导弹攻击问题的数学建模
导弹追击模型-matlab求解
《数学软件与数学实验》课程设计实验题目导弹追击问题数学实验报告实验导弹追击问题课程设计名称问题背景描述：某军的一导弹基地发现正北方向200 km处海面上有敌舰一艘以100 km/h的速度向正东方向行驶. 该基地立即发射导弹跟踪追击敌舰, 导弹速度为500 km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌舰.实验目的与任务：（1）试问导弹在何时何处击中敌舰？（2）如果当基地发射导弹的同时,敌舰立即由仪器发觉. 假定敌舰为一高速快艇，它即刻以150 km/h的速度与导弹方向垂直的方向逃逸,问导弹何时何地击中敌舰?（3）如果敌舰以150 km/h的速度与导弹方向成固定夹角的方向逃逸, 问导弹何时何地击中敌舰?试建立数学模型.并选择若干特殊角度进行计算.试确定敌舰与导弹方向的最佳逃逸夹角?实验原理与数学模型：（含模型的假设、符号说明、模型的建立）实验原理:根据题意，导弹在任一时刻都能对准敌舰，可知导弹飞行方向会随t 而改变，因此导弹的轨迹是一条斜率随着时间变化的曲线，且曲线上每一点的斜率方向都指向敌舰.故可以建立坐标轴进行分析。
实验中考虑到敌艇体积大小,当导弹与敌艇距离小于10米时,视为追击成功.因实验所列方程较为复杂,所以本实验采用龙格-库塔方法求得数值解(matlab命令:ode45).第一题:根据快艇的定向运动，在t时刻竖直距离200km，水平距离150t km,可以建立根据分速度的合成，纵向距离为定值，水平方向距离等于敌舰打中后的距离来建模。
因此，每一点的速度可进行正交分解，从而联立微分方程组求解.第二题:由题意可知,敌舰任意时刻的速度方向都与导弹飞行方向垂直,即两者斜率关系呈负倒数关系,由此列方程组进行求解.第三题:实际上第二问是第三问的一个特殊情况，可以由类似方法得到导弹追击所用时间,通过对逃逸角度和追击时间作图分析,可以确定最优逃逸角.符号说明:导弹的位置为敌艇的位置为v:速度:比例系数st:快艇逃逸角度代码中方便起见,y1,y2分部由x(3),x(4)表示实验所用软件及版本：【实验环境】MATLAB主要内容（要点）：（模型的求解原理、公式、推导、基本求解步骤、算法的流程图等）本文解决的是对导弹追击的问题:对于问题一：设坐标系如下，取基地为O(0,0),导弹的位置为,船的位置为,导弹时时刻刻指向船,可以得到运动轨迹的斜率为 ,即=。
导弹拦截制导的建模与仿真matlab-概述说明以及解释
导弹拦截制导的建模与仿真matlab-概述说明以及解释1.引言1.1 概述导弹拦截制导技术作为现代军事领域中的重要一环，对于保障国家安全和维护世界和平具有重要意义。
随着科技的不断发展和武器系统的日益进步，导弹拦截制导技术也不断得到改进和完善。
本文旨在通过使用MATLAB进行建模与仿真，对导弹拦截制导系统进行研究。
通过建模与仿真，可以模拟真实环境中导弹与目标之间的相互作用，以及制导系统的性能表现。
这种方法可以更好地理解导弹拦截制导的原理和机制，为相关研究提供有效的工具和方法。
本文的结构如下：首先，我们将概述导弹拦截制导技术的基本原理和应用领域。
其次，我们将介绍导弹拦截制导的建模方法，包括数学建模和计算机仿真技术。
然后，我们将总结现有的研究成果，并展望未来导弹拦截制导技术的发展方向。
我们相信，通过对导弹拦截制导系统的建模与仿真研究，可以更好地提高导弹拦截效果，保护国家安全。
通过本文的阐述，我们希望读者能够对导弹拦截制导技术有一个全面的了解，并了解到利用MATLAB进行建模与仿真的重要性。
同时，我们也希望通过本文的研究成果，能够为相关领域的科研人员提供一定的参考和借鉴。
最终，我们期待本文的研究成果能够推动导弹拦截制导技术的进一步发展，为维护世界和平做出更大的贡献。
文章结构部分是用来介绍整篇文章的框架和组织方式，可以包括章节标题及其内容简介。
对于本篇文章的结构，可以编写如下内容：1.2 文章结构本文的结构按照以下几个部分来组织和呈现：第一部分为引言。
在引言部分，首先对导弹拦截制导的背景和重要性进行简要说明，然后介绍文章的研究目的，即针对导弹拦截制导问题进行建模与仿真。
最后，概述了本文的整体结构和各个部分的内容安排。
第二部分是正文部分。
在正文部分，首先对导弹拦截制导的概述进行详细介绍，包括导弹拦截制导的基本原理、目标追踪与识别方法以及导弹拦截制导中常用的技术和算法等。
接着，介绍了导弹拦截制导的建模方法，具体包括建立导弹、目标和拦截器的数学模型，以及制导控制算法的设计和仿真等。
数学实验报告
---关于导弹追击问题的研究
组长：李若男 成员：占康萍，杨鹏程
目录：
一：追击问题的提出 二：对于问题的分析
三：数学模型的建立
四：matlab程序代码
五：结论与结果分析
六：实验总结和体会
一：追击问题的提出
某军一导弹基地发现正北方向d千米处海上有一艘敌艇以 135千米/小时的速度沿北偏东β正东方向行驶.该基地立即发 射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为450千米/小时,自动导航系 统使导弹在任一时刻都能对准敌艇，而敌舰能在我军舰发射 导弹后30分钟内做出反应并摧毁导弹 问题： 1.若使敌舰在打击范围内，求d的具体范围。
优点：精确的攻击时间和攻击角度对于提高导弹的杀伤力有明显效果。 本模型针对目标告诉运动特点，提出一种基于概率轨迹的最优搜索时序模型， 实现搜索时序和目标高速运动的有效匹配。 缺点：a.忽略一切阻力对导弹和敌舰速度的影响。
b.忽略改变方向所需要的时间。
这些因素都现实生活中都是必须加以考虑的因素，因此我们的模 型还存在一定的缺陷，需要进一步的改进。
135 3 135 t y )2 (120 t x )2 2 2
450 135 3 t y 2
dy g(t ,x ,y ) dt
,y(0) 0
135 3 135 ( t y )2 (120 t x )2 2 2
三：数学模型的建立
问题2：若d=120，β= 60 °，问敌舰是否在打击 范围内。
2
b.根据导弹速度为b，可推出
b
(
dy dt
2
b
dy 2 ) 1 dt
at sin y(t ) 2 ) 1 d at cos x(t )
(仿真法)模拟导弹追击问题
模拟法（仿真法）解决导弹追击问题专业班级：09港航一班组队成员：蔡畅，蒋承超追踪问题发射导弹的甲舰位于坐标原点(0,0)，发现乙舰时，乙舰位于(1,0)，并沿与y轴正向相平行方向直线行驶。
此刻，甲舰立即发射导弹，该导弹能在发射后的任何时刻都对准目标。
假设导弹速度为b，乙舰速度为a，(且b/a=5)试问导弹在何时、何地击中乙舰，并用动画演示导弹追击乙舰的过程。
摘要建立平面直角坐标系，通过对导弹运动轨迹和乙舰运动轨迹的分析，在导弹发射后的任何时刻导弹都对准目标，导弹做曲线运动，乙舰做直线运动，当导弹运动轨迹和乙舰运动轨迹相交时，即导弹击中乙舰。
要求导弹运动轨迹，建立仿真模型，根据给定的条件，对该模型求解，运用MATLAB软件求出数值解和解析解。
模型假设（1）导弹射出后的任意时刻,导弹头始终对准乙舰。
（2）导弹与乙舰均做匀速直线运动。
问题分析（仿真算法）乙舰初始位在点A(m,0)，方向为平行于y 轴正方向， 导弹的初始位在点B(0,0)，t=t （k ）乙舰的位置：乙舰的位置：(m,a*t(k)) 导弹的位置：（xk,yk) 追赶方向可用方向余弦表示为： 22)()1(1cos k k k kk y at x x -+--=α22)()1(sin k k k kk k y at x y at -+--=α,1时t t t t k k ∆+==+------(时间步长)到导弹的位置).,(11++k k y x 则 ∆≈∆=-+,cos 1k k k k t b x x x αk k k k t b y y y αsin 1∆≈∆=-+第一步：设置时间步长t ∆，速度a, b 及初始位置0,0,000===k y x 第二步：计算动点导弹在时刻 t t t k k ∆+=+1时的坐标 221)()1(1k k k kk k y at x x tb x x -+--∆+=+221)()1(k k k kk k y at x y at tb y y -+--∆+=+计算乙舰在时刻 t t t k k ∆+=+1时的坐标 )~,~(11++k k y x0~1=+k x )(~1t t a y k k ∆+=+第三步：计算导弹与乙舰这两个动点之间的距离： 211211)~()~(++++-+-=k k k k k y y x x d根据事先给定的距离，判断导弹是否已经追上了乙舰，从而判断退出循环还是让时间产生一个步长，返回到第二步继续进入下一次循环；第四步：当从上述循环退出后，由点列 ),(11++k k y x 和)~,~(11++k k y x 可分别绘制成两条曲线即为导弹和乙舰走过的轨迹曲线。
【数学建模】导弹发射追击问题的数学模型
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A我们的队号为：27参赛队员：1. 唐路明2. 季凯3. 闻莺指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2009 年 8 月 11 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号：导弹发射追击问题的数学模型摘要本文对导弹发射追击敌机问题进行了求解和计算机模拟，以微分方程为理论基础，根据题目要求，提出基本假设，建立合理的模型，并通过分析在给定不同速度条件下的轨迹方程，得到发射空对空和地对空两种导弹击毁敌机的条件。
问题（1），建立微分方程模型，化二阶方程为一阶方程，从而得到导弹轨迹的解析表达式11211()()2111k k n n x nx kn y kn k n k+---⎡⎤=-+⎢⎥+--⎣⎦，发射该种空对空导弹击中敌机的k 的条件范围是 (0, )，k 为飞机速率与导弹速率之比。
同时利用MATLAB7．0仿真，对导弹追踪敌机的过程进行了计算机检验和模拟，所得结果与所求相符。
问题（2），首先，建立三维空间直角坐标系，在任意时刻t 确定了导弹和飞机的空间位置坐标后，将导弹速度分解，再根据高度与水平距离比值不变的关系， 将问题转化为二维平面直角坐标系上的追击问题。
然后与问题（1）的处理相似， 用差微分方法即可得导弹的轨迹112112111/k k n x n x y k n k n k z hx n+-⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=---⎪⎢⎥ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=⎩，最后再对两者 速度比值进行讨论后，得发射该种地对空导弹击毁敌机的k 的条件范围是(0,2m)。
实验报告之导弹跟踪问题---精品资料
实验报告四之追踪问题一、摘要本次实验目的是尝试着将数值分析的知识应用到实际问题中，再简化成数学问题进行建模。
本次题型为：应用数学软件或编制计算程序对问题进行数值计算，先运用Euler 法，并以更小的步长计算结果；再用改进的Euler 法计算（步长与Euler 法相同）。
二、问题的提出某军的一导弹基地发现正北方向120km 处海面上有敌舰一艘以 90km/h 的速度向正东方向行驶。
该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为 450km/h ，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。
试问 1.导弹在何时何处击中敌舰？2．在本实验介绍的计算过程中，我们是计算到即停止，然后取,这样做法可能会有不小的误差。
有时甚至会出现整体步长改小而结果却未必能改进的情况。
由于Euler 法或改进的Euler 法的计算格式中每一步值的取得仅仅依赖上一步的值，因此在计算过程中改变步长是可行的，即当计算到 而y 远大于H 时，可缩小步长（例如为原来的十分之一）以xy 作为新起点继续进行迭代。
试用这种变步长方法来改进在任务１中得到的结果。
3．如果当基地发射导弹的同时，敌艇立即由仪器发觉。
假定敌艇为一高速快艇，它即刻一135km/h 的速度与导弹方向垂直的方向逃逸，问导弹何时何地击中快艇？试建立数学模型并求解。
4、如果敌艇以135km/h 的速度与导弹方向成固定夹角的方向逃逸，问导弹何时何地击中敌艇？试建立数学模型。
并选择若干特殊角度进行计算。
5、对问题5的结果，你发现敌艇与导弹方向成何夹角逃逸才好？从结论中你又能得到些什么看法。
三 符号说明Ve ：敌舰速度 Vw ：导弹速度H ：敌舰所在位置的纵坐标Xk ：导弹在t 时刻所在位置的横坐标Xk+1：导弹在t 的下一时刻所在位置的纵坐标 Yk ：导弹在t 时刻所在位置的横坐标Yk+1：导弹在t 的下一时刻所在位置的纵坐标 Xo:导弹初始位置的横坐标 Yo:导弹初始位置的纵坐标四、问题的分析1,k k y H y H +<≥1,k k y H y H +<≥对于第一小问，设坐标系如图3.1所示，取导弹基地为原点 O(0,0)，x 轴指向正东方,y 轴指向正北方。
2016数学建模
2016数学建模题
一、设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点M(2，0)处的乙舰发射导
45弹，导弹始终对准乙舰。
如果乙舰以最大的速度0v沿与x轴正向成0的东北方向行驶，导弹的速度是100v，求导弹运行的曲线。
乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
二、如何使铅球投得最远，试建立模型来解释．
三、某幼儿(3至6岁)托管机构，有130名学生，有15名老师，由于室内的空间不足，为了让孩子们能够充分活动，需要将孩子们带到一块长50米，宽35米的矩形空地上去活动。
每天大约活动30分钟。
在矩形空地上活动是安全的，空地外可能会遇到危险。
一名老师可以监督其正前方长10米，宽3米的区域。
如果你是该机构的负责人，如何调度现有的老师，才能最大限度的保证孩子的安全。
导弹攻击问题的数学建模
湖南第一师范学院HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY论文题目: 导弹攻击姓名专业班级及学号分工队员1 李丽11402050122 建立模型，计算队员2 盛名11402050128 建立模型，编程队员3 张旋11402050148 建立模型，画图摘要本文研究导弹攻击敌艇的问题。
首先，本文关于可改变角度的导弹攻击敌艇的问题建立了相关数学模型。
针对第一问，研究速度大小恒定，速度方向随时间改变的导弹，来攻击沿水平方向运动，速度大小不变的敌艇的问题。
由于导弹在任意时刻都指向敌艇，我们通过图形找到了速度和坐标的相似三角形，又根据速度和时间有函数关系，以及对导弹合速度的分解，使用了微分方程模型。
在第二个问题中，由于敌艇的运动方向与导弹每个时刻都成固定90度的角，再利用第一问的方法不再那么简单。
所以采取微元思想把整个攻击过程划分为非常小的时间段来进行研究，然后再用数学归纳法得出一般化的迭代格式，再利用迭代格式得到击中点。
在第三个问题中，本文对第二个问题的特殊角度进行了推广来得出最优逃离角度，即逃离时间周期最长的角度。
第四问根据前三问算出来的数据和画出的图像得出结论。
针对模型的求解，本文第一问使用偏微分方程和参数方程的求解方法计算出，并只用c语言编写程序求解出第二，三问题。
本文模型方法简单易懂，结果采用相关程序用计算机计算，并用matlab画出图像，明了，准确。
在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。
最后通过修改模型，得出导弹追击敌艇的模型。
关键词：微分方程模型、微元思想、数学归纳法、迭代公式一、问题重述1、问题背景：导弹自第二次世界大战问世以来，受到各国普遍重视，得到很快发展。
导弹的使用，使战争的突然性和破坏性增大，规模和范围扩大，进程加快，从而改变了过去常规战争的时空观念，给现代战争的战略战术带来巨大而深远的影响。
导弹技术是现代科学技术的高度集成，它的发展既依赖于科学与工业技术的进步，同时又推动科学技术的发展，因而导弹技术水平成为衡量一个国家军事实力的重要标志之一。
导弹六自由度建模与仿真实验
制导与控制导弹六自由度建模与仿真实验制导与控制实验报告一、实验目的通过典型导弹制导控制系统的特性分析与创新设计，培养对制导武器控制系统的概念理解、分析设计、试验验证的能力。
具体包括：培养使用MA TLAB Simulink软件建模的能力；掌握制导控制系统设计的方法和技术；掌握分析制导控制系统性能的试验方法。
二、实验器材计算机MATLAB Simulink仿真软件三、实验内容与要求（一）实验内容以典型导弹为对象，进行弹体运动特性分析，设计制导律和控制回路，利用MATLAB Simulink软件进行分析验证。
实验1：导弹弹体的建模与仿真根据典型导弹动力学、运动学方程，进行弹体运动特性分析，编写弹体仿真模型，并进行无控弹道仿真；实验2：制导律和控制律设计根据导弹的运动学模型，设计制导律；推导弹体运动的传递函数，进行导弹控制回路设计；实验3：导弹系统闭环仿真基于所设计的制导控制律和弹体模型，采用MATLAB Simulink软件进行制导控制系统闭环数学仿真。
（二）实验要求进行弹体运动特性分析，给出弹体运动特性分析结果；编写弹体仿真模型并进行仿真，绘制无控弹道飞行数据曲线；应用比例导引法设计制导律，给出制导律的设计思路、设计过程，列写设计结果——制导方程；应用经典控制理论进行导弹控制回路设计，给出控制律的设计思路、设计过程，列写设计结果——控制方程；编写制导控制律的仿真模型将无控弹体的仿真模型和制导控制律的仿真模型结合起来，进行闭环数学仿真，分析所设计的制导控制律的性能，给出对制导控制律性能的分析结果，绘制制导弹道飞行数据曲线。
四、实验原理（一）坐标系的定义1)发射坐标系o xyz发射坐标系的原点选择在投弹点地心矢径与地球表面的交点o，ox轴在过o点的水平面内，指向发射瞄准方向，oy轴垂直于过o点的水平面指向上方，oz轴与xoy平面相垂直并构成右手坐标系，xoy 平面称为射击平面。
2) 弹体坐标系1111o x y z -弹体坐标系的原点1o 为炸弹质心。
05微分方程模型导弹跟踪PPT课件
实现该算法的程序如下：da.m H=120; ve=90; vw=450; lamda=ve/vw; n=4; %将y的变化区间[0,H]进行等分，可取n=4,8,…,240 h=H/n; x(1)=0; p(1)=0; y=0:h:H;
dy
在分割区间 [yk , yk+1] 上进行积分计算，有
xk1 dx yk1 pdy
xk
yk
xk1xkyykkhpdyhkp
xk1xkhp k
第二个方程可同样处理。设导弹到达(xk , yk) 处的时 刻为tk , 那么得到计算的迭代格式。
xk1xkhp k 3.15
pk1
pk
h
1 pk2
第五讲 常微分方程模型 导弹跟踪问题
问题一、导弹跟踪问题
一、的
本试验主要涉及常微分方程，通过实验复习微分方 程的建模和求解；介绍两种微分方程的数值方法：Euler 法和改进的Euler法；并介绍仿真方法.
二、问题
某军队一导弹基地发现正北方向120km处海面上有 敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立 即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为450km/h。自动 导航系统使导弹在任意时刻都能对准敌艇。试问导弹在 何时何处击中敌艇？
A(0,H)
B(L,H)
*
H L12
vH w 2 w vvvee2
（3.10）
O
P(x,y)
x
而导弹击中敌艇的时刻
T
L ve
Hvw vw2 ve2
（3.11）
将数据H=120(km), ve=90(km/h), vw=450(km/h) 代入(3.10)、 (3.11)式，得到
L=25(km), T≈0.2778(h)=13分钟
陆基导弹打击航母的数学建模与算法设计（2018.4.8）
陆基导弹打击航母的数学建模与算法设计摘要对航空母舰作战是当前许多国家都在研究和探讨的一个课题，据有关资料表明，航空母舰在对付反舰导弹打击方面，还没有很好的办法，因此设计反舰导弹飞行轨迹的数学模型及其命中目标的算法就显得尤为重要。
本文以运动学、微积分学等知识为理论体系，结合Hermite插值法，运用化曲为直的思想，借助MATLAB、Excel软件对导弹飞行的轨道曲线进行了系统的研究分析，提出了反舰导弹打击目标的新思路。
对于问题一：以导弹发射车和航母所在的平面为研究对象，通过分析导弹发射段、中段与末段的衔接点，结合Hermite插值法，得到导弹初始位置与航母坐标之间的轨道曲线模型。
对于问题二：在问题一的背景下，本文创新性地提出一种新的解决方案，即：不改变问题一的导弹发射轨道，而是通过改变导弹发射车的偏转角度，对经过计算航母即将到达的点发射导弹进行攻击，以达到准确击中航母的目的。
在该条件下，求出导弹飞行的总时间。
考虑到导弹轨道的不变性，为了减少误差，我们在计算时间时忽略掉了导弹末段的飞行时间，而将其作为航空母舰移动后导弹自主搜索目标、选择攻击对象的时间。
对于问题三：在实际操作过程中由于制导误差和非制导误差等一系列误差，导弹发射后往往难以准确打击目标，故我们对导弹的轨道曲线的误差分析作了讨论，并对问题二中的误差——导弹发射车的偏转角度进行了一系列的系统的误差分析，并计算出了在不同程度的误差下，导弹的平均命中率。
在建模的过程中，本文创新性地采用了化曲为直的思想，简化了数学模型，巧妙地运用了Hermite插值多项式，保证了导弹飞行轨道曲线是连续的，并综合Excel和MATLAB 两大平台的运算特性，在数据处理以及图像绘制方面得到了较为精确的结果。
关键词：反舰导弹 MATLAB Hermite插值法常微分方程化曲为直目录一．问题重述 (1)二．模型假设 (1)三．符号说明 (2)四．模型的建立与求解 (3)4.1.1问题一的分析 (3)4.1.2模型的建立与求解 (3)4.2.1问题二的分析 (7)4.2.2模型的建立与求解 (7)4.3.1问题三的误差分析 (9)4.3.2问题三的命中率分析 (10)五．模型的评价与改进 (12)5.1模型的评价 (12)5.2模型的改进 (12)六．参考文献 (13)七．附录 (14)一问题重述无论是在军事演习中还是在实战中，各类防空导弹的运用早已屡见不鲜，但如何将导弹既快又精准地击中目标，以及有效拦截敌方导弹，成为制胜的关键。
数学建模实验报告导弹追踪问题
数学建模实验报告实验名称：导弹追踪问题问题背景描述：设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？主要内容（要点）：解法一（解析法）设导弹在t 时刻的位置为P(x(t), y(t))，乙舰位于),1(0t v Q .由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP 在点P 处的切线，即有 x y t v y --=1'0 即 y y x t v +-=')1(0 (1)又根据题意，弧OP 的长度为AQ 的5倍，即 t v dx y x0025'1=+⎰ (2)由(1),(2)消去t 整理得模型:(3) '151")1(2y y x +=- 初值条件为: 0)0(=y 0)0('=y解即为导弹的运行轨迹:245)1(125)1(855654+-+--=x x y 当1=x 时245=y ，即当乙舰航行到点)245 ,1(处时被导弹击中. 被击中时间为:00245v v y t ==. 若v 0=1, 则在t=0.21处被击中. 解法二(数值解)令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组。
2151'')1(y y x +=- ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧-+==)1/(151''21221x y y y y 1.建立m-文件eq1.mfunction dy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m 如下：x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);plot(x,y(:,1),’b.')hold ony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')结论: 导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t 乙舰的坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t)).1．设导弹速度恒为w ，则 222)()(w dtdy dt dx =+ （1） 2. 由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y Y x X dt dy dt dx λ， 0>λ （2） 消去λ得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=)()()()()()(2222y Y y Y x X w dt dy x X y Y x X w dt dx （3） 3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t因此导弹运动轨迹的参数方程为： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+-=--+-=0)0(,0)0()()()1(5)1()()1(52222y x y t y t x dt dy x y t x dt dx 4. 解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m 如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[0 2],[0 0]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')， hold onplot(y(:,1),y(:,2),'*')实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：图1 图2导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21时，得图2.实验结果报告与实验总结：结论：t=0.21时，导弹在（1，0.21）处击中乙舰。
数学建模练习题
数学建模
1、核军备竞赛
背景：①冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。
②随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。
③在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。
④估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。
⑤当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么
变化。
模型假设：以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小
假定双方采取如下同样的核威慑战略
①认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地
②乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。
③在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地
④摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。
思考：在上述核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平均点的变化：
⑴甲方提高导弹导航系统的性能。
⑵甲方增加导弹爆破的威力。
⑶甲方发展电子干扰系统。
⑷双方建立反导弹系统。
2、运动员成绩和体重的模型
举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩和体重之。
军备竞赛建模
军备竞赛建模核军备竞赛是否会无限扩张？是否存在暂时的平衡状态？这一平衡状态下双方拥有的核武器数量是多少？这些核武器数量受哪些因素影响？平衡状态可能发生的变化方向？模型假设双方采取同样的核威慑战略：1、对方可能第一次核打击，倾其全部核导弹攻击另一方核导弹基地；2、另一方在经受对方第一次核打击之后，应有足够的核导弹能给予对方毁灭性的打击。
建模构造设x=g(y)和y=f(x)分别为甲、乙两方当对方拥有一定导弹数量时相应所需的最小核导弹数量。
当x=0时，y=y0为乙方的威慑值，即：当乙方受到甲方倾其核导弹的第一次核打击之后拥有的足够的能给予甲方毁灭性打击的核导弹数目；乙方的威慑值y0确定了乙方导弹书y=f(x)可能取值的扇形区域：y=y0到y=y0+x之间；而乙方导弹数曲线y=f(x)确定了乙方的安全线和安全区；对甲方也有类似的结果，由其导弹数曲线y=f(x)确定了其安全线和安全区。
两个安全区的交集为双方安全区，也是核军备竞赛的稳定区域；两条安全线y=f(x)、x=g(y)的焦点为平衡点，其确定稳定状态下双方分别拥有的最小核导弹数。
目标：考虑平衡点的影响因素和变化趋势，探讨安全线函数y=f(x)、x=g(y)的形式。
建模求解甲乙双方对称，先考虑乙方安全线y=f(x)的形式。
相关概念与确定步骤：1、残存率：当甲方以全部x枚导弹攻击乙方的y个核基地时，乙方基地未被摧毁的概率s；2、威慑值：在甲方发起第一次核打击之后，乙方所保留的核导弹数y0.当x3、交换比：甲乙双方导弹数量之比a=x/y。
假设双方导弹数量x、y可取连续值，则可得乙方安全线函数y=f(x)的形式：Y=y0/s^a=y0/s^(x/y)模型分析、检验、应用安全线y=f(x)=y0/s^(x/y)的性质：1、曲线上凸2、如果残存率s变大，曲线变平，y值减少3、如果威慑值y0变大，曲线上移变陡，y值增加4、如果交换比a变大，曲线上移变陡，对称得出考虑平衡点的移动，观测核军备竞赛的现象1、改换固定核导弹为可移动发射架2、一方增强对己的保护因此两条安全线必相交，核军备竞赛存在平衡点和稳定区域。
国防科技大学数学建模第4课
7
如果甲方由于使用加固核设 施，反弹道导弹或其他一些手段， 则它的导弹更不容易遭受突然袭 击，所以曲线 x = g (y) 向左移动， 用虚线表示。x0点不变。为了保 持稳定，双方只需要更少的导弹， 稳定点为M’ 。但由于甲方对其自 身城市的防卫能力增加了，乙方要对甲方进行致命的第二 次打击，就需要比 y0 更多的导弹， 于是 y = f (x) 向上移 动，要保持稳定，双方都需要更多的导弹(M’’)。军备竞赛 进一步升级。
x ( t )、 y ( t ) 为零，就将永远保持为零。 3. 未消除敌视的双方裁军是不会持久的。 g 、 h ≠ 0 ，即使某个时刻 x ( t )、 y ( t ) 为零，由于这 时x’( t ) = g ， y’( t ) = h , x ( t )、 y ( t )仍将增加。
4. 单方面裁军不会持久。
数学建模 军事模型 6
【问题 】 双方安全线是否一定有交点?
【 结论 】 在一次打击不能毁灭对方全部核武
器的条件下，两条单调曲线 x = g (y) 与 y = f (x) 必 定相交。 与“ 实物交换模型”中对于无差别曲线的讨 论相仿，可以证明这两条曲线都是上凸的，从而必 有交点。
数学建模
军事模型
下面讨论方程(19)的平衡点( x0 , y0 )的稳定性。
当αβ － kl ≠ 0 时，(19) 的系数矩阵的特征方程为
( )( ) kl 0
数学建模
军事模型
15
特征根为
( ) [( ) 2 4( kl )]1 2 2 ( ) [( ) 2 4kl ]1 2 2
1966 1967 1968 1969
Iran 435
数学建模案例分析最优化方法建模动态规划模型举例
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
数学建模·炮弹射击问题
精心整理问题2：射击问题作者：摘要本文就两种不同的情况，建立了两个炮弹的模型，利用了矢量分析和画图的方法求解得出了一致结果即最大射程和最佳发射角。
在模型一、二中，我们建立了炮弹发射的理想化的模型，用matlab 软件，分析得到：0=h 时，最大射程为ga a v x msin *cos 220=，最佳发射角为︒45；0>h 时，最大射程为22*22max 202020gh v gh v gh gh v s -+++-=，最佳发射角度为20202arccosv ghv a +=§问题重述设炮弹的发射角为a ，发射初速度为0v ，试研究：当炮弹在高度为h 时的最大射程和最佳发射角。
考虑到炮弹发射时应满足以下条件： 1、发射角度最佳； 2、射程最大； 3、离地高度一定；由此我们容易想到用优化理论解决问题。
§题目假设1、本题以中国解放军装备的93式60毫米远射程迫击炮为研究对象。
据查相关资料【1】，中国解放军93式60毫米远射程迫击炮最大初速：329米/秒；最大射程：5564米；高低射界：45度-85度；圆周射界：360度。
2、炮弹发射时，是以炮弹在不同高度的最大射程和最佳发射角进行发射；3、在考虑不同高度发射时，发射角、发射程与初速度之间的关系一一对应的；4、假设炮弹发射时空气阻力与推力相互抵消。
§变量说明 §模型建立与求解 模型一：研究0=h根据炮弹斜抛运动的规律： 炮弹斜上抛的仰角为a ，抛出的初速度为0v 。
我们先将0v 正交分解为水平分速度x v 和竖直分速度y v 。
根据数学关系可以得出：若把它看作是可忽略空气影响的“理想抛体【2】”，则根据运动分解的理论可知：斜上抛物体水平方向不受力，应作匀速直线a v v x cos 0=，其位移方运动，其速度为程应为：t a v x *cos 0=(1)斜上抛物体竖直方向受向下的重力，与竖直向上的初速度a v v y sin 0=的方向相反，应作竖直上抛运动，其位移方程应为：2021*sin gt t a v y -=(2)由上列的(1)式可以导出：av xt cos 0=(3)将(3)式代入(2)式： 导出：a v gx x a y 2202cos 2*tan -=（4）这里称导出的(4)式为“斜上抛物体运动的轨道方程”。
（导弹问题）（可编辑）
(导弹问题)导弹发射问题一.问题分析1.由于I型导弹发射点与敌机处于同一高度,故敌机的运行轨迹和导弹的运行轨迹是处于同一高度且在平行于地面的平面上,故可建立起平面直角坐标系.又由于导弹飞行方向始终指向敌机,在适当的假设下,可通过建立建立起微分方程确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件;2.由于导弹是来自地面所以用微分方程的知识建立了三维空间上的导弹追逐模型,并把该三维空间上的导弹追逐问题转化为二维平面上的导弹追逐问题,运用问题1的解决方法求解得出II型地对空导弹追踪敌机的轨迹方程及发射II 型空对空导弹击毁敌机的条件。
3. 在敌机的速度、位置以及追踪导弹速度给定的情况下,利用改进的欧拉方法进行matlab编程就能够求得敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。
4在追踪轨迹确定时,导弹击毁敌机还存在随机性,导弹飞行的路程越长,其击毁敌机的概率就越小,据此条件继续讨论问题1中的情况。
二.模型的建立与求解1分别记敌机与导弹最开始所在处为A、O,以O为原点,OA所在直线为x轴,正北方向所在直线为y轴,建立如下图所示的平面直角坐标系。
图一 i设敌机以匀速向正北方向(即y轴方向运动),导弹飞行的速度为且运动过程中速度大小不变。
当t0时,导弹位于O点,敌机位于A点,记导弹在任意时刻t的位置为,则 1 由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌机,故有 ,即 2对2式两边关于t求导得到,即 3又由于,则1式可以改写为 4将4代入3得到:5令,则5式改写为利用分离变量法得 6式两边关于积分得根据初值条件知 7代回原变量知 8又,则导弹的轨迹方程为: 9ii设导弹击中敌机的位置为BN,L,将xL代入9式,得到若LM 10,令,则10式转化为,又w0,解得,即 11故满足11式时导弹可以击毁敌机。
与第1题相似,我们先建立空间直角坐标系,如下图所示:图二将上述空间直角坐标系转化为平面直角坐标系图三分别记敌机和导弹的初始位置为A、O点,以O点为原点,0A所在的直线为X1轴,敌机逃逸方向所在的直线为AB,此时B点的坐标为。
数学建模导弹跟踪问题
导弹跟踪问题摘要本文研究的是导弹跟踪敌艇问题。
通过建立合理的数学模型，利用matlab软件模拟导弹跟踪敌艇的过程，并进行分析计算最终求得导弹击中敌艇的时间和位置。
首先我们根据问题中的条件粗略描绘出导弹和敌艇的运动轨迹并对其进行分析，利用在任何时刻导弹的飞行方向指向敌机的位置得出导弹的运动轨迹满足微分方程组的结论。
然后结合初值条件，并经过严格的数学公式推导和合理的假设，求解出导弹运动轨迹的方程。
在matlab中分别采用Euler 法、改进的Euler法和仿真方法近似计算导弹轨迹上的一系列点，接着对这些点进行精确度分析，绘制出导弹运动轨迹的曲线，并比较这三种数值方法的精确度。
最后我们对该模型进行分析评价，指出该模型的优点和不足。
关键词导弹跟踪运动轨迹 matlab 常微分方程 Euler法正文1．模型问题详述某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h 的速度向正东方向行驶。
该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹的速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。
试问导弹在何时何处击中敌艇？并绘制导弹轨迹曲线图。
2. 模型假设假设一：导弹与敌艇的速率恒定。
假设二：导弹飞行的轨迹切线方向始终指向敌艇。
假设三：导弹飞行的轨迹和敌艇行驶的高度始终在同一平面内。
假设四：导弹与敌艇的长度可以忽略，均可看成物理质点。
假设五：外界对导弹和敌艇的运动没有影响3. 数据字典(x,y) 坐标位置t 经历的时间ve 敌艇的速度vw 导弹飞行的速度H 敌艇最初点与导弹的距离4. 问题分类及分析问题一导弹在何时何处击中敌艇？分析：由于敌艇的运行轨迹和导弹的运行轨迹是处于同一平面内,故可建立起平面直角坐标系。
又由于导弹飞行方向始终指向敌机,即导弹飞行方向随时间的改变而改变,故可建立起微分方程并求解。
问题二绘制导弹轨迹曲线图。
分析：由于导弹运动轨迹满足微分方程，所以我们可以利用Euler法、改进Euler法、仿真方法分别对所建立的数学模型进行数值求解，并绘制出导弹运动轨迹曲线图像。
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湖南第一师范学院HUNAN FIRST NORMAL UNIVERSITY论文题目: 导弹攻击姓名专业班级及学号分工队员1 李丽11402050122 建立模型，计算队员2 盛名11402050128 建立模型，编程队员3 张旋11402050148 建立模型，画图摘要本文研究导弹攻击敌艇的问题。
首先，本文关于可改变角度的导弹攻击敌艇的问题建立了相关数学模型。
针对第一问，研究速度大小恒定，速度方向随时间改变的导弹，来攻击沿水平方向运动，速度大小不变的敌艇的问题。
由于导弹在任意时刻都指向敌艇，我们通过图形找到了速度和坐标的相似三角形，又根据速度和时间有函数关系，以及对导弹合速度的分解，使用了微分方程模型。
在第二个问题中，由于敌艇的运动方向与导弹每个时刻都成固定90度的角，再利用第一问的方法不再那么简单。
所以采取微元思想把整个攻击过程划分为非常小的时间段来进行研究，然后再用数学归纳法得出一般化的迭代格式，再利用迭代格式得到击中点。
在第三个问题中，本文对第二个问题的特殊角度进行了推广来得出最优逃离角度，即逃离时间周期最长的角度。
第四问根据前三问算出来的数据和画出的图像得出结论。
针对模型的求解，本文第一问使用偏微分方程和参数方程的求解方法计算出，并只用c语言编写程序求解出第二，三问题。
本文模型方法简单易懂，结果采用相关程序用计算机计算，并用matlab画出图像，明了，准确。
在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性。
最后通过修改模型，得出导弹追击敌艇的模型。
关键词：微分方程模型、微元思想、数学归纳法、迭代公式一、问题重述1、问题背景：导弹自第二次世界大战问世以来，受到各国普遍重视，得到很快发展。
导弹的使用，使战争的突然性和破坏性增大，规模和范围扩大，进程加快，从而改变了过去常规战争的时空观念，给现代战争的战略战术带来巨大而深远的影响。
导弹技术是现代科学技术的高度集成，它的发展既依赖于科学与工业技术的进步，同时又推动科学技术的发展，因而导弹技术水平成为衡量一个国家军事实力的重要标志之一。
2、需要解决的问题问题一：试问导弹在何时何地击中敌艇?问题二：如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以135千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中敌艇?问题三：敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示?二、问题分析根据题意，导弹在任一时刻都能对准敌艇，由此可以知道导弹运行的轨迹是和时间t有关系的，所以导弹的轨迹一定是一条随着时间变化的曲线，且曲线上每一点的切线方向都指向敌艇，那么我可以建立坐标轴进行分析。
又因为每一点的切线代表的就是每一点的速度方向，即可以将速度方向分解到垂直和水平方向的两个分速度来分析。
又根据竖直的距离不变，我们就拿最后一个击中点作为研究目标，竖直距离120km，水平距离90t km,可以建立根据分速度的合成，纵向距离为定值，水平方向距离等于敌艇打中后的距离来建模。
但是计算时发现水平速度会变成一个定值，所以这种想法存在问题。
因此，我们进一步思考。
发现每一点的速度分解构成的三角形与敌艇所在坐标和导弹的连线、横、纵坐标构成的三角形相似，再加上导弹速度的合成可以建立一个偏微分方程组，即使用微分模型。
接着根据第二问的题意，我们可以知道敌艇每时刻的速度方向都与导弹成90度夹角。
由于此问题为两条曲线的相交问题我们再用第一问不那么简单，但对于曲线上的点的研究我们可以采用积分定义里面的微元思想，把整个击中过程划分为很多相等的小块的时间段来分析那么各个段上的分析就可以根据数学归纳法得出一般规律了。
根据迭代的格式我们也可以得到最终的击中点。
根据题意可知第二问是第三问的一个特殊化情况，我们只需将它一般化，通过猜测最优角，比较一组猜测出的角对应的逃逸时间得出最佳逃逸角度。
三、模型假设与约定1、不计空气阻力，导弹和敌艇的速度大小不变。
2、导弹发射的瞬间敌艇改变方向航行的反应时间为0。
3、敌艇改变方向后立即逃跑。
4、敌艇沿顺时针改变方向。
四、符号说明及名词定义(1) t:表示时间(2) H：表示初始条件下敌艇离导弹的距离(3) x(t):表示经过时间t时导弹的横坐标(4)v：表示导弹的速度1(5)v：表示敌艇的速度2(6) y(t):表示导弹在t时刻的纵坐标θ：表示导弹改变方向前的方向与改变方向后的方向的夹角(7)i(8) k: 程序中表示敌艇逃逸时与导弹所成角度(9) ∂：导弹运动方向与x轴的夹角(10) f[i]:程序中表示导弹与x轴的夹角(11) k: 程序中表示敌艇逃逸时与导弹所成角度(12) a[i]:程序中表示敌艇横坐标(13) b[i]:程序中表示敌艇纵坐标(14) x[i]:程序中表示导弹横坐标(15) y[i]:程序中表示导弹纵坐标(16) s[i]:程序中表示敌艇与导弹的距离五、模型建立模型一：根据题意，画出如下模拟轨迹图：根据上图速度分解的三角形和任意时刻敌艇的坐标和导弹的坐标的连线的三角形相似可得：2y dy dx dt dt H v t x =-- (1)再根据速度的合成可得：2221()()dy dxv dtdt += （2）2、模型二 ：根据题意，我们发现敌艇的速度方向也在改变，所以用第一题的方法不再那么简单。
我们采取微元的思想把导弹击中敌艇的整个过程T,划分为很多非常小的时间段t ’来研究，画出如下图轨迹：设导弹和敌艇的初始时刻为0，此时导弹和敌艇分别位于A(0,0)和B （0，H)的位置，当t=t ’时导弹的位置为11'(0,)A v t ，敌艇的位置为12()',B v t H 。
此时导弹沿着11A B 的方向运动，所成夹角1θ=12'arctan 'v t H v t - ,t=2t ’时，导弹的位置为()222,A x y 则有：2111’2()/x x v t cos πθ=+-2121’2()/y y v t sin πθ=+-敌艇的位置为222),B a b （则有：0 x2221()’a a v t cos θ=+2221()’b b v t sin θ=+利用数学归纳法可以得到t=(i+1)t ’时， =arctan((a -x )/(b -y ))i i i i i θ 导弹的位置为1i A +（1i x +，1i y +）：11'cos(/2)i i i x x v t πθ+=+- (3)11'sin(/2)i i i y y v t πθ+=+- (4)敌艇的位置为11,1(a )i i i B b +++：12'cos()i i i a a v t θ+=+ (5)12'sin()i i i b b v t θ+=+ (6)直到满足条件11i i x a --< 并且i ix a > 时，敌艇被击中。
3.模型三根据模型二可知，模型三是模型二逃逸角度的一般化。
只需稍稍稍做出修改。
因为敌艇的逃离方向不再是90度，选取导弹与x 轴的方向为∂来分析。
假设敌艇逃逸时与导弹所成的角度为k,当 t=(i+1)t ’时， =arctan((b -y )/(a -x ))i i i i i ∂ 导弹的位置为1i A +（1i x +，1i y +）：11x =x +v *cos()*ti i +∂11y =y +v *sin()*ti i +∂敌艇的位置为11,1(a )i i i B b +++：12 a =a +v *cos(+k-)*ti i π+∂12 b =b +v *sin(+k-)*ti i π+∂直到满足条件11i i x a --< 并且i ix a > 时，敌艇被击中。
每次给定一个k 值就会出现一个逃逸时间，选取逃逸时间最长的角为最优角度。
六、模型求解对于问题一，我们列出来的方程式是偏微分方程，所以先将它转化为我们熟悉的常微分方程：将模型的（1）式分解为：122221222(v t x)(v )()(0)()(v )()v dxdt t x H y v dy H y dt t x H y λ⎧=-⎪-+-⎪>⎨⎪=-⎪-+-⎩（7） 将（7）式代入（2）式得到:1222(v )()v t x H y λ=-+- （8）再将（8）式代入（7）式得：122221222(v t x)(v )()(0)()(v )()v dxdt t x H y v dy H y dt t x H y λ⎧=-⎪-+-⎪>⎨⎪=-⎪-+-⎩（9）(9)式通过使用matlab （程序见附件一）作图得出结果为：由图可看出击中点约为（25,120)处击中敌艇，时间约为0.2778h 。
对于第二问因为模型中产生了迭代公式，可以通过vc++编程（程序见附件二）得到结果。
将T分为不同的较小的时间段来计算得到如下结果：t’=0.1t’=0.005t’=0.0001t’0.1 0.01 0.005 0.001 0.0005 0.0001i 4 27 54 267 534 2667X[i] 46.201914 33.621971 34.096002 33.119394 33.118306 33.039196 Y[i] 83.789704 111.396218 110.304326 110.185081 110.066058 110.097673 S[i] 30.712284 1.496655 1.137390 0.136733 0.098501 0.013670T 0.400000 0.270000 0.270000 0.267000 0.267000 0.266700s[i]表示的是两个点的距离，根据表格可看出，s[i]逐渐减小，那么大约在T时间段每个时间块分为0.0001h时，s[i]最接近于0，因此，导弹击中敌艇的坐标约为（33.039，110.098)，逃逸时间为0.2667h.对第三问我们同样采用改进后的c++程序（程序见附件三）可以通过改变k的值得出逃逸时间，通过最长的逃逸时间来估测最优的逃逸角度。
k=pi/6k=pi/2k=7*pi/8固定t’=0.001h时得出下表：k Pi/6 Pi/4 Pi/3 Pi/2 2*pi/3 3*pi/4 7*pi/8 i 212 221 233 267 314 339 370X[i] 11.24778 17.12751 22.58017 33.11939 39.53838 38.40231 25.92101 Y[i] 94.04109 95.87619 98.96176 110.18508 129.22317 142.04341 161.60602 S[i] 0.173059 0.448943 0.415778 0.136733 0.117247 0.136807 0.278448 T 0.212000 0.221000 0.233000 0.267000 0.314000 0.339000 0.370000根据上表可得，k=78π时，逃逸时间最长。