椭圆知识点总结43395

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椭圆总结(全)

椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

二、方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=2、一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。

椭圆知识点复习资料总结

【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4、离心率：① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。

椭圆知识点总结

椭圆知识点总结第一篇：椭圆的定义和基本性质一、椭圆的定义椭圆是平面上所有到两个定点距离之和恒定的点的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，焦点之间的距离称为椭圆的焦距，椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。

二、椭圆的几何性质1. 椭圆的对称轴：椭圆的中心点是长轴和短轴的交点，长轴和短轴的垂直平分线是椭圆的两个对称轴。

2. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是用焦距和椭圆长轴之间的比值表示的。

离心率越小，椭圆越圆；离心率越大，椭圆越扁平。

当离心率等于1时，椭圆变成了一条直线，称为狭义上的椭圆。

3. 椭圆的面积：设椭圆的长轴和短轴长度分别为2a和2b，椭圆的面积为πab。

4. 椭圆的周长：由于椭圆没有公式可以求周长，但可以用参数方程表示，即x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中0≤θ≤2π。

通过对参数θ的范围积分可以得到椭圆的周长为4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第一类完全椭圆积分，e为椭圆的离心率。

5. 椭圆的切线：椭圆的切线与过切点的切线夹角等于该点到两个焦点的距离之差的倒数。

三、椭圆的数学性质1. 椭圆是二次曲线的一种，可以表示为二次方程：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0。

2. 椭圆可以看做是一个椭球在平面上的投影，因此椭圆在三维空间中也有很多有趣的性质，比如椭圆可以看做是一个旋转椭球的轨迹。

3. 椭圆也可以使用矩阵来表示，其中椭圆的矩阵表示为Q=[A B/2;B/2 C]，椭圆的参数表示为a²=b²+(b²-A²)/e²，其中e为椭圆的离心率。

总之，椭圆在几何学和代数学中都有着广泛的应用和重要性，为我们的科学探索做出了重要的贡献。

椭圆的相关知识点总结

椭圆的相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1、F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴。

椭圆的短轴的长度为2b，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。

椭圆上到焦点的距离等于常数2a的性质可以用数学语言表示为：|PF1|+|PF2|=2a。

椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。

显然，0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一条线段；当e=1时，椭圆退化为一个圆。

二、椭圆的性质1. 焦点离心率椭圆的离心率大于0小于1。

2. 焦点公式椭圆长轴长度为2a，半短轴长度为b。

其中a、b分别是半长轴和半短轴的长度。

焦点坐标为(f1,0)和(-f1,0)。

其中f1=\sqrt{a^2-b^2}。

3. 针焦直线椭圆的焦点圆椭圆的大小只和a、b两轴有关，与焦点的远近无关。

4. 椭圆的直径垂直于直径的直线，称为轴；椭圆的两条轴相互垂直，且它们的交点是中心。

三、椭圆的方程1. 标准方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中a、b分别为半长轴和半短轴的长度。

2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。

一般方程的椭圆可以通过平移和旋转变换为标准方程。

四、椭圆的焦点椭圆的焦点离中心的距离c=\sqrt{a^2-b^2}。

五、椭圆的参数方程设椭圆的焦点为(f,0)和(-f,0)，半长轴为a，半短轴为b，则椭圆的参数方程为：x=a\cos t,y=b\sin t,其中0\leq t\leq 2\pi。

六、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为：r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta},其中e为椭圆的离心率。

七、椭圆的图形椭圆的图形是一种闭合的曲线，形状类似于椭子。

椭圆的长轴和短轴分别是轴、横轴。

椭圆是关于两条坐标轴对称的曲线。

(完整版)椭圆知识点归纳总结

(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。

椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。

2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。

- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。

- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。

- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。

- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。

3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。

5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。

- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。

6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。

- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。

- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。

7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。

- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。

- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。

以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。

完整版)椭圆基本知识点总结

完整版)椭圆基本知识点总结椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(即PF1+PF2=2a>F1F2)时，动点P的轨迹。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。

椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，或者y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)。

其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴长，c为焦距满足a^2=b^2+c^2.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)或者F1(0,-c)，F2(0,c)。

椭圆关于x轴、y轴和原点对称。

椭圆的顶点为(±a,0)和(0,±b)，长轴长为2a，短轴长为2b，离心率e=c/a(0<e<1)。

椭圆上任意一点P到焦点的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。

最大角为当P是椭圆的短轴端点时，∠F1PF2为最大角。

求椭圆标准方程的方法是先判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，然后设方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)或y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)，在不能确定焦点位置的情况下也可设mx^2+ny^2=1(m>0，n>0且m≠n)，接着根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组，最后解方程组，代入所设方程即可得到所求的椭圆标准方程。

点与椭圆的位置关系为，若点在椭圆内，则x^2/a^2+y^2/b^21.最后，直线与椭圆的位置关系需要根据直线的斜率和截距来判断。

若直线与椭圆相交，则有两个交点；若直线与椭圆相切，则有一个交点；若直线与椭圆不相交也不相切，则没有交点。

本文介绍了在解决圆锥曲线问题时常用的两个公式：关于直线和椭圆的一元二次方程和弦长公式，以及点差法的步骤。

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椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a 2a F1 F2的动点P 的轨迹，即点集M={P||PF|+|PF |=2a ， 2a＞ |F F |} ；（2a F1 F2时为线段 F1F2，2a F1F2无轨迹）。

此中两定1212点 F1， F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和必定直线的距离的比是小于 1 的正常数的点的轨迹，即点集M={P|PF e， 0＜ e＜ 1 的常数。

（ e1为抛物线； e1为双曲线）d（利用第二定义 , 能够实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转变，定点为焦点，定直线为准线） .2 标准方程：（ 1）焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y 21 （a＞b＞0）；a2 b 2焦点 F （－ c， 0）， F（ c，0）。

此中c a2b2（一个 Rt 三角形）12（ 2）焦点在 y 轴上，中心在原点：y 2x 21（a＞b＞0）；a2b2焦点 F1（ 0，－ c）， F2（ 0， c）。

此中c a 2 b 2注意：①在两种标准方程中，总有a＞ b＞ 0，c a 2b2而且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞ 0，B＞ 0，A≠ B），当 A＜ B 时，椭圆的焦点在 x 轴上， A＞ B 时焦点在 y 轴上。

3 参数方程：焦点在 x 轴，x a cos（为参数）y b sin4 一般方程：Ax2By 21( A0,B 0)5. 性质：对于焦点在 x 轴上，中心在原点：x2y21（ a＞ b＞ 0）有以下性质：a2b2坐标系下的性质：①范围： |x|≤a， |y|≤b；② 对称性：对称轴方程为x=0， y=0，对称中心为O（0， 0）；③极点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（ a 半长轴长，b半短轴长）；④ 椭圆的准线方程：对于 x2y 21，左准线 l 1 : x a 2；右准线 l 2 : x a2a 2b 2c c对于 y 2x 21，下准线 l1 : y a 2；上准线 l 2 : y a 2a 2b 2c c焦点到准线的距离 pa 2 a 2 c 2b 2 cc（焦参数）cc椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外面，与短轴平行，且对于短轴对称⑤ 焦半径公式： P （ x 0，y 0）为椭圆上任一点。

椭圆的知识点总结

椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。

在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。

具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

这个常数被称为椭圆的长轴长度。

另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。

椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。

3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。

4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。

椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。

5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。

6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。

椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。

7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。

三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。

在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。

四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。

五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。

椭圆知识点及结论总结

椭圆知识点及结论总结**一、椭圆的定义**椭圆是指到定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P到定直线l的距离之和相等的点的轨迹。

其中，l为连接F1和F2的连线的垂直平分线。

**二、椭圆的性质**1. 对称性：椭圆具有对称性，其形状关于两轴方向对称，对称轴是长轴和短轴。

2. 焦点和直径关系：椭圆上每一个点到两个焦点的距离之和等于长轴的长度2a。

3. 离心率：椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦距，a为长轴长度。

椭圆的离心率在0到1之间。

4. 焦角性质：椭圆上任意一点处的法线与连接该点与两个焦点的连线的夹角相等。

**三、椭圆的方程**椭圆的一般方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a和b分别为长轴和短轴的长度。

当椭圆的中心位于原点时，方程可以简化为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

此外，我们还可以通过椭圆的焦点和离心率来描述椭圆的方程。

**四、椭圆的参数方程**椭圆也可以通过参数方程来描述，参数方程为x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，t为参数。

参数方程描述了椭圆上所有点的坐标。

通过参数方程，我们可以更加直观地理解椭圆的形状和特性。

**五、椭圆的应用**1. 天体轨道：行星、卫星等天体的运动轨道大多为椭圆形。

通过研究椭圆轨道，可以更好地了解天体的运动规律和预测其轨道变化。

2. 工程设计：椭圆曲线在工程设计中有着广泛的应用，例如椭圆形的建筑结构、汽车轮胎的设计等。

3. 导弹轨迹：导弹的轨迹可以用椭圆来描述，研究导弹的椭圆轨道可以帮助提高导弹的精准度和命中率。

**结论**通过本文的探讨和分析，我们了解了椭圆的定义、性质、方程及其应用。

椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用价值。

通过对椭圆的深入研究和了解，可以更好地应用椭圆的特性，解决实际问题和推动科学技术的发展。

希望本文能够对读者对椭圆有一个更加全面的了解，并对椭圆的研究和应用提供一些启发和帮助。

椭圆知识点总结

椭圆知识点总结一、椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆长轴和短轴的一半。

椭圆的焦点到中心的距离是c，满足c^2 = a^2 - b^2。

二、椭圆的性质1. 椭圆对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。

2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。

3. 长短轴性质：椭圆的长轴和短轴互相垂直，长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。

4. 离心率：椭圆的离心率e定义为c/a，表示椭圆拉伸的程度，离心率介于0到1之间。

5. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t为参数。

6. 弦长：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，因此椭圆上任意一条弦的长度小于或等于2a。

7. 焦准线性质：椭圆上任意一点到两个准线的距离之差等于常数2a。

三、椭圆与圆的关系1. 圆是椭圆的特殊情况：当椭圆的长轴和短轴相等时，椭圆就变成了圆。

2. 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率等于0时，椭圆就是一个圆。

因此，椭圆和圆可以看作是同一种几何图形的不同特例。

四、椭圆的应用1. 天体运动：椭圆轨道是描述天体运动的重要数学工具，如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动等。

2. 光学：椭圆镜片和椭圆抛物面反射器是光学领域常用的元件，用于聚焦和成像。

3. 工程设计：椭圆的性质在设计椭圆形建筑、椭圆形机械零件、椭圆形轨迹等方面有重要应用。

4. 地理测量：椭圆在地图投影和地理测量中有广泛应用，如椭球面测量、椭圆地图投影等。

五、椭圆的求解1. 椭圆的参数方程可以通过消除参数t来得到椭圆的标准方程。

2. 根据椭圆的焦点性质和准线性质，可以求解椭圆的焦点和准线方程。

3. 椭圆的面积可以通过积分求解，面积公式为S = πab。

4. 椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程求解，周长公式为L = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分。

六、椭圆的变换1. 平移变换：椭圆的平移变换可以用矩阵形式表示，通过平移变换可以将椭圆移动到任意位置。

高三椭圆知识点总结

高三椭圆知识点总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上的一个点集，它的定义是：给定一个点 F1 和一个实数 e（e＜1），平面上到 F1 的距离与到另一定点 F2 的距离的和是一个常数 2a ，即：PF1 + PF2 = 2a（a＞0）。

这样的点集就构成了一个椭圆。

2. 椭圆的性质（1）椭圆的对称性椭圆具有两条互相垂直的对称轴，称为长轴和短轴。

椭圆的中心既是长轴的中点，也是短轴的中点。

椭圆具有中心对称性，即椭圆上的任意点关于中心对称。

（2）焦点和直径在椭圆上存在两个特殊的点 F1 和 F2，它们被称为焦点。

椭圆上的所有点到焦点的距离和为定值 2a。

椭圆的长轴称为椭圆的主轴，短轴称为椭圆的次轴。

椭圆的主轴的两端点被称为端点，也被称为椭圆的顶点。

（3）椭圆的离心率椭圆的离心率 e 定义为焦点 F1 到椭圆中心 O 的距离与椭圆的底边长 b 的比值，即 e = OF1 / b。

离心率的取值范围为 0＜e＜1，当 e＝0 时，椭圆退化为一个圆；当e→1 时，椭圆逐渐趋近于一个狭长的形状。

（4）椭圆的方程椭圆的标准方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 ，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的方程也可以表示为其它形式，如标准方程的极坐标形式、参数方程、直角坐标系下的一般形式等。

3. 椭圆的相关定理（1）椭圆的焦点定理椭圆上任意一点 P 到椭圆的两个焦点 F1 和 F2 的距离之和等于常数 2a，即 PF1 + PF2 = 2a。

（2）椭圆的切线定理椭圆的切线与椭圆的两个焦点之间的距离之和等于椭圆的两条焦轴的长度，即 PT1 + PT2= 2a；PT1 和 PT2 分别为切线的两个切点到椭圆两焦点的距离。

（3）椭圆的两条辅助圆定理椭圆与其两个辅助圆相交于同一条直线上，椭圆的两个焦点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆被称为椭圆的第一辅助圆，椭圆的两个顶点为圆心，椭圆的短轴为直径的圆被称为椭圆的第二辅助圆。

与椭圆有关知识点总结

与椭圆有关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是一个平面上所有点到两个给定点的距离之和等于常数的集合。

这两个给定点称为“焦点”，常数之和称为“椭圆的半长轴长度2a”。

在椭圆上的一条线段，它的两个端点分别与两个焦点相连，且到这条几何线段的两个焦点的距离之和等于椭圆的半长轴长度，这条线段称为“椭圆的主轴”。

椭圆的中心是位于两个焦点的连线的中点。

椭圆上的点到中心的距离的最大值称为椭圆的半长轴长度，对应的方向是椭圆的主轴，椭圆上的点到中心的距离的最小值等于椭圆的半短轴长度，对应的方向是椭圆的短轴。

二、椭圆的性质1.对称性：椭圆具有两个对称轴，分别是主轴和短轴。

椭圆相对于这两个对称轴是对称的。

2.焦点：椭圆上的每一个点到两个焦点的距离之和是常数。

3.离心率：椭圆的形状由椭圆的离心率来决定。

离心率的定义是e=c/a，其中c是焦距，a是椭圆半长轴的一半长度。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为圆；当e=1时，椭圆退化为一条直线。

4.焦半径：椭圆上任意一点到两个焦点的距离的平方和等于主轴的平方和。

5.参数方程：椭圆的参数方程通常是x=a*cos⁡(t),y=b*sin⁡(t)。

6.切线和法线：椭圆上的切线和法线都经过焦点。

三、椭圆的方程1.标准方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b>0)，(h,k)是椭圆的中心。

2.离心率方程：椭圆的离心率方程为e=√(1-b²/a²)。

3.参数方程：椭圆的参数方程为x=a*cos⁡(t),y=b*sin⁡(t)，其中0≤t≤2π。

四、椭圆的应用椭圆作为一种重要的几何图形，在物理、工程和生活中有广泛的应用。

1.太阳系椭圆轨道：太阳系中行星的运行轨道是椭圆形的，行星绕太阳运动的轨迹就是以太阳为焦点的椭圆。

2.摄影：在摄影学中，摄影镜头和摄影胶片的焦距、对焦误差等问题都可以用椭圆的性质来进行分析和计算。

椭圆的经典知识总结

椭圆的经典知识总结椭圆是一个非常重要的几何形状，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

下面将对椭圆的经典知识进行总结，涵盖椭圆的定义、性质以及一些常见的应用。

一、定义和性质：1.椭圆定义：椭圆是平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于一定常数（长轴）的点的集合。

2.主要要素：(1)焦点：椭圆的两个焦点是确定椭圆形状的关键要素。

(2)长轴和短轴：椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴则是垂直于长轴并通过中心点的线段。

长轴的长度称为椭圆的主轴，短轴的长度则称为次轴。

(3)中心：椭圆的中心是指长轴和短轴的交点。

(4)半焦距：则是焦点到中心的距离。

(5)离心率：椭圆的离心率是一个用来衡量椭圆形状的值，定义为离心距（焦点到中心的距离）与主轴长度之比。

3.离心率和几何性质：(1)离心率的取值范围为0到1之间，当离心率为0时，椭圆退化为一个点；当离心率为1时，椭圆退化为一个抛物线。

(2)在椭圆上的任意一点，到焦点的距离之和等于常数，称为焦散性质。

(3)椭圆的两个焦点到任意一点的距离之差等于长轴的长度。

4.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆中心点的坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度，并且a>b。

二、椭圆的性质和应用：1.对称性：(1)椭圆具有对称性，关于中心对称，即中心点是对称中心。

(2)长轴和短轴也是椭圆的对称轴。

2.焦点与直线的关系：(1)焦点到椭圆上的任意一点的距离之和等于该点到椭圆的任意一条切线的长度。

(2)椭圆上的任意一条切线与焦点之间的两条线段的夹角相等。

3.切线和法线：(1)切线是与椭圆一点相切且垂直于切线的直线。

(2)法线是与切线垂直且通过椭圆上切点的直线。

4.面积公式：椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的长度。

5.椭圆的应用：(1)椭圆在天文学中被用来描述行星、彗星和其他天体的轨道。

(2)椭圆也广泛应用于工程学、建筑学和设计中，例如椭圆形的天花板和门窗等。

椭圆及知识点总结

椭圆及知识点总结一、椭圆的定义椭圆是一个平面上距离两个定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。

这两个定点称为焦点，两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数的这个常数称为椭圆的长轴。

椭圆的长度长的半轴即长轴，另一个短的半轴即椭圆的短轴。

椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的参数，它等于焦距与长轴之比。

二、椭圆的性质1. 横坐标a，纵坐标b，a>b2. 椭圆两焦点（-c,0）和（c,0）。

3. 椭圆的离心率e，e=c/a。

4. 椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1。

5. 椭圆的周长C=4aE(e)，其中E(e)表示第二类椭圆积分。

6. 椭圆的面积S=πab。

三、椭圆的方程椭圆的方程可以通过直角坐标系下的坐标点和离心率来表示，一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为坐标系原点的坐标，a为长轴的长度，b为短轴的长度。

还可以通过参数方程来表示椭圆，参数方程为：x=a*cos(t)+hy=b*sin(t)+k其中(t为参数，a、b分别为长短半轴，(h,k)为椭圆的中心点。

四、椭圆的应用1. 天体运动：开普勒定律描述行星和卫星绕太阳和行星绕行星运动的轨道为椭圆。

2. 工程建筑：椭圆的形状被广泛运用在建筑设计中，例如拱门、拱桥的设计。

3. 数学物理：椭圆的性质在物理学和工程学中有着重要的应用，例如在电磁场和引力场的研究中。

五、椭圆的知识点总结1. 椭圆的定义：椭圆是平面上距离两个定点的距离之和等于常数的轨迹。

2. 椭圆的性质：椭圆有特定的横纵坐标、焦点坐标、离心率、方程、周长和面积等特性。

3. 椭圆的方程：椭圆的标准方程和参数方程可以描述椭圆的形状和特性。

4. 椭圆的应用：椭圆在天体运动、工程建筑和数学物理等领域都有着重要的应用价值。

综上所述，椭圆是一种重要的圆锥曲线，具有独特的形状和性质，在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用价值。

(完整版)椭圆基本知识点总结

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 223.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。

4.焦点三角形的面积2tan221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为2222by a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，2222b y a x +>1, 点在椭圆外。

椭圆的知识点公式总结

椭圆的知识点公式总结1. 椭圆的基本概念椭圆的基本概念包括：焦点、长轴、短轴、焦距、离心率等。

焦点：椭圆的焦点是一个固定点F，对于任意点P，它到F1和F2（F1和F2称为焦点）的距离之和等于常数2a，即|PF1|+|PF2|=2a，其中a是椭圆的半长轴。

长轴：椭圆的长轴是通过焦点的直线段，且与椭圆的两个焦点在同一条直线上。

短轴：椭圆的短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线段。

焦距：焦距是两个焦点之间的距离，通常表示为2ae，其中e为椭圆的离心率。

离心率：椭圆的离心率是一个无单位的常数，它用来衡量椭圆的偏心程度，通常表示为e，e的取值范围是0<e<1。

2. 椭圆的方程椭圆的标准方程通常有两种形式：一般方程和参数方程。

一般方程：椭圆的一般方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。

参数方程：椭圆的参数方程为：x = h + acos(t)，y = k + bsin(t)，其中t为参数。

3. 椭圆的性质椭圆具有多种性质，包括形状、对称性、焦点、离心率、焦距等。

形状：椭圆是一个闭合曲线，它不断地向两个焦点靠近但永远到不了的轨迹。

对称性：椭圆具有对称性，关于长轴和短轴都有对称中心。

焦点：椭圆的焦点是曲线的重要特征点，对于任意点P到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

离心率：椭圆的离心率e决定了椭圆的偏心程度，当e=0时，椭圆退化为一个圆。

焦距：椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，通常表示为2ae。

4. 椭圆的参数椭圆的参数包括：半长轴a、半短轴b、焦距2ae和离心率e等。

半长轴：椭圆的半长轴是椭圆中心点到椭圆上最远点之间的距离。

半短轴：椭圆的半短轴是椭圆中心点到椭圆上最近点之间的距离。

焦距：椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，通常表示为2ae。

离心率：椭圆的离心率e决定了椭圆的偏心程度，当e=0时，椭圆退化为一个圆。

高中椭圆知识点总结

高中椭圆知识点总结一、基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点P的轨迹，即PF1+PF2=2a，其中F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。

通常情况下，椭圆的焦点在x轴上。

1.2 椭圆的相关术语椭圆上的点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，a称为椭圆的半长轴，a的倒数b称为椭圆的半短轴，焦点连线与长轴的交点O称为椭圆的中心，椭圆上离中心最远的点称为椭圆的顶点，离中心最近的点称为椭圆的底点。

1.3 椭圆的离心率椭圆的离心率e是参数a和b之间的一个函数，表示椭圆形状的狭窄程度。

离心率的计算公式为e=sqrt(1-b^2/a^2)。

二、性质2.1 椭圆的焦点性质椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这是椭圆的定义。

这个性质可以用来证明椭圆的方程。

2.2 椭圆的对称性椭圆关于其长轴和短轴具有对称性，这意味着椭圆沿着这两个轴的对称轴进行对称，两侧的图形是互相重合的。

2.3 椭圆的焦斜率椭圆上的任意一点P到两个焦点的连线与椭圆的切线的夹角是一个常数，称为椭圆的焦斜率。

2.4 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数，取值范围为0到2π。

这个参数方程可以将椭圆表示为一个参数方程的集合。

2.5 椭圆的面积椭圆的面积可以用公式πab来计算，其中a为半长轴，b为半短轴。

3. 椭圆的方程3.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为椭圆的中心，a为半长轴，b为半短轴。

3.2 椭圆的一般方程椭圆的一般方程可以表示为Ax²+By²+2Dx+2Ey+F=0，其中A、B、D、E、F为常数，A和B不全为0，经过合适的平移和旋转可以得到标准方程。

4. 椭圆的应用4.1 椭圆在天体运动中的应用椭圆曲线在天体运动中有重要的应用，例如行星绕太阳运动的轨道就是一个椭圆。

(完整版)椭圆知识点复习总结

椭圆知识点总结复习1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。

例一：已知线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，AB=5，M 是AB上的一个点，且AM=2，点M 随AB 的运动而运动，求点M 的运动轨迹方程2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

⑥通径22b a例二：设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 作x 轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点1F ，此时椭圆与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且A,B 两点所确定的直线AB 与OP平行，求离心率e2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<3．直线与圆锥曲线的位置关系：（往往设而不求）（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；例三：:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；例四：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与过点(2,0),(0,1)A B 的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率2e =（1）求椭圆的方程（2）设12,F F 分别为椭圆的左，右焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠ （3）求证：21212AT AF F =.∆4、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。

椭圆知识点总结43259

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点 P 到两个定点F1、F2 的距离之和等于常数 ( PF1PF22a F1 F2 ) , 这个动点 P 的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若 PF1 PF2 F1F2 ，则动点 P 的轨迹为线段F1F2；若 PF1 PF2 F1F2 ，则动点 P 的轨迹无图形 .知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆： x 2 y 2 1 (a b 0)与 y 2 x2 1 ( a b 0) 的简单几何性质a 2 b2 a 2b 2x2 y 21 y2 x 21 (a b 0)标准方程2 b2(a b 0)2b2a a图形焦点F1 ( c,0) ， F2 (c,0) F1 (0, c) ， F2 (0, c)焦距F1F2 2c F1 F2 2c范围x a ， yb x b ， y a对称性对于 x 轴、y轴和原点对称性质极点( a,0) ， (0, b) (0, a) ， ( b,0)轴长长轴长 = 2a，短轴长 = 2b 长半轴长 =a，短半轴长 = b（注意看清题目）e ce 1)离心率(0aA1 F1 A2 F2 a c ； A1F2 A2 F1a c ； a c PF1 a c ；(p 是椭圆上一点 )（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系没关的椭圆自己固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：极点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆有关计算1．椭圆标准方程中的三个量a,b, c 的几何意义a2b2 c 22.通径 :过焦点且垂直于长轴的弦,其长2b 2 a焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角 :p 是椭圆上一点，当 p 是椭圆的短轴端点时，F1 PF2为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点组成的三角形称为焦点三角形。

SPF F2b 2 tanF 1 PF2 （注意公式的推导）12，此中焦点三角形的面积5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．(1)作判断：依照条件判断椭圆的焦点在x 轴上仍是在y 轴上．(2)设方程：x 2y2b 0) 或x 2y2①依照上述判断设方程为 2 2 =1 (a 2 2 =1( a b 0)a b b a②在不可以确立焦点地点的状况下也可设mx2＋ ny2＝ 1(m＞0，n＞0 且 m≠n)．(3)找关系，依据已知条件，成立对于a，b，c 或 m，n 的方程组．(4)解方程组，代入所设方程即为所求．6.点与椭圆的地点关系 :x 2y2<1,点在椭圆内；x 2y2x2y22 2 2 2=1，点在椭圆上； 2 2 >1, 点在椭圆外。