高中数学 第二章 空间向量与立体几何 本章整合课件 北师大版选修2-1
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高中数学北师大版选修2-1课件 第2章 空间向量与立体几何 2.6
(2)已知由几何条件确定的平面 π，那么空间一点 A 到平面 π 的距离的算法步骤为： ①找到平面 π 的法向量 n； ②在平面 π 上任取一点 P； → → ③计算PA在向量 n 上的投影PA· n0(|n0|＝1)； → ④计算点 A 到平面 π 的距离 d＝|PA· n0|. (3)点到面的距离的计算方法有：①确定面的垂线段；②利用 等积变换法．
|PA|2－|PA· s0|2.
(3)点到直线的距离的计算方法有：①找垂线段并求其长；②
2．点面距 (1)已知一点 P 和一个过点 P 且垂直向量 n 的平面 π，那么空 间一点 A 到平面 π 的距离的算法步骤为： → ①计算斜向量PA； → → ②计算PA在向量 n 上的投影PA· n0(|n0|＝1)； → ③计算点 A 到平面 π 的距离 d＝|PA· n0|.
→ →
2．点到面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定 点．
作 AA′⊥π，垂足为 A′，则点 A 到平面 π 的距离 d 等于线 → 段 AA′ 的 长 度 ． 而 向 量 PA 在 n 上 的 投 影 的 大 小 → |PA· n0|(|n0|＝1) ___________________ 等于线段 AA′的长度，所以点 A 到平面 π
(2)平面到平面的距离 当两平面平行时， 一个平面内任一点到另一 平面的距离，叫平面到平面的距离． 求平面到平面的距离时，一般也是转化 成点到面的距离． 求两平行平面间的距离 → |AB· n| ①用公式 d＝ |n| 求，n 为两平行平面的一个法向量，A、B 分别为两平面上的任意两点． ②转化为点面距或线面距求解．
|PA|2－|PA· s0|2.
(2)已知由几何条件确定的直线 l，那么空间一点 A 到直线 l 的距离的算法步骤为： ①找到直线 l 的方向向量 s； ②在直线 l 上任取一点 P； → ③计算斜向量PA； → → ④计算PA在向量 s 上的投影PA· s0；
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件4北师大版选修2_1
(3)化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析： 如图所示， 因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干 向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这 些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平 分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进 行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点．
C→B.
2.已知空间四边形 ABCD，点 M、N 分别是边 AB、CD
的中点，化简A→C＋A→D－A→B.
解析： 如图所示， 因为点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点，
所以A→C＋A→D－A→B＝2A→N－2A→M
＝2M→N.
(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始 点指向末尾向量的终点的向量．因此，求空间若干 向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的 向量．
(2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这 些向量的和为0.
(3)两个向量相加的三角形法则、平行四边形法则在 空间中仍成立．
3．熟练应用三角形法则和平行四边形法则
则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12BD→′ ＝A→B＋12(B→A＋B→C＋BB→′) ＝A→B＋12(－A→B＋A→D＋AA→′) ＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
同理可证：A→M＝12(A→B＋A→D＋A→A′)， A→N＝12(A→B＋A→D＋AA→′).
由此可知 O，P，M，N 四点重合． 故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平 分.
[题后感悟] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
1．空间向量与平面向量的关系 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平面内的两个向量．如图所示，已知空间向量 a，b，我们
可以在任意平面 α 内，以任意点 O 为起点，作向量O→A＝a， O→B＝b.
2．空间向量加法运算的理解
(1)利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”和向 量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．进 行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量 的终点指向被减向量的终点．
高二数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何复习(北师大版)精选教学PPT课件
3 3 a.
BS·数学 选修2-1
如图 2－5 所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截 面 AEC1F 所截而得到的，其中 AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE ＝1.求点 C 到平面 AEC1F 的距离．
图 2－5
BS·数学 选修2-1
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0,0)，
图 2－6
BS·数学 选修2-1
【思路点拨】 建立适当的坐标系，设出 M 点的坐标， 由点到平面的距离的向量公式列方程，若方程有解可求 M 点 坐标，无解则不存在 M.
【规范解答】 根据图形的结构特点，可建立如图空间 直角坐标系．
则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．
平面 EDB．
BS·数学 选修2-1
(2)依题意得 B(a，a,0)，P→B＝(a，a，－a)，又D→E＝(0，a2， a2)，故P→B·D→E＝0＋a22－a22＝0，所以 PB⊥DE.
由已知 EF⊥PB，且 EF∩DE＝E，所以 PB⊥平面 EFD．
BS·数学 选修2-1
如图 2－2，在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC， 点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，且 OA＝OP，OP⊥平面 ABC.
BS·数学 选修2-1
如图 2－3，在空间直角坐标系中，已知 E，F 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点，求：
(1)A1D 与 EF 所成角的大小； (2)A1F 与平面 B1EB 所成角的正弦值； (3)平面 CD1B1 与平面 D1B1B 夹角的余弦值．
图 2－3
－34a2 ＝－
22a×
6 2a
3 2.
【高中课件】北师大版选修21高中数学2.1空间向量与立体几何课件ppt.ppt
中小学精编教育课件
第二章 空间向量与立体几何
• 向量(或矢量)，最初被应用于物 理学．很多物理量如力、速度、 位移以及电场强度、磁感应强度 等都是向量．“向量”一词来自 力学、解析几何中的有向线 段．最先使用有向线段表示向量 的是英国大科学家牛顿．
•从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空 间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19 世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量 运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算 通性的数学体系.
当〈a，b〉＝_____2___时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥B． 当〈a，b〉＝__0_或__π___时，向量 a 与 b 平行，记作 a∥B．
由定义可知，两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝ 〈b，a〉．
4．向量与直线 直线的方向向量：如图，l 是空间一直线，A、 B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方向 向量．
• 4．直线的方向向量与直线上任意一向量的夹角是 ______________．
• [答案] 0°或180° • [解析] 由直线的方向向量的定义易得．
• 5．向量与平面 • (1)平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把
__直__线__l的__方_向__向__量__a __________叫作平面α的法向量． • (2)共面向量：在空间中，如果
________________________________，则称这个向 一量个平向行量于所该在直平线面平．行平于行一于个平同面一平面的一组向量叫作 共面向量．
范围限定在同一个平面上，称之为平面向量；如果 把问题的研究范围扩大到空间中，称之为空间向 量． • 即空间中__既_有__大__小__又_有__方__向_____的量叫作空间向量．
第二章 空间向量与立体几何
• 向量(或矢量)，最初被应用于物 理学．很多物理量如力、速度、 位移以及电场强度、磁感应强度 等都是向量．“向量”一词来自 力学、解析几何中的有向线 段．最先使用有向线段表示向量 的是英国大科学家牛顿．
•从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空 间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19 世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量 运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算 通性的数学体系.
当〈a，b〉＝_____2___时，向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥B． 当〈a，b〉＝__0_或__π___时，向量 a 与 b 平行，记作 a∥B．
由定义可知，两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a，b〉＝ 〈b，a〉．
4．向量与直线 直线的方向向量：如图，l 是空间一直线，A、 B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方向 向量．
• 4．直线的方向向量与直线上任意一向量的夹角是 ______________．
• [答案] 0°或180° • [解析] 由直线的方向向量的定义易得．
• 5．向量与平面 • (1)平面的法向量：如果直线l垂直于平面α，那么把
__直__线__l的__方_向__向__量__a __________叫作平面α的法向量． • (2)共面向量：在空间中，如果
________________________________，则称这个向 一量个平向行量于所该在直平线面平．行平于行一于个平同面一平面的一组向量叫作 共面向量．
范围限定在同一个平面上，称之为平面向量；如果 把问题的研究范围扩大到空间中，称之为空间向 量． • 即空间中__既_有__大__小__又_有__方__向_____的量叫作空间向量．
数学北师大选修2-1课件：第二章 空间向量与立体几何 2.4
即平面SDC的一个法向量为n=(-2,1,-1).
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
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D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟平面法向量的确定通常有两种方法:
(1)直接寻找:若能根据已知条件找出该平面的一条垂线,则可直
接写出法向量.
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反思感悟运用空间向量解答立体几何问题应注意处理和把握好 以下两大关系:一是向量法和纯几何法在解题中相互融合渗透的关 系.大多数立体几何解答题,既可以用向量法求解,也可以用几何法 求解.二是用向量法解题时,是选用基底向量(不建立空间直角坐标 系),还是通过建立空间直角坐标系,选用坐标向量的关系,根据题目 含义而定.对于出现垂直关系的特殊几何体,如正方体、长方体、 直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,往往通过建立空间直角 坐标系解答较为方便.
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一 二 三 思考辨析
【做一做2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为
A1B和AC上的点,A1M=AN=
2 3
a,则MN与平面BB1C1C的位置关系
是( )
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A.相交
则 n1⊥������������,n1⊥������������,
探究一
探究二
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高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量课件3 北师大版选修2-1
过空间中一定点A，作方向向量 为 a 的空间直线。
a
A
结论：过一点A,做方向相量为a的直线只有唯一一条。
K12课件
16
四. 空间向量与平面 1.在空间一直线与平面的位置关系有几种
A
相交：垂直和斜交
平行或线在面内
K12课件
17 17
2.向量与平面
定义：如果直线L垂直于平面,
l
那么把直线L的方向向量 a
AD , BC, BC ． E D
(2)向量AD的相反向量有 A F
DA , CB, CB , ＤＡ .
(3)与EF平行的向量有
AＢ , DC, Ｂ A , CＤ
K12课件
C′ B′
C B
13
三. 空间直线的方向向量
平面直线的方向向量是如何定义的？直线的方向 向量唯一吗？ 在平面内与直线L共线的向量叫直线的方向向量。 直线的方向向量有无数条。
平行向量：方向相同或相反的向量.
共线向量：平行向量也叫共线向量.
单位向量：模为1个单位的向量.
零向量： 模为0的向量.
a
a
b
c
a
相反向量
K12课件 共线向量或平行向量3
空间向量的客观存在 • 如图 F2
F3
物理中的事例
F1
一个放在水平面上物体，受到不在同一平面 内的三个力的作用，如何求它们的合力？
可以看出: 平面向量与空间向量只是研究的范围不
同.平面向量扩展到空K1间2课件就是空间向量。 6
2.空间向量的表示
表示方法1: 用有向线段表示 A
B
如 AB , A叫做向量的起点, B叫做向量的终
点;
表示方法2: 用字母表示 a, b, c…… 或者 a, b, c……
高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量课件北师大版选修2_1
(1)<������������, ������'������'>= (2)<������������, ������'������' >= (3)<������������, ������'������'>=
; ; .
解析:(1)∵������'������' = ������������ , ∴<������������ , ������'������'>=<������������, ������������ >. 又∵∠CAB=45°,∴<������������, ������'������' >=45°. (2)<������������, ������'������' >=180°-<������������, ������'������' >=180°-45°=135°. (3)<������������, ������'������'>=<������������ , ������������>=90°.
一
二
思考辨析
【做一做1】 “两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模 一定相等. 答案:B
一
二
思考辨析
【做一做2】 给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起 点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方 体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ������������ = ������1 ������ ;1 ④若空间向量m,n,p满足 m=n,n=p,则m=p.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相 等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错.根据向 量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要 相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错.根据正方体的性
高中数学第二章空间向量与立体几何本章高效整合课件北师大版选修2_1
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
③直线与平面平行 ⅰ)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直 线 l 在平面 α 外，a 是 l 的一个方向向量，b 是平面 α 的一个法向量，那么 l∥α⇔a⊥b⇔a·b＝0.a∥平面 α⇔表示以 a 为方向向量的直线与 α 平行或平面 α 内，因此也可用向量证明线面平行．
的夹角，记作〈a，b〉．通常规定 0≤〈a，b〉≤π.若〈a，
b〉＝π2，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b.
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
②两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
③向量的数量积的性质(e是单位向量) ⅰ)a·e＝|a|cos〈a，e〉；ⅱ)a⊥b⇔a·b＝0； ⅲ)|a|2＝a·a＝a2；ⅳ)|a·b|≤|a||b|.
③设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b， 那么l⊥α⇔a∥b.此外，也可证明l的方向向量与平 面α内两条相交直线所对应的方向向量垂直．
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
3．求角与距离 (1)求两异面直线的夹角 若两条异面直线 a 和 b 的方向向量分别为 n1，n2， 两条直线 a 和 b 所成的角为 θ，则 cos θ＝|nn11|··n|n22|. (2)求直线与平面的夹角 若直线 a 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n， 直线 a 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|vv|··n|n|.
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何章末复习课件(北师大版选修2-1)
→ → → → 1 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则MN＝ (a＋b＋c)． 2 → → → → → 1 又BD＝AD－AB＝b－a，∴MN·BD＝2(a＋b＋c)(b－a) 1 2 ＝2(b －a2＋c· b－c· a)． 又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c· b＝0，c· a＝0. 又|b|＝|a|，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0. → → ∴MN·BD＝0，∴MN⊥BD. 同理可证，MN⊥A1B，又 A1B∩BD＝B， ∴MN⊥平面 A1BD.
第二章章末归纳整合
专题一 空间向量的计算 空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是 平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积 运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． → → → 【例 1】 沿着正四面体 O-ABC 的三条棱OA、OB、OC的方向 有大小等于 1，2 和 3 的三个力 f1，f2，f3.试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．
高考真题 1．(2011· 上海)设 A1，A2，A3，A4，A5 是空间中给定的 5 个不同 → → → → → 的点，则使MA1＋MA2＋MA3＋MA4＋MA5＝0 成立的点 M 的个 数为( )．
A．0 B．1 C．5 D．10
解析
从特例入手，不妨令 A1，A2，A3，A4，A5 五点共线，且
5．从近几年的高考试题来看，对本章内容的考查主要分两类： (1)以选择题、填空题的形式考查基本概念和性质，此类题难度 不大，用以解答有关简单的化简、计算、长度、夹角、垂直等 问题． (2)向量在空间中的应用，主要是通过向量的坐标表示，运用计 算的方法研究三维空间几何图形的性质与计算，此类问题一般 是中档题．
解
(1)∵PA⊥平面 ABCD，由 ABCD 是正方形知 AD⊥CD.
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量与加减数乘运算.(共28张PPT)
F2 F3 F1
北师大版高中数学选修2-1第二章《空 间向量 与立体 几何》 空间向 量与加 减数乘 运算.( 共28张 PPT)
F1=10N F2=15N F3=15N
16
北师大版高中数学选修2-1第二章《空 间向量 与立体 几何》 空间向 量与加 减数乘 运算.( 共28张 PPT)
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
3
F2
F3 F1
F1=10N F2=15N F3=15N
4
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向15 量
北师大版高中数学选修2-1第二章《空 间向量 与立体 几何》 空间向 量与加 减数乘 运算.( 共28张 PPT)
北师大版高中数学选修2-1第二章《空 间向量 与立体 几何》 空间向 量与加 减数乘 运算.( 共28张 PPT)
数乘分配律
北师大版高中数学选修2-1第二章《空 间向量 与立体 几何》 空间向 量与加 减数乘 运算.( 共28张 PPT)
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a
成立吗？ 加法结合律
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
10
北师大版高中数学选修2-1第二章《空 间向量 与立体 几何》 空间向 量与加 减数乘 运算.( 共28张 PPT)
数学北师大选修2-1课件：第二章 空间向量与立体几何 2.3.1
名师点拨1.在空间选一点O和一组单位正交基i,j,k.以点O为原点, 分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都 叫坐标轴.这样我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O 叫原点,向量i,j,k都叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫作坐标 平面,它们分别是xOy平面,xOz平面,yOz平面.
“×”.
(1)写向量的坐标时,三个实数之间的顺序可以颠倒. ( × ) (2)在同一空间直角坐标系中,某一向量的坐标是唯一确定的.
() (3)在同一空间直角坐标系中,随着向量a的平移,坐标也随之发生
变化. ( × ) (4)向量a在向量b上的投影是一个正数. ( × )
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,0,2
,C1
1 2
,0,2
,
于是������������1 =
-
1 2
,-
3 2
,2
, ������������1 =
1 2
,-
3 2
,2
.
纠错心得在解题时,建立空间直角坐标系是关键,解题中建立的
坐标系可以不同,但都必须符合空间直角坐标系的要求.
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D 答疑解惑 AYIJIEHUO
(2)������������是单位向量,且垂直于平面 ADD'A',求向量������������'在������������上的投影.
思维点拨:|a|cos<a,b>就是向量a在向量b上的投影. 解:(1)������������'在������������上的投影是|������������'|cos∠A'CD=|������������|=1; (2)������������'在������������上的投影是|������������'|cos(π-∠A'CD)=-|������������|=-1.