代数方程求解

line([-6,6],[0,0]) 或 ezplot(‘f(x)’,[-6,6])
-6000 -8000 -6 -4 -2 0 2 4 6
区间缩小，图形放大。[-6, 6] -> [-2, 2]
1．图形放大法
放大
50 10 0 0 -10 -50 -2 10 0 -10 -20 -2 -1.5 0 2 -20 -2 1 0 -1 -2 -1.6 -1.5 -1.4
0
hold on
ezplot('0.75*x^3-y+0.9')
y
-2
-4
-6 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
1．图形放大法
图形放大 ezplot('x^2+y^2-1‘，[-2，2])
Matlab 程序 hold on ezplot('0.75*x^3-y+0.9‘， [-2，2])
0.75 x 3-y+0.9 = 0 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2
右边 0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599 0.607 序号 左边 0.607 0.612 0.615 0.616 右边 0.612 0.615 0.616 0.617
3. 点迭代法
图形表示点迭代
迭 代 过 程 如 图 所 示
1
y=x
0.8 0.6 0.4 0.2 0
2. 区间迭代法
区间迭代方法之一： 二分法
[x2, x1] [x3, x1]
5
0
f ( x2 )
-5
f ( x1 )
f ( x3 )
-10
-15
-20 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
区间迭代方法之一：
黄金分割法=0.618法
3. 点迭代法
Z
引例： 3xex = 0 1）该方程有多少个根？如何判 断？
3.点迭代法
模型求解 1.图形法
1000 500 0 200 -500 -1000 -1500 0 2 4 6 8 0 -200
作图：曲线-x轴
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 600 400
一个零点：放大
利 润 导 数 曲 线 R’(p)
1
1.5 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
2
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 50 4 2 0 0 -2 -4 -100 1.1 1.15 1.2 1.25 -6 1.17
y =ex/3
0
0.5 0.616
1
3. 点迭代法
点迭代的步骤与问题
迭代步骤：3步 方程： f (x) = 0
构造迭代函数：x = (x) , 经过简单变形 产生迭代序列： xn+1 = (xn)，n =0，1，… 给定迭代初值x0 。
1.表达式x =(x)是否唯一？ 2.迭代产生的序列是否一定会收敛？ 3. 迭代收敛性与初始值x0是否有关？
经有三次因喷气机设计的创新而迎来了它的巨大飞跃，波音 巴黎航展上展示的“波音7E7”设想图
707是第一架横跨大西洋的喷气机；波音747是第一架巨型的喷
气式客机；波音777是第一架长途旅行双发动机的客机。为设 计一种全新的喷气客机——波音7E7，设计目标是成为世界飞
机市场上最有效率和最为经济的机型。
价格作为市场调节的杠杆，是非常重要的一个因素，对研 发的一种新型客机如何定价？
4 价格p
5
6
6.2859
7
8
代数程的常用求解方法
1．图形放大法 2. 区间迭代法
3．点迭代法
返 回
1．图形放大法
方程 f(x)=0 1）建立坐标系xoy，画曲线 f(x)； 2）观察曲线 f(x)与 x轴相交的交点； 3）将交点逐一进行局部放大； 4）交点的横坐标值就是方程的根。
1．图形放大法
方程求解-举例
例1: 求方程 x5 2x2 + 4 = 0 的一个根. 该方程有几个根？欲寻找其中一个实根，并且达 到一定的精度。
画方程曲线图（tuxfd.m） x=-6:0.01:6; y=x.^5+2.*x.^2+4;
8000 6000 4000 2000 0 -2000 -4000
plot(x,y),hold on,
2）如何进行迭代求解？ 方程变形： x = ex/3
0
1/3 0.4652 左右：越来越接近
1/3
0.4652 0.5308
3. 点迭代法
观察迭代产生的等式左右的结果：越来越接近
方程3xex=0的迭代求解表： x = ex/3
序号 左边 0 0 7 1 2 3 4 5 6 0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599 8 9 10 … … …
-50
1.175
1.1764
1.18
模型求解 1.图形法
200 0 -200 -400 -600 -50
另一个零点：放大
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 50 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
0
6
6.5 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
7
-100 6.2 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 6.2855
0.19
(-0.9817, 0.1904)
0.18
y
0.17 0.16 0.15 -1
-0.98
-0.96 x
-0.94
-0.92
-0.9
1．图形放大法
结果验证 Matlab提供的数值求解-函数solve syms x y; [x,y]=solve('x^2+y^2-1','75*x^3/100-y+9/10'); double(x), double(y) 输出结果： x= 0.3570 0.8663 + 1.2154i -0.5540 + 0.3547i -0.9817 -0.5540 - 0.3547i 0.8663 - 1.2154i y = 0.9341 -1.4916 + 0.7059i 0.9293 + 0.2114i 0.1904 0.9293 - 0.2114i -1.4916 - 0.7059i
y
-1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
2
1．图形放大法
图形放大-继续 图形放大
ezplot('x^2+y^2-1‘，[-1,-0.9,0.15,0.2]) hold on ezplot('0.75*x^3-y+0.9‘， [-1,-0.9,0.15,0.2])
0.75 x 3-y+0.9 = 0 0.2
6.25
6.3
6.35
6.4
利 润 导 数 曲 线 R’(p)
4 2 0 -2 -4 6.28
6.285
6.29
6.286
6.2865
6.2859
模型求解
利 润 函 数 曲 线 R’(p) 2000
1500
1000
数值解为： p1=1.1764
500
0
p2=6.2860
-500
-1000
0
1
2
3
1.1764
max R( p) max{ px C ( x)}
p 0
化简目标函数，得
R( p) ( p 1.5)(78 p 655 p 125)h 50 8h (78 p 655 p 125)
2 2 3 4 3 4
令 得
3 4
R '( p) 0
(78 p 2 655 p 125)h ( p 1.5)(156 p 655)h 6h (78 p 2 655 p 125) (156 p 655) 0
1.6725
1.9554 1.7730 1.8822
11
12 13
1.8391
1.8392 1.8392
1.8454
1.8355 1.8416
精确解：x=1.8393
1(x)的迭代是失败的（迭代不收敛 ）。
引言
一般的代数方程，记作 如 3t 0.5t
e sin(4t 2) 4e
2
f ( x) 0
cos(2t ) 0.5
2 xy / 2 x/2 x e e sin( xy ) 0 2 2 2 x y x cos( x y ) y e 0
迭代举例-Matlab实现程序
第二/三步 迭代+初始值
设定初值 x0=1， xn+1 = (xn)，n =0，1，… 用 MATLAB 编程（died2.m) X(1)=1;y(1)=1;z(1)=1;(初始点） for k=1:20 x(k+1)=x(k)^3-x(k)^2-1; %1 (x) y(k+1)=(y(k)^2+y(k)+1)^(1/3); %2 (y) z(k+1)=1+1/z(k)+1/z(k)^2; %3 (z) end X，y，z
3. 点迭代法
计算结果 序号
1 2 3
2(x) 3(x)
1.4422 1.6537 1.7532 3.0000 1.4444 2.1716
序号
8 9 10
2(x) 3(x)
1.8175 1.8385 1.8389 1.8136 1.8554 1.8294
4
5 6 7
1.7995
1.8209 1.8308 1.8354
1 4
模型求解 需要求解如下方程：
(78 p 2 655 p 125)h ( p 1.5)(156 p 655)h 6h (78 p 655 p 125) (156 p 655) 0
2 3 4 1 4
其中，选取h=0.5 可以采用3种方法：
1.图形法 2.区间迭代法
代数方程求解
实 验目的 引言 代数方程的常用求解方法
图形求解
数值迭代
非线性方程组的求解方法 实 验内容
返回
实 验目的
[1] 复习求解方程(组)的基本原理和方法；
[2] 掌握迭代算法； [3] 熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句； [4] 通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
Z
3. 点迭代法
点迭代举例-函数构造
例：用迭代方法求解方程 x3 x2 x1 0。 解： 第一步 构造迭代函数： x = (x )
x x x 1
3 2
1 ( x ) 2 ( x) 3 ( x)
x
3
x x 1
2
1 1 x 1 2 x x
Байду номын сангаас 3. 点迭代法
返 回
-1.5
-1
逐次缩 小区间，观 察一个根在 -1.55~-1.5之 间。
1．图形放大法
方程组求解举例 例2: 用图解法求下列代数方程的根
2 2 x y 1 0 3 0.75* x y 0.9 0
0.75 x 3-y+0.9 = 0 6
4
2
ezplot('x^2+y^2-1')
返 回
引言
多项式方程:
ax2 bx c 0 a 0 x n a1 x n 1 a n 1 x a n 0
一般的四次及其以下的多项式方程有公式 解.但尼尔斯· 阿贝尔和埃瓦里斯特· 伽罗瓦证明 了一般的五次及其以上的多项式方程，不存在 统一的根式解(即由方程的系数通过有限次的四 则运算及根号组合而成的公式解)。
5 x-exp(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 5x-exp(x)
-0.5
-0.5
0
0.5
1 x
1.5
1.5
2
2.5
2.5
3
0
0.2 5
0.5
1
1.5 x
2
2.5
2.5
3
引例: 飞机如何定价
波音707客机
【问题背景】
波音747客机
波音777客机 在近90年的历史中，波音这个世界最大的飞机制造商已
4. 该公司的市场占有率h是一个常数；
5. 该公司的销售量：x = h×N(p)
引例
问题假设
6. 该公司的制造成本为：C(x) = 50 + 1.5x + 8x3/4 ； 7. 利润函数：R(p) = px – C(x) 8. 最佳定价策略：利润R(p)达最大。
建立模型
引例
根据假设，得到如下数学模型：
引例
问题分析
飞机的定价主要考虑以下因素：
飞机的制造成本、公司的生产能力、飞机 的销售数量与价格、竞争对手的行为与市场占 有率等。
引例
问题假设
1. 设价格表示为 p； 2. 假设只考虑一种型号的飞机； 3. 价格决定总销售量：根据历史数据预测分析得： N(p) = -78p2 + 655p + 125 其中N表示全球销售量。
引言
计算机技术和数学软件的飞速发展，为一些古老数学问题 的解决提供了极大的方便。如利用MATLAB的图形功能就能帮 助我们判断方程有没有根，确定根的近似位置，例如：
8x 5 12x 4 26x 3 13x 2 58x 30 0 5x e x 0
8 x 5-12 x 4-26 x 3-13 x 2+58 x+30 140 120 100 80 60 40 20 0 -20 -40 -60 -1 8x 5-12x 4-26x 3-13x 2+58x+30