导弹攻击问题的数学建模

湖南第一师范学院

HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY

论文题目: 导弹攻击

姓名专业班级及学号分工

队员1 李丽11402050122 建立模型，计算队员2 盛名11402050128 建立模型，编程队员3 张旋11402050148 建立模型，画图

摘要

本文研究导弹攻击敌艇的问题。首先，本文关于可改变角度的导弹攻击敌艇的问题建立了相关数学模型。针对第一问，研究速度大小恒定，速度方向随时间改变的导弹，来攻击沿水平方向运动，速度大小不变的敌艇的问题。由于导弹在任意时刻都指向敌艇，我们通过图形找到了速度和坐标的相似三角形，又根据速度和时间有函数关系，以及对导弹合速度的分解，使用了微分方程模型。在第二个问题中，由于敌艇的运动方向与导弹每个时刻都成固定90度的角，再利用第一问的方法不再那么简单。所以采取微元思想把整个攻击过程划分为非常小的时间段来进行研究，然后再用数学归纳法得出一般化的迭代格式，再利用迭代格式得到击中点。在第三个问题中，本文对第二个问题的特殊角度进行了推广来得出最优逃离角度，即逃离时间周期最长的角度。第四问根据前三问算出来的数据和画出的图像得出结论。针对模型的求解，本文第一问使用偏微分方程和参数方程的求解方法计算出，并只用c语言编写程序求解出第二，三问题。本文模型方法简单易懂，结果采用相关程序用计算机计算，并用matlab画出图像，明了，准确。在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。最后通过修改模型，得出导弹追击敌艇的模型。

关键词：微分方程模型、微元思想、数学归纳法、迭代公式

一、问题重述

1、问题背景：导弹自第二次世界大战问世以来，受到各国普遍重视，得到很快发展。导弹的使用，使战争的突然性和破坏性增大，规模和范围扩大，进程加快，从而改变了过去常规战争的时空观念，给现代战争的战略战术带来巨大而深远的影响。导弹技术是现代科学技术的高度集成，它的发展既依赖于科学与工业技术的进步，同时又推动科学技术的发展，因而导弹技术水平成为衡量一个国家军事实力的重要标志之一。

2、需要解决的问题

问题一：试问导弹在何时何地击中敌艇?

问题二：如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以135千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中敌艇?

问题三：敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示?

二、问题分析

根据题意，导弹在任一时刻都能对准敌艇，由此可以知道导弹运行的轨迹是和时间t有关系的，所以导弹的轨迹一定是一条随着时间变化的曲线，且曲线上每一点的切线方向都指向敌艇，那么我可以建立坐标轴进行分析。又因为每一点的切线代表的就是每一点的速度方向，即可以将速度方向分解到垂直和水平方向的两个分速度来分析。又根据竖直的距离不变，我们就拿最后一个击中点作为研究目标，竖直距离120km，水平距离90t km,可以建立根据分速度的合成，纵向距离为定值，水平方向距离等于敌艇打中后的距离来建模。但是计算时发现水平速度会变成一个定值，所以这种想法存在问题。因此，我们进一步思考。发现每一点的速度分解构成的三角形与敌艇所在坐标和导弹的连线、横、纵坐标构成的三角形相似，再加上导弹速度的合成可以建立一个偏微分方程组，即使用微分模型。接着根据第二问的题意，我们可以知道敌艇每时刻的速度方向都与导弹成90度夹角。由于此问题为两条曲线的相交问题我们再用第一问不那么简单，但对于曲线上的点的研究我们可以采用积分定义里面的微元思想，把整个击中过程划分为很多相等的小块的时间段来分析那么各个段上的分析就可以根据数学归纳法得出一般规律了。根据迭代的格式我们也可以得到最终的击中点。根据题意可知第二问是第三问的一个特殊化情况，我们只需将它一般化，通过猜测最优角，比较一组猜测出的角对应的逃逸时间得出最佳逃逸角度。

三、模型假设与约定

1、不计空气阻力，导弹和敌艇的速度大小不变。

2、导弹发射的瞬间敌艇改变方向航行的反应时间为0。

3、敌艇改变方向后立即逃跑。

4、敌艇沿顺时针改变方向。

四、符号说明及名词定义

(1) t:表示时间

(2) H：表示初始条件下敌艇离导弹的距离

(3) x(t):表示经过时间t时导弹的横坐标

(4)

v：表示导弹的速度

1

(5)

v：表示敌艇的速度

2

(6) y(t):表示导弹在t时刻的纵坐标

θ：表示导弹改变方向前的方向与改变方向后的方向的夹角(7)

i

(8) k: 程序中表示敌艇逃逸时与导弹所成角度

(9) ∂：导弹运动方向与x轴的夹角

(10) f[i]:程序中表示导弹与x轴的夹角

(11) k: 程序中表示敌艇逃逸时与导弹所成角度

(12) a[i]:程序中表示敌艇横坐标

(13) b[i]:程序中表示敌艇纵坐标

(14) x[i]:程序中表示导弹横坐标

(15) y[i]:程序中表示导弹纵坐标

(16) s[i]:程序中表示敌艇与导弹的距离

五、模型建立

模型一：根据题意，画出如下模拟轨迹图：

根据上图速度分解的三角形和任意时刻敌艇的坐标和导弹的坐标的连线的三角

形相似可得：

2y dy dx dt dt H v t x =

-- (1)

再根据速度的合成可得：

222

1()()dy dx

v dt

dt += （2）

2、模型二 ：根据题意，我们发现敌艇的速度方向也在改变，所以用第一题的方法不再那么简单。我们采取微元的思想把导弹击中敌艇的整个过程T,划分为很多非常小的时间段t ’来研究，画出如下图轨迹：

设导弹和敌艇的初始时刻为0，此时导弹和敌艇分别位于A(0,0)和B （0，H)的位置，当t=t ’时导弹的位置为11'(0,)A v t ，敌艇的位置为12()',B v t H 。此时导弹沿着

11A B 的方向运动，所成夹角1θ=12'

arctan '

v t H v t - ,t=2t ’时，导弹的位置为

()222,A x y 则有：

2111’2()/x x v t cos πθ=+-

2121’2()/y y v t sin πθ=+-

敌艇的位置为222),B a b （则有：

0 x