2.3.多项式的最大公因式(二)解析

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由倒数第二个等式移项得 : rk 1 ( x) rk 3 ( x) rk 2 ( x)qk 1 ( x)
代入[1]式整理得:
rk 3 ( x)v1 ( x) rk 2 ( x)(u1 ( x) v1 ( x)qk 1 ( x)) rk ( x)
令u2 ( x) v1 ( x)，v2 ( x) u1 ( x) v1 ( x)qk 1 ( x), 那么上面的等式可以写 成： [2] rk 3 ( x)u2 ( x) rk 2 ( x)v2 ( x) rk ( x)
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这样继续往上利用等式组，最后可以得到：
问题： ( f ( x) g ( x), h( x)) 1 ( f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1是否成立？
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2.若多项式 hx 整除多项式 f x 与 g x 的乘积，而 hx 与 f x 互素. 那么 hx 一定整除 g x
证明：因为 ( f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1
所以存在u1 ( x), v1 ( x), u2 ( x), v2 ( x)使 f ( x)u1 ( x) h( x)v1 ( x) 1, g ( x)u2 ( x) h( x)v2 ( x) 1 。
2、f ( x)与g ( x)互素 ( f ( x), g ( x)) 1 。
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例7：考察下列各组多项式 是否互素？ (1) f ( x) x 1, g ( x) x 1; (2) f ( x) x 2 1, g ( x) x 1; (3) f ( x) 3, g ( x) x 2 x 1。
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2.3.2
多项式的互素
一、整数的互素
1、设a, b Z，如果(a, b) 1 ，则称a与b互素。 2、设a, b Z，那么
(a, b) 1 存在u, v Z，使得au bv 1 。
3、互素的性质
(1)设a, b, c Z，如果(a, c) 1 ， (b, c) 1, 那么(ab, c) 1 。
f xux g xvx d x
证明：若f ( x) g ( x) 0, 那么d ( x) 0, 显然有 0 u( x) 0 v( x) 0, u( x), v( x) F[ x] 若f ( x)与g ( x)不全为0, 不妨假定g ( x) 0,
的多项式 u x 与 vx 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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对 f x 与 g x 施行辗转相除法。但是现在不允许 用一个零次多项式乘被除式或除式。因为在求多
项式 u x 与 vx 时，不仅要用到余式，同时也要
用到商式。施行除法的结果，我们得到以下一串
等式：
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注意：定理2.3.2的逆命题不成立。
例如：对于f ( x) x, g ( x) x 1，有 x( x 2) ( x 1)(x 1) 2 x 2 2 x 1 但是2 x 2 2 x 1显然不是f ( x)与g ( x)的最大公因式。
……
rk 3 ( x) rk 2 ( x)qk 1 ( x) rk 1 ( x) rk 2 ( x) rk 1 ( x)qk ( x) rk ( x) rk 1 ( x) rk ( x)qk 1 ( x)
1 ( f ( x), g ( x)) rk ( x)( c是rk ( x)的最高次项系数 ) c
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新课
四、数域的改变对多项式的最大公因式的影响 从数域 F 过渡到数域 F , f ( x)与g ( x) 的最大公因式 本质上没有改变
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五、最大公因式的表示
定理 2.3.2
若 d x 是 F [ x] 的多项式 f x 与 g x 的最大公因 式，那么在 F [ x] 里可以求得多项式 u x 与 v x ， 使以下等式成立:
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由倒数第二个等式移项得 :
rk 2 ( x) rk 1 ( x)qk ( x) rk ( x)
令u1 ( x) 1，v1 ( x) qk ( x), 那么上面的等式 可以写成： [1] rk 2 ( x)u1 ( x) rk 1 ( x)v1 ( x) rk ( x)
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解：由辗转相除法可得： f x g x 2 x 6 x 2 3x 9 , 1 1 g x 6 x 3x 9 x x 1, 3 3 6 x 2 3x 9 x 16 x 9.
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例 6 令F是有理数域。求出 F x 的多项式
f x 4 x 4 2 x 3 16 x 2 5 x 9, g x 2 x 3 x 2 5 x 4
的最大公因式 d x 以及满足等式
f x ux g xvx d x
由带余除法得：
6
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f ( x) g ( x)q1 ( x) r1 ( x) g ( x) r1 ( x)q2 ( x) r2 ( x) r1 ( x) r2 ( x)q3 ( x) r3 ( x)
……
rk 3 ( x) rk 2 ( x)qk 1 ( x) rk 1 ( x) rk 2 ( x) rk 1 ( x)qk ( x) rk ( x) rk 1 ( x) rk ( x)qk 1 ( x)
如果h( x)是f ( x)与g ( x)的任意一个公因式， 则由f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1知h( x) 1。 所以( f ( x), g ( x)) 1。
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三、互素的性质 从定理2.3.3我们可以推出关于互素多项式 的以下重要事实。
设 d x 是多项式 f x 与 g x 的一个公因式。若是
d x 能被 f x 与 g x 的每一个公因式整除,那么
d x 叫做 f x 与 g x 的一个最大公因式。
即设f ( x), g ( x), d ( x) F [ x],如果 (1)d ( x) f ( x), d ( x) g ( x); (2)h( x) f ( x), h( x) g ( x) h( x) d ( x)。 就称d ( x)为f ( x)与g ( x)的最大公因式。
证明： (1)( f ( x), g ( x)) 1 存在u ( x), v( x) F [ x]使f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1。 由定理2.3.2立即可得。
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(2)存在u( x), v( x) F[ x]使f ( x)u( x) g ( x)v( x) 1 ( f ( x), g ( x)) 1 。 首先， 1显然是f ( x)与g ( x)的公因式, 其次，
1.若多项式 f x 和 g x 都与多项式 hx 互素， 那么乘积 f x g x 也与 hx 互素.
即： ( f ( x), h( x)) 1, ( g ( x), h( x)) 1 ( f ( x) g ( x), h( x)) 1 。
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二、最大公因式的存在性、唯一性 定理 2.3.1(PartI): F [ x] 的任意两个多项式 f x 与 g x 一定有最大公因式。
定理 2.3.1(part II): 如果 d1 x 、d 2 x 是
f x 与 g x 的两个最大公因式，那么：
因为h( x) h( x), h( x) f ( x) g ( x),
所以h( x) h( x)[u( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)]v( x), 即：h( x) g ( x)。
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2.3
多项式的最大公因式（二）
一. 教学内容 2.3.2 多项式的互素 2.3.3 最大公因式及互素的推广 二.教学目的
1.掌握互素的概念
2.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点
辗转相除法求最大公因式， 证明整除问题
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复习
一、最大公因式的概念
(2)设a, b, c Z，a bc，且(a, b) 1, 那么a c。 (3)设a, b, c Z，如果a c，b c, 且(a, b) 1, 那么ab c。
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二、多项式互素的概念 1、定义3
如果 F x 的两个多项式除零次多项式外不再有 其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素。
[k ] f ( x)uk ( x) g ( x)vk ( x) rk ( x)
因为d ( x) crk ( x), c F , c 0 因此取u( x) cvk ( x)，v( x) cvk ( x),即可得：
f ( x)u( x) g ( x)v( x) d ( x)
2




由此得出， x 1 是 f x 与 g 的最大公因式，而
x
回代
1 1 u x x 1, vx 2 x 2 2 x 3 3 3


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思考：满足定理2.3.2的多项式u x 和vx 是否唯一？
两式相乘可得 f ( x) g ( x)u1 ( x)u2 ( x) h( x)[ f ( x)u1 ( x)v2 ( x) g ( x)u2 ( x)v1 ( x) h( x)v1 ( x)v2 ( x)] 1 。
由定理2.3.3即得( f ( x) g ( x), h( x)) 1 。
d1 x cd 2 x 。其中c F , c 0。
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三、辗转相除法原理
f ( x) g ( x)q1 ( x) r1 ( x) g ( x) r1 ( x)q2 ( x) r2 ( x) r1 ( x) r2 ( x)q3 ( x) r3 ( x)
即：h( x) f ( x) g( x)且(h( x), f ( x)) 1 h( x) g( x)。
证明：因为 (h( x), f ( x)) 1, 所以存在u( x), v( x)使得 h( x)u( x) f ( x)v( x) 1 。
两边同乘g ( x)得h( x)[u( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)]v( x) g ( x)。
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(1)互素 (2)不互素 (3)互素
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3、定理2.3.3 设f ( x) F[ x], g ( x) F[ x], 那么( f ( x), g ( x)) 1 存在u ( x), v( x) F[ x]使f ( x)u ( x) g ( x)v( x) 1 。