组合数学-鸽巢原理讲义

m n 个物体.
反证法. 假定每个盒子
m 个，则至多有 n 1 个，那 m m 么n个盒子里的物体总数 n 1 n m, n n
矛盾.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.2 一家汽车租赁公司共有105辆汽车， 共有座位600个，证明至少有一辆6座以上 的汽车.
分析：①已知：4行19列的网格，3种颜色； ②目标：矩形的4个角涂同一种颜色；
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明：每一列有4行，但只有3种颜色，则必有 两个单元格的颜色相同，其不同位置的组合有 C(4,2)=6种，则一列中两个同色单元格的位置 组合共有18种，而现在有19列，则无论怎样涂 色，必有两列与图中的某一列相同，即各自所 包含的两个同色单元格的位置相同、颜色相同.
解 :根据定推论2.2.1可知，n=3个，r=10，则需要 3×(10-1)+1=28个. 题2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的 结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定” ，至少有多少人参加才能保证必有100个人 得到相同的结果？
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.2 设 m1 , m2 ,, mn 是n个正整数， 而且 m1 m2 mn
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.4 用鸽巢原理的加强形式证明
证明：任意n2+1 个实数 a1 , a2 ,..., an 2 1
组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列.
证明：假设不存在长度为n+1的递增子序列，则 必存在长度为n+1的递减子序列.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
考虑数列： 它们都在1与132+21=153之间，共有154项.由鸽 巢原理知，其中必有两项相等.由(2.1.1)式知 a1,a2, …,a77互不相等，从而a1+21,a2+21, …,a77+21也互不相等，所以一定存在1≤i＜j≤77， 使得aj=ai+21. 21=aj-ai
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明：对于任意一个整数，它除以100的 余数显然有如下100种情况： 0，1，2，3，……，99 现在有任意给定的52个整数，需要构造 51个盒子，即对这100个余数进行分组， 共51组： {0}，{1，99}，{2，98}，{3，97}，…， {49，51}，{50}.
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备一场 锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，为 了不能太累一周中下棋的次数不能多于 12盘. 证明：他一定在此期间的连续若干 天中恰好下棋21盘.
分析：① 已知：一共11周； 每周最多下12盘棋； 每天至少下1盘棋 ； ② 目标：连续若干天共下棋21盘； ③ 方法：构造和的序列.
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.3.1 设K6是6个顶点的完全图，用红、 蓝两色涂色K6的边，则存在一个红色三角 形，或存在一个蓝色三角形.
i 1
§2.3 Ramsey定理
Ramsey (1903-1930)
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
完全图: 所有顶点间两两相连构成的图. Cn2 条 Kn :由n 个顶点，两两相连，构成的具有 边的简单图. 任何一个6人聚会中，必有3个人相互认 识或相互不认识.
2013年12月31日
几个例子 例2.1.1 共有12个属相，今有13个人，则 必有两人的属相相同.
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.2 有5双不同的袜子混在一个抽屉 里，我们至少从中选出多少只袜子才能 保证找到1双袜子？
解 根据定理2.1.1，共有 n=5个盒子，每 个盒子对应1双袜子. 如果选择5+1=6只袜 子，则必有两只袜子落入同一个盒子中 ，即为一双袜子.因此我们至少从中选出6 只袜子才能保证找到1双袜子.
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.1 鸽巢原理的最简单形式 §2.2 鸽巢原理的加强形式 §2.3 Ramsey定理
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.1 鸽巢原理的最简单形式
鸽巢原理（抽屉原理），它指的是 一个简单的事实：如果鸽子的数目比 巢穴的数目多，那么至少要有一个鸽 巢被两只或多只鸽子占据（若有 n个 鸽子巢，n+1只鸽子，则至少有一个 巢内有至少有两只鸽子).
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
令mk是从ak开始的递增子序列的最大长 度，则有1≤mk≤n (k=1,2,…,n2+1).
将 m1 , m2 ,, mn 1 放入n个盒子中，必有
2
n2 1 1 一个盒子i有至少 n n n 1 个物 n
a1,a2, …,a77, a1+21,a2+21, …,a77+21
=(b1+b2+…+bi+bi+1+…+bj)-(b1+b2+…+bi) =bi+1+bi+2+…+bj.
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例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格， 每个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选 择，证明：无论怎样涂色，其中必有一个 由单元格构成的矩形的4个角上的格子被 涂上同一种颜色.
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1 设q1,q2,…,qn都是正整数，若把 q1+q2+…+qn-n+1个物体放入n个盒子，那么或者 第一个盒子至少包含q1个物体，或者第二盒子至 少包含q2个物体，…或者第n个盒子至少包含qn个 物体. 证明：对于i(1≤i≤n)，第i个盒子至多只有qi-1个 物 体，则n个盒子中至多有 (q1-1)+(q2-1)+…+(qn-1)=(q1+q2+…+qn)-n 个物体，矛盾.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明:令b1，b2，…，b77分别为这11周中他每天 下棋的次数，并作部分和 a1=b1, a2=b1+b2, …， a77=b1+b2+…+b77. 其中bi≥1(1≤i≤77)， 且bi+bi+1+…+bi+6≤12(1≤i≤71)，则有 1≤a1＜a2＜a3＜…＜a77≤12×11=132. (2.1.1)
n r,
则 m1 , m2 ,, mn 中至少有一个数≥r.
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若 将m个物体放入n个盒子中，则至少有一个
盒子中有大于等于
m 里的物体都小于 n
m m m 证明： 1 . n n n
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
大圆盘 小圆盘
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明: ①任取一个小扇形，与大扇形的颜色就构成一 颜色组. 共200组颜色组，其中同色的100组. ②小扇形共有200个， 同色组总数为:100 ×200＝20000组. ③而小盘与大盘的相对位置有200种， 每个位置平均有20000 ÷ 200＝100组同色组. ④根据推论2.2.3，必存在着某个位置使得至少 有100个小扇形落在同色的大扇形内.
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
题2.19在边长为2的正三角形中任取5个点， 证明至少有两个点之间的距离不超过1.
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.6 证明：任意n2+1 个实数 a1 , a2 ,..., an 2 1
组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列.
体，即存在n+1个取值相同的mk，设
mk1 mk2 mkn1 l ,
其中k1 k2 kn1 ,1 l n.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
满足 ak1 ak2 akn1 , 长度为n+1. 反证法.若存在某个i(1≤i≤n)，使得 aki aki1 , 则从 ak 开始的最长递增子序列加上 aki ，构 成了从 aki 开始的长度为l+1的递增子序列， 这与m=l矛盾.
分析：①已知：由n2+1个实数组成的序列； ②目标：递增或递减子序列的长度n+1.
2013年12月31日
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第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明：由题意，设Li是从ai开始的递减子序列的 最大长度，Mi 是从ai 开始的递增子序列的最大 长度，则对于i从1到n2+1的每个i的取值，都有 （Li, Mi）与之对应. 反证法.假设既不存在长度为n+1的递增子序列， 也不存在长度为n+1的递减子序列即1≤Li≤n且 1≤Mi≤n，其中1≤i≤n2+1，由集合论可知集合{(Li, Mi)}的元素数为n2，根据鸽巢原理，必有(Li, Mi)= (Lj, Mj)(i < j)，显然Li = Lj且Mi = Mj. 对于 序列中的元素ai, aj，分两种情况：
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒 子，则至少有一个盒子里含有r个或者更多 的物品.
证明：令q1=q2=…qn=r即得.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.1 一个袋子里装了10个苹果，11个橘 子，12个香蕉，至少取出多少个水果才能 保证取出10个相同种类的水果?
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
定理2.1.1 若把 n+1个物体放入 n 个盒子中，则至 少有一个盒子中有2个或更多的物体. 证明 : 如果每个盒子中至多有一个物体，那么 n个盒子中至多有n个物体，而我们共有 n+1个物体，矛盾. 故定理成立.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
⑴若ai ≥ aj，则ai与从aj开始的最长递减子序列合 并，组成的子序列的长度Li ≥Lj+1 > Lj，这与Li = Lj矛盾； ⑵若ai < aj，则ai与从aj开始的最长递增子序列合 并，组成的子序列的长度Mi ≥Mj+1> Mj，这又与 Mi = Mj矛盾. 因此假设1≤Li≤n 且 1≤Mi≤n不成立，原结论成立. 有趣的表述：n2+1个人肩并肩地站成一排，则总 能选除n+1个人，让他们向前迈出一步，所形成 新一排的身高是递增或递减的.
证明：根据推论2.2.3， 600 6. 105
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.3 设有大小两只圆盘，每个都划分成
大小相等的200个小扇形. 从大盘上任选100个 扇形涂上红色，其余的涂上蓝色，而在小盘 的每个小扇形中任意涂上红色或蓝色；然后 把小盘放到大盘上，并使两个盘的圆心重合. 证明在旋转小盘时可以找到某个位置, 使得至 少有100个小扇形落在同样颜色的大扇形内.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例一个篮子里有苹果、香蕉和橘子. 为保证篮 子内或者至少有8个苹果，或者至少6个香 蕉，或者至少有9个橘子，则篮子中至少放 多少的水果？
解：8+6+9-3+1=21. 鸽巢原理的简单形式：
当q1 = q2 = … = qn= 2，有
q1 + q2 +… +qn-n +1 = n + 1.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.3 对任意给定的52个整数，证明： 其中必存在两个整数，要么两者的和能被 100整除，要么两者的差能被100整除.
分析：① 已知：52个数； ② 目标：找两个数，其和或差能被 100整除； ③ 方法：把52个物体放到51个盒子 中，需要构造51个盒子；