第6章 用变分法求解最优控制问题
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1 2
若 x(t ) t 有
t x ( t ) e 若 有
§6-2 泛函与变分的基本概念
2.泛函自变量的变分 泛函 J [ x(t )] 的自变量函数 x(t ) 与标称函数 x* (t )之间的差值函数
x x(t ) x(t ) x* (t ) 称为泛函自变量的变分,记作 x(t )或 x 。 x(t ) x (t ) B 设 x (t ) 为 x(t ) 的容许曲线,即 x(t ) x (t ) x* (t ) (t ) x* (t ) 令 0 1 A 则 x* (t ) x* (t ) (t ) x (t ) t 这样: x(t ) (t ) x(t ) x* (t ) (t ) x* (t ) x(t )
最优控制问题是在多种约束条件下寻找控制 u * (t ),使某个性能指标 J 取得极小值。由于 J 为函数 x(t )、u (t ) 的函数,即泛函。最优控制 问题可归结为求某个泛函的条件极值问题。
§6-2 泛函与变分的基本概念
一. 泛函与泛函的变分 1. 泛函的定义 对于某一类函数集合{x(t )} 中的每一个函数 x(t ),均有一个确定的数 J 与之对应,则称 J 为依赖于函数 x(t ) 的泛函,记作
(2)终值型性能指标:J [ x(t f ), t f ] 反映了ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ统状态在终端时刻的性能。
J [ x(t f ), t f ] L[ x(t ), u (t ), t ]dt (3)复合型性能指标: t0 反映了控制过程和终端时刻对系统性能的要求。
若:[ x(t f ), t f ]、L[ x(t ), u (t ), t ] 为二次型函数,则复合型性能指 标可表示为二次型性能指标:
f {x(t f ); g1[ x(t f )] 0, g 2 [ x(t f )] 0}
3. 容许控制 控制量受客观条件限制所能取值得范围。
U {u (t ); ( x, u ) 0} u (t ) U
§6-1 最优控制问题的一般提法
4. 性能指标 tf L[ x(t ), u (t ), t ]dt (1)积分型性能指标: J t0 反映控制过程中对系统性能的要求。
§6-1 最优控制问题的一般提法
最优控制问题的提法就是怎样把一个最优控制问题抽象为数学问题。
一. 最优控制问题的实例
例1:最速升降问题 设有一物体M,作垂直升降运动。假定物体M内部 有一控制器,可以产生一个作用力 u (t ) 控制物体 上下运动。作用力满足约束条件 u(t ) C。 若物体在 t t0 时,离地面的高度为 h0 ,垂直 运动的速度为 v0 。寻找作用力 u (t ) ,使物体最 快地到达地面,且到达地面的速度为零。 建模:受控系统的状态方程(数学模型) (t ) v(t ) 令 x1 (t ) h(t ),x2 (t ) h
u (t )
M
g
h(t )
§6-1 最优控制问题的一般提法
系统的状态方程为: dx1 (t )
初始条件为:
x2 (t ) dt dx2 (t ) u (t ) g dt m x1 (t0 ) h0,x2 (t0 ) v0
(6 1)
现在的问题是,寻找一个 u (t ) ,且满足 u(t ) C ,使物体在最短时间内由 状态 (h0 , v0 ) ,转移到 (0, 0) 。
tf
1 T 1 tf T J x (t f ) Px(t f ) [ x (t )Qx (t ) u T (t ) Ru (t )]dt 2 2 t0
§6-1 最优控制问题的一般提法
最优控制问题的一般提法: 已知受控系统的状态方程
及给定的始端条件 和规定的目标集
(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] x x(t0 ) x0 f {x(t f ); g1[ x(t f )] 0, g 2 [ x(t f )] 0}
二. 最优控制问题的一般提法 用数学语言描述最优控制问题,应包括以下几个方面的内容: 1. 受控系统的数学模型 用状态方程描述:x (t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
2. 受控系统的始端和终端条件,即状态方程的边界条件 对最优控制问题始端条件通常是已知的:x(t0 ) x0 终端条件可以用一个目标集表示:
在容许控制集合 U 中,寻找控制向量 u (t ) U , t [t0 , t f ] ,使系统由 给定的初始状态出发,在 t t0 时刻转移到规定的目标集,并使性能 tf 指标: J [ x(t ), t ] L[ x(t ), u (t ), t ]dt
f f
取得极小值。
t0
J J [ x()] J [ x(t )]
函数值。 例泛函:
J [ x(t )] 中的 x(t )应理解为某一特定函数的整体,而不是对应于 t 的
dx(t ) J ( x (t ) t )dt 0 dt 1 5 2 J (t t )dt 0 6 2 1 e J (e 2t tet )dt 1 0 2
§6-1 最优控制问题的一般提法
问题例1:对于给定的动态系统(6-1),寻找满足约束条件 u(t ) C 的最优控制 u (t ) ,使性能指标
J dt t f t0
t0
tf
取得极小值,且满足如下约束条件:
x1 (t f ) 0 x2 (t f ) 0
§6-1 最优控制问题的一般提法
§6-2 泛函与变分的基本概念
3.泛函的变分 ● 泛函的增量 由自变量函数 x(t ) 的变分 x(t ) 引起泛函 J [ x(t )]的增量
J J [ x* (t ) x(t )] J [ x* (t )] 为泛函 J [ x(t )] 的增量。
若 x(t ) t 有
t x ( t ) e 若 有
§6-2 泛函与变分的基本概念
2.泛函自变量的变分 泛函 J [ x(t )] 的自变量函数 x(t ) 与标称函数 x* (t )之间的差值函数
x x(t ) x(t ) x* (t ) 称为泛函自变量的变分,记作 x(t )或 x 。 x(t ) x (t ) B 设 x (t ) 为 x(t ) 的容许曲线,即 x(t ) x (t ) x* (t ) (t ) x* (t ) 令 0 1 A 则 x* (t ) x* (t ) (t ) x (t ) t 这样: x(t ) (t ) x(t ) x* (t ) (t ) x* (t ) x(t )
最优控制问题是在多种约束条件下寻找控制 u * (t ),使某个性能指标 J 取得极小值。由于 J 为函数 x(t )、u (t ) 的函数,即泛函。最优控制 问题可归结为求某个泛函的条件极值问题。
§6-2 泛函与变分的基本概念
一. 泛函与泛函的变分 1. 泛函的定义 对于某一类函数集合{x(t )} 中的每一个函数 x(t ),均有一个确定的数 J 与之对应,则称 J 为依赖于函数 x(t ) 的泛函,记作
(2)终值型性能指标:J [ x(t f ), t f ] 反映了ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ统状态在终端时刻的性能。
J [ x(t f ), t f ] L[ x(t ), u (t ), t ]dt (3)复合型性能指标: t0 反映了控制过程和终端时刻对系统性能的要求。
若:[ x(t f ), t f ]、L[ x(t ), u (t ), t ] 为二次型函数,则复合型性能指 标可表示为二次型性能指标:
f {x(t f ); g1[ x(t f )] 0, g 2 [ x(t f )] 0}
3. 容许控制 控制量受客观条件限制所能取值得范围。
U {u (t ); ( x, u ) 0} u (t ) U
§6-1 最优控制问题的一般提法
4. 性能指标 tf L[ x(t ), u (t ), t ]dt (1)积分型性能指标: J t0 反映控制过程中对系统性能的要求。
§6-1 最优控制问题的一般提法
最优控制问题的提法就是怎样把一个最优控制问题抽象为数学问题。
一. 最优控制问题的实例
例1:最速升降问题 设有一物体M,作垂直升降运动。假定物体M内部 有一控制器,可以产生一个作用力 u (t ) 控制物体 上下运动。作用力满足约束条件 u(t ) C。 若物体在 t t0 时,离地面的高度为 h0 ,垂直 运动的速度为 v0 。寻找作用力 u (t ) ,使物体最 快地到达地面,且到达地面的速度为零。 建模:受控系统的状态方程(数学模型) (t ) v(t ) 令 x1 (t ) h(t ),x2 (t ) h
u (t )
M
g
h(t )
§6-1 最优控制问题的一般提法
系统的状态方程为: dx1 (t )
初始条件为:
x2 (t ) dt dx2 (t ) u (t ) g dt m x1 (t0 ) h0,x2 (t0 ) v0
(6 1)
现在的问题是,寻找一个 u (t ) ,且满足 u(t ) C ,使物体在最短时间内由 状态 (h0 , v0 ) ,转移到 (0, 0) 。
tf
1 T 1 tf T J x (t f ) Px(t f ) [ x (t )Qx (t ) u T (t ) Ru (t )]dt 2 2 t0
§6-1 最优控制问题的一般提法
最优控制问题的一般提法: 已知受控系统的状态方程
及给定的始端条件 和规定的目标集
(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] x x(t0 ) x0 f {x(t f ); g1[ x(t f )] 0, g 2 [ x(t f )] 0}
二. 最优控制问题的一般提法 用数学语言描述最优控制问题,应包括以下几个方面的内容: 1. 受控系统的数学模型 用状态方程描述:x (t ) f [ x(t ), u (t ), t ]
2. 受控系统的始端和终端条件,即状态方程的边界条件 对最优控制问题始端条件通常是已知的:x(t0 ) x0 终端条件可以用一个目标集表示:
在容许控制集合 U 中,寻找控制向量 u (t ) U , t [t0 , t f ] ,使系统由 给定的初始状态出发,在 t t0 时刻转移到规定的目标集,并使性能 tf 指标: J [ x(t ), t ] L[ x(t ), u (t ), t ]dt
f f
取得极小值。
t0
J J [ x()] J [ x(t )]
函数值。 例泛函:
J [ x(t )] 中的 x(t )应理解为某一特定函数的整体,而不是对应于 t 的
dx(t ) J ( x (t ) t )dt 0 dt 1 5 2 J (t t )dt 0 6 2 1 e J (e 2t tet )dt 1 0 2
§6-1 最优控制问题的一般提法
问题例1:对于给定的动态系统(6-1),寻找满足约束条件 u(t ) C 的最优控制 u (t ) ,使性能指标
J dt t f t0
t0
tf
取得极小值,且满足如下约束条件:
x1 (t f ) 0 x2 (t f ) 0
§6-1 最优控制问题的一般提法
§6-2 泛函与变分的基本概念
3.泛函的变分 ● 泛函的增量 由自变量函数 x(t ) 的变分 x(t ) 引起泛函 J [ x(t )]的增量
J J [ x* (t ) x(t )] J [ x* (t )] 为泛函 J [ x(t )] 的增量。