组合数学-鸽巢原理讲义
组合数学第二章鸽巢原理
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
组合数学-鸽巢原理讲义课件
超鸽巢原理
总结词
超鸽巢原理是鸽巢原理的一种扩展，它考虑 了多于两种元素的情况。
详细描述
超鸽巢原理是在鸽巢原理的基础上，进一步 推广到多于两种元素的情况。它涉及到多个 元素和多个鸽巢之间的关系，并用于解决一 些更为复杂的问题。超鸽巢原理的应用范围 广泛，包括组合计数、图论等领域。
鸽巢原理的变体
总结词
鸽巢原理与其他数学原理的结合
总结词
将鸽巢原理与其他数学原理结合使用，可以 产生更强大的理论工具。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
鸽巢原理是组合数学中的重要原理，但它的 应用范围有限。为了解决更复杂的问题，一 些数学家尝试将鸽巢原理与其他数学原理结 合使用。这种结合可以产生更强大的理论工 具，能够解决一些单独使用鸽巢原理无法解 决的问题。通过与其他数学原理的结合，鸽
鸽巢原理证明中的注意事项
在证明过程中，需要注意鸽巢原理的适用条件，即每个鸽 巢中的物体数量必须相同。如果每个鸽巢中的物体数量不 同，那么鸽巢原理就不适用。
另外，在证明过程中还需要注意逻辑推理的严密性，确保 每一步推理都是正确的，没有出现逻辑错误或遗漏。同时 ，还需要注意数学符号和公式的正确使用，以确保证明的 准确性和可读性。
鸽巢原理的变体是对原原理的某种修改或扩展，以适应特定的问题或情境。
详细描述
随着数学的发展，人们发现鸽巢原理在某些情况下可能并不适用，或者需要对它进行一 些修改以更好地解决问题。因此，一些数学家提出了鸽巢原理的变体。这些变体可能涉
及到对原原理的修改、扩展或与其他数学原理的结合，以适应更广泛的问题和情境。
02
在数学中，鸽巢原理常用于证明 一些组合数学和数论中的问题， 如整数分拆、集合的划分等。
鸽巢原理的适用范围
组合数学课件-第三章第四节鸽巢原理
分是36分，那么比赛中平局的场数共有多少场？
02
题目2
一个袋子里有大小形状相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球10个，
黄球9个，白球8个，某人闭着眼睛从中最少取出多少个球，才能保证4
个同色的球．
03
题目3
有10支足球队进行单循环赛，每个队都恰好与其他队各比赛一场，胜者
得3分，负者得0分，平局两队各的1分。比赛结束后，全部球队的总积
这个原理可以用数学语言表示为：如果 (n > m)，且 (n) 个物体放入 (m) 个容器中，那么至少有一个容器包含 (lceil frac{n}{m} rceil) 个 或更多的物体。
鸽巢原理的简单应用
分配问题
鸽巢原理可以用于解决分配问题，例如将 n 个不同的数分配到 m 个不同的区间中，使得每个区间至少有一个数。
量子力学
在量子力学中，鸽巢原理可以 用于描述量子系统的状态和演 化。
统计力学
在统计力学中算机模拟
在计算机模拟中，鸽巢原理可 以用于模拟物理系统的行为和 性质。
04
鸽巢原理的扩展和推广
鸽巢原理的推广形式
01
02
03
推广到无限集合
在无限集合中，如果每个 元素都有有限个“巢穴”， 则至少有一个“巢穴”包 含无限多个元素。
抽屉原理
鸽巢原理也可以用于解决抽屉原理问题，例如在 n+m 个物体中 放入 n 个抽屉，使得至少有一个抽屉包含两个或两个以上的物体 。
鸽巢原理的证明
• 鸽巢原理的证明可以通过反证法进行。假设存在一个反例，即存在 n 个物体放入 m 个容器中，且每个容器最多只有一个物 体。那么我们可以将这 n 个物体重新分配到 m 个容器中，使得每个容器至少有两个物体，这与假设矛盾。因此，假设不成 立，鸽巢原理成立。
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密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也 有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢 原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一 个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。 建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证 明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和 掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题， 逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、 大数据等领域的应用。
鸽巢问题原理ppt课件
目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一 个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本 原理之一，对于理解更高 级的数学概念和证明具有 重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领 域中，鸽巢原理为解决复 杂问题提供了有效的思路 和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以 培养逻辑思维和抽象思维 能力，提高分析问题和解 决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念
第二章、鸽巢原理和Ramsey定理
组合数学讲义(内部资料，严禁商用) 第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理 2008-2009学年第二学期第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理一、鸽巢原理鸽巢原理是组合数学中的一个重要而又基本的原理，它可以用来解决很多日常生活和科学技术上的趣题，并且常能得到一些令人惊异的结果。
这个原理有各种称呼，最常用的名称是鸽巢原理、Dirichlet 抽屉原理和鞋盒原理。
1、问题的引入1) 366个人中必然有至少两个人生日相同。
2) 抽屉里散放着10双手套，从中任意抽取11只，其中至少有两只是成双的。
3) 某次会议有n 位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。
4) 任给5个不同的整数，其中至少有3个数的和被3除尽。
这些例子的道理都很简单，以第一个例子为例，一年365天，366个人至少有一天是某两个人的生日。
最后一例子也有类似的道理，5个数中至少有3个同为奇数或同为偶数，无论哪种情况，它们的和都能被3除尽。
2、鸽巢原理的简单形式定理1、如果把1+n 只鸽子放入n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
证明：反证法。
假设每个鸽巢里至多包含一只鸽子，则n 个鸽巢里鸽子的总数小于等于n ，这与已知矛盾。
注：此原理不能用来寻找究竟是那个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
即此原理只能用来断定这种鸽巢的存在，并未指出怎样构造这种安排或怎样寻找出现这种现象的场合，除非检查所有的可能情况。
此原理的应用：例1、 已知每个人的头发根数都小于20万，对20万人以上的城市就可以断定，至少有两个人头发根数相等。
例2、在边长为1的正三角形中任意放5个点，证明至少有两个点之间的距离不大于21。
证明：构造鸽巢原理如图1,将5个点放在4个边长为21的小正三角形内，根据鸽巢原理，组合数学讲义(涉外学院数学本科用) 2008-2009学年第二学期 制作人 陈勇 必有一个小三角形内至少有两个点，这两个点的距离就小于或等于21。
组合数学 第3章 鸽笼原理
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例8
证明：作序列 s1 a1, s2 a1 a2 , ..., s100 a1 a2 ... a100。 由而故做于且根序例每据列个假题设ai都有s1是s,1s020正s,1.0.的.0(.,例已的a＞.as.整i11+01知和8h0a数(0、≥,iaa+从不s1191，2设，1+1其超6…故a使3.a.1中过9.+a9得1,2a21任s…6sia+26a1019.，意0ha≤.+.)1130即一as6902ha是(。,+对个a1.10.1+由.0则1.,于数.)…s。.11至01开a和+0≤1s少a21始i2k0≤0=3组存9的93.1.9成.在恒顺。的ha有序和20序1)k0列，个，（k数S）
§§3.31.1 鸽鸽笼笼原原理例理6
例题
例6、从1到2n的正整数中任取n+1个，则 这n+1个数中至少有一对数，其中一个数 是另一个数的倍数（n≥1） 。
证明：设所取n+1个数是a1,a2,…,an,an+1，
对该序列中的每一个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇
数为止，即 ri = ai / 2x ，x = 0,1,2,…。
结果得由奇数组成的序列R：r1,r2,…,rn,rn+1。
1到2n中只有n个奇数，故序列R中至少有两个数是相同的。
设为 ri rj r, i j ， 对应的有 ai 2i r，a j
2 j
r，不妨设i
j
，
则ai是aj的倍数。
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例7
例题
例7、设a1a2…am是正整数的序列，则至少 存 在 整 数 k 和 l ， 1≤k ＜ l≤m ， 使 得 和 ak+1+ak+2+…+al是m的倍数。 （m≥2）
组合数学课件--第三章第四节鸽巢原理
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
13
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是 X的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素 的最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
25
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于等于3的整数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1}中存在一数被n除尽。
首先这是n-1个奇数，假如n是偶数时，不可能 成立；
当n=4时，数列为{1，3，7}不可能被4除尽。
26
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于1的奇数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}中至少存在一数被 n除尽。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
14
3.13 鸽巢原理举例
X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36 X的非空子集的数目？ C(9,1)+C(9,2)+…+C(9,9) =29-1=511
23
3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.9：随意地给正十边形的10个顶点编 上号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：必有一个顶 点及与之相邻的两顶点之和不小于17。
证明：以A1,A2,A3,…,A10表示正十边形的10 个顶点，
鸽巢原理（抽屉原理）的详解
鸽巢原理（抽屉原理）的详解抽屉原理百科名⽚桌上有⼗个苹果，要把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥，⽆论怎样放，我们会发现⾄少会有⼀个抽屉⾥⾯放两个苹果。
这⼀现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的⼀般含义为：“如果每个抽屉代表⼀个集合，每⼀个苹果就可以代表⼀个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定⾄少有⼀个集合⾥有两个元素。
” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽⼦笼，养鸽⼈养了6只鸽⼦，那么当鸽⼦飞回笼中后，⾄少有⼀个笼⼦中装有2只鸽⼦”）。
它是组合数学中⼀个重要的原理。
第⼀抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉⾄多只能放进⼀个物体，那么物体的总数⾄多是n，⽽不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
抽屉原理原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉⾄多放进m个物体,那么n个抽屉⾄多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把⽆穷多件物体放⼊n个抽屉，则⾄少有⼀个抽屉⾥有⽆穷个物体。
原理1 、2 、3都是第⼀抽屉原理的表述。
第⼆抽屉原理把（mn－1）个物体放⼊n个抽屉中，其中必有⼀个抽屉中⾄多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共⾄少有mn个物体，与题设⽭盾，故不可能。
应⽤基本介绍应⽤抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作⽤。
许多有关存在性的证明都可⽤它来解决。
例1：同年出⽣的400⼈中⾄少有2个⼈的⽣⽇相同。
解：将⼀年中的365天视为365个抽屉，400个⼈看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：⾄少有2⼈的⽣⽇相同. 400/365=1…35,1+1=2 ⼜如：我们从街上随便找来13⼈，就可断定他们中⾄少有两个⼈属相相同。
“从任意5双⼿套中任取6只，其中⾄少有2只恰为⼀双⼿套。
ch3鸽巢原理3(组合数学)
3.4 鸽巢原理
【例5】 设a1 , a2 , · · · , a100是由1和2组成的序
列 , 已知从其任一数开始的顺序10个数的和 不超过16．即 ai + ai+1 +… + ai+9 ≤16，1≤ i ≤91 则至少存在一对h和k ，k > h，使得 ah + ah+1 +… + ak = 39
dr(v4)≥3
√
设 (v4v5)为蓝边
(v4v5) (v4v6) 为红边 △v1v5v6是蓝△?
N Y
设 (v4v5)为蓝边
N Y
△v2v3v5是红△? 设 (v2v5)为蓝边 △v2v4v5是蓝△ √
△v1v4v5是蓝△ 设 (v v )为红边 5 6 √ △v4v5v6是红△所有的 li ∈[ 1 , m],其中必有 m
个相等，于是设
li = li = · · · = li = li
1 2 n
n+1
不妨设 应有
i1<i2< · · · <in+1， a i > ai > · · · > ai
1 2
n+1
h=1,2,· · · , m . 若存在 l , Sl≡0 mod m 则 命题成立．否则，1≤rh≤m-1．但h = 1 , 2 , · · ·, m．由鸽巢原理，故存在 rk = rh , 即 Sk≡ Sh，不妨设 h ＞k．则 Sh－Sk = ak+1 + ak+2 +… + ah ≡0 mod m
，
即有一长度为n+1的减子列．
否则，若
ai 1 ai2 li 1 li2
组合数学讲义 5章 抽屉原理
第五章 抽屉原理和Ramsey 理论抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理。
其道理并无深奥之处，且正确性也很明显。
但若能灵活运用，便可能得到一些意料不到的结果。
抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要计算某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性。
1930年英国逻辑学家F. P. Ramsey 将这个简单原理作了深刻推广，即Ramsey 定理，也被称为广义抽屉原理。
它是一个重要的组合定理，有许多应用。
5.1 抽屉原理（一）基本形式定理5.1.1 （基本形式）将n ＋1个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。
证 反证之。
将抽屉编号为：1,2, …,n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则 121+=+++n q q q n但若定理结论不成立，即1≤iq ，即有n q q q +++ 21≤n ，从而有 n q q q n n ≤+++=+ 211矛盾。
例 5.1.1 一年365天，今有366人，那么，其中至少有两人在同一天过生日。
注：与概率的区别：抽屉原理讲的是所给出的结论是必然成立的，即100%成立。
而概率反映的是不确定性现象发生的可能性问题，不讨论100%成立的确定性概率问题。
生日悖论：随机选出n 个人，则其中至少有二人同一天出生的概率为()A P n =n n P 3651365-特例：()A P 23=50.73%，()A P 100=99.99997%例 5.1.2 箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有两只是完整配对的。
（二）推广形式定理5.1.2 （推广形式）将121+-+++n q q q n 个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个。
（证）反证。
不然，设第i 个抽屉的物品数小于i q （i ＝1,2, …,n ）(即该抽屉最多有1-i q 个物品)，则有11+-∑=n q n i i ＝物品总数≤()n q q ni i n i i -=-∑∑==111与假设矛盾。
组合数学第二章鸽巢原理
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
命题2.3.1:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 命题2.3.2:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都至少存在两个同色三角形。
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
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例6： （中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， a,b是满足 的整数。 证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数 为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设 都是正整数，如果把 个物品放入n个盒子，那么或者 第1个盒子中至少有q1个物品， 或者第2个盒子中至少 有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有r个物品。
第二章 鸽巢原理
一、鸽巢原理的简单形式 二、鸽巢原理的加强形式 三、Ramsey问题与Ramsey数 四、Ramsey数的推广
2.1 鸽巢原理的简单形式
定理2.1.1:如果把n +1个物品放入n个盒子中， 那么至少 有一个盒子中有两个或更多的物品。 例1. 13个人中必有两人的属相相同。 例2. 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两 点，它们之间的距离不超过
注:
定理2.4.5:
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组合数学 鸽巢原理
三 、Ramsey问题与Ramsey数
定理3 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，都存在一个红色三 角形或一个蓝色三角形。 定理4 对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两边着色，都至少有2个同色三 角形。 定理5 对10个顶点的完全图K10，任意进行红、蓝两边着色，都或者有一红色 K4，或者有一蓝色K3 .
应用3 给定m个整数 a , a ,, a ， 存在整数k和l 0 k l m ， 使得 a a a 能够被m整除。通俗地说，就是在序列 a , a ,, a 中存在连续 a ，这些 a
1 2 m k 1 k 2 1 除。 应用4 一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至 少下一盘棋，但为了不使自己过于疲劳他还决定在每周不能下棋超过 12盘。证明存在连续若干天期间这位大师恰好下了21盘棋。 应用5 (中国余式定理)令m和n为二互素的正整数，并令a和b为两整数， 且0 a m 1以及 0 b n 1。于是，存在一个正整数x，使得x除以m的余数 为a，并且x除以n的余数为b；即可以写成 x pm a 的同时又可写成x qn b 的形式，这里，p和q是两个整数。
m1 , m2 ,, mn
m1 m2 mn r 1 n
那么
1 2 n
中至少有一个大于或等于r
n
, m ,, m 推论3 m若将 m个物品放入n个盒子中，则至少有一个盒子中有不少于 m 个物
品．其中， 是不小于的最 m 小整数。
m n
n
应用6 将1到16的16个正整数任意分成三部分，其中必有一部分中 的一个元素是某两个元素之差(三个元素不一定互不相同)。
二、鸽巢原理的加强形式
定理2 如果把 q q q n 1 个物体放进n个盆子里，那么或者第一个盒 子里装有q1至少个物体，或者第二个盒子里装有至少q2个物体，…， 或者第n个盒子里装有至少qn个物体。
组合数学：3-2 鸽巢原理
例8 假设序列S={a1,a2,…,amn+1}中的各个数互不相同， 证明序列S中可以找到一个长度为m+1的增子序列或 者长度为n+1的减子序列；而且也可以找到一个长度 为n+1的增子序列或者长度为m+1的减子序列。 显然只需要证明一个即可。 证法1：从每个ai开始往后选取最长的增子序列，设 其长度为li，从而得到序列l1,l2,…,lmn+1。 若存在某个li≥m+1，则命题成立。 否则所有的li 满足1≤li≤m，但共有mn+1个li， 因此由推论2，至少有(mn+1-1)/m+1=n+1个li 相同。 不妨设
ai和aj互不相同，因此必定一个是另一个的倍数。
p
q
例3 设a1a2a3为任意3个整数，b1b2b3为a1a2a3的任一 排列，则a1-b1,a2-b2,a3-b3中至少有一个是偶数。
由鸽巢原理，a1a2a3除以2的余数至少有2个相同。 设余数为xxy，则b1b2b3除以2的余数也是xxy。 因此a1-b1,a2-b2,a3-b3除以2的余数中至少有一个是0。 另证：由于(a1-b1)+(a2-b2)+(a3-b3)=0，因此这三个数 中至少有一个是偶数。
构造序列Si=a1+…+ai，i=1,2,…,m。 设Si除以m的余数为ri。下面来讨论ri。 (1) 若有某个ri=0，则命题已成立。 (2) 若所有的ri都不为零，则ri只可能是1到m-1。 但是共有m个ri，根据鸽巢原理，至少有2个相同。 不妨设rk=rl，其中l >k，则Sl -Sk是m的倍数。 根据Si的定义， Sl -Sk= ak+1+·· l， ·+a 故命题成立。
组合数学第二章[鸽巢原理]
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Ramsey
定理
3. Ramsey数的简单性质 [定理] r (a ,b)= r(b, a)；r(a,2)=a。
[证] K r(a, b )的边红蓝２着色，有 红Ka或蓝Kb。将红蓝２色对换，就 有红Kb或蓝Ka。 第二个等式是指存在一个a个顶 点的红色完全图，或者存在一条兰 色边。
Ramsey
鸽巢原理 加强形式
[例1] 如图所示的大小盘子，都被均匀地分成200 个扇形。大盘中任选100个扇形图红色，余下 100个图兰色。小盘中的扇形可任意涂成兰色 或红色。证明，能够将两盘子的扇形对齐使得 小盘子和大盘子上相同颜色重合的扇形数目超 过100个。 [证] 可考虑大盘固定，小盘转动，每转动一个 扇形时匹配的扇形数mi，1≤i≤200。 当小盘转过一圈时，每个小盘上的扇形无论红 或兰，都会与大盘上100个扇形匹配，故总匹 配扇形数为200*100=20000，平均数为 20000/200=100。故必有某mi≥100。
第二章 鸽巢原理
§2.1 鸽巢原理基本形式
§2.2 鸽巢原理的加强形式
§2.3 Ramsey 定理
鸽巢原理 基本形式
§2.1 鸽巢原理基本形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是 最基本的原理，也叫抽屉原理。即： 若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至 少有一个巢内有至少有两个鸽子。 [例1]13人中至少有２人的生日在同一月 份。 [例2]参加一会议的人中每人至少和其他 一人相识，则至少有２人认识的别的参 加者的人数相等。
鸽巢原理 基本形式
[例5] 设 a1 , a2 , · , am是正整数序列， · · 则至少存在k和l , 1≤k≤l≤m，使得和 ak+ak+1+·+al是m的倍数。 · · [证] 记Sk= a1+a2+·+ak，且记Sk≡ rk · · mod m，其中0≤rk<m，k=1,2,·,m。 · · 若存在l，使Sl≡0 mod m则命题成立。 否则，1≤rk≤m-1，即m个余数置于 m-1个盒子里，故存在 rk = rh，即 Sk≡ Sh。不妨设 h＞k，则Sh-Sk= ak+1+ak+2+… +ah ≡0 mod m 。
组合数学第一节鸽巢原理
第1章鸽巢原理鸽巢原理〔又叫抽屉原理〕指是一件简单明了事实：为数众多一群鸽子飞进不多巢穴里，那么至少有一个巢穴飞进了两只或更多鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见，但利用它可以解决许多有趣组合问题，得到一些很重要结论，它在数学历史上起了很重要作用。
1.1 鸽巢原理简单形式鸽巢原理简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把个物品放入个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多物品。
证明如果每个盒子中至多有一个物品，那么个盒子中至多有个物品，而我们共有个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，那么只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，那么必有两人属相一样。
例2 在边长为1正方形内任取5点，那么其中至少有两点，它们之间距离不超过。
证明把边长为1正方形分成4个边长为小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，那么这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间距离小于或等于小正方形对角线长度。
例3 给出个整数，证明：必存在整数，使得证明构造局部与序列那么有如下两种可能：〔i〕存在整数，使得，此时，取即满足题意。
〔ii〕对任一整数i，均有，令，那么有，这样，个余数均在1到m-1之间。
由鸽巢原理知，存在整数，使得。
不妨设，那么综合〔i〕与〔ii〕，即知题设结论成立。
例4 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，一周中下棋次数不能多于12次，证明：在此期间连续一些天中他正好下棋21次。
证明令分别为这11周期间他每天下棋次数，并作局部与根据题意，有且所以有〔1.1.1〕考虑数列它们都在1与之间，共有154项，由鸽巢原理知，其中必有两项相等，由〔1.1.1〕式知这77项互不相等，从而这77项也互不相等，所以一定存在，使得因此这说明从第天到第天这连续天中，他刚好下了21盘棋。
组合数学-鸽巢原理讲义
证明：对于任意一个整数，它除以100的 余数显然有如下100种情况： 0，1，2，3，……，99 现在有任意给定的52个整数，需要构造 51个盒子，即对这100个余数进行分组， 共51组： {0}，{1，99}，{2，98}，{3，97}，…， {49，51}，{50}.
解 :根据定推论2.2.1可知，n=3个，r=10，则需要 3×(10-1)+1=28个. 题2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的 结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定” ，至少有多少人参加才能保证必有100个人 得到相同的结果？
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.2 设 m1 , m2 ,, mn 是n个正整数， 而且 m1 m2 mn
i 1
§2.3 Ramsey定理
Ramsey (1903-1930)
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
完全图: 所有顶点间两两相连构成的图. Cn2 条 Kn :由n 个顶点，两两相连，构成的具有 边的简单图. 任何一个6人聚会中，必有3个人相互认 识或相互不认识.
2013年12月31日
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.3 对任意给定的52个整数，证明： 其中必存在两个整数，要么两者的和能被 100整除，要么两者的差能被100整除.
分析：① 已知：52个数； ② 目标：找两个数，其和或差能被 100整除； ③ 方法：把52个物体放到51个盒子 中，需要构造51个盒子；
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备一场 锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，为 了不能太累一周中下棋的次数不能多于 12盘. 证明：他一定在此期间的连续若干 天中恰好下棋21盘.
组合数学第二章鸽巢原理课件
组合数学
利用鸽巢原理解决组合数 学中的计数问题，如排列、 组合等。
概率论
在概率论中，利用鸽巢原 理研究随机事件的独立性 和概率计算。
离散数学
离散数学中的图论、离散 概率等分支也广泛应用鸽 巢原理。
鸽巢原理在其他领域的应用
计算机科学
在计算机科学中，鸽巢原 理被广泛应用于算法设计 和数据结构分析。
信息理论
在过去的几十年里，鸽巢原理在数学、计算机科学和其他领 域得到了广泛的应用和发展。它已经成为组合数学和离散概 率论的一个重要组成部分。
鸽巢原理的应用场景
计算机科学
在算法设计和数据结构中，鸽 巢原理可以用于解决各种问题 ，如数组和列表的操作、图的
着色等。
离散概率论
在离散概率论中，鸽巢原理可 以用于研究随机事件的独立性 和相互排斥性，以及概率分布 的性质。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，尤其适用于证明否定形式的命题。在证明鸽巢原理时，可以先假设存 在不符合鸽巢原理的情况，然后推导出矛盾，从而证明原命题。这种方法的关键在于找到合适的反证 假设，并从中推导出矛盾。
构造证明法
总结词
通过构造具体的实例或反例来证明命题。
详细描述
构造证明法是一种直观、具体的证明方法。 在证明鸽巢原理时，可以通过构造具体的实 例或反例来证明命题。例如，可以构造一个 具体的鸽巢和物品的例子，通过实例来证明 鸽巢原理的正确性。这种方法可以直观地展 示命题的正确性，但需要注意构造的实例或 反例是否具有一般性。
直接证明法
总结词
通过直接逻辑推理，从已知条件出发，逐步推导结论。
详细描述
直接证明法是数学中最常用的证明方法之一。它基于已知条件和数学公理、定理等，通过逻辑推理逐步推导出结 论。在证明鸽巢原理时，可以从已知条件出发，按照逻辑顺序推导出结论，无需引入其他假设或反证。
最新组合数学-第一节：鸽巢原理
第1章 鸽巢原理鸽巢原理（又叫抽屉原理）指的是一件简单明了的事实：为数众多的一群鸽子飞进不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或更多的鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合问题，得到一些很重要的结论，它在数学的历史上起了很重要的作用。
1.1 鸽巢原理的简单形式 鸽巢原理的简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把1n +个物品放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
证明 如果每个盒子中至多有一个物品，那么n 个盒子中至多有n 个物品，而我们共有1n +个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上的物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，则只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排的存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，则必有两人的属相相同。
例2 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两点，它们之间的距离不超过22。
证明 把边长为1的正方形分成4个边长为12的小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，则这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间的距离小于或等于小正方形对角线的长度22。
例3 给出m 个整数12,,,m a a a L ，证明：必存在整数,(0)k l k l m ≤<≤，使得()12k k t m a a a +++++L证明 构造部分和序列1121212,,m m s a s a a s a a a ==+=+++L L则有如下两种可能：（i ）存在整数(1)h h m ≤≤，使得h m s ，此时，取0,k l h ==即满足题意。
（ii ）对任一整数i ，均有(1)i m s i m ≤≤，令(mod)i i r s m =，则有11(1)i r m i m ≤≤-≤≤，这样，m 个余数均在1到m-1之间。
2024年《鸽巢问题》课件
《鸽巢问题》课件一、引言鸽巢问题，又称鸽笼原理，是组合数学中的一个基本定理，它揭示了有限集合与无限集合之间的关系。
在日常生活中，鸽巢问题有着广泛的应用，如安排座位、分配任务等。
本课件旨在阐述鸽巢问题的基本概念、证明方法及其在实际中的应用。
二、鸽巢问题的基本概念2.抽象鸽巢原理：设有两个集合A和B，其中A的元素个数大于B的元素个数。
如果存在一个从A到B的映射，那么至少有一个B中的元素，其对应的A中元素个数不少于两个。
三、鸽巢问题的证明方法2.构造法：将n个容器编号为1,2,,n，将n+1个物体编号为1,2,,n+1。
将第i个物体放入编号为i%n+1的容器中（%表示取余数）。
由于n+1不能被n整除，至少有一个容器内有编号为i和i+n+1的两个物体。
四、鸽巢问题的应用1.安排座位：在教室、会议室等场所，如果人数超过座位数，那么至少有两个座位被两个人共同使用。
2.分配任务：在项目或团队中，如果任务数超过人数，那么至少有两个人共同完成一个任务。
3.证明存在性问题：在数学、物理等领域，鸽巢问题可以用来证明某些存在性问题，如质数定理、素数定理等。
五、总结鸽巢问题作为一个基本定理，揭示了有限集合与无限集合之间的关系。
通过归谬法、构造法、反证法等方法，我们可以证明鸽巢原理的正确性。
在实际应用中，鸽巢问题有着广泛的应用，如安排座位、分配任务等。
掌握鸽巢问题，有助于我们更好地理解和解决实际问题。
一、归谬法的详细解释二、构造法的详细解释构造法是一种证明方法，它通过构造一个具体的例子来证明命题的正确性。
在鸽巢问题中，我们可以构造一个具体的放置物体的方式。
将n个容器编号为1,2,,n，将n+1个物体编号为1,2,,n+1。
将第i个物体放入编号为i%n+1的容器中。
由于n+1不能被n整除，至少有一个容器内有编号为i和i+n+1的两个物体。
这个具体的构造例子证明了鸽巢原理的正确性。
三、反证法的详细解释四、鸽巢问题证明方法的应用鸽巢问题的证明方法不仅可以用来证明鸽巢原理本身，还可以用来解决其他问题。
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几个例子 例2.1.1 共有12个属相，今有13个人，则 必有两人的属相相同.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.2 有5双不同的袜子混在一个抽屉 里，我们至少从中选出多少只袜子才能 保证找到1双袜子？
解 根据定理2.1.1，共有 n=5个盒子，每 个盒子对应1双袜子. 如果选择5+1=6只袜 子，则必有两只袜子落入同一个盒子中 ，即为一双袜子.因此我们至少从中选出6 只袜子才能保证找到1双袜子.
i 1
§2.3 Ramsey定理
Ramsey (1903-1930)
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
完全图: 所有顶点间两两相连构成的图. Cn2 条 Kn :由n 个顶点，两两相连，构成的具有 边的简单图. 任何一个6人聚会中，必有3个人相互认 识或相互不认识.
2013年12月31日
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.1 若 n(r－1) + 1个物品放入n个盒 子，则至少有一个盒子里含有r个或者更多 的物品.
证明：令q1=q2=…qn=r即得.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.1 一个袋子里装了10个苹果，11个橘 子，12个香蕉，至少取出多少个水果才能 保证取出10个相同种类的水果?
m n 个物体.
反证法. 假定每个盒子
m 个，则至多有 n 1 个，那 m m 么n个盒子里的物体总数 n 1 n m, n n
矛盾.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.2 一家汽车租赁公司共有105辆汽车， 共有座位600个，证明至少有一辆6座以上 的汽车.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
令mk是从ak开始的递增子序列的最大长 度，则有1≤mk≤n (k=1,2,…,n2+1).
将 m1 , m2 ,, mn 1 放入n个盒子中，必有
2
n2 1 1 一个盒子i有至少 n n n 1 个物 n
n r,
则 m1 , m2 ,, mn 中至少有一个数≥r.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
推论2.2.3 设m和n都是正整数且m>n，若 将m个物体放入n个盒子中，则至少有一个
盒子中有大于等于
m 里的物体都小于 n
m m m 证明： 1 . n n n
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1 设q1,q2,…,qn都是正整数，若把 q1+q2+…+qn-n+1个物体放入n个盒子，那么或者 第一个盒子至少包含q1个物体，或者第二盒子至 少包含q2个物体，…或者第n个盒子至少包含qn个 物体. 证明：对于i(1≤i≤n)，第i个盒子至多只有qi-1个 物 体，则n个盒子中至多有 (q1-1)+(q2-1)+…+(qn-1)=(q1+q2+…+qn)-n 个物体，矛盾.
a1,a2, …,a77, a1+21,a2+21, …,a77+21
=(b1+b2+…+bi+bi+1+…+bj)-(b1+b2+…+bi) =bi+1+bi+2+…+bj.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.5 将一个矩形分成4行19列的网格， 每个单元格涂1种颜色，有3种颜色可以选 择，证明：无论怎样涂色，其中必有一个 由单元格构成的矩形的4个角上的格子被 涂上同同的mk，设
mk1 mk2 mkn1 l ,
其中k1 k2 kn1 ,1 l n.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
满足 ak1 ak2 akn1 , 长度为n+1. 反证法.若存在某个i(1≤i≤n)，使得 aki aki1 , 则从 ak 开始的最长递增子序列加上 aki ，构 成了从 aki 开始的长度为l+1的递增子序列， 这与m=l矛盾.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例一个篮子里有苹果、香蕉和橘子. 为保证篮 子内或者至少有8个苹果，或者至少6个香 蕉，或者至少有9个橘子，则篮子中至少放 多少的水果？
解：8+6+9-3+1=21. 鸽巢原理的简单形式：
当q1 = q2 = … = qn= 2，有
q1 + q2 +… +qn-n +1 = n + 1.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
定理2.1.1 若把 n+1个物体放入 n 个盒子中，则至 少有一个盒子中有2个或更多的物体. 证明 : 如果每个盒子中至多有一个物体，那么 n个盒子中至多有n个物体，而我们共有 n+1个物体，矛盾. 故定理成立.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
考虑数列： 它们都在1与132+21=153之间，共有154项.由鸽 巢原理知，其中必有两项相等.由(2.1.1)式知 a1,a2, …,a77互不相等，从而a1+21,a2+21, …,a77+21也互不相等，所以一定存在1≤i＜j≤77， 使得aj=ai+21. 21=aj-ai
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
大圆盘 小圆盘
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明: ①任取一个小扇形，与大扇形的颜色就构成一 颜色组. 共200组颜色组，其中同色的100组. ②小扇形共有200个， 同色组总数为:100 ×200＝20000组. ③而小盘与大盘的相对位置有200种， 每个位置平均有20000 ÷ 200＝100组同色组. ④根据推论2.2.3，必存在着某个位置使得至少 有100个小扇形落在同色的大扇形内.
例2.1.4 一名象棋大师有11周时间准备一场 锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，为 了不能太累一周中下棋的次数不能多于 12盘. 证明：他一定在此期间的连续若干 天中恰好下棋21盘.
分析：① 已知：一共11周； 每周最多下12盘棋； 每天至少下1盘棋 ； ② 目标：连续若干天共下棋21盘； ③ 方法：构造和的序列.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
证明：对于任意一个整数，它除以100的 余数显然有如下100种情况： 0，1，2，3，……，99 现在有任意给定的52个整数，需要构造 51个盒子，即对这100个余数进行分组， 共51组： {0}，{1，99}，{2，98}，{3，97}，…， {49，51}，{50}.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.4 用鸽巢原理的加强形式证明
证明：任意n2+1 个实数 a1 , a2 ,..., an 2 1
组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列.
证明：假设不存在长度为n+1的递增子序列，则 必存在长度为n+1的递减子序列.
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.3 对任意给定的52个整数，证明： 其中必存在两个整数，要么两者的和能被 100整除，要么两者的差能被100整除.
分析：① 已知：52个数； ② 目标：找两个数，其和或差能被 100整除； ③ 方法：把52个物体放到51个盒子 中，需要构造51个盒子；
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
题2.19在边长为2的正三角形中任取5个点， 证明至少有两个点之间的距离不超过1.
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.1.6 证明：任意n2+1 个实数 a1 , a2 ,..., an 2 1
组成的序列中，必有一个长度为n+1的递增 子序列，或必有一个长度为n+1的递减子序 列.
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.1 鸽巢原理的最简单形式 §2.2 鸽巢原理的加强形式 §2.3 Ramsey定理
2013年12月31日 第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
§2.1 鸽巢原理的最简单形式
鸽巢原理（抽屉原理），它指的是 一个简单的事实：如果鸽子的数目比 巢穴的数目多，那么至少要有一个鸽 巢被两只或多只鸽子占据（若有 n个 鸽子巢，n+1只鸽子，则至少有一个 巢内有至少有两只鸽子).
证明：根据推论2.2.3， 600 6. 105
2013年12月31日
第二章 鸽巢原理和Ramsey定理
例2.2.3 设有大小两只圆盘，每个都划分成
大小相等的200个小扇形. 从大盘上任选100个 扇形涂上红色，其余的涂上蓝色，而在小盘 的每个小扇形中任意涂上红色或蓝色；然后 把小盘放到大盘上，并使两个盘的圆心重合. 证明在旋转小盘时可以找到某个位置, 使得至 少有100个小扇形落在同样颜色的大扇形内.
解 :根据定推论2.2.1可知，n=3个，r=10，则需要 3×(10-1)+1=28个. 题2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的 结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定” ，至少有多少人参加才能保证必有100个人 得到相同的结果？