高中数学竞赛基础平面几何知识点总结

高中数学竞赛平面几何知识点基础

1、相似三角形的判定及性质

相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似;

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.);

(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.);

(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.).

直角三角形相似的判定定理:

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似;

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

常见模型：

相似三角形的性质:

（1）相似三角形对应角相等

（2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比

（3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比

（4）相似三角形的周长比等于相似比

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方

2、内、外角平分线定理及其逆定理

内角平分线定理及其逆定理：

三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

如图所示，若AM平分∠BAC，则AB

AC =BM

MC

该命题有逆定理：

如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连

线是三角形的一条角平分线

外角平分线定理：

三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。

如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则BD

DC =AB

AC

其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点，

且满足BD

DC =AB

AC

，则AD是∠A的外角的平分线

内外角平分线定理相结合：

如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角

∠CAE，则BD

DC =AB

AC

=BE

EC

3、射影定理

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射

影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

对于一般三角形：

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有

a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA

4、旋转相似

当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另

一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和

一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应

边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE

5、张角定理

在△ABC中D为BC边上一点，则

sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

6、圆内有关角度的定理

圆周角定理及其推论：

（1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等

（3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径

（4）圆内接四边形对角互补

（5）圆内接四边形的外角等于其内对角

弦切角定理：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

其大小等于它所夹的弧所对的圆周角。其顶点在圆上。弦切角一

条边与圆周相交，另一条边与圆相切，切点在圆周上。

7、托勒密定理与托勒密不等式

托勒密定理

圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积

如图所示，四边形ABCD为圆内接四边形，则AC·BD=AB·CD+AD·BC

托勒密不等式

任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当且仅

当A、B、C、D四点共圆时取等号

8、切线长定理与圆幂定理

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。即如图，AB、AC

切圆O于B、C，切线长AB = AC

相交弦定理

相交弦定理是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相

等或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等

如图所示，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则有AP·BP=CP·DP

相交弦定理与切割线定理、割线定理统称为圆幂定理

切割线定理、割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线

长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中

项。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割

线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的

积相等（割线定理）

如图所示，PT切圆于T，PDC、PBA为两条割线，

则有PA·PB=PC·PD=PT²

9、四点共圆

方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

方法 2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。