超静定多跨梁的计算

超静定多跨梁的计算

吴郁斌

力法的原理及二次超静定多跨梁的计算思路

力法是计算超静定结构的最基本的方法。采用力法解决超静定结构问题时，不是孤立地研究超静定问题，而是把超静定问题与静定问题联系起来，加以比较，从而把超静定结构问题转化为静定结构问题来加以解决。

在解决超静定多跨梁结构问题时，首先要确定超静定的次数，如下图所示：

图一

图一所示的静定多跨梁中，经分析得知，结构中的B 、C 两点的约束为多余约束，所以该结构为二次超静定问题。

其次，在确定超静定次数之后，按力学方法对模型进行转化，将超静定结构转变为静定结构。在图一所示的结构中，我们先假设B 、C 两点无约束，而作用两个集中力C B F F 、，方向按图一所示，这样我

们就把一个超静定多跨梁结构转化成简支梁结构，从而把解决超静定多跨梁结构的问题也转化成解决简支梁的问题。

最后，找出结构转化过程中的限制条件，按照条件列出力法方程。在图一所示的结构中，当我们把超静定多跨梁结构转化成简支梁的过

程中，我们必须限制B 、C 两点的竖向位移为0，因为在原来的超静定多跨梁结构中，B 、C 两点有约束。然后根据限制条件列出力法方程。

假设作用于多跨梁上的载荷在B 、C 两点产生的竖向位移分别为1∆和2∆，作用于B 点的单位竖向力（即当1=B F 时）在B 、C 两点产生的竖向位移分别为1211δδ和，作用于C 点的单位竖向力（即当1=C F 时）在B 、C 两点产生的竖向位移分别为21δ和22δ。设作用于B 、C 两

点的实际作用力大小分别为倍的单位力、21X X 。我们都知道梁的位移与载荷的大小成正比，所以根据限制条件以及假设条件，可以列出如下方程：

⎩⎨⎧=∆-⋅+⋅=∆-⋅+⋅0022221

211212111X X X X δδδδ 通过上述方程就可以计算出B 、C 两点的支座反力C B F F 、,然后通

过力平衡方程和弯矩平衡方程就可以解出两外两点（A 、D 两点）的支座反力，即

⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑0

0y A M F ,⇒()⎩⎨⎧=⋅+⋅-+⋅+⋅=+++0a 0211y L F F L L F L F F F F F D C B D C B A 解之，就可以得到各个支座的反力，进而得到梁上各段的剪力图和弯矩图了。

多次超静定多跨梁的解决办法

在工程实际中，有些超静定梁结构的超静定次数超过两次，即称为多次超静定梁结构或称为N 次超静定梁结构。在解决多次超静定梁结构时，需要注意一下两个事项：

(1)、处理多次超静定梁结构时，应注意把结构简化到最简单的静

定梁结构进行计算，最终简化以后的简单静定梁结构包括如图二所示的两种；

(2)、在简化结构的过程中，不要漏掉限制条件，即多余约束处的

位移量为零，在计算过程中每一个假设力都会在每一个约束处产生位移，在列力法方程的时候，注意不要漏算。

（a ）

（b ）

图二 由上述力法的原理和两次超静定梁结构的计算办法我们可以推论：解决多次超静定梁结构问题也可仿照解决二次超静定梁结构问题的方法，将多次超静定梁结构简化成最简单的静定梁结构，然后在联合假设条件以及简化过程中的限制条件，最终解决多次超静定梁结构问题。

图三

图三所示为一n 次超静定梁结构。在此结构中，共有约束2n +个，其中有n 个约束为多余约束，所以在解决此问题时，需要列有n 个力法方程，即

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆+⋅++⋅+⋅=∆+⋅++⋅+⋅=∆+⋅++⋅+⋅0

00n n nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111X X X X X X X X X δδδδδδδδδK M K K

式中：n 1δ为第n 个约束点处的约束力在第1个约束处产生的位

移量；1n δ为第1个约束点处的约束力在第n 个约束处产生的位移量；

n X 为第n 个约束处实际的支座反力与单位力之间的比值（即实际的

支座反力等于n X 倍的单位力）；n ∆为外部作用载荷F 在第n 个约束点处产生的位移量。

这就是解决多次超静定梁结构的一般通式，观察这个方程组，我们将方程组看成一个大的矩阵，利用矩阵法计算出各个未知量。

将矩阵进行化减，解出各个系数，即为各个未知力X 。

解出各个多余约束处的支座反力之后，在按照静力学方程解出余下的支座反力，即

附：本材料中用到的材料力学中的知识

图四

如图所示，x 位置处的位移量计算如下：

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆n nn 2n 1n 2n 222211n 11211δδδδδδδδδΛM M M M M K K ⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑00y A M

F ()222b x I E 6x

b --⋅⋅⋅⋅⋅=L L F ω()

a x 0≤≤

式中：F 为外部载荷；L 为梁的总跨度；E 为梁材料的弹性模量； I 为梁截面的惯性矩。 ()()x b 2a x I E 6x a -22⋅⋅-+⋅⋅⋅-⋅⋅=L L F ω()

L ≤≤x a