数学思维与智慧开发 第一章 发现数学

数学并不可怕
数学是简单的，只有符号、公式和定理； 数学是简单的，只有符号、公式和定理； 数学是精确的， 数学是精确的，每一符号和语句都有其特 定的含义； 定的含义； 数学是简化的，是从现实世界中，从我 数学是简化的，是从现实世界中， 们所能感觉到的现象中抽象出来的， 们所能感觉到的现象中抽象出来的，并没 有超出人类经验的范围； 有超出人类经验的范围； 数学是高度抽象的， 数学是高度抽象的，目的是抛弃那些干扰 我们视野的具体形象，简化思考方便研究。 我们视野的具体形象，简化思考方便研究。
数学是一种“健心器材” 数学是一种“健心器材”
• 数学是一种最完美的锤炼心灵的工具。 数学是一种最完美的锤炼心灵的工具。 • 数学是一种最能磨练人的思维的大脑体操。 数学是一种最能磨练人的思维的大脑体操。 • 数学的学习和研究有助于完善人的个性品质。 数学的学习和研究有助于完善人的个性品质。 • 数学的学习有助于养成一种坚定不移而又客 观公正的品格，严谨而又精确的思维习惯。 观公正的品格，严谨而又精确的思维习惯。
第一章
发现数学
数学既简单又深奥，简单到1+1，3 数学既简单又深奥，简单到 ， 岁幼儿也能算出来， 深奥到最尖端最前 岁幼儿也能算出来， 沿的数学， 沿的数学 ， 全世界也没几个人能了解得 很透彻。 很透彻。 数学的内涵随着其发展在不断拓宽 和深化， 和深化 ， 我们应从不同的角度和层次来 接触数学，感受数学， 接触数学 ， 感受数学 ， 从而得到对数学 的立体的认识。 的立体的认识。
数学是一个生存工具
• 自古以来，数学一直被作为解决实际问题 自古以来， 的智力工具。 的智力工具。 • 现代科技中，各门自然科学和应用技术都 现代科技中， 频繁地求助于数学。 频繁地求助于数学。 • 现人文、社会科学中也越来越多地使用数 现人文、 学的方法。 学的方法。 • 许多时候，生活中并不使用数学，但对数 许多时候，生活中并不使用数学， 学的理解和把握数学方法的能力常与生活 品质有着特殊紧密的关系。 品质有着特殊紧密的关系。
数学的语言特点
• 数学本身几乎完全围绕着抽象概念和它们 的相互关系，几乎完全靠推理和计算组成。 的相互言是精确的，无歧义的。 • 数学的语言特征深刻地影响了计算机程序 语言的发展。 语言的发展。
数学是逻辑思想的诗篇
• 数学认识事物的方式是逻辑论证。逻辑论 证使人的思维避免混乱，避免似是而非， 使人能揭示事物的本质和规律。 • 演绎并不是数学逻辑的全部。提出问题和 解决问题方面，归纳也是重要的。
数学是科学的女王
• 数学是科学发展的翅膀，是渗透在科学肌 数学是科学发展的翅膀， 体里的骨架和血脉。 体里的骨架和血脉。 • 科技的发展存在着数学化的倾向，数学是 科技的发展存在着数学化的倾向， 科学研究的必备工具。 科学研究的必备工具。 • 数学为科学事实的分析和推理提供了理论 和方法。 和方法。
人的智慧、 第二节 人的智慧、模型和数学
• 人的大脑是一个信息加工机器， 人的大脑是一个信息加工机器，加工的 方式之一， 方式之一，就是把自己的观察和思想组织成 为概念的体系，称为模型； 为概念的体系，称为模型； 人具有学习、构造和应用理论模型的能 人具有学习、 趣味和需要； 力、趣味和需要； 数学正是人类所构造的一种科学模型； 数学正是人类所构造的一种科学模型； 现代的数学科学就是人类历史上所创造 的各种数学模型的总和。 的各种数学模型的总和。
数学是一种艺术
• 数学是一种别具匠心的艺术。 数学是一种别具匠心的艺术。 • 数学和艺术有许多共同之处。 数学和艺术有许多共同之处。 • 数学是创造性的艺术。 数学是创造性的艺术。
第六节 神奇的数学家
• 数学的魅力使数学家欲罢不能。 数学的魅力使数学家欲罢不能。 • 数学是一种职业。 数学是一种职业。 • 数学家看问题是严密的、客观的、精细的。 数学家看问题是严密的、客观的、精细的。 • 数学要结合实际，单纯的思考无法解决问题。 数学要结合实际，单纯的思考无法解决问题。
第一节 数学门外谈数学
• “瞎子摸象”的典故说明，由于每个人 瞎子摸象”的典故说明， 感知事物的角度不同，因此对于同一事物， 感知事物的角度不同，因此对于同一事物， 不同的人常有不同的看法。 不同的人常有不同的看法。 人们对概念的掌握， 人们对概念的掌握，通常不是通过精确 的定义， 的定义，而是通过对具体事物的感觉和接触 而逐渐形成的。 而逐渐形成的。 人们对数学的认识， 人们对数学的认识，常常是由自己所 掌握的数学知识所组成的， 掌握的数学知识所组成的，由于对数学的 理解和学习的深度不同， 理解和学习的深度不同，人们对数学的感 觉和认识也不一样。 觉和认识也不一样。
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第三节 走近数学看数学
• 数学是智力的自由运用和最高运用， 数学是智力的自由运用和最高运用，数 学使人的思维发展达到全新的境界； 学使人的思维发展达到全新的境界； 因为数学， 因为数学，人类的理性思维才达到它的 光辉顶点。 光辉顶点。
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数学的价值和方法
• 数学理论模型的一个重要价值就是它的正 确性； 确性； • 数学的正确性来自于其方法的力量； 数学的正确性来自于其方法的力量； • 数学的方法就是从现实世界中抽象出共同属 形成和创造出概念，推出公理， 性，形成和创造出概念，推出公理，并用符 合逻辑的方法，得出完全正确的数学真理； 合逻辑的方法，得出完全正确的数学真理； • 数学的价值还在于它的方法，它推导出来的 数学的价值还在于它的方法， 东西是千真万确的。 东西是千真万确的。
第四节 数学的语言和逻辑
• 数学家罗素说：
数学是符号加逻辑。 数学是符号加逻辑。
数学符号
• 数学的一个重要特点就是它的符号。 数学的一个重要特点就是它的符号。 • 数学所追求的是化复杂为简单，数学符号 数学所追求的是化复杂为简单， 的运用正是力求使数学看起来更简洁明了。 的运用正是力求使数学看起来更简洁明了。 • 数学的公式、定理，以及推导过程，除了常 数学的公式、定理，以及推导过程， 见的简单词语外，剩下的就是符号了。 见的简单词语外，剩下的就是符号了。 • 数学的学习过程中，熟悉符号的用法是必要 数学的学习过程中， 是需要一个过程的。 的，是需要一个过程的。
人们对数学的了解， 人们对数学的了解，主要是在课堂上得 到的。 到的。 课堂上的数学，相对松散， 课堂上的数学，相对松散，由于教育的 目的，以及学生接受能力的层次性， 目的，以及学生接受能力的层次性，在逻 辑性、系统性、抽象性上， 辑性、系统性、抽象性上，都没有达到数 学科学那样的高度。 学科学那样的高度。 数学科学， 数学科学，是严格按照逻辑法则建立起 来的逻辑链。 来的逻辑链。
数学是人类智慧的至高境界
• 现在的数学是过去所有时代的数学文化的 积淀，所代表的既是人类个体的智慧， 积淀，所代表的既是人类个体的智慧，又 是人类社会群体的智慧； 是人类社会群体的智慧； • 人类的数学知识不断地积累，并应用于科 人类的数学知识不断地积累， 使人类创造了现代的科学文明。 学，使人类创造了现代的科学文明。
第七节 数学来源于生活
• 数学起源于生活的需要。 数学起源于生活的需要。 • 概念、逻辑推理和计算，都是在生活经验 概念、逻辑推理和计算， 的基础上形成的。 的基础上形成的。 • 数学的研究与生活中的需要相结合，推动了 数学的研究与生活中的需要相结合， 数学的发展。 数学的发展。 • 所有的数学研究都能在生活实践中找到应用。 所有的数学研究都能在生活实践中找到应用。
第五节 数学的无穷魅力
• 丘成桐认为
• 中国文化倡导的“真善美”与 中国文化倡导的“真善美” 数学追求的“真善美” 数学追求的“真善美”不谋而 合。
数学之美
• 数学有着对称之美，和谐之美 数学有着对称之美， • 数学有着简洁之美，并且寓复杂于简单之中。 数学有着简洁之美，并且寓复杂于简单之中。 • 数学有着真相之美，它表达了世界的真相。 数学有着真相之美，它表达了世界的真相。 • 数学有着奠基之美。 数学有着奠基之美。
第八节 数学是一种生存工具
• 数学不等于计算，也不等于逻辑，而是一 数学不等于计算，也不等于逻辑， 种直接用于生活的技术。 种直接用于生活的技术。 • 数学是现代社会中生存和发展的有力工具。 数学是现代社会中生存和发展的有力工具。 • 数学素质是人的更内在、更深刻的层次。 数学素质是人的更内在、更深刻的层次。 • 数学是一个开放性的文化体系，具有深刻 数学是一个开放性的文化体系， 的文化价值。 的文化价值。
数学是一把钥匙
• 数学是理解世界的钥匙，可以帮助人们更 数学是理解世界的钥匙， 好地理解和认识人文科学、自然科学、 好地理解和认识人文科学、自然科学、所 有的创造发明。 有的创造发明。 • 数学是科学航行的指路明灯，探索宇宙的 数学是科学航行的指路明灯， 奥秘，无不涉及数学真理。 奥秘，无不涉及数学真理。 • 数学思维方式须在一定的年龄阶段形成，错 数学思维方式须在一定的年龄阶段形成， 过此关键阶段，则难以或无法获得此重要能 过此关键阶段， 力。
数学其实很可爱
兴趣，是数学的学习、研究、 兴趣，是数学的学习、研究、发展的主 要动力之一， 要动力之一，也是数学成绩优劣的决定因 素之一； 素之一； 数学学习不仅是课堂上的形式，它有着 数学学习不仅是课堂上的形式， 广泛的思维空间和实践空间， 广泛的思维空间和实践空间，是生动有趣 的学习和应用活动； 的学习和应用活动； 许多游戏，工作， 许多游戏，工作，活动中充满了数学的计 要运用数学的思维， 算，要运用数学的思维，从中可以获得无 穷的乐趣和知识，可以得到很大的成功。 穷的乐趣和知识，可以得到很大的成功。