向量范数与矩阵范数的相容性
数值分析8(向量范数与矩阵范数)
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A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
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2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
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对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
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矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn
Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。
向量与方阵的范数
x2 L xn ) ∈ R n ， n 维向量空间 R n 上常用的向量范数有：
T
2 2 2
（1） ．2-范数： || x || 2 = x1 + x 2 L + x n ； （2） ．1-范数： || x ||1 =| x1 | + | x 2 | + L + | x n | ； （3） ． ∞ 范数： || x ||∞ = max{ xi }；
− A → 0 (k → ∞) 。
练习
⎛ 2 − 4⎞ ⎛ 1 ⎞ 1．设 A = ⎜ ⎟，x = ⎜ ⎟ 。求： x 1 ， x 2 ， x ∞ ， A 1 ， A 2 ， A ∞ 。 ⎜1 − 3⎟ ⎜ − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
2．设 A 是 n × n 矩阵，证明： n −1 A 2 ≤ n
−1 2
1≤i ≤ n
（4） ． p -范数： x
p
=
p
x1 + L + xn
p
p
。
可以证明，它们满足定义 1 中的三条性质。 例1 解：
|| x || 2 = 12 + ( −3) 2 + 0 2 + 2 2 = 14 ；
计算向量 x = (1 − 3 0 2 ) 的 2-范数，1-范数， ∞ 范数和 4-范数。
n
1≤ j ≤ n
（1）1-范数： A 1 = max ∑ aij ；
i =1
（2） ∞ 范数： || A || ∞ = max ∑ aij ；
1≤i ≤ n j =1
n
（3）2-范数： || A || 2 = λ max ， λ max 为 AT A 的最大特征值； （4）Frobenius 范数： || A || F =
数值计算方法期末复习答案终结版
一、 名词解释1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。
2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
如果近似值*x 的误差限是1102n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。
3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。
5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。
6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*x 的相对误差，记为*()r e x ，即**()()r e x e x x=7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。
若||||A 满足（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。
5-3 向量范数和矩阵范数的相容
的向量范数。 的向量范数。如果对任意的 A ∈ C n×n ( R n×n ), x ∈ C n ( R n ) 都有： 都有： Ax α ≤ A β x α
Department of Mathematics
则称矩阵范数 A β 与向量范数 x α 是相容的
定理1： 范数和F- 范数分别与 定理 ：在Cn×n上的矩阵 m − 1 范数和 上的向量1–范数和 范数和2–范数相容 定义 在 Cn 上的向量 范数和 范数相容
≤ =
∑ [(∑
n i=1 n
n
k =1
aik )(∑k=1 ξk )]
2 2
∑ ∑
i=1
n k =1
aik
∑
n k =1
ξk
2
= AF⋅ x 2
所以,矩阵的 范数与向量的2 所以 矩阵的F – 范数与向量的 – 范数相容 矩阵的
Department of Mathematics
定理2： 上的矩阵 m∞ − 上的向量1定理 ： n×n 范数与Cn上的向量 、2 -、 、 C 范数均相容 ∞− 证明： 证明：矩阵 m∞ − 范数与向量∞−范数的相容性
(1), (2),
A = max Ax
x γ =1
γ γ
y = x ⇔ x v =1 令 yv
A = max Ax
x γ ≤1
都是由 • γ 诱导出的算子范数
y = max A y≠0 yv
证(1) A = max
y≠0
Ay v yv
Ay = max y≠0 yv : x v = 1}
v
v
= max{ Department of MathematicsAx v
x≠0
矩阵范数理论及其应用
第四章 矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。
(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。
(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。
则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。
易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。
若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。
例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。
分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。
注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。
性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。
矩阵范数理论及其应用
n 2 2 x k k E ，成立着 A x k B x 。 k 1 k 1
证明： x
k 1 k
n
k
0 时，令 y
x
k 1
n
， f (1 , 2 ,
2 k
, n ) y ，则 f (1 , 2 ,
p p
n 定理 1：对于 n 维向量 x C ， lim x
x 。
注：几何意义上，向量 PQ 的 2-范数、 ∞-范数和1-范数分别是斜边 PQ 长度、直角边 PR 长 度以及两直角边 PR 和 RQ 的长度之和。
三、范数的等价性
定义 3：对任意 x V ，满足不等式 C1 x
x
j 1
设 A ( aij ) C
n
n n
， x (1 , 2 ,
, n )T C n ， 令 Ax y (1 ,2 ,
,n )T ， 其 中
,n。 i a i j j， i 1, 2,
j 1
Ax
y
max i max aij j max ( aij j ) x max aij 。
中范数，且 P, Q C
F
都是酉矩阵，则
n n
PA
F
AQ
F
A F ，即给 A 左乘或右乘以酉矩阵后其
值不变 (在 A R
时P 和
Q 都是正交矩阵 )。
证明： PA
F
[tr ( AH P H PA)] 2 [tr ( AH A)] 2 A F 。
1
1
由 A
F
( aij )
向量范数与矩阵范数
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
2范数和条件数病态方程组
由于
( I A)( I A)1 I ( I A)1 A( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
在最后一式两端取范数，得
( I A) 1 I A ( I A) 1
1 A
( I A) 1 I 1.
练习:计算矩阵
1 2 A 3 4 的各种范数.
答案 : 6,7, 15 221 , 30
§2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组
2.3.1
矩阵的条件数与线性方程组的性态
给定线性方程组 Ax =b，现在考察，系数矩阵 A 和常数列 b 有了微小变化 △A，△b ，它如何影 响解向量 x，即，解向量 x 的变化量 △x 何样？ 由于A （或 b）的元素是测量得到的，或者是 计算的结果，在前种情况下， A （或 b）常常带有 某些观测误差，在后种情况下， A （或 b）包含舍 入误差，因此我们处理的实际矩阵是A + △A （或 b+ △b ）。
n×n矩阵 A，式(1.2)中定义的函数是一种矩阵范 数，并且它与给定的向量范数是相容的.
A max Ax
单位球上的 最大像值
x 1
(1.2)
证明 先证相容性. 对任意的n×n矩阵A和n维非零向
量 y. 由于
y 1 max Ax A Ay . x 1 y y
所以有
Ay y max Ax y A ,
考察方程组 Ax = b, 当 A 或 b 有微小扰动时, 对解的影响， 首先看一个例子：
1 x1 2 1 , 1 1.0001 x2 2 1 x1 2 1 x 1 1.0001 2.0001 2
矩阵f范数与向量2范数相容证明
矩阵f范数与向量2范数相容证明在线性代数中，矩阵f范数和向量2范数是两个常见的范数概念。
它们在矩阵和向量的运算和分析中起着重要作用。
而证明矩阵f范数与向量2范数相容的性质，则是深入了解这两个概念的关键之一。
我们来简单地回顾一下矩阵f范数和向量2范数的定义。
矩阵A的f 范数定义如下：（1）. 对于一个n×m的矩阵A，其f范数定义为：||A||_f = (\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|^2)^{1/2}其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，||A||_f表示矩阵A的f范数。
而对于一个n维的向量x，其2范数定义为：（2）. 向量x的2范数定义为：||x||_2 = (\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2)^{1/2}其中x_i表示向量x的第i个元素，||x||_2表示向量x的2范数。
我们的任务是要证明矩阵f范数与向量2范数的相容性。
也就是说，我们需要证明对于任意的n×m矩阵A和n维向量x，有以下关系成立：（3）. ||Ax||_2 ≤ ||A||_f * ||x||_2现在让我们来证明这个性质。
我们要从矩阵A的f范数定义出发，利用向量x的2范数定义来推导出式（3）。
我们可以将矩阵A表示为列向量a_1, a_2, ..., a_m的形式，即A =[a_1, a_2, ..., a_m]，其中a_i表示矩阵A的第i列向量。
根据矩阵向量乘法的定义，我们有Ax = x_1*a_1 + x_2*a_2 + ... +x_m*a_m。
其中x_i表示向量x的第i个元素。
在这里，我们可以利用矩阵A的f范数定义进行变换。
我们可以将矩阵A的f范数表示为矩阵A每一列向量的2范数的最大值。
也就是说，（4）. ||A||_f = max{||a_1||_2, ||a_2||_2, ..., ||a_m||_2}而根据向量2范数的性质，我们知道对于任意的向量y，有||Ay||_2 ≤ ||A||_f * ||y||_2。
2.2-2 矩阵范数与向量范数的相容性
矩阵论/矩阵分析视频公开课武汉理工大学理学院统计学系金升平本视频内容：矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数矩阵范数与向量范数的相容性的概念，为矩阵与向量的联合起来进行分析，提供了理论保障“矩阵范数诱导的向量范数”将告诉我们：对于任意矩阵范数，都可找到与之相容的向量范数二、矩阵范数与向量范数的相容性1. 矩阵范数与向量范数的相容性定义3,v m v Ax A x ≤⋅则称矩阵范数∙m 与向量范数∙v 相容.设∙m 是Cn×n上矩阵范数，∙v 是C n上向量范数，如果, ,n nnA Cx C ⨯∀∈∈下标使用的原因：矩阵--m atrix ，向量--v ector定理1(1) 矩阵范数分别与相容；1, m F ⋅⋅12, ⋅⋅(2) 矩阵范数与向量范数相容.m ∞⋅12, , ∞⋅⋅⋅以矩阵范数与向量范数为例证之.1m ⋅1⋅设(),n nij A a C⨯=∈()12,,,.Tnn x x x x C =∈则11111nnnnij j ij i j i j jAx a x a x =====≤∑∑∑∑和的绝对值小于等绝对值之和。
将x j 放大11111.n n ij m i j nk k a x A x ===⎛⎫⎪⎝≤⎭=⋅∑∑∑2. 由矩阵范数诱导的向量范数, .Hnvmx xax C =∈设是上一个矩阵范数，取,0.na C a ∈≠且m⋅n nC⨯定义可以证明，它是上的向量范数，称为由矩阵范数nC ∙m所诱导的向量范数.事实上，(1) 正定性：当0≠x ∈C n时，xa H≠OHvmxxa =>而当x =0Hxxa ==（2）齐次性：当时，C λ∈HHvvmmxxaxaxλλλλ===（3）三角不等式：()HH Hv mmx y x y axa ya+=+=+HHmmxaya≤+v vx y=+定理2Cn×n上任意一矩阵范数∙m与它所诱导的向量范数∙v 相容.()Hv mAx Ax a=证明只需证相容性即可()HmA xa=()Hm mA xa≤m vA x=See you next time武汉理工大学理学院统计学系金升平矩阵论/矩阵分析视频公开课矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数（完）下一讲内容：向量范数诱导的矩阵范数。
19476-数学建模-代数方程组的解法实验
实验目的实验内容MATLAB2、通过实例练习用（非）线性方程组求解实际问题.实验软件1、用Matlab 软件掌握（非）线性方程组的解法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析.1、向量和矩阵的范数.2、解线性方程组的方法介绍.3、解非线性方程（组）的方法介绍.2）、条件数的性质：a) 1)(≥A cond ；b) 对于R ∈≠)0(α，)()(A cond A cond =α； c) 对于正交阵n n R Q ⨯∈，)()()(A cond AQ cond QA cond ==；讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组：)1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a从（4）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1-n x ，并如此进行下去，即可依次将1,,x x n 全部解出，这样在),,2,1(0)(n k a k kk =≠的假设下，由上而下的消元由下而上的回代，就构成了方程组的消元法，称高斯消元法。
高斯消元法的MATLAB程序%顺序gauss消去法，gauss函数function [A,u]=gauss(a,n)for k=1:n-1%消去过程for i=k+1:nfor j=k+1:n+1%如果a(k,k)=0,则不能消去if abs(a(k,k))>1e-6%计算第k步的增广矩阵a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);else%a(k,k)=0,顺序gauss消去失败disp('顺序gauss消去失败');pause;exit;endendendend%回代过程x(n)=a(n,n+1)/a(n,n);for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j);endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i);end%返回gauss消去后的增广矩阵A=triu(a);%返回方程组的解u=x;例1 用高斯消元法求解方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=++++=+++=++++63521967414832157425421542154321542154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x列主元素消元法的MATLAB程序%列主元gauss消去函数function [A,u]=gauss(a,n)%消去过程for k=1:n-1%选主元c=0;for q=k:nif abs(a(q,k))>cc=a(q,k);l=q;endend%如果主元为0，则矩阵A不可逆if abs(c)<1e-10disp('error');pause;exit;end%如果l不等于k，则交换第l行和第k行if l~=kfor q=k:n+1temp=a(k,q);a(k,q)=a(l.q);a(l,q)=temp;endend%计算第k步的元素值for i=k+1:nfor j=k+1:na(i,j)=a(i,j)-a(i,k)/a(k,k)*a(k,j);endendend%回代过程x(n)=a(n,n+1)/a(n,n); for i=n-1:-1:1s=0;for j=i+1:ns=s+a(i,j)*x(j); endx(i)=(a(i,n+1)-s)/a(i,i); end%返回列主元gauss消去后的增广矩阵A=triu(a);%返回方程组的解u=x;例2 用列主元素消去法重新解例1二、迭代法1、迭代法的总体思想：1)、迭代公式的构造：对线性方程组b Ax =，可以构造一个迭代公式 f BX Xk k +=++)1()1(，给出)0(X 由迭代公式的{})(k X ，如果{})(k X 收敛于*X ，那么*X 就是原方程组的解。
关于范数的理解或定义
I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1ο对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性）2ο对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3ο对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。
下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1ο成立。
2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pix 11)(∑= = αp x 知性质2ο成立。
3、欲验证性质3ο，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数ptptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得：q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pii ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i ii ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piipp111 左右两边同时除以()∑+y x iip1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。
范数
几个常见的矩阵范数
设
A aij
m n
C mn
max aij
1 j n i 1 m
1-范数： A
1
（最大列和）
T A ( AA ) max 谱范数： 2
大的 特的征值的 AAT 的最大特征值的平方根
aij （最大行和） ∞-范数：A max 1i n j 1
向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn中 向量或Rn2中矩阵的“大小”引进某种度 量——范数。
向量范数
定义 设V是数域P上的线性空间，若对于V 中的任意向量α，都有一非负实数ǁαǁ与之 对应，并且满足下列三个条件： （1）正定性：当α≠0时，都有ǁαǁ>0; 当且仅当α=0时， ǁαǁ=0； （2）齐次性：对任意kϵP,有ǁkαǁ=│k│ǁαǁ；
即有 则 Ax
2）
A max
x0
0
A =0， ，若 x ， 可得A=0；
Ax 0
kA max
x0
kAx x
max
x0
k Ax x
k A；
nn A B R 3）对 有： A B x
A B max
x0
x
Ax Bx max x x
2
i 1
而且，由 x 2 1 ，得
n n i 1 i 1
2 a i 1 i 1
n
n
这样，AH Ax AH A ai x (i ) ai AH Ax (i ) ai i x (i )
i 1
由此，
n n (i ) Ax 2 x, A Ax ai x , ai i x ( i ) i 1 i 1 n 2 2 2 2 1 a1 2 a2 n an 1 ai 1 i 1 2 H
南京工业大学矩阵论第四章讲义 ch4.
第四章 矩阵分析在高等数学中，数列和函数的极限是一个很重要的基本概念，它贯穿在整个高等数学课程中。
在线性代数计算方法中，为了描述迭代法的收敛性，需要有向量，矩阵序列的极限概念。
另外，在高维空间讨论数值逼近和研究微分方程数值解等问题中，常要研究两个向量的逼近程度，这些都和向量、矩阵的范数概念有关，这一章主要讨论这些问题。
§4.1 向量和矩阵的序列和级数一、 向量序列的极限设有n R （所有n 维实向量组成的向量记为n R ）中的向量序列：,,,,,)()2()1( k记为)(k ，其中每一个向量)(k 是一个实n 维向量：),2,1(,),,,()()(2)(1)( k a a a k n k k k显然一个n 维向量序列)(k 中各向量的对应分量构成了n 个数列：;,,,,)(1)2(1)1(1)(1k k a a aa,,,,)()2()1()(k n n nk n a a aa 。
定义1 给定n 维向量序列)(k ，当 k ，如果各向量的对应分量构成的n 个数列 ),2,1,,,2,1()( k n i a k i都收敛，则称向量序列)(k 收敛。
设i k i k a a)(lim ，则),,,(21n a a a 称为)(k 的极限，记为：)(lim k k ，简记为)(,)( k k ，反之，如n 个数列中有一个发散，则称)(k 发散。
由定义可知，一个n 维向量序列的收敛等价于n 个数列的收敛，因此根据收敛数列的性质容易得到收敛的向量序列的性质。
性质1 一个收敛的向量序列的极限是唯一的。
性质2 设)(lim k k ，)(lim k k ， b a ,为常数，则：b a b a k k k)(lim )()( 。
例1 设k k k k sin 21）（，求 )(lim k k解：因为021limk k ，0sin lim kkk所以00lim )(k k 。
对于一般的n 维线性空间V 中的一个向量序列)(k ，可以取V 的一个基n ,,,21 ，设)(k 在这个基下的坐标为：),,,()()(2)(1k n k k a a a 。
第五章 向量范数和矩阵范数
x ( x1 , x2 ) C
T
2
，对应于 1, 2, , p 四
种范数的闭单位圆 || x || £ 1 的图形分别为
例 12 对任意
f ( t ) C [a, b]
b
，由
1/ p
骣 p || f ( t ) || p º 琪 | f ( t ) | dt , p³ 1 琪 ò 桫a 定义的 || · || p 是 C[a, b]上的向量范数，称为 Lp 范数。
遗憾的是，当
0 p1
2
时，由
1/ p
骣 p || x || p º 琪 | x | 琪 å i 琪 琪 桫
i= 1
定义的 || || p 不是 F n 上的向量范数。 因为
n 2, p 1 2
2
T 时，取 (1, 0)T , (0,1)，则
|| ||1 || ||1 1, || ||1 4
（3） ||x y|| ||x|| ||y|| 。 ( " x、y ? C )
例 2
n 维欧氏空间中向量
x
的长度或模定义为
2 xn
2 || x || ( x , x ) x12 x2
显然向量 x 的模 || x || 也具有下列三条性质：
(1)
|| x || 0
，当且仅当 x 时，等号成立。
4
1 | )2
=
| 3i |2 + | - 4i |2 + | - 12 |2 = 13.
%ex501.m
i=sqrt(-1);a=[3*i,0,-4*i,-12]'; norm(a),norm(a,1),norm(a,'inf')
CH2-1向量矩阵范数
1 2
x 2 1
1
例4：给定矩阵 2 1 0
2 1 0 A 1 1 1 AT 1 1 1 A 0 1 2 0 1 2
求矩阵 A 的1、2、
范数。
3
A13 A 2 3
A
矩阵A 的特征值为
0, 2, 3
T 1 2
T
A 2 max Ax 2 max[( Ax ) Ax ]
max[ x ( A A) x ]
T T x 2 1
1 2
因为 A
T
A 是半正定的对称阵,可设其特征值为
1 2 L n 0
其对应的正交规范特征向量为
v1 , L , v n R
n
则对
x R , x 2
2.1 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值计算中起着重要作用。
一、 向量范数（/*Vector Norm*/）
| k | max | xi | | k | || x ||
(3) 设 x ( x1 , x2 , K
, xn ), y ( y1 , y2 ,K , yn ) , 则 || x y || || ( x1 y1 , x2 y2 ,K , xn yn ) ||
二、 矩阵范数（/*Matrix Norm*/）
Def 2设
是R
nn
R 的一个映射，若对A R
可以推广到 C
nn
2-6向量范数与矩阵范数的相容性
证明
(1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量 x ，使 Ax≠0 ，从而有
A max
x0
Ax x
v
v
0
即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0。 (2) 对任意的常数k∈C，
kA max
x 0
kAx x
v
v
k max
x 0
Ax x
v
v
k A
即||A||满足齐次性。
(3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，
A B max
x 0
( A B) x x Ax x
v v v
v
max(
x 0
Ax x
v
v
Bx x
v
v
)
max
x 0
max
x 0
Bx x
v
v
A B
即||A||满足三角不等式。 上述定义的实值函数||A|| n×n， A的范数。 (4) 对任意的方阵A，B∈C是矩阵
n
k 1 max aij
j i 1
n i 1
，并取单位向量 ek 0, ..., 0,1, 0, ..., 0
Aek
1
T
则 ek 1 1 ，且有 k
1
，于是
Aek
1
| aik |
i 1
n
即||Ax||1在单位球面{ x | ||x||1=1 }上的极大值点为ek，
n ,n C T
1 2
证明：设 A (aij ) C ， x 1 , 2 ,
Ax 2
n i 1
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x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1
max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A
max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2
与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k
n(
i 1
n k 1
aikk
)2
n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2
n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]
n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即
Ax
2 A
定理2: 设 v 是 C n(Rn ) 上的向量范数,则
(1) (2)
A max Ax
x v 1
v
A max Ax
x v 1
v
令
y y
x x 1 v
都是由 诱导v 出的算子范数
v
证(1)
A max
Ay v max
Ay
max A y
y0 y
y0 y
y0
v
v
x0
x
x0 Bx
x
v
v
v
|| A(Bx) || || Bx ||
max
max
AB
Bx0 || Bx || x0 || x ||
即||A||满足相容性。
再证||A||与|| x ||v的相容性。
Ax Ax
A max v v
x0 x
x
v
v
Ax A x
v
v
由向量范数诱导的矩阵的算子范数还有另外几个不 同的计算公式。
矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
作业要求
书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012 其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
例1
证明矩阵范数 A
n
n
x 1
xi
m1
是相容的。i1
n j1
aij
与向量范数
i 1
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 1
n i 1
a n
k 1 ik k
n (
i 1
a n
k 1 ik
k)
n [(
i 1
n k 1
aik
)(
n k 1
k
)]
(
n i 1
n k 1
aik
)(
n k 1
k
)
A x
m1
1
例2
1
证x 明2 矩 in阵1 x范i 2 数12 是A相m容2 的 i。n1
j
n 1
x0 x v
即||A||满足正定性；另外，显然||A||=0当且仅当A=0。
(2) 对任意的常数k∈C，
kAx
Ax
kA max
v k max v k A
x0 x
x0 x
v
v
即||A||满足齐次性。
(3) 对任意的方阵A，B∈Cn×n，
(A B)x
A B max
v
x0
x
v
Ax Bx
max( v v )
x0 x
x
v
v
Ax
Bx
max v max v A B
x0 x
x0 x
v
v
即||A||满足三角不等式。 上述定义的实值函数||A||
(4) 对任意的方阵A，B∈C是n×矩n，阵A的范数。
ABx
A(Bx) Bx
AB max(
v ) max
第二章 内积空间与赋范线性空间
1
欧氏空间与酉 空 间
2 标准正交基与向量的正交化
3
正交子空间
4 酉(正交)变换与正交投影
授课预计
5
向量范数与矩阵范数
(10学时)
6 向量范数与矩阵范数的相容性
教学内容和基本要求
1，熟练掌握内积的计算方法，知道度量矩阵及其基本性质， 理解内积空间的概念；
2, 理解内积空间的标准正交基，会用施密特正交化方法构 造标准正交基；
上的向量范数，由于 Ax 仍是C n(Rn )上的向量，
所以： Ax A x
定义1 设
A 是C nn (Rnn )上的矩阵范数，x 是 C n (Rn )上
的向量范数。如果对任意的 A C nn (Rnn ), x C n (Rn )
都有： Ax A x 则称矩阵范数 A 与向量范数 x 为由向量范数 导出的算子范数或从属于向 v
量范数 的矩阵范数 v
定理1表明，由给定的向量范数按照上式定义的实 值函数是一种矩阵范数，它与已给的向量范数是 相容的。
证明 (1) 当A为非零矩阵时，一定可以找到非零向量
x ，使 Ax≠0 ，从而有
Ax A max v 0
y
v
vv
vv
max{ Ax : x 1}
v
v
(2)
显然
max Ax max Ax
x v 1
v
x v 1
v
由(1)可知，
A max Ax
x v 1
v
Ax
Ax
max Ax max v max v A
x v 1
v
x x v 1
v
x0 x v
故有，
max Ax A
3, 理解正交子空间及其正交补的概念，掌握正交投影的 概念；理解正交变换的概念，熟练掌握正交矩阵的性质；
§2.6 向量范数与矩阵范数的相容性
在矩阵范数中,相容性 AB A B 尤为重要，那么
矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？ 若 A 是 C nn (Rnn )上的矩阵范数， x 是C n (Rn )