2鸽巢原理
鸽巢问题的三个公式
鸽巢问题的三个公式
1、费马小定理：如果一个正整数a和正整数b及正整数n满足gcd （a，n）=1并且a^b =1 (mod n )，那么称满足该关系的三元组（a，b，n）为一个费马小定理。
2、鸽巢定理：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么存在必然存在某个鸽巢容纳至少两只鸽子。
3、贝祖定理：在满足费马小定理的情况下，若a^(b/2)=1(mod n)，那么该关系称为贝祖定理，并且有a^b=1 (mod n)^2 成立。
费马小定理是一种数论中最古老、最重要的定理，由18世纪意大利数学家费马发现，属于完全平方定理中的一种。
它做出了结论：如果p 是大于零的奇素数，且a是整数，且两者的积不能被p整除，那么a的p次方与a的模p相等。
鸽巢定理又称鸽笼定理，也叫鸽笼原理或卡塔尔定理，是一种数学定理，它主要用于推论系统的存在性，它的陈述是：假设n个相同的鸽子被丢入n个相同的鸽巢，那么有必然会有某个鸽巢容纳至少两只鸽子，也就是，鸽子至少有一个巢里有两只或以上。
贝祖定理指出，如果a是一个整数，b是一个正整数，n是一个正奇数，满足费马小定理的关系，当且仅当a的b的二分之一的模n的等式为余数1时，该定理用于计算指数为奇数的费马定理，此时，a^b
=1(mod n2)成立。
如果指数为偶数，则不具有贝祖定理。
组合数学：3-2 鸽巢原理
例8 假设序列S={a1,a2,…,amn+1}中的各个数互不相同， 证明序列S中可以找到一个长度为m+1的增子序列或 者长度为n+1的减子序列；而且也可以找到一个长度 为n+1的增子序列或者长度为m+1的减子序列。 显然只需要证明一个即可。 证法1：从每个ai开始往后选取最长的增子序列，设 其长度为li，从而得到序列l1,l2,…,lmn+1。 若存在某个li≥m+1，则命题成立。 否则所有的li 满足1≤li≤m，但共有mn+1个li， 因此由推论2，至少有(mn+1-1)/m+1=n+1个li 相同。 不妨设
(v4v5) (v4v6) 为红边 △v1v5v6是蓝△?
设 (v5v6)为红边 √
N Y
设 (v4v5)为蓝边 △v2v3v5是红△?
N
设 (v2v5)为蓝边
Y
△v4v5v6是红△
√ △v2v4v5是蓝△
命题2 对6个顶点的完全图任意进行红、蓝两着色， 都至少存在两个同色三角形。
命题3 对10个顶点的完全图K10任意进行红、蓝两着 色，都或者存在一个红色K4，或者存在一个蓝色K3 。 命题4 对9个顶点的完全图K9任意进行红蓝两着色， 都或者存在一个红色K4，或者存在一个蓝色K3。
构造序列Si=a1+…+ai，i=1,2,…,m。 设Si除以m的余数为ri。下面来讨论ri。 (1) 若有某个ri=0，则命题已成立。 (2) 若所有的ri都不为零，则ri只可能是1到m-1。 但是共有m个ri，根据鸽巢原理，至少有2个相同。 不妨设rk=rl，其中l >k，则Sl -Sk是m的倍数。 根据Si的定义， Sl -Sk= ak+1+·· l， ·+a 故命题成立。
鸽巢原理及其应用
2. 如果8个点有一个点在圆心，可将圆分成6个相等的扇形，如图， A2 由于圆上相邻两点Ai,Aj间的弦长恰好为圆的半径，所以 A 1 取扇形OA1A2不包含OA2,扇形OA2A3不包含OA3,…,
A3 o A6 A4
扇形OA6A1不包含OA1, 由鸽巢原理，余下的7个点
至少有两个在在同一个扇形内，则这两点之间的距
路易· 波萨是匈牙利数学家, 在他11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他出
了个问题:
“如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于2n的，那么你一 定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？” 波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。
3.2 利用划分图形构造“鸽巢”
例1 边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任 取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过
这个问题的一般提法 任意给定n+2个整数，它们之中必有2 个数，其和或差是2n的倍数。
类似这样的例子也有不少。
1.任取n+1个正整数，求证在这n+1 个数中必有两个数它们之差被n整除.
,a , a ,证明必存在正整数 k , （ l0 kl 2 0 1 1 ) , 2.任意给出2011个正整数 a 1 2 2 0 1 1
2011.11.22
主要内容
引言 2. 鸽巢原理 3.鸽巢的构造及其应用 4.鸽巢原理在国内外数学竞赛中的应用 5.鸽巢原理的推广——Ramsey定理(介绍）
1.
1. 引言
鸽巢原理为组合学中的一个重要原理。鸽巢原理 最早是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运 用于解决数学问题而提出来的，所以又称为“迪里赫莱 原理”，也有称“抽屉原理”的。应用它可以解决许多 有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。它常 被用来证明一些存在性的数学问题，并且在数论和密码 学中也有着广泛的应用。对于一些比较特殊的问题，若 用一般的数学方法去研究，很复杂或根本解决不了，但 用鸽巢原理往往能起到事半功倍的效果，所以鸽巢原理 也是国际国内数学竞赛中的重要内容，在数学竞赛中具 有很大的应用意义。
鸽巢问题2归纳总结
鸽巢问题2归纳总结鸽巢问题是一个重要的数学问题，也被称为鸽洞原理、鸽舍原理或鸽笼原理。
它的基本观点是，如果把n+1只鸽子放进n个鸽巢中，其中的至少有一个鸽巢必然会有两只鸽子。
鸽巢问题在实际应用中具有广泛的应用领域，包括计算机科学、图论、密码学、组合数学等。
在本文中，我们将对鸽巢问题的应用进行归纳总结。
一、图论中的鸽巢问题在图论中，鸽巢问题可以应用于证明和解决一些关于图的性质和问题。
比如，对于一个有限的无向图，如果其边的数量大于顶点的数量，那么必然存在至少一个顶点的度数大于等于2。
这可以通过鸽巢问题的观点来解释，即把顶点看作鸽子，边看作鸽巢。
当边的数量多于顶点的数量时，一定会存在至少一个鸽巢（顶点）有两只鸽子（边）。
二、组合数学中的鸽巢问题在组合数学中，鸽巢问题经常被用于解决排列组合问题。
例如，在一个班级里，总共有n个学生，每个学生有m个选择的课程。
如果总共的课程数量超过了m×n，那么必然存在至少一个课程被选择超过了m次。
这可以通过鸽巢问题的观点来解释，即把学生看作鸽子，课程看作鸽巢。
当课程的数量多于m×n时，一定会存在至少一个鸽巢（课程）被选择了超过m次（学生）。
三、计算机科学中的鸽巢问题在计算机科学中，鸽巢问题被广泛应用于数据处理和算法设计。
例如，在哈希算法中，我们经常要把大量的数据映射到有限的地址空间中，这就涉及到将一个大的数据集映射到一个小的鸽巢中。
根据鸽巢问题，我们知道在映射的过程中，会存在多个数据被映射到同一个鸽巢（地址），这就需要通过冲突解决策略来解决。
此外，在并行计算和分布式系统中，鸽巢问题也经常被用于解决资源分配和进程调度的问题。
例如，如果有n个进程要分配到m个处理器上，当n大于m时，根据鸽巢问题，一定会存在至少一个处理器被分配了多个进程，这就需要通过合理的调度算法来解决。
综上所述，鸽巢问题在图论、组合数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它的基本原理为我们在解决一些问题时提供了重要的思路和方法。
鸽巢原理知识点总结
鸽巢原理知识点总结一、什么是鸽巢原理1.1 定义鸽巢原理（Pigeonhole Principle），也叫抽屉原理或鸽笼原理，是一种常用的数学原理。
它指出，如果有n+1个物体被放入n个容器中，那么至少有一个容器必然包含两个或更多的物体。
1.2 表述鸽巢原理可以用一句话来表述：如果有m个鸽子进入n个巢穴，并且m > n（鸽子的数量多于巢穴的数量），那么至少有一个巢穴中会有多于一个只鸽子。
二、鸽巢原理的应用2.1 数学领域鸽巢原理在数学领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）抽屉原理抽屉原理是鸽巢原理的一种特殊情形，它指出：如果有n个物体被放入m个容器中，其中n > m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
这个原理常用于证明存在性问题。
（2）鸽巢模型鸽巢模型是鸽巢原理的一种应用模型。
它主要用于解决排列与选择问题，如数学中的鸽巢函数、离散数学中的排列与组合问题等。
（3）整数划分鸽巢原理可以用于整数划分问题的证明。
例如，如果将1到9的整数划分为四组，并且至少有一组会包含两个或更多的整数。
2.2 计算机科学领域鸽巢原理在计算机科学领域也有着重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：（1）哈希算法哈希算法中的哈希冲突问题可以借鉴鸽巢原理的思想进行解决。
在哈希表中，如果有n个键被映射到m个槽位中，其中n > m，则至少有一个槽位会包含两个或更多的键，这时可以通过使用冲突解决方法来解决哈希冲突。
（2）抽屉排序抽屉排序（Pigeonhole Sort）是一种基于鸽巢原理的排序算法。
该算法的基本思想是将待排序的元素根据其值的范围分配到对应的鸽巢中，然后按照鸽巢的顺序收集元素得到有序序列。
（3）数据分析在数据分析领域，鸽巢原理常用于解决去重、分组和统计等问题。
例如，在一组数据中，如果有n个数据被映射到m个分组中，其中n > m，则至少有一个分组会包含两个或更多的数据。
三、使用鸽巢原理的注意事项3.1 确定条件在使用鸽巢原理解决问题时，需要明确问题中的限制条件，包括鸽子的数量、巢穴的数量以及其他相关条件。
第二章、鸽巢原理和Ramsey定理
组合数学讲义(内部资料，严禁商用) 第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理 2008-2009学年第二学期第二章 鸽巢原理和Ramsey 定理一、鸽巢原理鸽巢原理是组合数学中的一个重要而又基本的原理，它可以用来解决很多日常生活和科学技术上的趣题，并且常能得到一些令人惊异的结果。
这个原理有各种称呼，最常用的名称是鸽巢原理、Dirichlet 抽屉原理和鞋盒原理。
1、问题的引入1) 366个人中必然有至少两个人生日相同。
2) 抽屉里散放着10双手套，从中任意抽取11只，其中至少有两只是成双的。
3) 某次会议有n 位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。
4) 任给5个不同的整数，其中至少有3个数的和被3除尽。
这些例子的道理都很简单，以第一个例子为例，一年365天，366个人至少有一天是某两个人的生日。
最后一例子也有类似的道理，5个数中至少有3个同为奇数或同为偶数，无论哪种情况，它们的和都能被3除尽。
2、鸽巢原理的简单形式定理1、如果把1+n 只鸽子放入n 个鸽巢，则至少有一个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
证明：反证法。
假设每个鸽巢里至多包含一只鸽子，则n 个鸽巢里鸽子的总数小于等于n ，这与已知矛盾。
注：此原理不能用来寻找究竟是那个鸽巢里含有两只或两只以上鸽子。
即此原理只能用来断定这种鸽巢的存在，并未指出怎样构造这种安排或怎样寻找出现这种现象的场合，除非检查所有的可能情况。
此原理的应用：例1、 已知每个人的头发根数都小于20万，对20万人以上的城市就可以断定，至少有两个人头发根数相等。
例2、在边长为1的正三角形中任意放5个点，证明至少有两个点之间的距离不大于21。
证明：构造鸽巢原理如图1,将5个点放在4个边长为21的小正三角形内，根据鸽巢原理，组合数学讲义(涉外学院数学本科用) 2008-2009学年第二学期 制作人 陈勇 必有一个小三角形内至少有两个点，这两个点的距离就小于或等于21。
组合数学第二章鸽巢原理
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
命题2.3.1:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 命题2.3.2:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都至少存在两个同色三角形。
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
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例6： （中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， a,b是满足 的整数。 证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数 为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设 都是正整数，如果把 个物品放入n个盒子，那么或者 第1个盒子中至少有q1个物品， 或者第2个盒子中至少 有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有r个物品。
第二章 鸽巢原理
一、鸽巢原理的简单形式 二、鸽巢原理的加强形式 三、Ramsey问题与Ramsey数 四、Ramsey数的推广
2.1 鸽巢原理的简单形式
定理2.1.1:如果把n +1个物品放入n个盒子中， 那么至少 有一个盒子中有两个或更多的物品。 例1. 13个人中必有两人的属相相同。 例2. 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两 点，它们之间的距离不超过
注:
定理2.4.5:
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抽屉原理2
抽屉原理2
抽屉原理，又称为鸽巢原理，是数学中的一个基本原理，它指出如果有n个物体放进m个抽屉，其中n大于m，那么至少有一个抽屉里面至少有两个物体。
这个原理在实际生活中也有着广泛的应用，不仅在数学领域，也在计算机科学、生活中的整理和分类等方面都有着重要的作用。
抽屉原理的第二个版本是指对于有限个抽屉的情况下，如果抽屉的数量小于待放入物品的数量，那么至少有一个抽屉里面放入的物品数量是相同的。
这个原理在实际生活中也有着广泛的应用。
比如，在一个班级里，如果有11个学生，而只有10个座位，那么至少有一个座位上会有两个学生。
这个原理也可以应用于生活中的其他方方面面，比如在购物时，如果有8个苹果要放进7个袋子里，那么至少有一个袋子里会有两个苹果。
抽屉原理2的应用不仅仅局限于数学和生活中，它也在计算机科学中有着重要的应用。
比如在数据结构中，如果有n个数据要放入m个存储空间，其中n大于m，那么至少有一个存储空间里面会有两个数据。
这个原理在算法设计和优化中有着重要的作用，可以帮助我们更好地理解和设计算法。
抽屉原理2的应用还可以延伸到生活中的整理和分类。
在家里收纳物品时，如果物品的数量大于收纳空间的数量，那么就需要合理地利用抽屉原理2，将物品进行分类整理，以便更好地利用有限的空间。
这样不仅可以让家里看起来更加整洁，也可以更方便地找到需要的物品。
总之，抽屉原理2在数学、计算机科学和生活中都有着重要的应用。
它帮助我们更好地理解和处理问题，让我们在面对大量数据和有限资源时能够更加合理地进行分类和整理。
通过合理地利用抽屉原理2，我们可以更好地提高工作效率，提高空间利用率，让生活变得更加有序和高效。
Chapter2鸽巢原理ThePigeonholePrinciple课件
r(m,n) ≤ r(m1,n)+ r(m,n1) 证明：
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
本章练习题
教材P25-26页：2，4，8，9，11，12， 14，17，18
[注]：
①鸽巢原理仅能被用于证明一个排列或某种现象 的存在性，不能对任何构造排列或寻找现象的例 证给出任何指示。
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
②一些与鸽巢原理相关的其他原理： • 如果n个物体放入n个盒子并且没有一个盒子是
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
2.2鸽巢原理的简单形式：
定理2.1 如果n+1个物体被放进n个盒子，那么 至少有一个盒子包含两个或更多个物体。
证明：如果这n个盒子中的每一个都至多含有一 个物体，那么物体的总数最多是n。既然我们有 n+1个物体，于是某个盒子就必然包含至少两 个物体。
一是作为领导干部一定要树立正确的 权力观 和科学 的发展 观，权 力必须 为职工 群众谋 利益， 绝不能 为个人 或少数 人谋取 私利
[分析一]：利用图的形象而直观的特点， 拉蒙赛问题等价于证明这6个顶点的完全图 的边，用红、蓝二色任意着色，必然至少 存在一个红色边三角形，或蓝色边三角形。 证明一： [分析二]：采用推理过程可证明如下： 证明二：
2.1问题的引入
实例：ห้องสมุดไป่ตู้
组合数学第一节鸽巢原理
第1章鸽巢原理鸽巢原理〔又叫抽屉原理〕指是一件简单明了事实：为数众多一群鸽子飞进不多巢穴里，那么至少有一个巢穴飞进了两只或更多鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见，但利用它可以解决许多有趣组合问题，得到一些很重要结论，它在数学历史上起了很重要作用。
1.1 鸽巢原理简单形式鸽巢原理简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把个物品放入个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多物品。
证明如果每个盒子中至多有一个物品，那么个盒子中至多有个物品，而我们共有个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，那么只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，那么必有两人属相一样。
例2 在边长为1正方形内任取5点，那么其中至少有两点，它们之间距离不超过。
证明把边长为1正方形分成4个边长为小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，那么这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间距离小于或等于小正方形对角线长度。
例3 给出个整数，证明：必存在整数，使得证明构造局部与序列那么有如下两种可能：〔i〕存在整数，使得，此时，取即满足题意。
〔ii〕对任一整数i，均有，令，那么有，这样，个余数均在1到m-1之间。
由鸽巢原理知，存在整数，使得。
不妨设，那么综合〔i〕与〔ii〕，即知题设结论成立。
例4 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少下一盘棋，一周中下棋次数不能多于12次，证明：在此期间连续一些天中他正好下棋21次。
证明令分别为这11周期间他每天下棋次数，并作局部与根据题意，有且所以有〔1.1.1〕考虑数列它们都在1与之间，共有154项，由鸽巢原理知，其中必有两项相等，由〔1.1.1〕式知这77项互不相等，从而这77项也互不相等，所以一定存在，使得因此这说明从第天到第天这连续天中，他刚好下了21盘棋。
第二章 鸽笼原理
鸽巢原理
§2.1 鸽笼原理的简单形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原 理，也叫抽屉原理, 即 有n个鸽子，飞进m(n>m)个鸽笼时，至少有一个 笼内有两只或两只以上的鸽子。 定理 2.1.1 如果把n+1件物体放入n个盒子中去，则至少 有一个盒子放有两个或更多的物体。
例１ 367人中至少有２人的生日相同。 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有两只是完 整配对的。 例３ 把5个顶点入到边长的为2的正方形中，则至 少存在两个顶点它们间的距离小于或等于 2 。 例4 在任意一群人中，一定有两人，他们在这群 人中有相同数目的熟人。
推论2 对正整数mi，i = 1 , 2 , … , n有
m
i 1
n
i
n
r 1,
则至少存在i使得mi ≥r。
例1 在由每个包含n2+1个不同实数的序列中，存 在一个长为n+1的递增子序列或递减子序列。 例2 如将1,2,…,9,10随机地摆成一圈，则必存在某 相邻的三数之和到少为17。
例5 一棋手为参加比赛要进行77天的训练，如他每
天至少下一盘棋，且每周至多下12盘棋，则必存 在相连续的若干天，在这段时间中他恰好下21盘 棋。
§2.2
鸽巢原理的一般形式
定理 2.2.1 设q及qi是正整数，i=1,2,…,n, 且 q≥q1+q2 + … +qn-n+1。 如把q个物体放n个盒子中，则必存在i 使得第 i 个 盒子中至少有qi个物体。 推论1 把n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，则至少 有一个盒子至少有r物体。
组合数学第二章鸽巢原理课件
组合数学
利用鸽巢原理解决组合数 学中的计数问题，如排列、 组合等。
概率论
在概率论中，利用鸽巢原 理研究随机事件的独立性 和概率计算。
离散数学
离散数学中的图论、离散 概率等分支也广泛应用鸽 巢原理。
鸽巢原理在其他领域的应用
计算机科学
在计算机科学中，鸽巢原 理被广泛应用于算法设计 和数据结构分析。
信息理论
在过去的几十年里，鸽巢原理在数学、计算机科学和其他领 域得到了广泛的应用和发展。它已经成为组合数学和离散概 率论的一个重要组成部分。
鸽巢原理的应用场景
计算机科学
在算法设计和数据结构中，鸽 巢原理可以用于解决各种问题 ，如数组和列表的操作、图的
着色等。
离散概率论
在离散概率论中，鸽巢原理可 以用于研究随机事件的独立性 和相互排斥性，以及概率分布 的性质。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，尤其适用于证明否定形式的命题。在证明鸽巢原理时，可以先假设存 在不符合鸽巢原理的情况，然后推导出矛盾，从而证明原命题。这种方法的关键在于找到合适的反证 假设，并从中推导出矛盾。
构造证明法
总结词
通过构造具体的实例或反例来证明命题。
详细描述
构造证明法是一种直观、具体的证明方法。 在证明鸽巢原理时，可以通过构造具体的实 例或反例来证明命题。例如，可以构造一个 具体的鸽巢和物品的例子，通过实例来证明 鸽巢原理的正确性。这种方法可以直观地展 示命题的正确性，但需要注意构造的实例或 反例是否具有一般性。
直接证明法
总结词
通过直接逻辑推理，从已知条件出发，逐步推导结论。
详细描述
直接证明法是数学中最常用的证明方法之一。它基于已知条件和数学公理、定理等，通过逻辑推理逐步推导出结 论。在证明鸽巢原理时，可以从已知条件出发，按照逻辑顺序推导出结论，无需引入其他假设或反证。
第二章鸽巢原理
第二章鸽巢原理
推广
如果q1, q2, ……, qn都等于同一个整数r， 则
如果n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，那 么至少有一个盒子含有r个或更多的物体
第二章鸽巢原理
平均原理之一、二
如果n个非负整数m1, m2, ……, mn的平均 数大于r-1,那么至少有一个整数大于或等 于r
如果n个非负整数m1, m2, ……, mn的平均 数小于r+1,那么至少有一个整数小于r+1
第二章鸽巢原理
存在性证明
令m和n为两个互素的正整数，并令a和b 为两整数，且0 ≤ a ≤ m-1，0 ≤ b ≤ n-1， 于是存在一个正整数x，使得x除以m的余 数为a，并且x除以n的余数为b，即x可以 写成x=pm+a同时又可以写成x=qn+b的形 式，这里p和q是两个整数
第二章鸽巢原理
问题
第二章鸽巢原理
鸽巢原理的抽象描述
令X和Y为两个有限集合，并有函数f: XY 如果|X||Y|，则f就不是一对一的；
如果|X|＝|Y|，且f是映上的，则f就是一对 一的；
如果|X|＝|Y|，且f是一对一的，则f就是映 上的
第二章鸽巢原理
复杂应用
给定m个整数a1, a2, ……am，则存在 整数k和l，满足0≤k<l≤m，使得 ak+1+……+al能够被m整除
鸽巢问题2归纳总结
鸽巢问题2归纳总结引言鸽巢问题2是鸽巢问题的一个变种，也是一道经典的组合数学问题。
在这篇文档中，我们将对鸽巢问题2进行归纳总结，并介绍其相关概念、解法和应用。
目录1.问题描述2.解题思路3.解法分析4.应用场景5.总结1. 问题描述鸽巢问题2是这样一个问题：已知有 m 个鸽巢和 n 个鸽子，其中 m < n。
如果将 n 个鸽子放入 m 个鸽巢中，必然存在一个鸽巢中至少有两个鸽子。
2. 解题思路为了解决鸽巢问题2，我们需要使用鸽巢原理。
鸽巢原理，也被称为抽屉原理，是一种基本的数学原理：如果有 n + 1 个物体放入 n 个集合中，那么至少存在一个集合中含有两个或两个以上的物体。
我们可以借助鸽巢原理来解决鸽巢问题2。
具体的解题思路如下：1.假设 n 个鸽子分别为a1, a2, …, an。
2.将鸽子按抽屉的数量 m 进行分类。
每个鸽子的抽屉编号表示该鸽子所在的鸽巢编号。
3.如果存在一个鸽巢中有两个鸽子，问题得到解决。
4.如果不存在一个鸽巢中有两个鸽子，根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中有两个鸽子。
5.所以，问题得证。
3. 解法分析通过上述的解题思路，我们可以得出一个结论：对于鸽巢问题2，只需要至少m + 1 个鸽子就可以保证至少有一个鸽巢中有两个鸽子。
解法的时间复杂度为 O(1)，因为只需要进行简单的计算。
4. 应用场景鸽巢问题2在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.数据库设计：在数据库中，如果有 m 个数据库表和 n 条记录，其中m < n，那么必然存在一个数据库表中至少有两条记录。
2.生日悖论：如果一个房间中有至少 367 个人，那么至少有两个人生日相同的概率超过 50%。
5. 总结通过本文我们对鸽巢问题2进行了归纳总结，并介绍了其相关概念、解法和应用场景。
鸽巢问题2可以通过应用鸽巢原理简单解决，只需要至少 m + 1 个鸽子即可保证至少有一个鸽巢中有两个鸽子。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，如数据库设计和生日悖论等。
小学数学-六年级下册-5-2 鸽巢原理(2)教案
小学数学-六年级下册-5-2 鸽巢原理（2）教案一. 教材分析鸽巢原理（2）是小学数学六年级下册第五章的内容。
本节课主要让学生理解并掌握鸽巢原理的应用，能够运用鸽巢原理解决实际问题。
教材通过生动的例子，引导学生探索规律，发现原理，并能够运用原理解决生活中的问题。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了基本的数学运算能力和初步的逻辑思维能力。
他们对数学充满了好奇心和求知欲，但同时也有可能会对抽象的原理感到困惑。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，用生动形象的例子引导他们理解鸽巢原理，激发他们的学习兴趣。
三. 教学目标1.让学生理解并掌握鸽巢原理。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.重点：让学生理解并掌握鸽巢原理。
2.难点：让学生能够运用鸽巢原理解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生探索原理，培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和图片，用于引导学生的思考和理解。
2.准备练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实际问题引入本节课的内容。
例如：假设有一群鸽子要放入若干个鸽巢中，每个鸽巢最多放一只鸽子，如何放入尽可能多的鸽子？引导学生思考，引出鸽巢原理。
2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现鸽巢原理的定义和表述。
让学生理解并掌握原理。
3.操练（15分钟）给出一些具体的例子，让学生运用鸽巢原理解决问题。
例如：有8个学生，他们要坐在一排椅子上，每排最多坐两个人，如何安排他们坐的位置？让学生分组讨论，并给出解答。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的内容。
例如：有10个学生，他们要坐在一排椅子上，每排最多坐三个人，如何安排他们坐的位置？让学生独立完成，并进行讲解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考鸽巢原理在生活中的应用，如何优化资源配置等。
第2章 鸽巢原理
1
2
n1
a k a k ... a k
1 2
它们构成一长为 n 1的递减子序列。否则，若有某个 j , (1 j n ) 使得 a k a k ，那么以 a k 为首项的最长递增子序列加上 a k ， 就得到一个以 a k 为首项的递增子序列，由 m k 定义知，
j Байду номын сангаас1 j1 j
鸽巢原理
定理1 若有n+1只鸽子飞回n个鸽巢,则至 少有两只鸽子飞入了同一个鸽巢. 这个原理的证明非常容易, 只要使用 反证法马上就可以得到结论. 这个原理也可以表述为: 如果把n+1件东西放入n个盒子中, 则至少有一个盒子里面有不少于两件 的东西.
鸽巢原理不能用来寻找究竟是哪个盒 子含有两件或更多件东西. 该原理只能证明某种安排或某种现象 存在,而并未指出怎样构造这种安排或 怎样寻找这种现象出现的场合. 从鸽巢原理出发, 对于许多实际问题, 我们可以导出非常有趣的结果. 利用鸽巢原理解决实际问题的关键是 要看出这是一个鸽巢问题, 建立“鸽 巢”，寻找“鸽子”.
n1
这与 m k m k 矛盾。因此，a k a k ... a k 成立。 这是一个长度为n+1的递减子序列，故结论成立。
j j1
mk mk
j
j
j1
1
1 2 n1
j
例12、将1, 2, …, 10随机地摆成一圆，则必有某相邻三数之 和至少是17。 证明：设 m i ( i 1, 2 , ..., 1 0表示该圆上相邻三个数之和（i居中）。 ) 这样的和共有10个。而1,2,…,10中的每一个都出现在这十个和的 三个之中，故
1928年, 年仅24岁的英国杰出数学家 Ramsey发表了著名论文《论形式逻辑 中的一个问题》, 他在这篇论文中, 提 出并证明了关于集合论的一个重大研 究成果, 现称为Ramsey定理. 尽管两年后他不幸去世, 但是他开拓的 这一新领域至今仍十分活跃, 而且近年 来在科技领域获得了成功的应用. 本讲主要介绍鸽巢原理、Ramsey数及 性质、 Ramsey定理及应用.
最新组合数学-第一节：鸽巢原理
第1章 鸽巢原理鸽巢原理（又叫抽屉原理）指的是一件简单明了的事实：为数众多的一群鸽子飞进不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或更多的鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合问题，得到一些很重要的结论，它在数学的历史上起了很重要的作用。
1.1 鸽巢原理的简单形式 鸽巢原理的简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把1n +个物品放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
证明 如果每个盒子中至多有一个物品，那么n 个盒子中至多有n 个物品，而我们共有1n +个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上的物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，则只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排的存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，则必有两人的属相相同。
例2 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两点，它们之间的距离不超过22。
证明 把边长为1的正方形分成4个边长为12的小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，则这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间的距离小于或等于小正方形对角线的长度22。
例3 给出m 个整数12,,,m a a a L ，证明：必存在整数,(0)k l k l m ≤<≤，使得()12k k t m a a a +++++L证明 构造部分和序列1121212,,m m s a s a a s a a a ==+=+++L L则有如下两种可能：（i ）存在整数(1)h h m ≤≤，使得h m s ，此时，取0,k l h ==即满足题意。
（ii ）对任一整数i ，均有(1)i m s i m ≤≤，令(mod)i i r s m =，则有11(1)i r m i m ≤≤-≤≤，这样，m 个余数均在1到m-1之间。
六年级下数学广角鸽巢问题知识点
第五单元：数学广角－鸽巢问题【知识点一】“鸽巢原理”（一）“鸽巢原理”（一）：把ｍ个物体任意分放进ｎ个鸽巢中（ｍ和ｎ是非０自然数，且ｍ＞ｎ），那么必然有一个鸽巢中最少放进了２个物体。
【知识点二】“鸽巢原理”（二）“鸽巢原理”（二）：把多于ｋｎ个物体任意分进ｎ个鸽巢中（ｋ和ｎ是非０自然数），那么必然有一个鸽巢中最少放进了（ｋ＋１）个物体。
【知识点三】应用“鸽巢原理”解决简单的实责问题应用“鸽巢原理” 解题的一般步骤（１）解析题意，把实责问题转变为“鸽巢问题”，即弄清楚“鸽巢”（“鸽巢”是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。
（２）设计“鸽巢”的详尽形式。
（３）运用原理得出某个“鸽巢”中最少分放的物体个数，最后解决问题。
【误区警示】误区一：判断：因为１１÷３＝３．．．．２，所以把１１本书放进３个抽屉中，总有一错解解析个抽屉里最少放５本书。
（√）此题错在把这个抽屉最少放的书的本数用“３（商）＋２（余数）”计算了，应该是“３（商）＋１” 。
错解改正×误区二：有红、绿、蓝三种颜色的小球各５个，最少取出几个能保证有２个同色的？５×３÷３＝５（个）错解解析此题错在把小球的总数作为要分放物体的数量了，求得的结果也是与问题要求不符。
此题属于已知鸽巢数量（３中颜色即３个鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里最少有２个同色的），求要分放物体的数量，各种颜色小球的数量并与参加运算。
错解改正３＋１＝４（个）【方法运用】运用逆推法解决鸽巢问题典型例题把２５个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证最少有一个盒子里有思路解析正确解答方法总结典型例题思路解析正确解答５个玻璃球？由“鸽巢原理”（二）可知，用分放的物体总数除以鸽巢数量求出平均每个鸽巢里所放物体的数量和余数，其中最少有一个鸽巢中有（平均每个鸽巢里所放物体的数量＋１）个物体。
此题可以把玻璃球的总数看作分放的物体总数，把盒子数看作鸽巢数，要使其中一个鸽巢里最少有５个玻璃球，则玻璃球的个数最少要比鸽巢数的（５－１）倍多１个。
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第2章 鸽笼原理
回顾前一章——计数：
排列 组合 组合恒等式
本章重点介绍鸽笼原理及其在排列组 合中的（存在性）应用：
• 例子、意义 • 鸽笼原理及其推广 • Ramsey定理 • Ramsey数
§ 2.1 鸽笼原理定理 § 2.1 鸽笼原理
鸽笼原理（抽屉原理） 若把n+1个物体放到n （n≥1）个盒子中去，则 定理 2.1 至少有一个盒子放有至少2个物体。 证明：用反证法证明。 如果n个盒子中每个盒子至多放入一个物体， 则放入n个盒子中的物体总数至多为n个。 这与假设有n+1个物体矛盾。 从而定理得证。 注：鸽笼原理只指出了至少存在这样的盒子，并没有给出 “确定哪一个盒子有此性质的方法”，因此，它只能用来解 决存在性问题。
共 200项
最后的项 s100 39 160 39 199 但序列（S）共200项，为从1到199的整数。根据鸽笼原理，其中 必有两项相等。 但序列（S）中前100项为单调增，后100项也为单调增，故存在h 和k，使 sk sh 39， 1 h k 100 sk sh 39 则 (a1 a2 ... ak ) (a1 a2 ... ah ) 39 即 ah1 ah 2 ... ak 39 或
§2.2 鸽笼原理的一般形式
三个推论
推论2.2.1：若把m个物体放到n个盒子中去，则 至少有一个盒子放有不少于(m-1)/n+1个物体。 推论2.2.2：若把n(r-1)+1个物体放到n个盒子中 去，则至少有一个盒子放有不少于r个物体。 推论2.2.3：若mi为正整数(i=1,2,…,n),
n mi n r 1 (n个数的平均数大于r-1)，则 i 1 至少存在一个i，使得mi≥r 。 推论2.2.3 ′ ：若mi为正整数(i=1,2,…,n), 且这n个 数的平均数至少等于r，则至少存在一个i，使得 mi ≥ r 。
证明：这是定理2.2当q1=q2=…=qn=r时的特殊情况。
§2.2 鸽笼原理的推论3
§2.2 鸽笼原理的一般形式
三个推论
推论2.2.1：若把m个物体放到n个盒子中去，则 至少有一个盒子放有不少于(m-1)/n+1个物体。 推论2.2.2：若把n(r-1)+1个物体放到n个盒子中 去，则至少有一个盒子放有不少于r个物体。 推论2.2.3：若mi为正整数(i=1,2,…,n),
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例9
例《孙子算经》中有“物不知数”的问题： 今有物不知其数，三三数之余二，五五数之 余三，七七数之余二，问物几何？
解：即求数x，满足：x=3m+2, x=5n+3, x=7p+2 (m, n, p是整数). 孙子歌：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知。 即 x=(70 ×2+21 ×3+15 ×2) －2 ×105=23
§2Байду номын сангаас2 鸽笼原理的一般形式
=a1a2…a20是有10个0和10个1组成的某一20位2进制数， 例1、设 例 A题 B=b1b2…b20是任意的20位2进制数，先把A、B分别计入图（A）、（B） 两个20个格子，分别得（A）、（B）两种图像，并把两个B联接为40 位的2进制数C=b1b2…b20 b1b2…b20，它的图像为（C）。则存在某个i， 1≤i≤20，使得cici+1…ci+19与a1a2…a20至少有10位对应相等。
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例6
例6、从1到2n的正整数中任取n+1个，则 这n+1个数中至少有一对数，其中一个数 是另一个数的倍数（n≥1） 。
证明：设所取n+1个数是a1,a2,…,an,an+1， 对该序列中的每一个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇 数为止，即 ri = ai / 2x ，x = 0,1,2,…。 结果得由奇数组成的序列R：r1,r2,…,rn,rn+1。 1到2n中只有n个奇数，故序列R中至少有两个数是相同的。 设为 ri rj r , i j ， j i a 2 r ， a 2 r，不妨设 i j ， 对应的有 i j 则ai是aj的倍数。
证明：用反证法证明。 假设结论不成立，即对每个盒子中至多放有(m-1)/n个物 体， 从而这n个盒子放入物体的总数最多为 n×(m-1)/n≤m-1 这与假设矛盾。
§2.2 鸽笼原理的推论2
§2.2 鸽笼原理的一般形式
三个推论
推论2.2.1：若把m个物体放到n个盒子中去，则 至少有一个盒子放有不少于(m-1)/n+1个物体。 推论2.2.2：若把n(r-1)+1个物体放到n个盒子中 去，则至少有一个盒子放有不少于r个物体。
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例7
例 7 、设 a1a2…am 是正整数的序列，则至少 存 在 整 数 k 和 l ， 0≤k ＜ l≤m ， 使 得 和 ak+1+ak+2+…+al是m的倍数。 （m≥2）
证明：构造一个序列 s1 a1 , s2 a1 a2 , ..., sm a1 a2 ... am。 则 s1 s2 ... sm 此时有两种可能： （1）若这m个和中有一个sh(1≤h≤m)是m 的倍数，则结论成立。 （2）若这m个和中没有一个 是m 的倍数，则这些和被m除时必有 1,2,…,m-1这样的余数。 由于有m个和，且只有m-1个余数，于是我们可以构造m-1个盒子， 第i个“盒子”是被m除余数为i的数，(i=1,2,…,m-1)。 由鸽笼原理知，用m除各和时，至少有两个和的余数是相同的。 则存在整数k和l (k＜l) ，使得sk和sl 被m除有相同的余数， 即 sk≡sl mod m 。 sl sk ak 1 ak 2 ... al 0mod m 故
例3、一个教师每周上6 次课，则这教师至少有 一天要上至少2次课（双 休日不上课除外）。
证明：此例中把“天”当作盒子， 相当于5个盒子放6个物体，从而 得证。
§ 2.1 鸽笼原理 例4、5 § 2.1 鸽笼原理 例 题 4 、某次会议由 n 位代表参加，每一位 例5 代表至少认识其余 n-1 位中的一位，则 n 位代表中，至少有两位认识的人数相等 （n≥2） 。成立吗？ 。
q ni (qi 1) qi n qi n 1
这与 q qi n 1 矛盾。从而定理得证。
i 1 i 1 n i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
§2.2 鸽笼原理的推论1
§2.2 鸽笼原理的一般形式
三个推论
推论2.2.1：若把m个物体放到n个盒子中去，则 至少有一个盒子放有不少于(m-1)/n+1个物体。
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例9
例9、证明：把5个顶点放到 边长为2的正方形中，至少 存在两个顶点，它们之间的 距离小于或等于 2 .
证明：把边长为2的正方形分成四个全等的边长为1的小正方形， 则每个小正方形的对角线长为 2 。 如果把每个小正方形当作一个盒子，由鸽笼原理知，把5个顶点 放到4个盒子中，必有一个盒子中放入了两个顶点。 即必有一个小正方形中有2个顶点；而小正方形的对角线长为 ， 也就是说小正方形中任意两点的最大距离为 2 2 这就证明了本题。
证明：n个代表认识的人数有1,2,…,n-1，相当于n-1盒子， 根据鸽笼原理可知至少有两人认识的人数相等。 证明：n个代表认识的人数只能取0,1,2,…,n-1。 （1）若每一位代表至少认识其余n-1位中的一位，则这种 情况例4中已经讨论。 （2）但若有一位代表认识的人数为0，即此代表和其他人 都不认识， 则其他n-1人认识的人数只有0,1,2,…,n-2共n-1种可能， 所以根据鸽笼原理，这种情况下也至少有两人认识的人数 相等。
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例9
例11 一个有理数a/b最终可以写成十进 制循环小数。
证明：设 a=p0b+r0 ,10r0=p1b+r1 ,10r1=p2b+r2 , …,10rk-1=pkb+rk , … 其中， 0≤ri<b , i=0,1,2, …, 显然， a/b=p0. p1p2…pk…， 由鸽巢原理，余数 r1,r2,…,rb+1中至少有两个是相等的，不妨设 ri=rj(1≤i<j≤b+1)， 从pk的构造可知，在 p0. p1p2…pi…pj… 中，从pi开始，之后是 pipi+1…pj-1 的循环.
4 = 4+0+0 = 3+1+0 = 2+2+0 = 2+1+1
§ 2.1 鸽笼原理 例1、2、3 § 2.1 鸽笼原理 例 题
例 1 、一年有 365 天，今有 366 个人，则 其中至少有两个人生日相同。
证明：此例中把“天”当作盒子， 相当于365个盒子放入366个物体。得证。 证明：此例中把“每 例 2 、抽屉里有 10 双相同的 双手套”当作盒子， 手套，从中取11只出来，其 相当于10个盒子放11 中至少有两只是完整配对的。 个物体。得证。
n mi n r 1 (n个数的平均数大于r-1)，则 i 1 至少存在一个i，使得mi≥r 。
证明：用反证法证明。 假设结论不成立，即对每个i ，mi≤r-1，则 m1 m2 mn n( r 1) r 1 n n 这与假设矛盾。
§2.2 鸽笼原理的推论3
§2.1 鸽笼原理
例 题
§2.1 鸽笼原理例9
例10（中国剩余定理） 令m和n为2个互素的 正整数，整数a和b满足：0≤a≤m-1，0≤b≤n-1， 证明：存在正整数x，使得x除以m余a，除以 n余b，即x=pm+a， x=qn+b (p,q是整数).