随机过程引论课件3

随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
补例2. 设随机过程X=X t Acost ,t 0，其中随机变量A有分布律：
P( A i ) 1 , i 1,2,3. 3
试求 (1)随机过程X的一维分布函数F (x)
4
(2)随机过程X的二维分布函数
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
正态分布 X～N(µ, σ2),密度函数为
f (x)
1
e
(
x ) 2 2
2
,

x

, ,
(
0)常 数
2
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q)n
k 0
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Introduction to Stochastic Process
泊松分布
P(X k ) k e ,
k!
(1) 特征函数总是存在的. 对任意实数u,有|ejux|=1.故E[ejux]总存在.
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随机过程引论
Introduction to Stochastic Process


P( A x1) P( A 2x2 )
x1 2x2 x1 2x2
0,

1
,


3 2
,
3
x1 1
1 x1 2 (x1 2x2 ) 或 2 x1 3
2x2 1 1 2x2 2 2 2x2 3
1, x1 3
随机过程引论
Introduction to Stochastic Process
三. 有限维分布函数族
定义2.3.1 设 X Xt ,t T是定义在概率空间 （,F,P）上取实 值的随机过程.对任意的自然数 n 0,及任意的 t1 ,t2 ,L ,tn T 和实数 x1 ,x2 ,L ,xn R, 称n维随机变量（Xt1 , Xt 2 ,L , Xtn）的联合 分布函数
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Introduction to Stochastic Process
二项分布
P (X

k)

C
k n
p
k
q
n

k
,
k=0,1,…,n.0<p<1,q=1-p.
则特征函数
( e ju p ) k
n
(u ) E [e juX ]
e
juk C
k n
p
k
q
nk

( pe ju
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补例1.设随机过程 X=X t Vcost ,t ,R 其中 为常数，
（）对（1，2，L ,n）的任一个排列（k1 ,L ,kn ）,有 Ft1 ,L ,tn(x1 ,L , xn ) Ftk1 ,L (x ,tkn k1 ,L , xkn )
若自然数m<n, 则有 Ft1 ,L ,tm(x1 ,L , xm ) Ft1 ,L ,tm ,,tm1 ,L ,tn(x1 ,L , xm ,+ ,L ,+)
b
( u ) E [ e juX ] e jux f ( x ) d x
eb jux 1 d x
1
(e jbu e jua )
a ba
jt(b a )
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则称函数集F为随机过程X的n维分布函数族。
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有限维分布函数族具有以下相容性条件
(u) E[e juX ]
u
为随机变量X的特征函数.
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随机过程引论
特征函数的几点说明
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（2） 若X与Y相互独立,Z=X+Y,则
Z (u ) X (u ) Y (u )
(可推广到n个相互独立随机变量)
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（3）设随机变量X的n阶原点矩(即E[Xn])存在,
则 ( u ) 存在k (k≤n) 阶导数, 且有
(k)(0) jkE X k , k n
EX k (k)(0) , k n
jk
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2x2 3
( x1 2x2 )
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定义2.3.3 设 X=Xt ,t T 是定义在概率空间 ,F,P 上取实 值的随机过程.对任意的自然数 n 0 及任意的 t1 ,t2 ,L ,tn T , 称
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利用随机变量的函数的概率密度计算公式，得
f 3
4
(x)


随机变量V服从[0,1]上的均匀分布.分别计算当
t 3 和t 时,随机过程X的一维分布函数.
4
2
解：
t 3 时， 4
Xt
V cos 3 4

2V 2
由于函数 x 2 V 的反函数为 2
V h( x ) 2x, 其导数为 h( x ) 2,
A

x1,
A 2

x2
)
P( A x1, A 2x2 )
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则X的一维分布函数为
x
F3 (x) - fX3 (t)dt
4
4

0，

x 2 2


x
- 22
2dt，

2 x0 2
0
- 22
2dt， x 0

0，
x 2 2


为随机过程X的有限维特征函数族.
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Introduction to Stochastic Process
关于随机变量的特征函数的回顾
定义 设随机变量X的分布函数F(x),则称
fV
(h(x)) 0
h(x)
0 h(x) 1 其它

2
0
0 2x 1 其它

2
0
2 x0 2 其它
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Introduction to Stochastic Process
均匀分布 r.v.X～U(a,b],密度函数为
则特征函数
f
(x)

b
1
a 0,