导数第一课(极限与变化率)
变化率与导数(第一课时)说课课件
本节课将介绍变化率与导数的概念和应用。通过清晰的讲解和实例演示，帮 助学生理解导数的计算和其在物理学和经济学中的重要性。
主题介绍
1 导数是什么？
解释导数的基本概念和意 义。
2 为什么导数重要？
探讨导数在实际生活中的 应用场景。
3 课程目标
明确学习目标并激发学生 的学习动力。
大纲概述
定义
介绍变化率的定义，以及导数 与变化率的关系。
计算方法
解释导数的计算方法，包括求 导规则和常见函数的导数。
应用
探索导数在物理学和经济学中 的实际应用。
基本性质
1
四则运算
学习导数的四则运算规则，包括求和、
链式法则
2
差、积和商的导数。
介绍使用链式法则计算复合函如何使用反函数法则计算反函数的 导数。
应用实例
物理学中的应用
探讨导数在物理学中测量速度和加速度的应用。
经济学中的应用
分析导数在经济学中描述经济增长和变化率的重要 性。
总结与展望
课程回顾
复习本节课学到的导数的概念和性质。
未来学习计划
展望未来学习导数的更高级内容和应用。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 导数出手,求切线不再愁素材 新人教A版选修2
高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数导数出手，求切线不再愁素材新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数导数出手，求切线不再愁素材新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章导数及其应用1.1 变化率与导数导数出手，求切线不再愁素材新人教A 版选修2-2的全部内容。
导数出手，求切线不再愁由导数的几何意义可知，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x 就是曲线()y f x 在点00(())P x f x ，处的切线的斜率，此时切线方程为000()()y y f x x x '-=-．利用上述结论，可以速求曲线的各种类型切线的方程,下面举例说明.类型一：已知切点,求曲线的切线方程例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为解析:由2()36f x x x '=-，则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+.应填32y x =-+.点评:此类题型较为简单,只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．类型二：已知斜率,求曲线的切线方程例2若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，求l 的方程.解析：∵直线l 与直线480x y +-=垂直,∴直线l 的斜率4k .设00()P x y ，为切点,则切点处的导数值为03044x x y x |='==.∴01x =．于是得到切点(1)P ，1.∴切线l 的方程为14(1),430y x x y 即.点评：此类题型可利用斜率0(k f x '=)求出切点00()P x y ，,再用点斜式方程加以解决． 类型三:已知过曲线上一点，求切线方程例3 求过曲线3235y x x =+-上的点M (11)-，的切线方程．解析：由3235y x x =+-,知236y x x '=+.设切点为00()P x y ，，则切线的斜率为020036x x y x x |='=+．∴曲线在点P 处的切线方程为20000(36)()y y x x x x -=+-．32200000(35)(36)()y x x x x x x -+-=+-．又切线过点(11)-，,于是有322000001(35)(36)(1)x x x x x --+-=+-．整理得3220000320,(1)(2)0x x x x 即-+=-+=。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
变化率与导数(第一课时)说课PPT教学课件
对一种生活现象的数学解释
2021/01/21
9
引导：
1 这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念
V(r)4 3r3 r(V)33 4V
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了
r(1)－r(0)= 0.62 当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了
2021/01/21 r(２)－r(１)= 0.１６
重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率
20难21/0点1/21：对生活现象作出数学解释
3
教学目标
知识目标：了解导数的实际背景，理解平均 变化率的概念
能力目标：体会平均变化率的思想及内涵
情感目标：使学生拥有豁达的科学态度，互 相合作的风格，勇于探究， 积极思考的学习精神
2021/01/21
4
2021/01/21
12
例：老师去崩极，假设老师下降
实 践 活
的运动符合方程 s 1均速度，计算从9秒到10秒
的平均速度。
小组竞争，每个学习大组抽一位学生上黑板演示
2021/01/21
13
探究活动
观看十运会中跳水男子十米台田亮逆转 夺冠的影片剪辑，让同学们把这一生活现象 用数学语言来解释，并描绘出田亮重心移动 的图像
学生现状分析
由于新教材是以模块的形式进行展开教学
的，文科学生选修这一系列。文科学生的数学
一直都是弱项，他们的感性思维比较强，理
性思维比较弱，如果没有掌握好概念性的问题，
他们极容易在解题时钻牛角尖。而对导数，他
们是充满好奇却又一无所知的状态下开始学
习的，因此若能让学生主动参与到导数学习过
程中，让学生体会到自己在学“有价值的数
第一课时 导数的概念
答案 A
2.设f(x)＝2x＋1，则f′(1)＝________. 解析 f′(1)＝lxim0f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝lxim0[2（1＋Δx）＋Δ1]x－（2×1＋1）＝2.
答案 2
[微思考] 1.导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征？
提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度. 2.函数的平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？ 提示 (1)平均变化率与瞬时变化率的区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2] 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x＝x0处变化的快慢. (2)平均变化率与瞬时变化率的联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率ΔΔyx趋于一个常数， 这个常数为函数在 x＝x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.
lim x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝ xlimx0
f（x）x－－xf（0 x0）.(
√
)
[微训练]
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
AD.0
解析 ΔΔyx＝f（1.11）.1－ －1f（1）＝00..211＝2.1.
题型二 导数定义的直接应用
【例 2】 利用导数的定义，求 f(x)＝ x2＋1在 x＝1 处的导数.
解 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ （1＋Δx）2＋1－ 2＝ （Δx）2＋2Δx＋2－ 2，
∴ΔΔyx＝
（Δx）2＋2Δx＋2－ Δx
2，
∴f′(1)＝ lim x0
（Δx）2＋2Δx＋2－ Δx
题型一 求函数的平均变化率 【例1】 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化 率有怎样的变化趋势？
导数第一节1.1.1-1.1.3
P
α
o
x 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即 当点Q沿着曲线无限接近点 我们发现 当点 沿着曲线无限接近点 即 割线PQ如果有一个极限位置 Δx→0时,割线 如果有一个极限位置 则我 → 时 割线 如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点 处的切线 们把直线 称为曲线在点P处的切线. 称为曲线在点 处的切线
2 ∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
y = f ( x)
处的瞬时变化率怎样表示? 函数在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) △y lim = lim ∆x→0 △ x ∆x→0 ∆x
导数的定义: 4. 导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
1.1变化率与导数 1.1变化率与导数
1.变化率 1.变化率 一个变量相对于另一个变 量的变化而变化的快慢程度叫 做变化率． 变化率．
问题1 问题 气球膨胀率
3V r (V ) = 3 4π
当空气容量从V 增加到V 气球的平 当空气容量从 1增加到 2时,气球的平 气球的 均膨胀率是多少 均膨胀率是多少? 是多少
练习: 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位: s) 的关系为: s(t ) = 3t +1, 求t = 2时的瞬时速度v.
△s s (2 +△t ) − s (2) 解 v = s (2) = lim = lim △ t → 0 △t △t →0 △t
＇
[3(2 +△t) + 1] − (3 × 2 + 1) = lim = lim 3 = 3 △ t→0 △ t →0 2
导数与函数的变化率
导数与函数的变化率引言：数学作为一门精确的科学，涵盖了众多的分支和概念。
其中，导数与函数的变化率是数学中一个重要的概念。
导数是函数的一种特殊性质，它描述了函数在某一点的变化率。
本文将深入探讨导数与函数的变化率的概念、性质以及应用。
一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在数学中，函数的导数可以通过极限的概念来定义。
具体而言，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处的导数存在，那么该导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
导数的定义可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示自变量x的增量。
二、导数的性质导数具有一系列的性质，这些性质对于求解导数和理解函数的变化率非常重要。
1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，其中c为常数，其导数f'(x)=0。
这是因为常数函数在任意一点的斜率都为0，即没有变化。
2. 幂函数的导数幂函数y=x^n的导数可以通过幂函数的性质来求解。
具体而言，对于幂函数y=x^n，其中n为正整数，其导数f'(x)=nx^(n-1)。
3. 和差法则对于两个函数的和或差，其导数等于各个函数的导数的和或差。
即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
4. 乘法法则对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身，再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数。
即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5. 商法则对于两个函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母本身，再减去分子本身乘以分母的导数，最后除以分母的平方。
即(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。
函数的导数与变化率知识点总结
函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。
导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。
本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。
1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。
对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。
导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。
若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。
2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。
以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。
例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。
2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。
通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。
2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。
对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。
第01讲 导数的概念及运算 (精讲+精练)(学生版)
第01讲导数的概念及运算 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：导数的概念高频考点二：导数的运算高频考点三：导数的几何意义①求切线方程（在型）②求切线方程（过型）③已知切线方程（或斜率）求参数④导数与函数图象⑤共切点的公切线问题⑥不同切点的公切线问题⑦与切线有关的转化问题第四部分：高考真题感悟第五部分：第01讲导数的概念及运算（精练）1、平均变化率（1）变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率一般地，函数()f x 在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --.（3）如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-. 2、导数的概念（1）定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝. （2）定义法求导数步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； ② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆.3、导数的几何意义函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.4、基本初等函数的导数公式5若()f x '，()g x '存在，则有 （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=⋅+⋅ （3）2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''⋅-⋅'= 6、复合函数求导复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．7、曲线的切线问题（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x . 第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
高中数学第1节 变化率与导数、导数的计算优秀课件
三 理
(2)由已知得 f′(x)＝2f′(1)－1x，令 x＝1 得 f′(1)＝2f′(1)－1，解得 f′(1)＝1，则 f(1)＝2f′(1)
科 数 学 备
＝2. (3)由 f(x)＝(x2－a)ln x，得 f′(x)＝2xln x＋x2－x a.∴f′(1)＝1－a＝－2，解得 a＝3.
课 组
22xx－ ＋11，则 f′(x)＝________.
州 (2)(角度 2)(2020·雅礼中学月考)已知函数 f(x)的导函数是 f′(x)，且满足 f(x)＝2xf′(1)
中 学 高
＋ln
1，则 x
f(1)＝(
)
三 A.－e
B.2
C.－2
D.e
理 科
(3)(角度 1)(2020·天津重点学校联考)已知函数 f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函数 f(x)的导
课
组
27
基础知识诊断
考点聚焦突破
达 布置作业：
州
复习资料p278
中
A级：1 ， 4 ， 10题。
学 高
B 级： 15题。
三
预习导数的几何意义！
理 科 数 学 备 课 组
28
基础知识诊断
考点聚焦突破
理 科 数 学 备 课 组
11
基础知识诊断
考点聚焦突破
达
州 2.(老教材选修2－2P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s时运发动相对于水面的高度
中 学
(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，那么运发动的速度v＝________ m/s，加速
高 度a＝________ m/s2.
三 解析 理
理 科 数 学 备 课 组
完整版)导数讲义(学生新版)
完整版)导数讲义(学生新版)导数一、导数的概念函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量Δx，那么函数y 相应地有增量Δy=f(x+Δx)−f(x)，比值化率，即Δy/Δx叫做函数y=f(x)在x到x+Δx之间的平均变化率。
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数，记作f’(x)或y’|x=x。
例如，若lim(Δy/Δx)=k，则lim(Δy/f(x+2Δx)−f(x)/Δx)=lim(2k)等于（）=k，因此f’(x)=lim(Δy/Δx)。
变式训练：设函数f(x)在点x处可导，试求下列各极限的值：1.lim(f(x−Δx)−f(x))/Δx；2.lim(f(x+h)−f(x−h))/2h；3.若f’(x)=2，则lim(f(x−k)−f(x))/k=？二、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
切线方程为y−f(x)=(f’(x))(x−x)。
三、导数的运算1.基本函数的导数公式：①C’=0；（C为常数）②x^n’=nx^(n−1)；③(sin x)’=cos x；④(cos x)’=−sin x；⑤(e^x)’=e^x；⑥(ax)’=axln a；⑦(ln x)’=1/x；⑧(log_a x)’=log_a e/x。
题：求下列函数的导数：（8分钟独立完成）1）f(x)=π；（2）f(x)=x^4；（3）f(x)=x；（4）f(x)=sin x；（5）f(x)=−cos x；（6）f(x)=3x；（7）f(x)=e^x；（8）f(x)=log_2 x；（9）f(x)=ln x；（10）f(x)=1/(1+x)；（11）y=x^4+cos x；（12）y=x/(4+x^2)；（13）y=log x−e^x；（14）y=x^3 cos x。
变化率与导数数学优秀课件详解标准文档ppt
3V r (V ) 3
4
h(t)4.9t2 6.5t10 y f (x)
体积从1L增加到2L的 在0 t 0.5这段时间
平均膨胀率
里的平均速度
从
x 1到
x
的
2
平均变化率
r (2) r (1) 2 1
v h(0.5) h(0) 0.50
f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
平均变化率的几何意义
对任意函数y f (x) ，做过其上任意两点的割线.
不妨以 f (x) 4.9x2 6.5x10 为例. （几何画板演示）
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
函数 在
处的导数就是切线的斜率 ，即
函数 在
处的导数就是切线的斜率 ，即
因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.
,类似的
.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
/ h的速率上升.
求t=2s时的瞬时速度，先考察t=2附近的情
况.在t=2附近任取一个时刻 2 t .
h(t)4.9t2 6.5t 10
t 0
t 0
t 0时, 在2 t，2 t 0时, 在2，2 t
这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
平均变化率
它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.
瞬时变化率
为什么同样从室温变化到100摄氏度，青蛙却有 不同的反应呢？
v h(2) h(2 t) 2 (2 t)
极限与平均变化率
· · ·
函数的极限
y
O
x
1 y 当x 趋向于负无穷大时，函数 的极限是0，记作 x 1 lim 0 x x
函数的极限
一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数
f ( x ) 无限趋近于一个常数a ， 就说当x 趋向于正无穷大时，
函数 f ( x )的极限是a ，记作 lim f ( x ) a
1
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
小结：
• 1.函数的平均变化率
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1 x
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
练习：
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t 9 B. 6+t+ t D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线 运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
3:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
x
导数与微分函数的变化与极限
导数与微分函数的变化与极限导数与微分函数是微积分中的重要概念，它们在数学的各个领域都起着重要的作用。
本文将探讨导数和微分函数的变化规律以及它们与极限的关系。
一、导数的变化规律导数是描述函数变化率的工具，是函数在某一点上的切线斜率。
导数的变化规律与函数的变化相关。
当函数逐渐增大时，导数为正；当函数逐渐减小时，导数为负；当函数增大的幅度逐渐变小、减小的幅度逐渐变小时，导数趋于零。
在函数图像上，导数可表示为函数曲线在不同点上的斜率。
斜率为正表示函数在该点上升，斜率为负表示函数在该点下降。
导数的绝对值越大，表示函数的变化越剧烈。
导数的变化规律可以帮助我们理解函数在不同区间上的变化趋势。
二、微分函数的变化规律微分函数是导数的一种形式，它与导数有着紧密的联系。
微分函数描述了函数在某一点上的局部变化情况。
与导数类似，微分函数的变化规律也与函数的变化密切相关。
当函数的斜率逐渐增大时，微分函数也逐渐增大；当函数的斜率逐渐减小时，微分函数也逐渐减小。
微分函数的值越大，表示函数的变化越快。
通过微分函数的变化，我们可以更好地理解函数的变化趋势和特征。
三、导数与极限导数与极限之间存在着密切关系。
导数是极限的一种特殊形式，它描述了函数在某一点上的局部变化情况。
当改变极限的取值时，导数也会相应地发生变化。
在函数的极限过程中，导数可以帮助我们研究函数的趋势和性质。
当极限趋于无穷大或负无穷大时，导数的变化规律也会相应地改变。
通过研究导数与极限的关系，我们可以更深入地理解函数的变化特点和趋势。
总结：导数与微分函数是描述函数变化和性质的重要工具。
导数的变化规律与函数的变化相关，可以通过导数来研究函数的趋势和特点。
微分函数是导数的一种形式，描述了函数在某一点上的局部变化情况。
导数与极限之间存在着紧密的联系，通过研究导数与极限的关系可以更好地理解函数的性质和变化规律。
深入研究导数与微分函数以及它们与极限的关系，可以为我们在数学问题中提供更准确的分析和解答。
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导数第一课时
学习目标：
1.理解极限的含义
2.体会生活中的平均变化率与瞬时变化率，为导数概念作铺垫
学习过程：
导数的引入步骤一：补充极限
一：感受极限
1． 已知数列： ,1,,31,21,
1n
考察当n 越来越大时，数列的项n 1的取值的变化情况 2． 已知函数x y 1=，考察当x 越来越大时，函数x
y 1=的取值的变化情况 考察当x 越来越接近2时，函数x y 1=的取值的变化情况 3．已知函数12+=x y ，考察当x 越来越接近0时，函数12+=x y 的取值的变化情况
二：引入极限符号
1．01lim =∞→n
n 2．
01lim =∞→x x ， 211lim 2=→x x 3．1)1(20lim =+→x x
三：极限的运算法则
设b x g a x f x x x x ==→→)(,)(lim lim 00
，则有： 1．
b a x g x f x x ±=±→)]()([lim 0 2．b a x g x f x x ⋅=⋅→)]()([lim 0
3．)0()()(lim 0≠=→b b
a x g x f x x 导数的引入步骤二：变化率问题
一：回顾熟悉的变化率
1． 位移的变化率是什么？
2． 速度的变化率是什么？
3． 位移的平均变化率是什么？
4． 速度的平均变化率是什么？
5． 速度与平均速度有何联系？ 在自由落体运动中，运动方程为221gt s =，则v t s t t s s v t t t t 001212lim lim lim 12→∆→∆→=∆∆=--=
二：生活中的变化率问题
1． 气球的平均膨胀率与膨胀率
2． 高台跳水的平均速度与速度
已知105.69.4)(2++-=t t t h ，
（1）计算运动员在49
650≤≤t 这段时间内的平均速度 （2）计算运动员在1s 末的速度
三：函数的变化率
1． 什么叫函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率？
2． 什么叫函数在0x x =处的瞬时变化率？。