2-3几种特殊结构的矩阵

T T T
⇐
那么AB = BA
T （AB） = BT AT = − BA，而AB = BA T 则（AB） = − AB
所以AB是反对称矩阵
例11 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵 与反对称阵之和. 与反对称阵之和 证明
T
设C = A + A
T T
T
则C = ( A + A
设B = A − A ,
例如 0 2 1 -2 0 -1 是一个三阶反对称矩阵 A= -1 1 0
中南财经政法大学信息学院信息系
14
性质（ ） 对称矩阵A与 的和 的和(差 也是反对称矩阵 性质（1）反对称矩阵 与B的和 差)也是反对称矩阵
证明 因为A = − A， = − B，所以 B
,a D=diag( a1,a 2,L nn) 1 2
a1 1 详细写出就是 O a2 2 da (a1,a 2,L nn) = ig 1 2 ,a O O an n
这里当然允许对角元等于零. 这里当然允许对角元等于零
中南财经政法大学信息学院信息系 2
T T
（A + B） = A + B = − A − B = − A + B） （
T T T
即A + B是反对称阵
（2）数k与反对称矩阵 的乘积 仍为反对称矩阵 与反对称矩阵A的乘积 仍为反对称矩阵. ） 与反对称矩阵 的乘积kA仍为反对称矩阵
证明 由A = − A， 则（kA） = kA = （ − A） −kA k =
1 3 1 3 − 7 0 − − B= A = , , − − A =− B 2 − 3 2 1 2 7
中南财经政法大学信息学院信息系
12
如果n阶矩阵 满足A 阶矩阵A满足 定义 如果 阶矩阵 满足 T =-A ，即
T T T
即A + B是对称阵
与对称矩阵A的乘积 仍为对称矩阵. （2）数k与对称矩阵 的乘积 仍为对称矩阵 ） 与对称矩阵 的乘积kA仍为对称矩阵
T 证明 因为AT = A， 所以（kA） = kAT = kA
即kA是对称阵
中南财经政法大学信息学院信息系 11
注意 两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵. 两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵 如
中南财经政法大学信息学院信息系
3
a1 0 b1 0 设 A= O O B= an bn 0 0 a1b1 0 则AB = BA = O anbn 0
中南财经政法大学信息学院信息系 4
二、数量矩阵 数量矩阵 定义3.9 如果 阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等 阶对角矩阵所有主对角线元素都相等， 定义 则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵 或标量矩阵(scalar matrix). 则称此矩阵为 阶数量矩阵 或标量矩阵 a 设数量矩阵 a O An= n × O O a 1 当a=1时, 时 对角元全为 1 的对 1 O 角阵称为单位矩阵 角阵称为单位矩阵. E = n O O 1
12 6 1 例如 A = 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6
说明 对称阵的元素关于主对角线对称
中南财经政法大学信息学院信息系
10
性质（ ）对称矩阵A与 的和也是对称矩阵 性质（1）对称矩阵 与B的和也是对称矩阵
证明 因为AT = A， T = B，所以 B （A + B） = A + B = A + B
§2.3 几种特殊结构的矩阵
一、对角矩阵 对角矩阵 定义3.8 所有非主对角线元素全等于零的 阶矩阵称为 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 定义 对角矩阵(diagonal matrix). 对角矩阵
1 0 0 0 0 0 0 9百度文库0 0 0 9 0 0 0 9
中南财经政法大学信息学院信息系
8
练习1
在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、 数量阵、单位阵：
1 0 0 5 2 A = B=2 3 0 , , 0 4 0 4 1 1 0 0 0 3 0 0 C=0 1 0 0 , D 0 3 0 . = 0 0 1 0 0 0 3
aij = −a ji ( i , j = 1, 2,L n)
则称矩阵A为反对称矩阵 则称矩阵 为反对称矩阵.
1 0 0 − 0 0 3 例 B= ： 1 − 3 0 2 4 5 − − − 2 4 5 0
中南财经政法大学信息学院信息系
13
而对主对角线上的元素aii = −aii (i = 1, 2,L n) 所以aii = 0(i = 1, 2,L n) 即反对称矩阵的主对角线上的元素都为零
T
)=A
T
+ A = C,
T T
所以C为对称矩阵 所以 为对称矩阵. 为对称矩阵
则B = ( A − A
T
)
= AT − A = − B ,
所以B为反对称矩阵 所以 为反对称矩阵. 为反对称矩阵
A + AT A − AT C B A= + = + , 2 2 2 2
中南财经政法大学信息学院信息系
命题得证. 命题得证
T T T
即kA是反对称阵
中南财经政法大学信息学院信息系
15
注意:两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是 注意 两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是 反对称矩阵.如 反对称矩阵 如
0 1 A = , 1 − 0
0 2 B= , 2 − 0 2 0 − A = B . 2 0 −
是一个四阶对角矩阵。 是一个四阶对角矩阵。
a1 1 O a2 2 n阶对角矩阵常记为 阶对角矩阵常记为 O O an n
中南财经政法大学信息学院信息系

1
显然,由主对角元就足以确定对角阵本身 故对角阵常 显然 由主对角元就足以确定对角阵本身,故对角阵常 由主对角元就足以确定对角阵本身 简记为
an a1 a2L1 1 1 an 0 a2L2 2 A = LLL LL 0 0L an n b1 0 1 0 L b1 2 0 2 b2 L B= LLL LL b1 b2 L n b n n n
性质
(1)两个同阶对角矩阵的和 或)差仍为对角矩阵 两个同阶对角矩阵的和(或 差仍为对角矩阵 两个同阶对角矩阵的和
(2)数k与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 数 与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 (3)两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵 并且 两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵,并且 两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵 他们是可交换的
返回
中南财经政法大学信息学院信息系 5
显然，A = aEn .当a = 1时，A就是单位矩阵，并且 对任一矩阵B m×n , 有
B aEn ) = a ( BEn ) = aB, （ (aEm ) B = a ( Em B) = aB.
用数量矩阵aE左乘或右乘矩阵Bm×n , 相当于 用数a乘矩阵B
练习2 根据所讨论的特殊形式的矩阵的概念， 指出其有从属关系者.
返回
中南财经政法大学信息学院信息系 9
四、对称矩阵和反对称矩阵 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A = AT，即
定义
a ij = a ji (i , j = 1 ,2 ,L , n )
称为对称阵 对称阵. 那么 A 称为对称阵
对角矩阵既是上三 角阵又是下三角阵. 角阵又是下三角阵.
中南财经政法大学信息学院信息系 7
A为n阶上三角矩阵；B为 为 阶上三角矩阵 阶上三角矩阵； 为 n阶下三角矩阵 阶下三角矩阵. 阶下三角矩阵
如果A,B是同阶的上(下)三角形矩阵,则 A+B, AB仍是上(下)三角形矩阵 数k与A的乘积kA仍是上(下)三角形矩阵
18
练习1
1 1 2 − 试 矩 A= 3 0 1 将阵 − 2 3 2 表成称阵反称阵和 式对矩与对矩之.
答: 案 1 1 A (A A )+ (A A ) = + T − T. 2 2
中南财经政法大学信息学院信息系
19
中南财经政法大学信息学院信息系
16
例10 设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵。证明： AB是反对称矩阵的充分必要条件是AB = BA
证明 已知A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，
⇒
则AT = A，BT = − B
T 因为AB是反对称矩阵，所以（AB） = − AB
而（AB） = B A = − BA
中南财经政法大学信息学院信息系
6
三、三角形矩阵 定义3.10 如果 阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零 阶矩阵主对角线下方的元素都等于零， 定义 则称此矩阵为上三角矩阵 上三角矩阵. 则称此矩阵为上三角矩阵 如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零 阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 如果 阶矩阵主对角线上方的元素都等于零， 则称此矩阵为下三角矩阵 下三角矩阵. 则称此矩阵为下三角矩阵