第四章 最佳逼近

第四章最佳逼
近
学习目标：掌握最佳一致逼近和最佳平方逼近的基本理论和
方法、以及最小二乘法常用
的正交多项式以及正交多项
式的性质。

重点为最佳一致
逼近和最佳平方逼近的特征
性质（如契比雪夫定理等）
以及最佳一致逼近和最佳平
方逼近多项式的计算方法。

§1 C[a ,b ]上的最佳一致逼近
不难验证，[a ,b ]上所有连续函数的全体构成一无限维线性空间，
简记为C[a,b]。

为描述方便，引进符号函数 ，称为C[a,b]
上的一致范数或契比雪夫（Chebyshev ）范数，其定义为
∞⋅],[]
,[,)(max b a b a x C f x f f ∈∀=∈∞考虑所有n 次代数多项式的全体形成的集合
. 不难验证，P n 是C [a ,b ]上的n+1维线性子空间。

{
}n n x x span P ,,,1 =
对给定的函数f (x )∈C [a ,b ]称量：
)
()(min ),(x p x f P f n P p n -=∆∈为f (x )关于P n 的最佳一致逼近，简称最佳逼近，也称为契比雪夫逼近。

满足上式的多项式p *(x )称为f (x )在[a ,b ]上的最佳逼近多项式，而线性空间 P n 也称为逼近子空间。

围绕这一问题，人们马上会问：最佳逼近多项式是否存在？是否唯一？如果存在，如何寻找或构造它？对这些问题的回答构成了最佳一致逼近研究的中心内容。

定理（契比雪夫定理） 对任意
是f 的最佳一致逼近多项式的充要条件是f - p 在[a ,b ]上存在的至少有n +2个点组成的交错点组。

n b a p p C f ∈∈,],[推论1 如果 ，那么在
中存在唯一的元素为f 的最佳一致逼近多项式
],[b a C f ∈n p 推论 2 如果f 在[a ,b ]上有n +1阶导数，且 在
（a ,b ）上保号（恒正或恒负），那么契比雪夫交
错组唯一，且区间[a ,b ]的端点属于契比雪夫交错组。

)1(+n f
§4.3 最佳平方逼近
假设X是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数（·，·）：
（1）（x, y）=（y, x），x, y∈X；
（2）（αx, y）=α（x, y），x, y∈X；α∈R；
（3）（x+y, z）=（x, z）+（y, z），x, y, z∈X；
（4）（x, y）≥0，x, y∈X, （x, y）=0↔x=0
则称X为内积空间。

最简单的内积空间是欧几里德空间，它是线性空间R n，按内积
（x, y）=x T y, x, y∈R n (20)
所构成，其中T表示向量的转置。

容易验收证，由（20）式定义的内积满足内积的上述4条性质。

利用内积可以引进范数，若X 是一内积空间，则容易
验证函数 满足范数的3条性质。

于是内
积空间按上述范数构成赋范线性空间，由此可以引出内积空间中的最佳逼近问题：假设φi (i =1,2,…,n )是内积空间X 中n 个线性无关的元素，f ∈X ，则子集 Φn=span{φ1,φ2,…,φn}
对f 的最佳平方逼近定义为：
2min ),(ϕϕ-=Φ∆Φ∈f f n n (21)
特别使（21）式成立的那个元素称为最佳逼近元。

),(2x x x =
类似地，可以提出如下问题：最佳平方逼近元是否存在？如果存在，是否唯一？其特征又如何？对此我们首先建立如下的结论：
定理12 假设X 是内积空间，f ∈X ，则φ*∈Φn 为f 的最佳逼近元的充分必要条件是
（22） n i f i ,,2,1,0),(* ==-ϕϕ。