度文库
二项分布
P (X

k)

C
k n
p
k
q
n

k
,
k=0,1,…,n.0<p<1,q=1-p.
则特征函数
( e ju p ) k
n
(u ) E [e juX ]
e
juk C
k n
p
k
q
nk

( pe ju
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
(4)一些重要分布的特征函数计算
单点分布 P(X=c)=1, c常数.则
( u ) E [ e juX ] e juc
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
为随机过程X的有限维特征函数族.
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
关于随机变量的特征函数的回顾
定义 设随机变量X的分布函数F(x),则称
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
均匀分布 r.v.X～U(a,b],密度函数为
则特征函数
f
(x)

b
1
a 0,
,
a
x 其它
Introduction to Stochastic Process
则X的一维分布函数为
x
F3 (x) - fX3 (t)dt
4
4

0，

x 2 2


x
- 22
2dt，

2 x0 2
0
- 22
2dt， x 0

0，
x 2 2


西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
补例1.设随机过程 X=X t Vcost ,t ,R 其中 为常数，
b
( u ) E [ e juX ] e jux f ( x ) d x
eb jux 1 d x
1
(e jbu e jua )
a ba
jt(b a )
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
(1) 特征函数总是存在的. 对任意实数u,有|ejux|=1.故E[ejux]总存在.
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
k=0,1,2,…, λ>0
则特征函数
(u ) E [e juX ] e juk k e
k 0
k!
e ( e ju ) k e e e ju e ( e ju 1)
k0 k !
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
2(x 2 2)， 2 2 x 0
1，
x0
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
当t
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
三. 有限维分布函数族
定义2.3.1 设 X Xt ,t T是定义在概率空间 （,F,P）上取实 值的随机过程.对任意的自然数 n 0,及任意的 t1 ,t2 ,L ,tn T 和实数 x1 ,x2 ,L ,xn R, 称n维随机变量（Xt1 , Xt 2 ,L , Xtn）的联合 分布函数
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
补例2. 设随机过程X=X t Acost ,t 0，其中随机变量A有分布律：
P( A i ) 1 , i 1,2,3. 3
试求 (1)随机过程X的一维分布函数F (x)
4
(2)随机过程X的二维分布函数
F
0
,

x1
,
x2

3
解
（1）

X
4

A cos
4

2 A, 2
2
分布律为

2
1
3
2
3 2
2

1
1
3
3
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
7
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
则特征函数
( u ) E [ e juX ] e jux f ( x ) d x
（3）设随机变量X的n阶原点矩(即E[Xn])存在,
则 ( u ) 存在k (k≤n) 阶导数, 且有
(k)(0) jkE X k , k n
EX k (k)(0) , k n
jk
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
2x2 3
( x1 2x2 )
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
9
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
定义2.3.3 设 X=Xt ,t T 是定义在概率空间 ,F,P 上取实 值的随机过程.对任意的自然数 n 0 及任意的 t1 ,t2 ,L ,tn T , 称


P( A x1) P( A 2x2 )
x1 2x2 x1 2x2
0,

1
,


3 2
,
3
x1 1
1 x1 2 (x1 2x2 ) 或 2 x1 3
2x2 1 1 2x2 2 2 2x2 3
1, x1 3
(u) E[e juX ]
u
为随机变量X的特征函数.
西安电子科技大学 —数学与统计学院 冯海林
School of Mathematics and Statistics Xidian University
随机过程引论
特征函数的几点说明
Introduction to Stochastic Process