☆原创《勾股定理》专题复习与拓展
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弦
勾股定理: 勾2+股2 =弦2.
第一课时
☆一、勾股定理
几何语言 几何图形
几何说理
如果直角三 角形两直角边 分别为a，b， 斜边为c，
∵ a2 + b2=c2 (勾股定理)
A
(算数平
方根定
义)
c
b ∵ ∠C=90°
那么a2+b2 =c2.
Ba
AC2 BC2 AB2
C AB AC2 BC2
勾股定理基本运用：
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
42 23
2 32
2 32
(2)可用勾股定理建立方程.
30°
8
45° 8
MING XIAO KE TANG
AC=1例4，1A△D=A1B2C.中求，BACD的⊥长BC，AB=15，A
解:∵AD⊥BC
15
14 12
∴∠ADB=∠ADC=900 在Rt△ABD中,
=2 55 ∴S△ABC=?
例3 △ABC中，AD⊥BC，AB=15，
BC=14，AC=13. 求BD、DC的长 A
解:∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=900
在Rt△ABD中,
B
DC
∵AB2=AD2+BD2
∴ AB2-BD2 =AC2-CD2
∴AD2=AB2-BD2
在Rt△ADC中, ∵AC2=AD2+CD2
AB=2BC
直角三角形拓展延伸
一、直角三角形有哪些特殊的性质
⑤面积 两种计算面积的方法。 c B
s=12 ab s=12 cd A
da bC
ab=cd
已知任意两边，可利用面积关系求斜边上的高。
二、如何判定一个三角形是直角三角形呢？
(1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形
(2) 两个内角互余的三角形是直角三角形
例2 △ABC中，AB=AC=16，BC=12.
求△ABC的面积。
A
先说理
再代入计算
解:作AD⊥BC于D ∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=900（？？） B
BD=DC=6 （？？）
DC
在Rt△ABD中, ∵AB2=AD2+BD2 ∴AD2=AB2-BD2
∴AD= AB2 -BD2
= 162 -62
(3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
符号语言：∵a2+b2=c2
B
c
a
∴∠C=90° 或△ABC 为Rt△ABC
A
bC
直角三角形判定
（4）如果一个三角形一边上的中线等于这条 的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？
∵ CD=AD=BD
C
？
∴ ∠ACD=90° A
2
2
例6 Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°, AC=4. 求AB长.
A
B
C
例7 Rt△ABC中，∠C=900，BC=8，
AC=6. 求斜边AB的高。 C
B
已知两边，面积法求Rt△斜边高
例8 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15
一、直角三角形有哪些特殊的性质
B
①角 直角三角形的两锐角互余。
②边 勾股定理
A
C
③Rt△斜边中线定理
文字
图形
A
直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半．
•D
（两个等腰三角形）
C
B
说理形式
∵ ∠ACB=90°且D为AB中点
∴CD= 1 AB 2
或AD=BD=CD
(两个等腰三角形)
④30°（60°）Rt△边角关系 30°锐角
设BD=x，那么DC=14-x 方程 ∴ 152-x2 =132-(14-x)2 思想
∴AD2=AC2-CD2
∴ x =9
∴BD=9，DC=5
例4.直角三角形的两边的长为6cm、8cm，
求此三角形的周长。
解 设第三边长为a，由题意，得 ①当a为斜边时： a= 62 +82 =10
周长为：6+8+10=2（4 cm）
②当a为直角边，8cm为斜边时：
a= 82 -62 =2 7
周长为：6+8+2 7 =14+2 （7 cm）
C
例5.在△ABC中，a=15, b=17,
c=8,求此三角形的面积。
解Q 152 82 =172
15
17
a2 c2 b2
B
8A
∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90°
∴ △ABC的面积为：1 a c 1 158 60.
(2) a=13 b=14 c=15
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a:b: c=3:4:5
_是___ ∠_A__=_9_0;0
_不__是_ _____ ;
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
_是____ ∠__C_=_9_0;0
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边
长（边比）的三个正整数，称为勾股数.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
DC
∵AB2=AD2+BD2
在Rt△ADC中,
∴BD= AB2 -AD2
∵AC2=AD2+CD2
先说理 = 152 -122
∴CD= AC2 -AD2
=9
= 142 -122 =2 13
再代入计算 ∴BC= 9+2 13
方法小结：(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
AC AB2 BC2
BC AB2 AC2
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则a2+ b2=c2
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
Ｒt△
a2+b2=c2 互
逆
命
a2+b2=c2
题
三边a、b、c
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形
是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
(企鹅是二百五)
21、72、75……
8、15、17
(八月十五在一起)
8:15:17
4、7.5、8.5；16、30、34
32、60、68……
两个特殊Rt△三边比
A
A
a
c
a
c
45° Cb B
30° Cb B
a :b :c 1:1: 2
45°Rt△
a :b:c 1: 3 : 2
30°Rt△
直角三角形拓展延伸
勾股数
三边长
三边比
“K倍”边长数
3、4、5
3:4:5 1.5、2、2.5; 6、8、10;
(连续整数手拉手)
9、12、15;……
5、12、13 5:12:13 2.5、6、6.5;10、24、26
(五一二, 记一生)
15、36、39……
7、24、25 7:24:25 3.5、12、12.5; 14、48、50
D
B
已知：D为中点，CD=12AB
第二课时
一、辅助线思想（构造直角三角形）
1、如图，已知△ABC中，∠B=45°， ∠C=30°，AB= 2 ，求BC的长？
A
B
D
C
2、如图所示是一块地，已知AD=8米， CD=6米，∠D=90°，AB=26米，BC=24 米，求这块地的面积
勾股定理: 勾2+股2 =弦2.
第一课时
☆一、勾股定理
几何语言 几何图形
几何说理
如果直角三 角形两直角边 分别为a，b， 斜边为c，
∵ a2 + b2=c2 (勾股定理)
A
(算数平
方根定
义)
c
b ∵ ∠C=90°
那么a2+b2 =c2.
Ba
AC2 BC2 AB2
C AB AC2 BC2
勾股定理基本运用：
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
42 23
2 32
2 32
(2)可用勾股定理建立方程.
30°
8
45° 8
MING XIAO KE TANG
AC=1例4，1A△D=A1B2C.中求，BACD的⊥长BC，AB=15，A
解:∵AD⊥BC
15
14 12
∴∠ADB=∠ADC=900 在Rt△ABD中,
=2 55 ∴S△ABC=?
例3 △ABC中，AD⊥BC，AB=15，
BC=14，AC=13. 求BD、DC的长 A
解:∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=900
在Rt△ABD中,
B
DC
∵AB2=AD2+BD2
∴ AB2-BD2 =AC2-CD2
∴AD2=AB2-BD2
在Rt△ADC中, ∵AC2=AD2+CD2
AB=2BC
直角三角形拓展延伸
一、直角三角形有哪些特殊的性质
⑤面积 两种计算面积的方法。 c B
s=12 ab s=12 cd A
da bC
ab=cd
已知任意两边，可利用面积关系求斜边上的高。
二、如何判定一个三角形是直角三角形呢？
(1) 有一个内角为直角的三角形是直角三角形
(2) 两个内角互余的三角形是直角三角形
例2 △ABC中，AB=AC=16，BC=12.
求△ABC的面积。
A
先说理
再代入计算
解:作AD⊥BC于D ∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=900（？？） B
BD=DC=6 （？？）
DC
在Rt△ABD中, ∵AB2=AD2+BD2 ∴AD2=AB2-BD2
∴AD= AB2 -BD2
= 162 -62
(3) 如果三角形的三边长为a、b、c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
符号语言：∵a2+b2=c2
B
c
a
∴∠C=90° 或△ABC 为Rt△ABC
A
bC
直角三角形判定
（4）如果一个三角形一边上的中线等于这条 的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？
∵ CD=AD=BD
C
？
∴ ∠ACD=90° A
2
2
例6 Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°, AC=4. 求AB长.
A
B
C
例7 Rt△ABC中，∠C=900，BC=8，
AC=6. 求斜边AB的高。 C
B
已知两边，面积法求Rt△斜边高
例8 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15
一、直角三角形有哪些特殊的性质
B
①角 直角三角形的两锐角互余。
②边 勾股定理
A
C
③Rt△斜边中线定理
文字
图形
A
直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半．
•D
（两个等腰三角形）
C
B
说理形式
∵ ∠ACB=90°且D为AB中点
∴CD= 1 AB 2
或AD=BD=CD
(两个等腰三角形)
④30°（60°）Rt△边角关系 30°锐角
设BD=x，那么DC=14-x 方程 ∴ 152-x2 =132-(14-x)2 思想
∴AD2=AC2-CD2
∴ x =9
∴BD=9，DC=5
例4.直角三角形的两边的长为6cm、8cm，
求此三角形的周长。
解 设第三边长为a，由题意，得 ①当a为斜边时： a= 62 +82 =10
周长为：6+8+10=2（4 cm）
②当a为直角边，8cm为斜边时：
a= 82 -62 =2 7
周长为：6+8+2 7 =14+2 （7 cm）
C
例5.在△ABC中，a=15, b=17,
c=8,求此三角形的面积。
解Q 152 82 =172
15
17
a2 c2 b2
B
8A
∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90°
∴ △ABC的面积为：1 a c 1 158 60.
(2) a=13 b=14 c=15
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a:b: c=3:4:5
_是___ ∠_A__=_9_0;0
_不__是_ _____ ;
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
_是____ ∠__C_=_9_0;0
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边
长（边比）的三个正整数，称为勾股数.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
B
DC
∵AB2=AD2+BD2
在Rt△ADC中,
∴BD= AB2 -AD2
∵AC2=AD2+CD2
先说理 = 152 -122
∴CD= AC2 -AD2
=9
= 142 -122 =2 13
再代入计算 ∴BC= 9+2 13
方法小结：(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
AC AB2 BC2
BC AB2 AC2
勾股定理:
直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为 c ,则a2+ b2=c2
Ｒt△ 直角边a、b，斜边c
Ｒt△
a2+b2=c2 互
逆
命
a2+b2=c2
题
三边a、b、c
逆定理:
三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形
是直角三角形; 较大边c 所对的角是直角.
(企鹅是二百五)
21、72、75……
8、15、17
(八月十五在一起)
8:15:17
4、7.5、8.5；16、30、34
32、60、68……
两个特殊Rt△三边比
A
A
a
c
a
c
45° Cb B
30° Cb B
a :b :c 1:1: 2
45°Rt△
a :b:c 1: 3 : 2
30°Rt△
直角三角形拓展延伸
勾股数
三边长
三边比
“K倍”边长数
3、4、5
3:4:5 1.5、2、2.5; 6、8、10;
(连续整数手拉手)
9、12、15;……
5、12、13 5:12:13 2.5、6、6.5;10、24、26
(五一二, 记一生)
15、36、39……
7、24、25 7:24:25 3.5、12、12.5; 14、48、50
D
B
已知：D为中点，CD=12AB
第二课时
一、辅助线思想（构造直角三角形）
1、如图，已知△ABC中，∠B=45°， ∠C=30°，AB= 2 ，求BC的长？
A
B
D
C
2、如图所示是一块地，已知AD=8米， CD=6米，∠D=90°，AB=26米，BC=24 米，求这块地的面积