不动点理论及其应用

不动点理论及其应用
主要内容：
不动点理论一压缩映像原理
不动点理论在微分方程中的应用
不动点理论在中学数学中的应用目录：
一、弓丨言
二、压缩映像原理
三、在微分方程中的应用
四、在中学数学中的应用
五、其它
一、引言
取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上,
那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的这个重合点就是一个不动点
函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点
即函数f(x)在取值过程中，如果有一个点X。

使f(X0)X o,则X o就是
一个不动点。

二、压缩映像原理
定理：(Banach不动点定理一压缩映像原理)
设(X,)是一个完备的距离空间，T是(X,)到其自身的一个压缩映射，则T 在X上存在唯一的不动点
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射
距离空间又称为度量空间
定义：(距离空间)设X 是一个非空集合。

X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数(x, y) ，满足下面三个条件：
(1)。

(x,y) 0，而且(x, y) 0，当且仅当x y；
(y,x)；
(2)。

(x,y)
(3)。

(x,z)(x, y) (y,z)， ( x,y,z X )。

这里叫做X 上的一个距离，以为距离的距离空间X
记作(X, )
定义：(完备的距离空间) 距离空间( X, ) 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。

定义：(压缩映射)称映射T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，如果存在0 a 1，使得(Tx,Ty) a (x,y) ( x,y X )成立。

三、在微分方程中的应用
定理：(存在和唯一性)考虑如下初值问题
d y f(x,y),
dx
y(x o) y o.
假设f(x,y)在矩形区域
R： |x x o | a, | y y°| b
内连续，而且对y满足Lipschitz条件，则上述问题在区间I [X。

h,X。

h]上有且仅有一个解，其中
h min2，寻｝, M (m y a>R| f(x,y)|.
(1)。

传统的证明方法
通常，我们分成四步来证明：
a.转换成等价的积分方程
x y y o x f(t,y)dt
x
o
b.构造皮卡迭代序列
c.证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解
d.证明解唯一
(2)。

压缩映像原理证明
根据上面的理论，先定义X C[x。

h, X。

h] C(l)
然后，给一个度量(x,y) max|x(t) y(t)|
由积分方程y y0 x f(t,y)dt ，我们可以定义一个映射：
x
x
(Ty)(x) y0 x f (t, y(t))dt
x
我们要证明两点：
a. 任意x X ，则Tx X
b. 检验映射T : (X, ) (X, ) 是一个压缩映射
tt
(Tx,Ty) m t a I x| f( , x( )d f ( ,y( ))d | x0 x0
2hm t a I x|f (t,x(t)) f (t,y(t))|
注意函数f(x, y)对y满足Lipschitz条件：
| f(t,x1) f(t,x2)| L|x1 x2|,
其中L 是一个常数。

容易得到
tt
(Tx,Ty) m t a I x| f( ,x( )d f( ,y( ))d |
x 0 x0
2hm t a I x|f(t,x(t)) f(t,y(t))|
2hL (x, y)
因此，只要h 取得适当小，使得2hL 1，则映射
T: (X, ) (X, ) 是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点y，使得
x y y0 x f (t, y)dt x0
这样，存在与唯一性同时成立。

四、在中学数学中的应用
例1,假设定义在R 上的奇函数f(x )的图像上存在有限个不动 点，则不动点
有奇数个。

证明：函数f (x)为奇函数，所以f( x) f (x)， x R 特别，取x 0，贝S f (0) 0。

因此0是一个不动点。

如果c 0是一个不动点，即f(c) c ,那么f( c) f (c) c 说明 c 也是一个不动点，
而且 c c 。

或者说，奇函数的非
零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。

例2,给定函数f(x)心,a,b 为常数。

x b
(1) 。

如果函数f(x)有两个关于原点对称的不动点，求a,b 应该满 足的条件。

(2) 。

在(1)的条件下，取a 8, y f(x)的图像上代A '两点的 横坐标是函数f (x)的不动点，P 为函数f (x)图像上的另外一点，而
且其纵坐标大于3,求点P 到直线AA '距离的最小值，以及取得最 小值时点P 的坐标
解：设X 。

是函数f(x)图像上的不动点，则有
由题意知方程(*)有两个根，而且绝对值相等，符号相反
f (X 。

)
3x 0 a X ° b
X 0
整理得 X ； (b 3)x ° a 0
(*)
由韦达定理得b a 300 由此得 b x o,f (x )3 H
因此，a,b 应该满足的条件是:
x 4, y 4
(4,4) O
五、其它
a. 还有很多其它不动点定理
Brouwer 不动点定理：n 维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质， 即
如果S n 表示这个球，f :S n S n 是任意连续函数，则存在一个点
X 。

S n ，使得 f(X °) X 。

b 3, a 0, a
(2)。

(1)的条件下，取a 8,则
8 x 3
故 A(2 22.2) ,
A ' ( 2、2 2、、2)
由3x x 得函数f (x)的两个不动点 3x 8 f(x)门
X 1 22 , X 2
2 .. 2
设 P(x,y)，贝y y 3。

直线A A 的方程为
由 34 3，
设点P 到直线AA '的距离为
解得x 3
.|x y| 1 .
d
P ■石1x
1
—(2 6)
4..2 3x 81 x 3 1
2
1 (x 9) 1 1
[( x 3)
6]
x 3
当且仅当
x 3
即x 4时上式等号成立，此时,
故点P 到直线 AA '距离的最小值为 4.2，此时点P 的坐标为
在经济均衡理论中的应用
例如，经典的Leontief模型。

假设每生产一个产品有N个生产者，p, i 1,2,..., N
X i表示生产者P i的全部产品，X j表示P生产的产品被P j
N
消耗的全部总数。

定义Y X i X j
j i
上式含义：P的全部产品数与由生产者P i, P2,..., P N消耗的总数之差。

Y i称为商品i的“最后要求”。

闭合的Leontief模型假设Y o, i 1,2，…,N。

a j虫称为“产品系数”。

j X i
如果3j是常数，那么(I A)X Y，其中A (a j)，
X (X1，…,X N)，Y ",…,Y N)。

一般情况下，假设a j为正连续函数。

f j(x)称为“要求函数”：表示当P i的收益为x，而花费在由
P j生产的产品G j上的资本总数。

显然，f H(x) 0。

现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式
N
X f j (X) ( 1)
j
般的经济规律认为，生产者P的收益X i按照这样的方式确
定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进
产品的总值，用数学语言表示，有关系式
N x j f ij (x) (2)
i
现在，假设函数f ij 是非线性连续函数，则可知存在点x (x1,...,x N ) 适合关系式( 2)。

定理：假设函数f ij 都是正的连续函数，满足条件( 1)，则存在点x ( x1,..., x N )适合关系式( 2)。

Schauder不动点定理：Banach空间中每个凸紧集，对于连续映射有不动点性质。

b.在偏微分方程的处理中有很多应用
c.引言中例子的证明
我们把大照片抽象成矩形K1 (ABCD ) ，小照片抽象成矩形
K2(A'B'C'D') 。

而照片的叠放可以看成是从K1 到K2 K1 的连续
映射(由伸缩和旋转的连续形变) 。

假设那个不动点为O 点，见下图。

要证明的结论可以转化为：存
在O 点，使得OAB 与OA'B'
相似。

证明：延长A'B'交AB于点P，然后过A, A, P三点作圆O i，过B, B', P作圆。

2 ,记圆O i和作圆。

2的另一个交点为0。

因为点O, B', P, B在圆02上，所以OB'A'OBP。

(因为OB'A' B'OP B'PO B'BP B'BO OBP)
又因为点O, A', A, P在圆O i上，所以OA'P OAP
因此，OAB与OA'B'相似。

这就说明，在O点上，大小照片中的“景物”是相同的。

思考题：A是定义在［2，4］上而且满足如下条件的函数(x)组成的集合：(1 )，对任意的x ［2,4］，都有(x) (1,2) ； ( 2)，存在常数L(0 L 1)，使得对任意X i,X2 ［1,2］，都有
| (2xJ (2X2)| L |X1 X2I。

(I)。

设(x) 3/厂X，x ［2,4］，证明：(x) A。

(II)。

设(x) A，如果存在x o (1,2)，使得x o (2x o)，那么这样
的x o是唯一的
(III )。

设(x) A ，任取 X i (1,2), 令 X n 1
(2X n ), n 1,2,… 证明：给定正整数
k ,对任意正整数p ,成立不等式 (2006年广东高考第20题)
参考文献
[1] 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，北京大学出版社，2004年6 月。

[2] 刘炳初，泛函分析，科学出版社，2005年1月。

[3] 杜珣，现代数学引论，北京大学出版社，1998年7月 | x k p
L k 1 Xk| rr |X2 X1|.。