连续梁的矩阵位移法

2.推导图示单元的单刚
F
e 1
e 1
EI
l
e 2
F
e 2
3.计算图示梁总刚中元素 k44 k 23 k 25
EI
2EI
3EI
4EI 5EI
l
2l
3l
2l
l
4.思考题 (1).连续梁的总刚为何应是一个三对角矩阵? (2).荷载不作用于结点上时怎么办? (3).连续梁单刚和总刚是奇异还是非奇异矩阵?
例题2 矩阵位移法解图示梁,作M图. 10kN
分析过程：
1．对结构的结点和单元进行编号；
2．进行结构的离散化：将结构拆成两个杆件单元①和②；
3．进行单元分析：建立单元刚度矩阵；
4．进行整体分析：将离散化的各单元重新集合，满足原结
构的平衡条件和位移连续条件，而得到整体刚度方程。我们利 用已求得的各单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵。形成整体刚度 矩阵的方法，以直接刚度法最为常用。
0(e)
M3 M3(22) M3 0
2 4ii1 11 1 (24i1i12 4iM 2)1 2 02i23M20 (f)
2i224i23M30
即为位移法 方程
引入矩阵形式（式a、b)可写为：
M M1 22 1 (1) 2 4ii1 1 4 2ii1 1 1 2 (1)g M M 3 22 3 (2)2 4ii2 2 4 2ii2 2 3 2 (2)g
0
K 2i1
4i1 4i2
2i2
0 2i2 4i2
------称为整体刚度矩阵
1 2
3
------为结点 位移列阵
F
M
M
1
2
M 3
------为结点力 （荷载）列阵
结构刚度矩阵 的性质：
1、对称性：结构刚度矩阵是一个对称矩阵，即位于主对角线 两边对称位置的两个元素是相等的。
k 1.5 11 4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
3
例题2 矩位移法解图示梁,作M图.
10kN
4kN/m
解: 1.离散化 2.求总刚
EI1 6 EI2 24 EI1 6
k1k341.65/8
1.5 3
4m4m 12m 8m
1
2
34
k2
424/12
4
4 8
1
(1) (2)
2
3
(3) (4)
------称为单元杆端力列阵。
(1)
12
(1)
(2)
2 3
(2)
------称为单元杆端位移列阵。
§ 3.3 整体刚度矩阵
将方程组也用矩阵表示：
4i1 2i1 0
2i1 4i1 4i2
2i2
420ii22132
M M12 M3
简写为： K F ------称为整体刚度方程
4i1 2i1
不同。直接刚度法比较简便得多，因此得到广泛的应用。这里 就只介绍矩阵位移法中的直接刚度法。
三、矩阵位移法的基本思路
矩阵位移法的作法同上所述：是先把结构拆散成有限数目
的杆件单元进行单元分析而后进行整体分析也就是将这些单元 再集合一起，使其满足平衡条件和位移连续条件恢复为原结构。
基本思路及过程
矩阵位移法分析问题的过程是，首先进行离散化和单元 分析，然后进行整体分析，考虑单元的集合得出基本方程组 ，通过解线性方程组求出结构的位移并求出结构的内力。
3）解方程组：求出结构的结点位移和内力。
二、结构矩阵分析方法的分类
与传统的力法、位移法和混合法对应，也有矩阵力法、矩 阵位移法和矩阵混合法。矩阵位移法具有易于实现计算过程程 序化的优点而被广泛应用，我们主要介绍矩阵位移法。
矩阵位移法又分为刚度法和直接刚度法。两者的基本原理 并无本质的区别，只是在形成所谓整体刚度矩阵时使用的方法
简写为： F(1) k(1)δ(1) (h) F(2) k(2)δ(2) (i)
------称为单元刚度方程
其中：
k(1)
4i1 2i1
2i1 4i1
j
k(2)
4i2 2i2
------称为单元刚度矩阵。
2i2 4i2
k
矩阵中的各元素称为单元刚度影响系数。
F(1) MM1221(1)
F(2) M M3223(2)
总结为：“化整为零，积零为整”
§ 3.2 连续梁的单元刚度矩阵
y
M1,1
x1
① i1
M2,2
2
② i2
M3,3
3
M , (1) (1)
M1
12 1
1
M (1) 12
① M , (1) (1) 21 2
M2
M ,(2) (2) 23 2
②
i1
M (1) 21
2 M (2) 23
i2
M ,(2) (2) 32 3
(5)根据边界条件修改结构原始刚度矩阵计算自由结点位移。 (6)计算在结构坐标系中由杆端位移产生的杆端力；再计算单 元在局部坐标系中的杆端力。
(7)计算支座反力。 (8)校核。
§ 3.4 非结点荷载的处理
以上关于矩阵位移法的讨论，是说结构的结点位移作为基 本未知量。在讨论中，我们只考虑了作用结点荷载的情况。由 此所得到的矩阵位移法基本方程，即整体刚度方程，表述了结 点位移和给点荷裁的关系。而实际上，不论是恒载还是活载常 常是作用在杆件单元上的均布荷载、分布荷载或集中荷载。对 于这种非结点荷载的处理，一种方法是，不论均布或分布荷载 都适当地改用若干集中荷载加以代替，并把集中荷载的作用点 也看作结点。这样处理的结果是，加多了单元和结点位移，从 而增加了计算工作量。另一种则是目前通用的处理方法，即采
向相反的外力
F
e q1
、
F
e q2
，将两种情况进行叠加，就可得到
原来的荷载作用情况。
F
e q1
、F
e q2
称为单元的等效结点荷载(这里所识“等效”，是
指图c与图a两种情况的结点位移是相等的，因为图b情况的结点位
移为零)。
结构全部荷载的处理方法与刚度矩阵类似：首先，针对 每一单元的非结点荷载建立单元等效结点荷载列矩阵；然后， 遵循对号入座的方式，建立结构整体等效结点荷载列矩阵； 最后，将结构直接作用在结点上的结点荷载矩阵与结构等效 结点荷载矩阵相加，得到整个结构全部的荷载矩阵。
4 2
2 12
0412
6 3
0 4 83 P3
3 0
4 2 2 12
0 4
1263
0 4 8N3 P3
第三个方程变为:
0 1 4 2 8 N 3 P 3 3 (P 3 0 1 4 2 )/8 (N )
3 0
作业: 1.作图示结构弯矩图
i1 1
10kN.m i2 3
6kN.m 3kN.m
例1: 计算图示梁,作弯矩图
i1 1
3kN.m i2 2
1
2
3
1
2
解: 1.离散化 2.计算总刚,总荷
12
23
12
12
(1)
(2)
4.求杆端力
(3)
k1
4 2
2 1 4 2
1 2
k2
8 4
4 1 8 2
2 3
F12 44 2 11//7 6 1 2 76 /2
用所谓的等效结点荷载。
举例说明如下：
a)
b)
c)
q(x)
F
e q1
q(x)
F
e q2
F
e q1
F
e q2
=
=
+
1 1
2 2
1
2
1
2
1、在施加荷载之前先在结点处各加上一个刚臂用以限制结 点角位移，这样，单元即成为固端梁，而后施加荷载。由于荷 载作用，在各杆端将产生固端剪力和固端弯矩。
2、在原结构的结点处分别施加与约束反力数值相等、方
P3
后处理法
i1 后处理法:
1
置0置1法i2
2
1
2
3
1
2
作弯乘矩大图数法
(1)
(2)
(3)
(1)置0置1法
4 2
20 120
0412
6 3
00
4 0
183
P3 0
3 0
3/ 2
0 0
F284
40 0 800
F12 4 4 2 30/2 6 3
4 2
2 12
0012
6 3
有非结点荷载作用时的单元杆端力，可以由两部分叠加而 得：一部分是结点受有约束、各杆件为固端梁情况下的杆端力 (固端力)，另部分是综合结点荷载作用下的杆端力，即
F(e)Ff(e)k(e) (e)
§ 3.5 直接刚度法的解题步骤和算例
直接刚度法中后处理作法的解题步骤： 1．对各单元和结点进行编号 2．计算整体坐标系的单元刚度矩阵。 3．将各单元刚度矩阵的子块“对号入座”形成整体刚度矩阵。 4．计算总的荷载列阵，建立整体刚度方程。 5．引入支承条件，修改整体刚度矩阵和整体刚度方程。 6．解整体刚度方程求各结点位移。 7．计算各单元的杆端力，并进一步求各单元的其它内力。 。 8．校核。
10
P
来自百度文库
38
48
0
例题2 矩位移法解图示梁,作M图.
10kN
4kN/m
解: 1.离散化 2.求总刚
EI1 6 EI2 24 EI1 6
k1k341.65/8
1.5 3
k2
424/12
第三章 连续梁的矩阵位移法
§ 3.1 概述 § 3.2 连续梁的单元刚度矩阵 § 3.3 整体刚度矩阵 § 3.4 非结点荷载的处理 § 3.5 连续梁的矩阵位移法举例
§ 3.1 概述
一、结构矩阵分析方法
结构矩阵分析方法的广泛应用是近年来结构力学最重要的
发展之一，这与计算机技术的迅速发展有直接的关系。它是以 传统的结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以 电子计算机作为计算手段的三位一体的方法。
3 1.5 0 0
k 1.5 11 4
0
0 4 11 1.5
0
0
1.5
3
4kN/m 2
48
ql2 /1248
Fq
2
48 48
FE2
481
482
2 3
3.求总荷 10kN
PD0Fq
1
10 10
1 P/l810
10
FE1
10
10
1 2
10
1PE
38
48
2
0
0 0 13 0
6
3 M
练习: 3kN.m
i1 1
i2 2
作弯矩图
11
2
2
3
(1)
(2)
(3)
4 2 01 P1
2 0
12 4
8432
3 P3
13 0
1 2
0 1/
4
3 0
F12 4 4 2 1 0/4 11 /2 F28 4 8 4 10/4 1 2
4 2 0
6
k 2 12
0 4
4 8
P
3
3
F28 4 8 4 11/1/26 4 13 /2
7/2
3.解方程,求位移 17 /12
Pk
1/6
11 / 24
6
1/2 M3
6kN.m 3kN.m
五练.习(零: 位移)边界条件处理
方法: 3kN先.m处理法
i1 1
i2 2
结构矩阵分析方法的基本思想是：把整个结构看作是由若
干单个杆件(称为单元)所组成的集合体。
1）单元分析：在进行分析时，首先把结构拆散成有限数目
的杆件单元（结构的离散化），写出各单元杆端的力与位移两 者的关系式；
2）整体分析：即将这些单元再集合一起，使其满足平衡
条件和位移连续条件也就是保证离散化了的杆件单元重新集合 后仍恢复为原结构；
2
2 (c)
(2) 3
3
M M M
(1) 12
(1) 21
(2) 23
4i11 2i1 2 2i11 4i1 2 4i2 2 2i2
3
(d
)
M (2) 32
2i2 2
4i2
3
由结点平衡条件：
再将(d)式代入，得：
M1 M2
M1(12) M1 0 M2(11) M2(23) M2
4kN/m
解: 1.离散化 2.求总刚
12
12
k1
46/8
1.5
1.5 1 3 2
1 2
EI1 6 EI2 24 EI1 6
4m4m 12m 8m
1
2
1
34
2
3
23 12
(1) (2)
(3) (4)
k2
424/12
4
4 8
1 2
2 3
3 1.5 0 0
34
12
k3
3 1.5
1.5
3
1 2
3 4
M3
M (2) 32
3
单元 ①：
M(1) 12
4i1
M2(11) 2i1
(1)
1
2i1
(1)
1
4i1
22((11))(a)
由位移连续条件得：
单元 ②:
M(2) 23
4i2
M(2) 32
2i2
(2) 2
2i2
(2) 2
4i2
3 3((2 2)) (b)
(1) 1
(1) 2
1 (2)
1 0
0 12
0012
0 3
0 0 13 0
1/2
1
1
M
2
6kN.m 3kN.m
五.(零位移)边界条件处理
P3
方法: 先处理法 后处理法
i1 1
i2 2
1
2
3
后处理法: 置0置1法 乘大数法
1
2
(1)
(2)
(3)
(1)置0置1法
(2)乘大数法
若 i 0 ,则将总刚主对角
元素 k ii 乘以大数N.
2、由于连续梁结构为几何不变体系，因此其整体刚度矩阵为 非奇异矩阵。
3、结构刚度矩阵是一带状矩阵。
*
*
\
*
*
\
*
0
\
*
\
\
*
*
\
\
*
*
\
*
0
\
*
\
\
*
*
\
\
*
*
综上所述，可将直接刚度法的解算步骤归纳如下：
(1)将结点和单元进行编号；选择结构坐标系和局部坐标系。 (2)把所有结点力沿结构坐标系分解；建立结点位移列向量和 结点力列向量(两者的分量要一一对应)。 (3) 计算结构坐标系中各单元刚度矩阵的四个子块。 (4)将各单元刚度矩阵的四个子块，按其两个下标在结构原始 刚度矩阵中“对号入座”。