《高等数学》第八章习题答案

8.1（A ）

1、（1）{

}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(；（2）{}1),(2>-x y y x ； （3）{

}1),(22>+y x y x ； （4）{}0,0,0),,(>>>z y x z y x 。 2、（1）0；（2）6

1-；（3）e ；（4）1；（5）0. （B ） 1、提示：令kx y =。

8.2（A ）

1、（1）223y y x x z -=∂∂；xy x y z 23-=∂∂。（2）2x y y x z -=∂∂；x

x y z 1+=∂∂。 （3）]1)1[ln()1(xy xy xy xy x z x ++++=∂∂；12)1(-+=∂∂x xy x y

z 。 （4）22y

x y x z +-=∂∂；22y x x y z +=∂∂。 （5）

)sin()cos(y x x y x x z +-+=∂∂；)sin(y x x y z +-=∂∂。 （6）21y x x z +=∂∂；2

2y x y y z +=∂∂。 （7）1-=∂∂z y x z y x u ；x z x y u z y ln =∂∂；x z yx z u z

y ln 2-=∂∂。 （8）x y x y x z 2csc 22-=∂∂；x

y x y z 2csc 2=∂∂。 2、（1）222)(2y x y x x z --=∂∂；2

2)(y x y y x z -=∂∂∂。 （2）2222222)(y x x y x z +-=∂∂；2222)

(2y x xy y x z +-=∂∂∂。 （3）222)1(--=∂∂y x y y x z ；222)(ln x x y

z y =∂∂。 3、2)1,0,0(=xx f ；0)0,1,0(=yz f 。

（B ）

1、提示：分别求导即可。

8.3

（A ）

1、（1）dy x x dx x y y )1()(2++-

。（2）)(xdy ydx e xy +。 （3）)()(2

3

22xdy ydx y x x -+-。（4）ydz xy dy xzy ydx zy xz xz xz ln ln 1++-. 2、

)(3

2dy dx +。 3、41112arctan π-=∆z ，05.0=dz 。 （B ）

1、95.2。

2、039.2。

8.4

（A ）

1、)4(cos 22sin t t e t t --。

2、)152()52(11

223t t t ---。

3、x x z 4=∂∂；y y

z 4=∂∂。 4、)1ln 2(2+=∂∂xy y x x z ；)1ln 2(3

2

+-=∂∂xy y x y z 。 5、33232)()(922y x e y x x e x z y x y x ++++=∂∂++；332

3)

()(3222y x e y x ye y z y x y x ++++=∂∂++。 6、t t t e t sin )sin (cos --。

7、t t t t t t tan 2tan )(sin sin ln sec )

(sin +。 8、（1）212f ye xf x z xy +=∂∂；212f xe yf y

z xy +-=∂∂. （2）21f f x z +=∂∂；21f f y

z -=∂∂。 （3）

11f y x u =∂∂；2121f z f y x y u +-=∂∂；22f z y z u -=∂∂。

9、（1）2221212112xyf yf f xf f y

x z ++++=∂∂∂。 （2）x x

z 122=∂∂；y y x z 12=∂∂∂。 （3）1124xyf y

x u =∂∂∂；11212242f x f x u +=∂∂；1124xzf z x u =∂∂∂。 10、（1）2221+-=y x dx dy 。（2）22

ln ln x

x xy y y xy dx dy --=。 （3）z z e z e y x x z ++=∂∂22；z z e

z e x y z +=∂∂2。 （4）1ln 1+=∂∂y z x z ；y y

z z y z )1(ln +=∂∂。 （5）13-=∂∂z yze x z xy ；1

3-=∂∂z yxe y z xy

。 （B ）

1、提示：求出x f ∂∂，y f ∂∂，z

f ∂∂。 2、提示：求出22x z ∂∂；22y

z ∂∂。 8.5

（A ）

1、{}3,2,1，

3

12111-=-=-z y x 。 2、1cos 41sin 41sin 1cos 11cos 11sin 1-=+-=++-z y x ； 011c o s 1s i n 1

c o s 141cos 41sin )1cos 1(=---+++z y x 。 3、042=-+y x ；

2112z y x =-=-。 4、532=-+z y x ；1

13121--=-=-z y x 。 5、624=-+z y x ；142142--=-=-z y x 。

6、2

112±

=+-z y x 。 （B ）

1、略。

8.6 1、（1）0；（2）0；（3）223+；（4）22

325+。 2、32

32221++。 3、000z y x +-。

4、略。

5、k j i gradu +-=42是方向导数取最大值的方向。此方向导数的最大值为21=gradu 。

8.7

（A ）

1、（1）极小值5)0,1(-=f ，极小值31)2,3(=-f 。

（2）极大值8)2,2(=-f 。

（3）极小值2)1,21(e f -

=-。 2、（1）

（2）

3、极大值41)21,21(=

z 。 4、)516,

58(。 （B ）

1、极大值0)0,0(=f ，极小值8)2,2()2,2(-=-=-f f 。

2、

注意：8.7几个最值题尚未求出，过段时间再给答案。