第三章静定结构的位移计算
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VA YAD 0 YAD VA P
D A
E B
<3>利用三角形关系
d YAD 2d N AD
N AD 2YAD 2P (压力)
同理 d X AD 2d N AD
X AD P
A点X方向平衡得： N AC X AD 0 N AC P (拉力)
<4>取D点分析 D点X方向平衡
§3.5 温度作用时的位移计算
静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移 是材料自由膨胀、收缩的结果。
杆件的微段，
分别为轴至上、下边缘的距离。
上边缘温度上升 t1 下边缘温度上升 t2 沿杆截面厚度为线性分布，轴线温度 t0 上下温差 t '
轴线温度： t0
h1t1
h2t2 h
上下边缘的温差： t ' t2 t1
(1)先设刚架处于II： 内力，外力满足平衡条件
(2)再设其产生I 的位移： 即，将结构的实际位移作为状态II的虚位移
根据虚功原理 和 PK 1 得：
1KP Mdq Ndl Qg ds Rc
1KP Mdq Ndl Qg ds Rc
dq M ds ， dl N ds ， g ds kQ ds
可求得
VB
1 () l
，再考虑右半刚架的平衡，由 MC 0
可求得
HB
1 () 2h
由 Kc Rc 式有：
§3.7 图乘法
静定梁和刚架的位移计算： c
M PM K ds EI
需先计算各段 M P、M K 。
计算较为复杂。
但如果杆轴符合下列条件时，(1)杆轴为直线时； (2)EI＝常数；(3) M P 与 M K 两个弯矩图中至少有 一个是直线图形。则可用图乘法代替积分运算。
验算 刚度
位移产生的原因： 1) 载荷作用 2) 温度作用和材料胀缩 3) 支座沉降和制造误差
结构各点产生位移时的两种情况： a)
各杆只发生刚体位移 有位移无应变
静定多跨梁的支座A 有一给定位移CA，
杆AC绕B点转动， 杆CD绕D点转动。
b) 有位移有应变
简支梁在载荷q作用下，
各点产生线位移；同时
EI
EA
GA
KP
MPMK EI
ds
NPNK EA
ds
kQPQK GA
ds Rc
KP
MPMK EI
ds
NPNK EA
ds
kQPQK GA
dபைடு நூலகம் Rc
上式为：由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式 (称单位载荷法)
它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。 只要虚拟状态中的单位力是与所计算的位移相当应的广义力即可。
梁内弯矩M产生的曲率k
（曲率半径 R 1 ）
k
和应变e。
§3.2 虚功原理
1. 功： 载荷P所作的功：力在其作用点运动方向的投影与 该点运动路程的乘积：
T dT P cos(P,U )ds
S
S
体系上作用一个常力P T P 1ds P
上式中P指广义力，是相应的广义位移。
在某一瞬间：
因此，虚功原理的应用范围广泛。
分析，见图
图 a) 求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 KP
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
(2)利用虚功原理， 结构有变形又要有力系。
求结构变形，须有平衡力系
虚功原理中， 作功力系与位移可以彼此无关， 二者之一可以虚设。
见图b) 状态II
表示虚拟状态，沿K-K’方向作用 PK 1 虚拟力引起的内力为 NK , M K , QK 求 KP
虚功原理中作功力系和位移可以彼此无关，二者之一可以虚设。
平面结构虚功方程： （无分布力）
P Rc Mdq Ndl Qg ds
它与实功不一样，实功中的位移是由作功的力系本身所引起的， 即，一个给定平衡力系，只有一种相应变形状态。
虚功原理中，对应于某一给定平衡力系，可以选取多种变形状态， 或者对于某一给定的变形状态，可以选取多种的平 衡力系。
位移公式：
KP
NP NK ds NK NP l
EA
EA
例1. 计算桁架结点C 的竖向位移，设各杆EA都相同。
1、分析内力：
D
本问题因为桁架与载荷均对称，
A
所有只需计算一半桁架的内力。
E B
<1>利用体系整体平衡关系，得： D
E
B A
支座反力 VA VB P
<2>利用结点法，取A点分析 由A点的Y方向平衡得：
线膨胀系数
dq
伸长应变： e t0
曲率： k dq (t2 t1)ds t '
ds
hds
h
k ds
由位移计算公式：
KP Ndl Mdq Nt0ds M t ' h ds
e ds
若 t0,t ', h 沿每一杆件的全长为常数，则：
c t0 Nds t ' h Mds
在 c t0 Nds t ' h Mds 式中
单个力： T dT 1 P 2
多个力：
1
1
1
T 2 P11 2 P22 ... 2
n i
Pi i
分析：
1）上式只适用于在静力载荷作用下的弹性体系 2）外力总功与外力施加的次序无关 3）外力与位移成比例，所以外力功是外力(或位移)的二次函数，
即非线性关系。
2. 弹性体的变形位能：
§3.6 支座下沉的位移计算
如图静定结构，支座发生水平位移C1 、竖向沉陷 C2 和 C3 转角，求由此引起的任一点的位移。如K点的竖向位移。
静定结构，支座发生位移并不引起内力，因此材料不 发生变形。故此时结构位移属刚体位移。
位移计算公式： Kc Rc R 虚拟状态下的支座反力， Rc 为反力虚功。
上式表示整个 M P 的面积 对y轴的面积矩。 根据合力矩定理，它应等于 M P图的面积 乘以 表示其形心C到y轴的距离 x0
即： MPMK dx tg(x0 ) y0
所以得到：
MPMK
EI
dx
1 EI
y0
注： (1)应用条件：杆件应是等截面杆，两个图形中应有
一个是直线，y0 取自直线图中。 (2)正负号规则： 与 y0 在杆的同一侧，乘积取正；
t0 以温度升高为正，弯矩 M 和温差 t ' 引起的
弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。
例：试求右图，a所示刚架C点的水平位移 c 。
已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上 升10°C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对 称，线膨胀系数为。
解：在C点沿水平方向 加一单位力 P＝1 。
作出相应的 N 、M 图。并有：
变形体体系的位移公式。
另一种：应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后 应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
这里选择第二种。
由前面一节可知：
杆系结构虚功方程： （无分布力）
单个杆件： T Mdq Ndl Qg ds 杆 系： T Mdq Ndl Qg ds
NDE X AD P (压力)
D
显然DC杆的杆力为零。
A
E B
2、计算位移
D A
E B
C点加一单位力 P＝1
由位移公式： c
1 EA
NPNKl
1 [2 ( 2P) ( 2 ) 2d 2 P 1 2d (P) (1) 2d]
EA
2
2
2Pd (2 2) 6.83 Pd ()
• 对于变形体系，不仅考虑外力虚功，还要考虑与内力有关的虚功 变形体系平衡的必要与充分条件是，对于任意微小的虚位移，外力 所作的虚功与内力所作的虚功之和等于零：
外力虚功
T V 0
内力虚功
§3.3 结构位移计算的一般公式
计算变形体体系的位移，有两种途径： 一种：根据刚体体系的虚功原理，导出变形体体系的虚功原理，再导出
t0
1 2
(t1
t2 )
1 2
(0o
10o )
5oC
轴向上的温度上升值。
t 10o 0o 10oC
杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，
该变形与由于 M 所产生的弯曲变形方向相同(如图虚线所示)，
c t0 Nds t ' h Mds
式中 h 为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移 与单位力方向相同。
第三章
静定结构的位移计算
内容
§3.1 结构位移计算概述 §3.2 虚功原理 §3.3 结构位移计算的一般公式 §3.4 静定结构在载荷作用下的位移计算 §3.5 温度作用时的位移计算 §3.6 支座下沉的位移计算 §3.7 图乘法
§3.1 结构位移计算概述
静定结构受力分析
校核 强度
静定结构的位移计算
• 力在其自身引起的位移上作功，称为实功；
如：
T11
1 2
P111
T22
1 2
P222
•在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的功，称为虚功，
如： T12 P112
T21 P221
虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。
• 对于一个具有理想约束的质点系在某一位置处于平衡的必要充分条件 是：所有作用在此质点系的主动力在任何虚位移中作功的总和恒等于零。
EA
EA
c 为正值表示，C处的位移与虚拟力的方向相同。
D
E
A
B
二、静定梁和刚架在载荷作用下的位移计算
梁和刚架的位移，主要由弯矩引起，轴力和剪力的影响 均较小，可忽略不计。
位移公式
KP
M PM K ds EI
例2，计算刚架C端的 水平位移和角位移 已知EI为常数。
解：在载荷作用下，
刚架的 M P 图如图所示，
dU = dT
变形位能
外力作功
微段上外力是弯矩M，轴力N和剪力Q
取一微段
相应的变形：弯曲变形dq，
轴向变形dl ， 剪切变形 gds， 略去高阶微量
外力作功： dT 1 Mdq 1 Ndl 1 Qg ds
2
2
2
对杆轴为直线的弹性结构，上式中
k
e
dq M ds ， dl N ds ， g ds kQ ds
状态I
BC梁
MP
1 qx2 2
AB柱
MP
1 qa2 2
<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力 得状态II， M K 图
状态II BC梁 M K 0 AB柱 M K x
代入位移公式，得：
c
MPMK
ds
0
a
x( 1 qa2 ) 2 dx
EI
0 EI
qa4
4EI
<2>求C点的角位移， 可在C点加一单位弯矩。
c
M PM K ds EI
微面积
M Pdx
(1)因为是直杆，所以 可用dx代替ds。
(2)因为EI是常数，所以
EI可提到积分号外。
常数
(3) M K 为直线变化，故有 M K x tg
MPMK
EI
ds
1 EI
M
p
x
tg dx
tg
EI
M
p
x
dx
tg
EI
xd
微分面积对y轴的面积矩
xMPdx xd x0
EI
EA
GA
E为材料弹性模量，A为微段截面面积，I为截面的惯性矩， G为材料的剪切模量，k为截面剪切修正系数。
3. 虚功原理：
C处先加力P1，位移 11
所作的功为：
T11
1 2
P111
D处先加力P2，C处位移 12 力P1又因有位移 12 作功为： T12 P112
分析：作功过程
存在两种情况：
当 R 与实际支座位移c方向一致时，乘积取正，反之取负。
注：上式中右端的负号是移项所得，不可丢掉。
例.如图所示，三铰刚架
右边的支座位移为
By 0.06m(向下)
水平位移为
Bx 0.06m (向右)
已知 l＝12m, h=8m; 试求由此引起的A端转角 A
解：如图虚拟状态，考虑刚架的整体平衡，由 MA 0
反之取负。
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对 角位移，可在两个截面上加两个 方向相反的单位力偶。
d Mdq Ndl Qd
相对剪切位移
相对转角
相对轴向位移
结构的变形是由结构各个微段变形的总和。
§3.4 静定结构在载荷作用下的位移计算
一、静定平面桁架在载荷作用下的位移计算
注：桁架中，各杆只有轴力，轴力值沿杆长不变。 通常各杆所用材料及杆的截面面积沿杆长不变。
1) 如图，若求结构上C点的竖向 位移，可在该点沿所求位移 方向加一单位力
2) 若求结构上截面A的角位移， 可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，
应加一单位力偶，构成这一力偶的两 个集中力的值取 1/d。作用于杆 端且垂直于杆(d等于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连 线的相对位移，可在该两点沿其 连线加上两个方向相反的单位力。
D A
E B
<3>利用三角形关系
d YAD 2d N AD
N AD 2YAD 2P (压力)
同理 d X AD 2d N AD
X AD P
A点X方向平衡得： N AC X AD 0 N AC P (拉力)
<4>取D点分析 D点X方向平衡
§3.5 温度作用时的位移计算
静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移 是材料自由膨胀、收缩的结果。
杆件的微段，
分别为轴至上、下边缘的距离。
上边缘温度上升 t1 下边缘温度上升 t2 沿杆截面厚度为线性分布，轴线温度 t0 上下温差 t '
轴线温度： t0
h1t1
h2t2 h
上下边缘的温差： t ' t2 t1
(1)先设刚架处于II： 内力，外力满足平衡条件
(2)再设其产生I 的位移： 即，将结构的实际位移作为状态II的虚位移
根据虚功原理 和 PK 1 得：
1KP Mdq Ndl Qg ds Rc
1KP Mdq Ndl Qg ds Rc
dq M ds ， dl N ds ， g ds kQ ds
可求得
VB
1 () l
，再考虑右半刚架的平衡，由 MC 0
可求得
HB
1 () 2h
由 Kc Rc 式有：
§3.7 图乘法
静定梁和刚架的位移计算： c
M PM K ds EI
需先计算各段 M P、M K 。
计算较为复杂。
但如果杆轴符合下列条件时，(1)杆轴为直线时； (2)EI＝常数；(3) M P 与 M K 两个弯矩图中至少有 一个是直线图形。则可用图乘法代替积分运算。
验算 刚度
位移产生的原因： 1) 载荷作用 2) 温度作用和材料胀缩 3) 支座沉降和制造误差
结构各点产生位移时的两种情况： a)
各杆只发生刚体位移 有位移无应变
静定多跨梁的支座A 有一给定位移CA，
杆AC绕B点转动， 杆CD绕D点转动。
b) 有位移有应变
简支梁在载荷q作用下，
各点产生线位移；同时
EI
EA
GA
KP
MPMK EI
ds
NPNK EA
ds
kQPQK GA
ds Rc
KP
MPMK EI
ds
NPNK EA
ds
kQPQK GA
dபைடு நூலகம் Rc
上式为：由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式 (称单位载荷法)
它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。 只要虚拟状态中的单位力是与所计算的位移相当应的广义力即可。
梁内弯矩M产生的曲率k
（曲率半径 R 1 ）
k
和应变e。
§3.2 虚功原理
1. 功： 载荷P所作的功：力在其作用点运动方向的投影与 该点运动路程的乘积：
T dT P cos(P,U )ds
S
S
体系上作用一个常力P T P 1ds P
上式中P指广义力，是相应的广义位移。
在某一瞬间：
因此，虚功原理的应用范围广泛。
分析，见图
图 a) 求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 KP
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
(2)利用虚功原理， 结构有变形又要有力系。
求结构变形，须有平衡力系
虚功原理中， 作功力系与位移可以彼此无关， 二者之一可以虚设。
见图b) 状态II
表示虚拟状态，沿K-K’方向作用 PK 1 虚拟力引起的内力为 NK , M K , QK 求 KP
虚功原理中作功力系和位移可以彼此无关，二者之一可以虚设。
平面结构虚功方程： （无分布力）
P Rc Mdq Ndl Qg ds
它与实功不一样，实功中的位移是由作功的力系本身所引起的， 即，一个给定平衡力系，只有一种相应变形状态。
虚功原理中，对应于某一给定平衡力系，可以选取多种变形状态， 或者对于某一给定的变形状态，可以选取多种的平 衡力系。
位移公式：
KP
NP NK ds NK NP l
EA
EA
例1. 计算桁架结点C 的竖向位移，设各杆EA都相同。
1、分析内力：
D
本问题因为桁架与载荷均对称，
A
所有只需计算一半桁架的内力。
E B
<1>利用体系整体平衡关系，得： D
E
B A
支座反力 VA VB P
<2>利用结点法，取A点分析 由A点的Y方向平衡得：
线膨胀系数
dq
伸长应变： e t0
曲率： k dq (t2 t1)ds t '
ds
hds
h
k ds
由位移计算公式：
KP Ndl Mdq Nt0ds M t ' h ds
e ds
若 t0,t ', h 沿每一杆件的全长为常数，则：
c t0 Nds t ' h Mds
在 c t0 Nds t ' h Mds 式中
单个力： T dT 1 P 2
多个力：
1
1
1
T 2 P11 2 P22 ... 2
n i
Pi i
分析：
1）上式只适用于在静力载荷作用下的弹性体系 2）外力总功与外力施加的次序无关 3）外力与位移成比例，所以外力功是外力(或位移)的二次函数，
即非线性关系。
2. 弹性体的变形位能：
§3.6 支座下沉的位移计算
如图静定结构，支座发生水平位移C1 、竖向沉陷 C2 和 C3 转角，求由此引起的任一点的位移。如K点的竖向位移。
静定结构，支座发生位移并不引起内力，因此材料不 发生变形。故此时结构位移属刚体位移。
位移计算公式： Kc Rc R 虚拟状态下的支座反力， Rc 为反力虚功。
上式表示整个 M P 的面积 对y轴的面积矩。 根据合力矩定理，它应等于 M P图的面积 乘以 表示其形心C到y轴的距离 x0
即： MPMK dx tg(x0 ) y0
所以得到：
MPMK
EI
dx
1 EI
y0
注： (1)应用条件：杆件应是等截面杆，两个图形中应有
一个是直线，y0 取自直线图中。 (2)正负号规则： 与 y0 在杆的同一侧，乘积取正；
t0 以温度升高为正，弯矩 M 和温差 t ' 引起的
弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。
例：试求右图，a所示刚架C点的水平位移 c 。
已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上 升10°C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对 称，线膨胀系数为。
解：在C点沿水平方向 加一单位力 P＝1 。
作出相应的 N 、M 图。并有：
变形体体系的位移公式。
另一种：应用刚体体系的虚功原理导出局部变形时的位移公式，然后 应用叠加原理，导出整体变形时的位移公式。
这里选择第二种。
由前面一节可知：
杆系结构虚功方程： （无分布力）
单个杆件： T Mdq Ndl Qg ds 杆 系： T Mdq Ndl Qg ds
NDE X AD P (压力)
D
显然DC杆的杆力为零。
A
E B
2、计算位移
D A
E B
C点加一单位力 P＝1
由位移公式： c
1 EA
NPNKl
1 [2 ( 2P) ( 2 ) 2d 2 P 1 2d (P) (1) 2d]
EA
2
2
2Pd (2 2) 6.83 Pd ()
• 对于变形体系，不仅考虑外力虚功，还要考虑与内力有关的虚功 变形体系平衡的必要与充分条件是，对于任意微小的虚位移，外力 所作的虚功与内力所作的虚功之和等于零：
外力虚功
T V 0
内力虚功
§3.3 结构位移计算的一般公式
计算变形体体系的位移，有两种途径： 一种：根据刚体体系的虚功原理，导出变形体体系的虚功原理，再导出
t0
1 2
(t1
t2 )
1 2
(0o
10o )
5oC
轴向上的温度上升值。
t 10o 0o 10oC
杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，
该变形与由于 M 所产生的弯曲变形方向相同(如图虚线所示)，
c t0 Nds t ' h Mds
式中 h 为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移 与单位力方向相同。
第三章
静定结构的位移计算
内容
§3.1 结构位移计算概述 §3.2 虚功原理 §3.3 结构位移计算的一般公式 §3.4 静定结构在载荷作用下的位移计算 §3.5 温度作用时的位移计算 §3.6 支座下沉的位移计算 §3.7 图乘法
§3.1 结构位移计算概述
静定结构受力分析
校核 强度
静定结构的位移计算
• 力在其自身引起的位移上作功，称为实功；
如：
T11
1 2
P111
T22
1 2
P222
•在别的因素引起的与力本身无关的位移上所作的功，称为虚功，
如： T12 P112
T21 P221
虚功并非为不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。
• 对于一个具有理想约束的质点系在某一位置处于平衡的必要充分条件 是：所有作用在此质点系的主动力在任何虚位移中作功的总和恒等于零。
EA
EA
c 为正值表示，C处的位移与虚拟力的方向相同。
D
E
A
B
二、静定梁和刚架在载荷作用下的位移计算
梁和刚架的位移，主要由弯矩引起，轴力和剪力的影响 均较小，可忽略不计。
位移公式
KP
M PM K ds EI
例2，计算刚架C端的 水平位移和角位移 已知EI为常数。
解：在载荷作用下，
刚架的 M P 图如图所示，
dU = dT
变形位能
外力作功
微段上外力是弯矩M，轴力N和剪力Q
取一微段
相应的变形：弯曲变形dq，
轴向变形dl ， 剪切变形 gds， 略去高阶微量
外力作功： dT 1 Mdq 1 Ndl 1 Qg ds
2
2
2
对杆轴为直线的弹性结构，上式中
k
e
dq M ds ， dl N ds ， g ds kQ ds
状态I
BC梁
MP
1 qx2 2
AB柱
MP
1 qa2 2
<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力 得状态II， M K 图
状态II BC梁 M K 0 AB柱 M K x
代入位移公式，得：
c
MPMK
ds
0
a
x( 1 qa2 ) 2 dx
EI
0 EI
qa4
4EI
<2>求C点的角位移， 可在C点加一单位弯矩。
c
M PM K ds EI
微面积
M Pdx
(1)因为是直杆，所以 可用dx代替ds。
(2)因为EI是常数，所以
EI可提到积分号外。
常数
(3) M K 为直线变化，故有 M K x tg
MPMK
EI
ds
1 EI
M
p
x
tg dx
tg
EI
M
p
x
dx
tg
EI
xd
微分面积对y轴的面积矩
xMPdx xd x0
EI
EA
GA
E为材料弹性模量，A为微段截面面积，I为截面的惯性矩， G为材料的剪切模量，k为截面剪切修正系数。
3. 虚功原理：
C处先加力P1，位移 11
所作的功为：
T11
1 2
P111
D处先加力P2，C处位移 12 力P1又因有位移 12 作功为： T12 P112
分析：作功过程
存在两种情况：
当 R 与实际支座位移c方向一致时，乘积取正，反之取负。
注：上式中右端的负号是移项所得，不可丢掉。
例.如图所示，三铰刚架
右边的支座位移为
By 0.06m(向下)
水平位移为
Bx 0.06m (向右)
已知 l＝12m, h=8m; 试求由此引起的A端转角 A
解：如图虚拟状态，考虑刚架的整体平衡，由 MA 0
反之取负。
4) 若求梁或刚架上两个截面的相对 角位移，可在两个截面上加两个 方向相反的单位力偶。
d Mdq Ndl Qd
相对剪切位移
相对转角
相对轴向位移
结构的变形是由结构各个微段变形的总和。
§3.4 静定结构在载荷作用下的位移计算
一、静定平面桁架在载荷作用下的位移计算
注：桁架中，各杆只有轴力，轴力值沿杆长不变。 通常各杆所用材料及杆的截面面积沿杆长不变。
1) 如图，若求结构上C点的竖向 位移，可在该点沿所求位移 方向加一单位力
2) 若求结构上截面A的角位移， 可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，
应加一单位力偶，构成这一力偶的两 个集中力的值取 1/d。作用于杆 端且垂直于杆(d等于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连 线的相对位移，可在该两点沿其 连线加上两个方向相反的单位力。