1.5.1 曲边梯形的面积(优秀教案)
(完整版)1.5.1曲边梯形的面积(优秀教案)
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。
（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程一、问题情境—生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：图形一：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片二：图形二：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片三：图形三：【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？【设计意图】1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念。
2. 学会计算曲边梯形的面积。
3. 能够应用计算公式解决实际问题。
教学重点：1. 曲边梯形的概念。
2. 计算曲边梯形面积的公式。
教学难点：1. 理解曲边梯形的面积计算过程。
2. 应用公式解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材（曲边梯形图形、计算工具）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾梯形的面积计算方法。
2. 提问：如果梯形的边变成曲线，我们如何计算它的面积呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍曲边梯形的概念。
2. 讲解曲边梯形面积的计算公式。
3. 举例说明曲边梯形面积的计算过程。
1. 学生独立完成练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评。
四、拓展应用（10分钟）1. 学生分组讨论，思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用。
2. 各组汇报讨论成果，分享实际问题解决方案。
五、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
教学评价：1. 课后作业完成情况。
2. 课堂练习的正确率。
3. 学生对实际问题解决方案的合理性。
六、案例分析（10分钟）1. 教师展示曲边梯形面积计算在实际工程、地理等领域的应用案例。
2. 学生分析案例，理解曲边梯形面积计算的重要性。
七、练习与巩固（15分钟）1. 学生完成课后练习题，巩固曲边梯形面积计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，解答学生的疑问。
八、小组讨论（15分钟）1. 学生分组讨论，思考如何优化曲边梯形面积计算方法。
2. 各组汇报讨论成果，分享优化方案。
1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
十、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用，选取一个实例进行分析。
曲边梯形的面积优秀教学设计
曲边梯形的面积【教学目标】1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力。
2．学习目标（1）通过求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景。
（2）通过求变速直线运动的路程，了解定积分的实际背景。
【教学重难点】“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法。
【教学过程】一、课前设计1．预习任务预习教材,完成相应练习题2．预习自测1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[x i，x i＋1]上的近似值等于（）A．只能是左端点的函数值f(x i)B．只能是右端点的函数值f(x i＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i，x i＋1])D．以上答案均不正确答案：C2．求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为（）A．[i－1n，i n]B．[i n，i＋1n]C．[t(i－1)n，ti n]D．[t(i－2)n，t(i－1)n]2．求由抛物线y ＝2x2与直线x ＝0，x ＝t(t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为（ ）A ．[i －1n ，i n ]B ．[i n ，i ＋1n]C ．[t(i －1)n ，ti n]D ．[t(i －2)n ，t(i －1)n]答案：D3．直线x ＝a ，x ＝b(a<b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)(f(x)>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝（ ）A ．(ξi)·n∑i ＝1f 1nB ．(ξ1)·lim n →∞n∑i ＝1f 1nC ．(ξi)·n∑i ＝1f b －a nD ．·f(ξi)lim n →∞n∑i ＝1b －an答案：D 二、课堂设计1．知识回顾本节可能会用到的数学公式：（1）；211(1)(21)6ni i n n n ==++∑（2）；231(1)2ni n n i =+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑（3）（其中，为常数，）.11101110lim k k k k k k k n k k k a n a n a n a a b b n b n b n b ---→∞-⋅++++=⋅++++L L i a i b 0,1,,i k =L 2．问题探究问题探究一：求曲边梯形的面积曲边梯形的概念：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何求2y x =与0y =及1x =所围成的平面图形面积S ？活动1：请讨论：如何分割？以下几种分割方法，哪种最合适？（1）竖向分割 （2）横向分割 （3）随意分割分析发现，竖向分割更容易求面积.活动2：请讨论：分割多少份合适？分析发现分割的越多，误差越小，为了便于计算，引导学生会利用n 控制分割的份数，把[0,1]分割成n 等份.活动3：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？展示部分近似代替的方案：（1） （2） （3）矩形 矩形 梯形 不足 过剩 代替分割后，转化成n 个曲边梯形，利用直边图形代替，合作交流后确定方案，即以矩形不足或矩形过剩计算较为方便.活动4：如何用n 的式子表示直边图形面积的和？展示学习小组部分计算结果：（1）以方案（1）计算：)21111(311n n S --=（2）以方案（2）计算：211)(11(312n n S ++=（3）以方案（3）计算：)211(3123nS +=通过分割、近似代替两步以后，进行求和，根据不同的方案计算出不同的面积和，发现每一种和结果的代数式子不一样，为后面引入极限做个铺垫.活动5：请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？(1)几何画板演示，21,S S 随变量n 变大，它们的变化趋势.（2）取极限：（1）当+∞→n 时，31211)(11(311→--=n n S （2）当+∞→n 时，31211)(11(312→++=n n S 结论：以上三种方案得到的面积都是用n 表示的表达式，而曲边梯形的面积应该是一个常数，如何确定这个常数，已经知道分割的份数越多，误差就越小，利用前面导数的概念，可以确定当n 趋近于无穷大时，21,S S 趋近于一个常数，这个常数就是该图形面积的值，体现了无限逼近的思想方法，极限的含义.活动6：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2)(x x f =在区间],1[nin i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？1111lim ()lim ()3nni i x n i i S f x f n ξξ∆→→∞===∆==∑∑例1：求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积【知识点：曲边梯形面积】解:令f (x )＝x 2.(1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝，x 2＝，…，x n －1＝，x n ＝2.2n 4n 2（n －1）n 第i 个区间为[，](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝－＝.2i －2n 2i n2i n 2i －2n 2n(2)近似代替、求和，取ξi ＝(i ＝1,2，…，n )，2inS n ＝f ()·Δx ＝ ()2·＝i 2∑n i ＝12i n ∑n i ＝12i n 2n 8n 3∑n i ＝1＝(12＋22＋…＋n 2)＝·8n 38n 3n （n ＋1）(2n ＋1)6＝(2＋＋)．433n 1n 2(3)取极限S ＝li S n ＝li (2＋＋)＝，m n →∞m n →∞433n 1n 283即所求曲边梯形的面积为.83点拨：求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间；（如下图1）②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出n 个小矩形的面积之和S n ，S n 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求（即为曲边梯形的面积）lim n n S S →+∞=S图1图2问题探究二、如何求汽车行驶的路程？活动一：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h )这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．解：（1）分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L ，其长度为11i i t n n n -∆=-=.把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆，显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦L 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦g g 2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭g L ①（3）求和由①，21111112nnn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑g g =221111102n n n n n n-⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g L g =()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦L =()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111115lim lim lim 112323nn n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑g 点拨：本题所用数学思想为化归，即用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．活动二：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？汽车行驶的路程在数值上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的0,1,0t t v ===22v t =-+面积.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可采用分割、近似()v v t =代替、求和、取极限的方法，求出它在内所作的位移.a tb ≤≤s 3．课堂总结【知识梳理】求曲边梯形面积的步骤①分割：把区间[a ，b ]等分成个小区间；（如下图1）n ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值（如下图2）；③求和：计算出个小矩形的面积之和，即为曲边梯形面积的近似值；n n S n S图1图2④取极限：求（即为曲边梯形的面积）.lim n n S S →+∞=S 【重难点突破】1.求曲边梯形面积 “近似代替”中，取任意一点代替求出的最终的曲边梯形面积均是1ξ同一个常数.2.求曲边梯形面积与求变速直线运动的物体的路程的本质是一样的，都采用分割、近似代替、求和、取极限的步骤求解.4．随堂检测1．直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积是_______．答案：见解析解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为.2(1)2[,]i in n-第i 个小区间的面积，2(1)2i i S f n n -⎛⎫∆=⋅⎪⎝⎭所以2223321112(1)4(1)(1)(21)4(1)(21)2288(1)63nn n n i i i i i n n n n n S f i n n n n n n n ===------⎛⎫=⋅==-=⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑故24(1)(21)4118lim lim lim[(1)(2)]333n n n n n n S S n n n →∞→∞→∞--===--=∴所求曲边梯形面积为.832．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km/h)为v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？答案：这段时间行驶的路程为km.133解析：【知识点：变速直线运动的路程；】解：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为(i ＝1,2，…，[1＋i －1n ，1＋in]n)．第i 个时间区间的路程的近似值为2223111132(1)(1)(1)[(12]i i i i i v n n n n n n n ξ----∆=+⋅=++⋅=++于是222223231132(1)(1)321(0121)[12(1)]nn n i i i i i S n n n n n n n n n ξ==⎡⎤--=∆=++=⋅+++++-++++-⎢⎥⎣⎦∑∑L L232(1)1(1)(21)111133(1)(1)(1)2632n n n n n n n n n n---=+⋅+⋅=+-+--所以s ＝sn ＝ ＝.lim n →∞lim n →∞[3＋(1－1n )＋13(1－1n )(1－12n )]133所以，这段时间行驶的路程为 km.133（三）课后作业基础型 自主突破1．函数在区间上（ ）2()f x x =1[,]i in n-A ．的值变化很小()f x B ．的值变化很大()f x C ．的值不变化()f x D ．当很大时，的值变化很小n ()f x 答案：D解析：【知识点：定积分；】2．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( )A.[i －1n ，i n ]B.[n ＋i －1n ，n ＋i n ]C ．[i －1，i ]D.[i n ，i ＋1n]答案：B解析：【知识点：定积分；】在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间，[1，n ＋1n ][n ＋1n ，n ＋2n]，…，，…，，所以第i 个区间为(i ＝1,2，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n][2n －1n，2][n ＋i －1n ，n ＋i n]n )．3.若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：【知识点：定积分；】将区间[0，a ]n 等分，记第i 个区间为 (i ＝1,2，…，n )，此区间长为，[a (i －1)n ，ai n ]an用小矩形面积2· 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 2·＝·(12＋22(ai n )a n ∑n i ＝1(ai n )a n a 3n 3＋…＋n 2)＝近似地等于速度曲线v (t )＝t 2与直线t ＝0，t ＝a ，t 轴围成的曲a 33(1＋1n )(1＋12n)边梯形的面积．依题意得 ＝9，lim n →∞a 33(1＋1n )(1＋12n )∴＝9，解得a ＝3．a 334．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 作变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程；】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝，1nv (ξi )＝v (1＋)＝3(1＋)＋2＝(i －1)＋5.i －1n i －1n 3n∴s n ＝[(i －1)＋5]·＝{[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }·＝·＋5＝∑n i ＝13n 1n 3n 1n 3n 2n (n －1)232(1－)＋5.∴s ＝li s n ＝＋5＝6.5.1n m n →∞325．求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S .答案：43解析：【知识点：求曲边梯形的面积；】(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间(i ＝1,2，…，n )其长度Δx ＝，把[i －1n ，i n ]1n 曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ·Δx ＝(i －1n)·(i ＝1,2，…，n )．[1＋(i －1n )2]1n(3)求和：S i＝.n ∑i ＝1Δn∑i ＝11n[1＋(i －1n )2](4)取极限：S ＝li ·＝1＋li 2·＝1＋limn →∞n∑i ＝11n[1＋(i －1n)2]m n →∞n∑i ＝1(i －1n )1n m n →∞13＝1＋＝.(1－1n )(1－12n )13436．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v (t )＝2t (单位：m /s )，求该物体在出发后从t ＝1 s 到t ＝5 s 这4 s 内所经过的位移．答案：24m.解析：【知识点：变速直线运动的路程；】(1)分割：把时间段[1,5]分成n 等份，分点依次是：1，1＋，1＋， (1)4n 8n n －1n·4,5，每个小区间的长度Δx ＝.4n(2)近似代替：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移Δs i ≈Δs ′i ＝v ·＝·，其中i ＝1,2，…，n .(1＋4i n)4n(2＋8i n)4n(3)求和：所求的位移s ≈s n ＝s ′i＝＝8＋·＝8＋16·n ∑i ＝1Δ4n n∑i ＝1(2＋8in )32n 2n (n ＋1)2n ＋1n＝8＋16.(1＋1n )(4)取极限：当分割无限变细，即趋向于0(亦即n 趋向于＋∞)时，s n 趋向于所求位移4ns ，从而有s ＝li s n ＝li ＝8＋16＝24，m n →＋∞mn →＋∞[8＋16(1＋1n )]即所求物体经过的位移是24m .能力型 师生共研7．()·()]的含义可以是（ ）lim n →∞n∑i ＝1[15in5nA ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝围成的图形的面积5x答案：C解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为，各区间右端点对应函数值为y ＝，因此5n 15in()·()]可以表示由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．n∑i ＝1[15i n 5n 8．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________．答案：43解析：【知识点：曲边梯形的面积；】将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为，区间右端点函数值y ＝()2＋2·＝＋.1n i n i n i 2n 22in 作和(＋)]＝(＋)＝2＋＝×n (n ＋1)(2n ＋1)＋n∑i ＝1[i 2n 22i n 1nn∑i ＝1i 2n 32i n 21n 3n∑i ＝1i2n 2n∑i ＝1i 1n 316222(1)(1)(21)126n n n n n n n n ++++⋅=+，∴所求面积S ＝ ＝ (＋＋)＝.8n 2＋9n ＋16n 2lim n →∞8n 2＋9n ＋16n 2lim n →∞4332n 16n 2439．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式I n＝(ξi)Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么I n的大小( )n∑i ＝1f A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )、区间[a ，b ]和分点个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )、区间[a ，b ]和ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关D ．与f (x )、区间[a ，b ]、分点的个数n 、ξi 的取法都有关答案：D解析：【知识点：定积分】10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积.答案：83解析：【知识点：曲边梯形的面积；数学思想：以不变代变】令f (x )＝x 2.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝，x 2＝，…，x n －1＝，2n 4n 2(n －1)nx n ＝2.第i 个区间为[，](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝－＝.2i －2n2in2in2i －2n 2n(2)近似代替、求和，取ξi ＝(i ＝1,2，…，n )，S n ＝f ()·Δx ＝ ()2·2i n∑n i ＝12i n ∑n i ＝12i n＝i 2＝(12＋22＋…＋n 2)＝·＝(2＋＋)．2n 8n 3∑n i ＝18n 38n 3n (n ＋1)(2n ＋1)6433n 1n 2(3)取极限S ＝li S n ＝li (2＋＋)＝，即所求曲边梯形的面积为.m n →∞m n →∞433n 1n 28383探究型 多维突破11．设力F 作用在质点m 上使m 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F ＝x 2＋1且力的方向和x 轴正向相同，求F 对质点m 所作的功．.答案：342.解析：【知识点：定积分；】将区间[1,10]n 等分，则各小区间的长度为，在上取ξi ＝1＋i .9n[1＋9n (i －1)，1＋9ni ]9n∴F i ＝ξ＋1＝2＋1，∴Wi ＝F i ·＝2＋(i ＝1,2，…，n )．2i (1＋9ni )9n 9n(1＋9ni)9n∴W ＝li ＝li m n →∞n∑i ＝1[9n (1＋9n i )2＋9n ]m n →∞n∑i ＝19n (2＋18n i ＋81n 2i 2)＝li ＝li mn →∞n∑i ＝1(18n ＋162n 2i ＋729n 3i 2)m n →∞[18＋162n 2·n (n ＋1)2＋729n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6]＝18＋81＋243＝342.故F 对质点所作的功为342.自助餐1.求曲边梯形面积的四步曲中的第二步是( )A ．分割B ．近似代替C ．求和D ．取极限答案：B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】2.在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上近似值等于( )A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]D ．以上答案均正确答案：C解析：【知识点：定积分】3.和式 (x i －3)等于( )∑10 i ＝1A ．(x 1－3)＋(x 10－3)B ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－3C ．x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10－30D ．(x 1－3)(x 2－3)(x 3－3)·…·(x 10－3)答案：C解析：【知识点：和式的概念】 (x i －3)＝(x 1－3)＋(x 2－3)＋(x 3－3)＋…＋(x 10－3)＝(x 1＋x 2＋…＋x 10)－30.∑10 i ＝14.对于由函数y ＝x 3和直线x ＝1，y ＝0围成的曲边梯形，把区间[0,1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi 取值均为小区间的左端点)是( )A.19B.125C.127D.130答案：A解析：【知识点：求曲边梯形的面积】S ＝0×＋()3×＋()3×＝.1313132313195.一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．32答案：B解析：【知识点：变速直线运动的路程】6.在等分区间的情况下，f (x )＝(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的11＋x 2极限形式正确的是( )A ．li m n →∞n∑i ＝1[11＋(\f (i,n ))2·2n ]B ．li m n →∞n∑i ＝1[11＋(\f (2i,n ))2·2n ]C ．li m n →∞n ∑i ＝1[11＋i 2·1n]D ．li mn →∞n ∑i ＝1[11＋(\f (i,n ))2·n]答案:B解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝，第i 个小区间为(i ＝2n[2(i －1)n ，2in]1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为li.m n →∞n∑i ＝1[11＋(\f (2i,n ))2·2n ]7．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为________．答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为.2n8．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km /h )，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是_____________________．答案：见解析解析：【知识点：求曲边梯形的面积】围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2＋2.9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．答案：55解析：【知识点：变速直线运动的路程】把区间[0,10]10等分，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10.求由曲线y ＝x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等12分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________.答案：1.02解析：【知识点：求曲边梯形的面积】将区间5等分所得的小区间为，，，，，[1，65][65，75][75，85][85，95][95，2]于是所求平面图形的面积近似等于＝×＝1.02.110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)1102552511．汽车以v ＝(3t ＋2) m /s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．答案：6.5解析：【知识点：变速直线运动的路程】将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝，v (ξi )＝v ＝3＋2＝(i －1)＋5.1n(1＋i －1n)(1＋i －1n)3n∴s n ＝·＝·＝·＋5＝n∑i ＝1[3n (i －1)＋5]1n {3n[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }1n 3n 2n (n －1)232＋5.∴s ＝li s n ＝＋5＝6.5.(1－1n)m n →∞3212．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝x 2所围成的图形的面积．12答案：16解析：【知识点：求曲边梯形的面积】解：(1)分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，]，[，]，…，[，]，…，1n 1n 2n i －1n in[，1]．n －1n每个小区间的长度为Δx ＝.过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯1n形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替：在区间[，]上，用处的函数值()2作为高，以小区间的长i －1n i n i －1n 12i －1n度Δx ＝作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈(1n 12i －1n )2·.1n(3)求和：曲边梯形的面积为S n ＝S i ≈()2·＝[12＋22＋…＋(n －n∑i ＝1Δn∑i ＝112i －1n 1n 12n 31)2]＝·12n 3(n －1)n (2n ＋1)6＝(1－)(2＋)．1121n 1n(4)取极限：S ＝li S n ＝×1×2＝.m n →∞11216∴所围图形的面积为.16。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念及其在几何中的应用。
2. 学会计算曲边梯形的面积。
3. 能够运用曲边梯形的面积公式解决实际问题。
教学重点：1. 曲边梯形的概念及面积公式的理解。
2. 计算曲边梯形面积的方法。
教学难点：1. 理解曲边梯形面积公式的推导过程。
2. 应用面积公式解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 几何画图工具。
教学过程：第一章：曲边梯形的概念1.1 引入梯形的概念，让学生回顾梯形的特征。
1.2 引导学生思考梯形边界的变化，引入曲边梯形的概念。
1.3 通过PPT展示曲边梯形的图像，让学生观察其特征。
1.4 举例说明曲边梯形在现实生活中的应用。
第二章：曲边梯形的面积公式2.1 引导学生思考曲边梯形面积的计算方法。
2.2 利用几何画图工具，展示曲边梯形的面积计算过程。
2.3 推导出曲边梯形的面积公式。
2.4 通过PPT动画演示，让学生加深对面积公式的理解。
第三章：计算曲边梯形的面积3.1 给出一个曲边梯形，让学生应用面积公式进行计算。
3.2 引导学生思考如何确定曲边梯形的各个参数。
3.3 让学生自主计算曲边梯形的面积，并进行解答。
3.4 分析学生的解答，指出可能存在的问题。
第四章：曲边梯形面积公式的应用4.1 给出一个实际问题，让学生应用曲边梯形面积公式进行解决。
4.2 引导学生思考如何将实际问题转化为曲边梯形问题。
4.3 让学生自主解决实际问题，并进行解答。
4.4 分析学生的解答，指出可能存在的问题。
第五章：总结与拓展5.1 总结本节课的主要内容，让学生回顾所学知识点。
5.2 引导学生思考曲边梯形面积公式的局限性。
5.3 提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
5.4 布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过讲解、演示、练习等多种教学方法，让学生掌握曲边梯形的面积计算方法及其应用。
在教学过程中，注意引导学生思考，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
通过实际例子，让学生感受曲边梯形在现实生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
《曲边梯形的面积》教学教案1
曲边梯形的面积学习目标：1、了解定积分的某些实际背景，了解定积分的概念，明确定积分的几何意义2、以分割、以直代曲，作和、逼近的具体操作过程来探求曲边梯形的面积。
学习重点：求曲边梯形的面积学习难点：分割、以直代曲，作和、逼近的思想学习过程一、引入新课1 曲边梯形的面积我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。
但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。
如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。
建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，的断面面积。
该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义 a b a b （四个小矩形） （九个小矩形）时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了“割圆术”，以 “直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。
现在我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。
假设抛物线方程为 1],[0x ,x 1y 2∈-=将]1,0[ 等分成n 等份，抛物线下面部分分割成n 个小曲边梯形第i 个小曲边 梯形用宽为n 1，高为 2n i 1⎪⎭⎫ ⎝⎛- 的矩形代替，它的面积 n )2n(1i ΔS ⋅-≈ 所求的总面积-+≈-⋅=-=-→∑∑==22n n i 112n 3n 122S (1)1i 1n 232n 3i 1i 1n n 6n由此可知，分割越细，越接近面积准确值 6666.0 。
再看一个变力做功的问题。
设 质点 m 受力)(x F 的作用，沿直线由A 点运动到B 点，求变力)(x F 作的功F 虽然是变力，但在很短一段间隔内x ∆，F 的变化不大，可近似看作是常力作功问题。
1.5.1曲边梯形的面积 .doc
1.5.1曲边梯形的面积【教学目标】1、知识与技能目标：通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、过程与方法目标：通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重点】求一般曲面梯形面积的方法。
【教学难点】对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学准备】多媒体电脑、课件等。
【流程设计】P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。
问题二：户型图不完全是不规则的。
引导、揭示定义提出概念概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
熟悉定义准确地叙述定义引导探究问题三：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）由学生已有的知识，提出观点。
投影。
归纳学生的观点。
自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？（分割）提出自己的看法，同伴之间进行交流。
进行总结，分配任务。
同时用几何画板演示。
探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。
（近似代替）、（求和）写出面积求和式。
①巡视，给予指导，即时纠正学生中的运算错误。
②及时实物投影。
图4a b xyOy=f(x)【教学过程】1．引入：我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？--------------这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
相关概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2．新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
原创2：1.5.1 曲边梯形的面积
汽车行驶的路程
y
o
x
3
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的 问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路 程呢？
问题：汽车以速度 v t 组匀速直线运动时，经过时间 所行驶的路程为 S vt ．如
t v t 果汽车作变速直线运动，在时刻 的速度为 t 2 2（单位：km/h），
W1
，
W2
，…，
Wn
（2）近似代替
有条件知：
Wi
'
F
i
1
n
b
x
k
i
1
n
b
b n
(i 1 , 2 , n, )
14
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 F x kx
（ k 为常数， x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功
（3）求和
n
n
Wn Wi ' k
b x 数， 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长 所作的功
解： 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ，则所作的功为W F x ．
1．分割 在区间 0 , b 上等间隔地插入 n 1个点，将区间0 ,1等分成 n 个小区
间：
0
,
b n
，
b n
,
2b n
，…，
n
1
n
b
,
b
记第 i
个区间为 i
i
n
1
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义上看，即
使汽车在时间段
i
数学：1.5.1《曲边梯形的面积》教案（新人教A版选修2-2）
1．5.1 曲边梯形的面积 教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方式，成立微积分的概念的熟悉基础. 教学重点：了解定积分的大体思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号∑
教学进程：
温习引入 问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是如何求得的？
问题三：如图：阴影部份类似于一个梯形，但有一边是曲线y =f (x )的一段.咱们吧由直线x =a ，x =b
(a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 问题四：可否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？ 问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？如何减少误差？ 问题六：对每一个小曲边梯形如何“以直代曲” 问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？ 问题八：具体如何实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九： 样？作为近似值，情况又怎处的函数值吗？去任意个值也是的值吗？若能求出，这，用这种方法能求出处的函数值等于右端点上的值近似地，，在区间果认为函数在“近似代替”中，如)(],1[31)(),21](,1[
)(2i i f n i n i S n i f n i n i n i n i x x f ξξ-∈=-=
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方式是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？。
《1.5.1 曲边梯形的面积》教学案
《1.5.1曲边梯形的面积》教学案学习目标：通过探求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定积分概念的认知基础，为理解定积分概念和几何意义奠定基础。
学习重点：定积分的概念，体会如何把曲线围成区域的面积转化为矩形面积的和。
学习过程：一、复习与思考：1、我们会求哪些平面图形的面积？这些平面图形的主要特点是什么？2、圆的面积是如何计算的？二、引入新课我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算。
这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。
但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形，他们的面积怎么计算呢？三、情境创设微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
直线 几条线段连成的折线曲线xy o四、数学建构直线x =0、x =1、y =0及曲线y =x 2所围成的图形(曲边三角形)面积S 是多少？为了计算曲边三角形的面积S ，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”(即在很小范围内以直代曲)，有以下三种方案“以直代曲” 。
分割越细，面积的近似值就越精确。
当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积A 。
A ≈ A1+ A2 + ⋅ ⋅ ⋅ + A n下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程(1)分割把区间[0，1]等分成n 个小区间：11211[0,],[,],,[,],,[,],i i n n n n n n n n n--⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 11 i i x n n n-∆=-=每个区间的长度为 过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作12,,,,,.i n S S S S ∆∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅∆(2) 以直代曲2111()()i i i S f x n n n--∆≈∆= (3)作和[]12121122223-11-11 ()()1 [012(1)]nn ii n n i i S S S S S i i f n n n n n n====∆+∆+⋅⋅⋅+∆=∆≈==+++⋅⋅⋅+-∑∑∑(4)逼近2222330()111[012(1)](1)(21)61111(1)(2)631133x n n n n n n n n n S ∆→→+∞+++⋅⋅⋅+-=--=--→=当分割无限变细，即亦即时，所以，即所求曲边三角形的面积为。
1.5.1曲边梯形的面积
活动三：动态演示，加深理解
y y x2
y y x2
y y x2
y y x2
o
1x o
y
1x o
1x
o
1x
S Sn
o
n越来越大，分割越来越细
x
活动四：理性归纳 整合知识
y y x2
y y x2
y y x2
y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
S Sn
作业： 1.阅读并思考课本P48页 《曲边梯形的面积》 2.书面作业：P50页B.1
再见
——刘徽
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
靠近仔细看圆周的地砖是弧形的还是方形的？
活动二：提出问题，自主探究
1.下面我们先研究一个特殊情形：
由抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
方案2 方案4
方案4
如何使每种方案中得到的小曲边梯形的近似值差别很小？
我们还可以从数值上可以看 出这一变化趋势（请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
教学设计7： 1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.1 曲边梯形的面积教学目标1、通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景.理解求曲面梯形的一般步骤.2、通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法.3、体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.教学重难点教学重点：求一般曲面梯形面积的方法.教学难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解.教学过程（一）预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.（二）情景导入、展示目标教师：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题.但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形.而现实生活中更多的是不规则的平面图形.对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？通过实际问题引发学生思考，可结合问题：“在‘割圆术’中,是如何利用正多边形的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?”做进一步引导，并给出本节目标.（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.（2）引导探究问题：对于由y =x 2与x 轴及x =1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）（3）自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？ （分割） 探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子.（近似代替）、（求和）探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？ （取极限）探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？（夹逼原理的意义）由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流.老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评.（四）典例分析例1：求20,0,22≤≤=-=x y x x y 围成图形面积.解：（1）分割在区间[]0,2上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,2等分成n 个小区间：20,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，24,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()21,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()212,(1,2,,)i i i n nn -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为 ()2122i i x n n n-∆=-= 分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑. （2）近似代替∵22y x x =-，当n 很大，即x ∆很小时，在区间()212,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数22y x x =-的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点()21i n -处的函数值()()221212i i n n --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这样，在区间()212,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有 ()()221212i i i i S S x n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'⎢⎥∆≈∆=-∆ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2212122i i n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦① （3）求和由①，上图中阴影部分的面积n S 为()()211212122n n n i i i i i S S n n n ==⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'⎢⎥∆=∆=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ =111241n i i i n n n =--⎛⎫- ⎪⎝⎭∑=()()231811n i n i i n =⎡⎤---⎣⎦∑ =()()()22223880121121n n n n ++++--+++-⎡⎤⎣⎦ =()()()2311218826n n n n n n n ---- 从而得到S 的近似值 ()()()2311218826n n n n n n S S n n ---≈=- （4）取极限 ()()()2311121884lim lim 263nn n n i n n n n n S S n n →∞→∞=---⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦∑（五）课堂总结思考：1、对于一般曲边梯形，如何求面积？答：用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？答：第一步：分割；第二步：近似替代：第三步：求和；第四步：取极限.作业布置发导学案、布置预习.。
高中数学新人教版A版精品教案《1.5.1 曲边梯形的面积》
1.5.1曲边梯形的面积一、教学目标1、理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”；2、经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想；3、通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。
二、学情分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生学习过通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积；二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论；三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值。
三、教学重、难点重点：探究求曲边梯形面积的方法。
难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入，明确主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼本质”四个阶段．（一）问题引入，明确主题1.贴近生活引入农田，求抽象出的不规则图形面积来激发学生兴趣，让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形的区别是什么？2.让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转化成我们熟悉的直边图形面积问题？（二）类比探究，形成方法这一阶段的主要问题是如何获得解决曲边梯形面积问题的思想以及把思想转化为可操作的方法。
为了使学生不偏离本节课主要任务，这一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积(教案)第一章：引言1.1 课程背景本节课我们将学习一种新的几何形状——曲边梯形，并了解其面积的计算方法。
曲边梯形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、土木工程等领域。
通过学习本节课，学生将能够掌握曲边梯形面积的求解方法，提高解决实际问题的能力。
1.2 教学目标1. 理解曲边梯形的定义及其特点；2. 掌握曲边梯形面积的计算方法；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
第二章：曲边梯形的定义及特点2.1 曲边梯形的定义曲边梯形是一种四边形，其中两边为直线，两边为曲线。
曲边梯形的特点是两边平行，而两边则不平行。
2.2 曲边梯形的特点1. 两边平行；2. 两边不平行；3. 对角线相交于一点。
第三章：曲边梯形面积的计算方法3.1 分割法将曲边梯形分割成无数个小的曲边三角形，近似认为这些小三角形都是直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到曲边梯形的面积。
3.2 积分法利用积分公式计算曲边梯形的面积。
将曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到曲边梯形的面积。
第四章：实例讲解4.1 实例一：直角曲边梯形已知直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用分割法，将直角曲边梯形分割成无数个小的直角三角形。
计算每个小三角形的面积，将所有小三角形的面积相加得到直角曲边梯形的面积。
4.2 实例二：非直角曲边梯形已知非直角曲边梯形的上底为a，下底为b，高为h，求其面积。
解：利用积分法，将非直角曲边梯形的曲线部分看作是积分函数，将曲线与x 轴之间的区域作为积分的区间，计算该区间内的积分值，即可得到非直角曲边梯形的面积。
第五章：课堂练习5.1 练习一已知直角曲边梯形的上底为2cm，下底为6cm，高为5cm，求其面积。
5.2 练习二已知非直角曲边梯形的上底为3cm，下底为9cm，高为8cm，求其面积。
第六章：巩固练习6.1 题目一给出一个曲边梯形，其上底长为5cm，下底长为10cm，高为8cm。
1.5定积分的概念第1课时优秀教学设计
引导学生认识到平面图形分成“直边 图形”和“曲边图形”两大类；并指出扇 形和环形的面积都可以利用圆形的面积来 计算
（1）类比计算圆的面积的方法，能否将 引导学生思考、讨论，得出结论：直接对
求曲边梯形面积 S 的问题转化为求“直边图形” 整个曲边梯形进行“以直代曲”误差太大。
的面积问题？
为了减少近似代替的误差，需要先分割再
六、 小 结
求曲边梯形的面积的思想方法是什么？具体
帮助学生归纳知识要点及这节课所要
步骤是什么？最终形式是什么？
学习的数学思想方法。
因此
f i 作为近似值，是否也可以求出曲边梯形
的面积？
n 1 f
i1 n
xi1
n i 1
1 n
f
i
n i 1
1 n
f
xi
lim 所以
S
n ba f n n i1
i
五、 练
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线 y x2 所围
习 成的曲边梯形的面积。
学以致用，巩固所学知识点
形面积的步骤。 【教学难点】：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。 【课前准备】：powerponit 【教学过程设计】：
教学 环节
一、 复 习
教学活动
设计意图
1.请梳理一下，你已经会求哪些平面图形 的面积？这些平面图形的主要特点是什么？
2.圆的面积是如何计算的？（总结出“以 直代曲”、“逼近”的思想方法）
学生类比前面用不足近似值求曲边梯 形面积的过程，进行思考、讨论和演算， 用过剩近似值得到曲边梯形的面积。
种方法能求出 S 的值吗？若能求出，这个值也
是 1 吗？
四、
3
曲边梯形的面积教学设计
§1。
5。
1 曲边梯形的面积教学设计一.教学目标：1.知识与技能（1）知道曲边梯形的概念，通过实例了解求曲边梯形面积的过程，初步感受“以直代曲”与逐步逼近的数学思想方法，为今后学习定积分的概念做准备.（2）理解求曲边梯形面积的具体步骤及作法：（a ）分割：区间的等宽分割与各小区间的表示；（b ）以直代曲：求以各小区间的长为宽，小区间左端点的函数值为长的各小矩形面积； （c ）近似代替的求和：所有小矩形面积的和为所求曲边梯形面积的近似值；（d ）取极限：当分割得越细，这个近似值就越接近精确值。
求它的极限得曲边梯形的面积.（3）培养学生分析与综合、抽象与概括的能力，以及进行复杂运算的能力.2.过程与方法让学生经历求曲边梯形面积的全过程，逐步深入地理解“以直代曲”与逐步逼近的思想.3.情态与价值使学生经历解决问题的全过程，感受成功的乐趣，提高学生刻苦钻研数学问题的积极性.二.教学重点、难点重点：（1）理解定积分的“以直代曲”与“逐步逼近”的数学思想；（2）理解“四步曲”的步骤.难点：定积分的以直代曲与逐步逼近基本思想的形成.三.学法与教学用具1.学法：学生通过典型案例的探究过程，逐步体会定积分的基本思想.2.教学用具：多媒体或投影仪，三角板.四.教学思路（一）创设情景，揭示课题1.先出示一个曲边梯形的图形，如图1.5-2.师：我们求过很多平面图形的面积，现在大家看一看，你会求这个图形的面积吗？【设计意图：通过观察、比较，然后引出曲边梯形的概念】2.师：为什么？这里的图形是由直线x=1,y=0，x 轴与抛物线2y x 所围成的特殊的平面图形，不能直接套用公式来解决。
3.师：请大家再想一想，能用什么方法来解决吗？教师点拨：我们考虑用简单的图形来估计它的面积.用什么图形好呢？由于矩形面积=长×宽，最简单，故用矩形的面积. 【师生互动，老师适时提出问题，启发学生】师：（如图1）用一个矩形的面积估计行吗？为什么？（误差太大了。
优秀说课稿——曲边梯形的面积
（人教A版）高中数学课程标准实验教科书数学（选修2-2）第一章第五节《1.5.1 曲边梯形的面积》说课稿一、【教材地位、作用分析】：《曲边梯形的面积》选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2第一章第五节第一课时的内容。
教材借助于求曲边梯形的面积这一直观具体的实例来引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了抛砖引玉的铺垫作用。
同时也为今后大学进一步学习微积分打下基础。
求曲边梯形面积的过程中蕴涵、渗透定积分的基本思想方法，贯穿于整个定积分学习的始终。
作为定积分的前奏曲，《曲边梯形的面积》是定积分概念的引例和重要铺垫材料，故本节课显得至关重要。
二、【教学重点、难点分析】：重点：直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取极限）。
难点：“以直代曲”、“无限逼近” 思想的形成过程及理解。
三、【教学目标分析】：1、知识与技能目标：（1）从问题情境中了解定积分概念的实际背景；（2）初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”。
2、过程与方法目标：（1）经历求曲边梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”、及“无限逼近”的思想；（2）体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。
3、情感、态度与价值观目标：（1）认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；（2）感受数学的简单、简洁之美。
四、【教学设计分析】：创设情境引入新课问题一：我们在小学、初中主要学习求规则的平面图形面积的问题。
但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如海南省的国土面积？问题二：该户型图有些边是曲线，有些边是直线，又如何测量该房屋的面积？引导学生认识到平面图形分成“直边图形”和“曲边图形”。
引导、引出曲边梯形的定义。
带着问题走进课堂，诱发学生的好奇心，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
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1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。
（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程一、问题情境—生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：图形一：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片二：图形二：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片三：图形三：【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？【设计意图】1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。
2.学生通过分割和补足的方法求解直边图形，回顾“割补思想”，为接下来探究如何对曲边梯形以直代曲做铺垫。
3.对比“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别，为学生准确理解曲边梯形的概念做铺垫。
4.通过设立问题引发学生思考，从而引出本节课题。
二、概念辨析—“连续函数”与“曲边梯形”的概念【学生活动】翻开课本38页，仔细研读书中“连续函数”与“曲边梯形”的概念。
【设计意图】让学生回归课本进行自主学习，并发现概念中的关键内容。
三、知识回顾—割圆术【讲授】割圆术是由魏晋时期的数学家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法。
【教师提问】1.你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法？2.将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，能否应用到求曲边梯形的面积中？【解答】割圆术求圆面积的思想方法：1.将圆等分成n个小扇形。
2.用小三角形面积近似代替小扇形面积。
3.求小三角形面积之和。
4.随着n的增大，小三角形面积之和不断逼近圆面积。
将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼1.分割2.近似代替3.求和4.取极限【设计意图】回顾割圆术中正多边形逼近圆的方法，引发学生思考：这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形逼近曲边梯形的方法，求曲边梯形的面积。
同时，通过在提炼思想方法的过程中，培养学生分析、归纳的习惯。
四、特例探究—类比割圆术的思想方法，求特殊的曲边梯形的面积【思考】如何求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S？（一）分割【自主探究】思考：应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”？【学生活动】1.分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】方案一：方案二：【教师提问】选取方案一进行探究。
1.如何将大曲边梯形等分成n个小曲边梯形？2.将区间[0,1]等分成n个小区间，这n个小区间分别是什么？3.单独研究第i个小区间，则第i个小区间是什么？【解答】1.在区间[0，1]上等间隔地插入n-1个点，过这些点做x轴的垂线。
2.将区间[0,1]等分成n个小区间，这n个小区间分别是：3.单独研究第i个小区间，则第i个小区间是：【设计意图】学生通过类比割圆术中“将圆等分成n个小扇形”这一步骤，经历分割曲边梯形的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究。
在探究的过程中，充分带动学生的自主学习意识，并加强学生对“四步曲”中“分割”的理解和认识。
培养学生学习数学的兴趣以及团队协作的精神。
（二）近似代替【自主探究】思考：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？（单独研究第i个小曲边梯形）【学生活动】1.分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】方案一：方案二：方案三：方案四：【思考】选取方案二进行探究。
怎样求出小矩形的面积？【解答】第i个区间的长度为：第i 个小矩形的高为：（即区间左端点的函数值）第i 个小矩形的面积为：【设计意图】学生通过类比割圆术中“用小三角形面积近似代替小扇形面积”这一步骤，经历将第i 个小曲边梯形“以直代曲”的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究，并引导学生带着疑问进入下面的学习。
在探究的过程中，培养学生善于思考的习惯，以及自我创新的能力。
（三）求和【共同探究】思考：怎样求出n 个小矩形的面积之和？【师生互动】引导学生分析如何求出n 个小矩形的面积之和，共同探求解题思路。
具体求解过程由学生参与，师生共同补充。
【提示】给出公式：222(1)(21)12(1)6n n n n --+++-=【讲授】此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。
【解答】小矩形面积之和为：【设计意图】学生通过类比割圆术中“求小三角形面积之和”这一步骤，经历“求和”的过程，加深学生对Σ符号的理解，同时，让学生更好地掌握求和类型题目的解法，提高学生的计算能力以及数学的逻辑思维能力。
【几何画板展示】观察当n取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？【思考】为了更加准确地求出大曲边梯形的面积，n应该取何值？【设计意图】通过几何画板的演示，更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想，并为第四步“取极限”做出铺垫。
（四）取极限【思考】n趋向于无穷大时，曲边梯形的面积S等于多少？【师生互动】引导学生回顾极限的运算，共同计算出曲边梯形的面积S的值。
【解答】取极限得到曲边梯形的面积为：【设计意图】通过经历“取极限”的过程，进一步加强学生对极限运算的认识。
五、类比探究—类比“不足近似值”与“过剩近似值”【思考】选取方案三进行探究。
怎样求出小矩形的面积？【师生互动】类比方案二中的求解过程，发现求解小矩形的面积时的异同，引导学生正确计算小矩形的面积。
【解答】第i个区间的长度为：第i个小矩形的高为：（即区间右端点的函数值）第i个小矩形的面积为：【设计意图】通过方案二和方案三的对比，进一步加强学生对“割补思想”“以直代曲”思想的理解和认识，并使学生逐步掌握运算技巧。
【思考】怎样求出n 个小矩形的面积之和？【提示】给出公式：222(1)(21)126n n n n +++++=【师生互动】引导学生通过类比“不足近似值”的求法，体验“过剩近似值”的求解过程。
【解答】小矩形面积之和为：【设计意图】通过类比方案二中的求解过程，学生能很快掌握相应解法，培养学生的解题能力，同时巩固本节所学知识。
这样安排，有利于学生循序渐进从多种角度去考虑曲边梯形的面积的求法，激发学生创新能力的同时，培养学生善于思考的习惯。
【几何画板展示】观察当n 取不同值时，小矩形面积之和与大曲边梯形面积存在怎样的关系？【思考】为了更加准确地求出大曲边梯形的面积，n应该取何值？【解答】取极限得到曲边梯形的面积为：【设计意图】通过几何画板的演示，更加直观地让学生感受到“无限逼近”的思想，并与之前的案例进行对比。
【Excel展示】【设计意图】利用Excel表格进行计算，让学生更直观得观察当n趋近于无穷大时，S的不足近似值与过剩近似值最终都会趋近于13。
同时，验证了之前的结论。
六、能力提升【思考】取f(x)=x²在区间1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意一点ξi处的函数值f(ξi)作为近似值，求出的S也是13吗？【师生互动】引导学生回答，教师补充完善，并用多媒体进行适当展示。
【设计意图】让学生体会，无论用哪个近似值进行近似代替，借助极限运算都可以得到曲边梯形的面积。
同时，更直观地感受到从特殊到一般的过程。
七、课堂小结【思考】在今天的课程中，你学到了什么呢？【师生互动】让学生回顾总结本节所学知识，师生共同补充、纠正。
【设计意图】让学生养成善于总结的好习惯，并对本节的知识研究线索有一个全面的认识，同时反馈学生对本节课重点内容的把握情况。
八、课后作业1. 求由直线x=0,x=2,y=0和曲线y=x²所围成的曲边梯形的面积S？2.思考：“问题情景”中第三幅图的面积怎样求解？【设计意图】让学生体会通过对特例的探究，掌握到了一般的数学方法。
同时，巩固知识，发现教学中的不足。
数学与实际相结合，培养学生自觉学习的习惯和探索精神，提高综合运用数学知识的能力。
九、板书设计。