插值与基函数(上)-文档资料
第二章 插值
注： 通常不能确定 , 而是估计 f ( n1) ( x ) M n1 ,
M n 1 n x(a,b)，将 | x xi | 作为误差估计上限。 ( n 1)! i 0
通常取
M n 1 max | f ( n 1) ( x ) |
a x b
( x) 0 , 当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式 时，f 可知 Rn ( x ) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的。
Rn ( x) 也称为Lagrange插值多项式的插值余项。
当n = 1时，线性插值的余项
f ( ) R1 ( x) ( x x0 )( x x1 ), ( x0 , x1 ) 2
当n = 2时，抛物插值的余项
f ( ) R2 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ), ( x0 , x2 ) 6
插值函数的类型有很多种,最常用的插值函数 是 代数多项式。
用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值，即选取次 数不超过n的多项式 Pn(x) ，使得 Pn (xj) = yj (j = 0, 1,…, n)
(2.1.2)
代 数 插 值
一、插值多项式的存在唯一性？ 二、插值多项式的常用构造方法？
L* ( x ) n
x n1
图2.1 前后两组插值节点的划分
x x0 ( Ln ( x) L* ( x)) 插值余项可表示成 Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n x0 xn 1
例：已知 sin 1 , sin 1 , sin 3
第6讲(1)插值
8
其中 Ai 为待定系数，利用li ( xi ) = 1可解得：
Ai = ( xi − x0 )
1 ( xi − xi−1 )( xi − xi+1 )
(xi − xn )
从而
∏ li ( x) =
j≠i
x − xj xi − x j
基本插值函数 (插值基函数)
9
2-2 Lagrange 插值多项式
数类，插值函数 P( x) 满足 P( xi ) = yi (i = 0, , n) ， 即
a0ϕ0 ( xi ) + a1ϕ1 ( xi ) + + anϕn ( xi ) = yi , i = 0, , n
6
若插值基函数{ϕ
i
(
x
)}n i=
0
线性无关，则上述方程组
有唯一的解{ai
}n i=
0
(3)
P(xk ) = I1,
,n ( xk
)
xk x1
− xn+1 − xn+1
+
I2,
,n+1 ( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f
( xk
)
xk x1
− −
xn +1 xn +1
+
f
( xk
)
xk − x1 xn+1 − x1
=
f (xk )
(2 ≤ k ≤ n)
23
注 由上述性质可知， P(x) 是 f (x) 的关于节点 x1, , xn+1的 n 次插值多项式. 它实质上是对两个 n −1次的插值多项式，再经过线性插值求出的.
函数插值
第六章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x ≠的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)( ==（6.2）作为f (x )的近似。
因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。
我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。
这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。
插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)( ==得到如下线性代数方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋅=+++⋅=+++⋅n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j j innnnnnx xx x x x x x x x x D 0212110200)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ≠，;,2,1n i = n j ,2,1=时，D ≠ 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。
数值分析第三章插值法
插值误差举例
f ( 3) ( ) 抛物线插值：R2 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3!
x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, (0.4, 0.6)
f ( 3) ( ) 2 3 31.25
31.25 R2 (0.54) (0.54 0.4)(0.54 0.5)(0.54 0.6) 3! 0.00175 R1 (0.54) 0.048
ln 0.54 的精确值为：-0.616186···
可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange插值多项式简单方便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
11
Lagrange插值
lk(x) 的表达式
由构造法可得
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
( n1) ( t ) 在 (a, b) 内至少有一个零点，设 以此类推，可知 为 x ，即 ( n1) ( x ) 0 ，x (a, b)。
( n 1) 又 ( n1) ( t ) Rn ( t ) K ( x )[( t x0 )( t x1 ) ( t xn )]( n1)
17
Lagrange基函数性质
Lagrange 基函数的两个重要性质
当 f(x) 为一个次数 n 的多项式时，有 f ( n1) ( x ) 0 故
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x) 0
即 n 次插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的
第2章插值法
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
（2.9）
x
其中 n1(x) n (x xi ) , (a,且b)依赖于 。
证明 点都是
由插i值0 条件
知
的零点，故可设Pn(xi)f(xi)
Rn (xi ) 0(i 0,，1,即插, n值) 节
当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望 根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造
某个简单函数P(x)作为 的近似。
插值法是解决此类问题的一种比较古老的、
然而却是目前常用f 的x方法，它不仅直接广泛地
应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一 步学习数值计算方法的基础。
4
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（图2-3
例1 已知
分别用线性插值和抛物插值
求
的1值0 。1 0,012 11,1 14 1 42
115
15
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解 因为115在100和121之间，故取节点x0=100，x1=121相应地有 y0=10，y1=11，于是，由线性插值公式（2.5）可得
L1
(
x)
17
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输入xi,yi,n,x
j=0,1,```,n
P=1
y=0
k=0,1,```,n
k=j?
否 P=P*(x-xj)(xk-xj)
是
输出x,y
图2-4
y=y+P*yk
18
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lk (x)
为线性插值基函数
xk 1)( x xk ) xk 1 )( xk 1 xk
)
.
二次插值基函数 lk，1(x)，lk (x)在l区k1间(x) 图形见图2-4.
上的[xk1, xk1]
13
图2-4
14
利用 lk，1(x)，lk (x)，lk1(x) 立即得到二次插值多项式
L2 (x) yk1lk1(x) yklk (x) yk1lk1(x)
1
(
x)
（2.14）
这里 (a且, b依) 赖于 ， x 是n（1(2x.)10）所定义的.
23
证由明给定条件知 在R节n(点x)
xk (k 0,1,, n)
上为零，即 Rn (xk ) 0 (k ，0,1,, n) 于是
Rn (x) K(x)(x x0 )(x x1)(x xn ) K(x)n1(x) （2.15）
第2章 插值法
1
2.1 引 言
设函数 y 在f区(x间) 上有[a定,b]义，且已知在点 a x0 x1 xn b上的值 y0 , y1,，, yn 若存在一简单 函数 P(，x) 使
P(xi ) yi (i 0,1,, n),
（1.1）
成立，就称 P(为x) f的(x插) 值函数，点 x0,称x1为,插, xn
值节点，包含节点的区间 [a,称b] 为插值区间，求插值函数 P(x) 的方法称为插值法.
2
若 P是(x次) 数不超过 的代n数多项式， 即
P(x) a0 a1x an xn
其中 a为i 实数，就称 P为(x插) 值多项式， 相应的插值法称为多项式插值.
若 P为(x分)段的多项式，就称为分段插值. 若 P为(x三)角多项式 ，就称为三角插值.
数值计算方法插值法资料
一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P1(x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)
x xk1 xk xk 1
, lk1(x)
l
0 ( x)
x 20 10 20
1 10
(x
20)，l1 ( x)
x 10 20 10
1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)
y0l0 (x)
y1l1 ( x)
1 10
(x
20)
1.3010 10
(x
10)
故P1
(12)
1 10
(12
20)
1.3010 10
(12
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
数值计算方法第四章插值1
代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关
总结第4章插值
差商的定义
定义f(x)在x0,x1,..,xk的k阶差商（均差） 在 阶差商（ 定义 阶差商 均差）
f [ x0 , x1 ,⋯ , xk −1 ] − f [ x1 , x2 ,⋯ , xk ] f [ x0 , x1 ,⋯ , xk ] = x0 − xk
Newton插值公式 插值公式
由差商定义,有 由差商定义 有 f(x)= f[x0]+(x-x0)f[x,x0] f[x,x0]= f[x0,x1]+(x-x1)f[x,x0,x1] f[x,x0,x1]= f[x0,x1,x2]+(x-x2)f[x,x0,x1,x2] ……….. f[x,x0,…xn-1]= f[x0,…,xn]+(x-xn)f[x,x0,….,xn]
i
l0(x)
l1(x)
Lagrange插值 Lagrange插值
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + a n x 使得
Pn ( xi ) = yi , i = 0,1,⋯ , n
l j ( x) =
n
( x − x0 )( x − x1 )⋯ ( x − x j −1 )( x − x j +1 )⋯ ( x − xn ) ( x j − x0 )( x j − x1 )⋯ ( x j − x j −1 )( x j − x j +1 )⋯ (x j − xn ) x − xi
记 Nn(x)= f(x0)+(x-x0) f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1) f[x0,x1,x2] +…+(x-x0)…(x-xn-1) f[x0,…,xn] (6)
Rn(x)= (x-x0)…(x-xn) f[x,x0,…,xn]= f[x,x0,…,xn]wn+1(x) (7)
Ch2 插值法(1)
(t)有 n+2 个不同的根 x0 …
注意这里是对 t 求导
f (n
1)
xn x
( n1) ( x ) = 0, x (a , b)
( x ) - L(nn
||
1)
( ( x ) - K ( x )( n 1) ! = Rnn 1 ) ( x ) - K ( x ) ( n 1) ! 1)
| R2 ( x) | M3 | ( x - x0 )( x - x1 )( x - x2 ) |, 6 M 3 = - cos(x0 ) 1,
1 | R2 (0.3367 ) | 1 0.0167 0.0033 0.0233 0.215 10 -6. 6
§2.3 牛顿插值
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xi)=1, li(xj)=0, i≠j ； 然后令 Pn ( x ) = l i ( x ) yi ，则显然有Pn(xi) = yi 。
i=0 n
li(x)
每个 li 有 n 个根 x0 … xi … xn
li ( x) = Ci ( x - x0 )...(x - xi )...(x - xn ) = Ci ( x - x j )
i =0 n
多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
§2.2 Lagrange Polynomial
插值余项 /* Remainder */
设节点 a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C [a, b] , f ( n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差 R ( x ) = f ( x ) - L ( x ) n n
注： 小的区间上插值有利于减少误差； 依靠增多插值节点不一定能减少误差； 多项式插值，外推误差可能要比内插误差大。
【插值】插值方法原理详解
【插值】插值⽅法原理详解插值问题详解注明出处：1.我在具体的应⽤（如数学建模竞赛）中，常常需要根据已知的函数点进⾏数据、模型的处理和分析，⽽通常情况下现有的数据是极少的，不⾜以⽀撑分析的进⾏，这时就需要使⽤⼀些数学的⽅法，“模拟产⽣”⼀些新的但⼜⽐较靠谱的值来满⾜需求。
⼀般来说，我可以去调⽤MATLAB或者Python的⼀些库函数来实现，这个功能就是“插值”。
然⽽这有个⾮常让我苦恼的问题，我可以从⼿册上知道这个函数实现“三次多项式插值”，那个函数实现“样条插值”.......但究竟在什么情况下使⽤何种插值⽅法呢？若不对插值⽅法做深⼊的学习，这个疑团恐难以解开。
于是，在这个原因驱动之下，我决定对常见、常⽤的插值⽅法⽐较深⼊的学习⼀下。
我希望读者也是基于这个原因来读这篇⽂章，希望我的总结能对你有所帮助。
2. 插值简单讲，插值就是根据已知数据点（条件），来预测未知数据点值得⽅法。
具体来说，假如你有n个已知条件，就可以求⼀个n-1次的插值函数P（x），使得P（x）接近未知原函数f（x），并由插值函数预测出你需要的未知点值。
⽽⼜n个条件求n-1次P（x）的过程，实际上就是求n元⼀次线性⽅程组。
代数插值代数插值就是多项式插值，即所求插值函数为多项式函数：显然，系数a0.....an为所求。
如果已知n+1个条件，需要n+1个⽅程组如下：这时，便可以⽤待定系数求解。
⼀、泰勒插值⾸先需要回顾泰勒多项式：因⽽，泰勒插值的条件就是已知0-n阶的导数：余项：满⾜n阶可导这个条件实在是太苛刻，导致实际上泰勒插值并不常⽤，下⾯介绍拉格朗⽇插值与⽜顿插值，这两种⽅法在本质上是相同的。
⼆、拉格朗⽇插值上⾯引论中提到，⼀般来说多项式插值就是求n-1个线性⽅程的解，拉格朗⽇插值即是基于此思想。
拉格朗⽇创造性的避开的⽅程组求解的复杂性，引⼊“基函数”这⼀概念，使得快速⼿⼯求解成为可能。
DEF：求作<=n 次多项式 p n（x），使满⾜条件p n（x i）= y i，i = 0，1，…，n.这就是所谓拉格朗⽇（ Lagrange）插值先以⼀次（线性）为例，介绍基函数⽅法求解，再推⼴到任意次多项式：已知x0,x1;y0,y1，求P（x）= a0 + a1x，使得P(x)过这两点。
第1章 插值方法
1.２牛顿插值公式
牛顿插值公式的基本思想是:把Pn(x)设 计为递推形式。 Pn(x)＝Pn-1(x)+an(x-x0)…(x-xn-1) =a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+ … + an(x-x0)…(x-xn-1) 满足Pn(xi)=f(xi)=Yi i=0,1,2,…,n 称为牛顿插值公式。
1.２牛顿插值公式
为了简化上式，引进记号： 0(x)=1 i(x)=(x-xi-1) i-1(x) =(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1) i=1,2 …，n Pn(x)＝a0 0(x) +a1 1(x) + …+ an n(x) 0(x) ,1(x) ,… ,n(x)称为牛顿插值以x0, x1, …, xn为插值节点的基函数。 如果增加一个新节点，只需增加一个新项 an n(x)
' i 1
P
(x) 0 ,1
x x1 x 0 x1
f ( x0 )
x x0 x1特金插值公式
过两点（X0,Y0),(X2,Y2）的一次线性插值函数为:
P
0,2
(x)
x x2 x0 x2
f ( x0 )
x x0 x2 x0
f ( x2 )
埃特金插值的算法： Input X, (Xi,Yi), I=0,1,2,…,n FOR k=1 TO n
FOR i=k TO n
y(i)=y(k-1)+((y(i)-y(k-1)) /(x(i)-x(k-1)))*(x-x(k-1))
Output y(n)
1.4 存在唯一性定理
定理1 有惟一的n次多项式Pn(x)，满足 条件： Pn(xi)=yi （i=0,1,…,n)
第二章-函数插值-1
大多数实际问题都可用函数来表示某种内在规律的数量关系 但函数通常无法给出，只有通过实验或观测得到的数据表 如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？ 例：已测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
深度（M） 466 741 4.28 950 3.40 1422 2.54 1634 2.13 水温（oC） 7.04
常用插值方法
P(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
如果存在一个简单易算的函数 p(x) ，使得
p(xi) = f(xi)，i = 0, 1, ... , n
则称 p(x) 为 f(x) 的插值函数 [a, b] 为插值区间，xi 为插值节点，p(xi) = f(xi) 为插值条件 插值节点无需递增排列，但必须确保互不相同！ 求插值函数 p(x) 的方法就称为插值法
多项式插值
多项式插值 已知函数 y = f(x) 在 [a, b] 上 n + 1 个点 a x0 < x1 < ꞏ ꞏ ꞏ < xn b 处的函数值为 y0 = f(x0)，… ，yn = f(xn)
求次数 不超过 n 的多项式
p(x) = c0+c1x + ꞏ ꞏ ꞏ + cnxn，
设 p(x) = a0l0(x) + a1l1(x) + ꞏ ꞏ ꞏ + anln(x) 将 p(xi) = yi ，i = 0, 1, ... , n 代入，可得
ai = yi ，i = 0, 1, ... , n p(x) = y0l0(x) + y1l1(x) + ꞏ ꞏ ꞏ + ynln(x) Ln(x) 就称为 f(x) 的 Lagrange 插值多项式
第2讲：插值法
n
为满足条件 Ln ( xk ) yk , (k 0, 1, , n) 的 n 次Lagrange插值多项式，则对任意 x [a , b]
第二章：插值
数值分析
有
f ( n1) ( ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)!
p( x )
sin x
3 2
y
x
2
o
2
第二章：插值
数值分析
1、插值的基本概念
设函数 y f ( x) 在区间 a, b 有定义，且在已知点：
y0 , y1 , , yn a x0 x1 xn b 上的函数值为：
如果存在一个简单函数 y p( x) 使 yi p( xi )
0.330365
解：
第二章：插值
数值分析
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin 得 R1 ( x ) ( x 0.32)( x 0.34) 2
| sin | | 0.3367 0.32 || 0.3367 0.34 | 于是 | R1 (0.3367) | 2 sin0.34 0.0167 0.0033 0.0000091892 34 2
0.330387
f ( n1) ( ) 由 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) (n 1)! sin ~ 得 R1 ( x ) ( x 0.34)( x 0.36) 2
第二章：插值
数值分析
于是
| sin | ~ | R1 (0.3367) | | 0.3367 0.34 || 0.3367 0.36 | 2 sin0.36 0.0033 0.0233 0.0000135431 7 2
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f[20,21, ,28]f(8 8)！ ()8 0!0
数计学院－黄陈思
上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应 用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以 进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的 插值公式，我们先来看一个新概念；
数计学院－黄陈思
k 1
k1
k 1
k (x) (x x j ) (x0 thx0 jh) (t j)h
j0
j0
j0
则插值公式
n
Nn(x) f0 f[x0,x1, ,xk]k(x) k1
化为
Nn(x0th)
f0
n
[
k 1
若 用 插 值 基 函 数 表 示 ， 则 在 整 个 区 间 [a,b]上 Ih(x)为
n
Ih(x)＝fjlj(x) j=0
x xj
xj1 xj1
，xj1
x
xj
(
j
0略去)
其中，lj
(x)＝xxj
xj1 xj1
，xj
x
xj1( j
n略去)
a n(xx0)x (x1) (xxn 1)
其 中 a 0 ,a 1 ,… … a n 为 待 定 系 数
数计学院－黄陈思
P(x)应满足插 P(xi)值 fi ,条 i0,件 1, ,n
有 P(x0)f0a0
a0 f0
P ( x 1 ) f1 a 0 a 1 ( x 1 x 0 )
2fkfk1fk 为f (x)在xk 处的二阶向前差分 2fk fk fk1 为f (x)在xk 处的二阶向后差分
第二章插值
f x0 , x1, x2
f x1, x2 f x0 , x1为 f
x2 x0
在x0 , x1, x2的二阶差商
.............................
一般f x0 , x1, xk ,
f x1, x2 ,, xk f x0 ,, xk1
xk x0
为f 在x0 ,, xk的k阶差商。
引入 (t) f (t) Ln (t) k (x) (t x0 ) (t x1)(t xn ),
显然在 x0 , x1,, xn , x为零。由Rolle定理 (反复使用)
有 ( x0 , xn ),使 (n1) ( ) 0，即f (n1) ( ) k ( x) (n 1)! 0
y1 x1
将 a0 , a1 代入插值多项式得：
L1(x)
y1x0 y0x1 x0 x1
y0 x0
y1 x1
x
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
令：
l0 (x)
x x1 x0 x1
, l1 ( x)
x x0 x1 x0
即有： L1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
其系数行列式:
1 x0 x0n
1
x1
x1n
(xi x j ) 0 0 jin
1 xn xnn
故由Crammer法则知,当x0 xn互异时,该方程组解
存在且唯一.
在实际实用中，人们不采用待定系数法，因为： (1)、计算复杂；
(2)、不容易计算误差。
§2.1 Lagrange插值
这样，对于函数 f (x)在区间[a,b]上的各种计算， 就用对插值函数 p(x) 的计算取而代之。
拉格朗日插值基函数的相关性质
令x＝０，则∑li（０）xi +wn＋１（０）＝０，
n i=０
n＋１
所以∑（xi－x）kli（x）＝∑（∑（－１） CK xix ）li CKxix ，
i=０ i＝０ j=０ k j＝０ k－j j k-j n i=０
J
j k-j
n
n
k
k－j
j j k-j
即∑li（０）xi =-wn＋１（０）＝（－１） x０x１…xn。 （５ ） 有 %由拉格朗日插值公式， P ( ξ) P（x）=∑Pi（xi）li（x）+ w（x） i=0 （n＋１）！
当f（x）=x ＝１时， 有∑li（x）x ＝１， 故∑li（０）＝１；
i＝０ i＝０
０
n
０
n
参考文献 ：
当f（x）=x ， （k＝１，２，…，n）时， 由于f
n i=０ k k
k
（n＋１）
（ξ）＝０，
［１］ 王能超， 易大义． 数值分析［Ｍ］． 北京：清华大学出版社， １９９９． ［２］ 王仁宏． 数值逼近［Ｍ］． 北京：高等教育出版社， ２００４． ［３］ 徐萃薇， 孙绳武． 计算方法引论［Ｍ］． 北京：高等教育出 版社， ２００４． ［４］ 封建湖， 车刚明． 计算方法典型题分析解集［Ｍ］． 西安：
i＝０ （n＋１） k １ ） 对 f （x） =x ， １， ２， …， f （ξ w n＋１ （x）， k＝０， （n＋１）！ n＋１进行讨论。
a（n＋１）！ w（x）， （n＋１）！
×f （x i ） +
所以， P（x）=∑P（xi）li（x）+aw（x）。
i＝０
（６ ） 易证。 %利用埃尔米特插值公式［３］Ｐ８６－１２５，
数值分析插值函数
Newton 插值多项式利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，拉格朗日插值公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数),,1,0)((n ix l i =均要随之变化，不得不重新计算所有插值基函数)(x l i ，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，引入了出具有承袭性质的牛顿插值多项式，首先介绍在牛顿插值中需要用到的差商计算。
◆ 差商设有函数,,,),(210x x x x f 为一系列互不相等的点,称ji j i x x x f x f --)()()(j i ≠为)(x f 关于点j i x x ,的一阶差商,记为],[j i x x f ,即ji j i j i x x x f x f x x f --=)()(],[ 1-14)类似于高阶导数的定义,称一阶差商的差商ki k j j i x x x x f x x f --],[],[为)(x f 关于kj i x x x ,,的二阶差商,记为],,[k j i x x x f .一般地,称kk k x x x x x f x x x f ---021110],,,[],,,[为)(x f 关于kx x x ,,,10 的k 阶差商,记为kk k k x x x x x f x x x f x x x f --=-02111010],,,[],,,[],,,[函数)(x f 关于0x 的零阶差商即为函数)(x f 在0x 的函数值，)(=][00x f x f 。
容易证明,差商具有下述性质: (1)各阶差商均具有线性性,即若)()()(x b x a x f ψϕ+=,则对任意正整数k,都有],,,[],,,[],,,[101010k k k x x x b x x x a x x x f ψϕ+=(2)k 阶差商],,,[10k x x x f 可表示成)(,),(),(10k x f x f x f 的线性组合。
插值基函数
插值基函数基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y=c（c为常数），（2）幂函数y=x^a （a为常数），（3）指数函数y=a^x（a\ue0,a≠1），（4）对数函数y=log(a)x（a\ue0,a≠1，真数x\ue0），（5）三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y=sinx反正弦函数：y=arcsinx等）幂函数定义：一般地，形如y=xα(α为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。
例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数。
一般形式如下：（α为常数，且可以是自然数、有理数，也可以是任意实数或复数。
）指数函数定义：指数函数就是数学中关键的函数。
应用领域至值e上的这个函数记为exp(x)。
还可以等价的记为ex，这里的e就是数学常数，就是自然对数的底数，对数等同于 2.，还称作欧拉数。
通常形式如下：（a\ue0, a≠1）对数函数定义：一般地，函数y=logax（a\ue0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x就是自变量，函数的定义域就是（0，+∞），即x\ue0。
它实际上就是指数函数的反函数，可以则表示为x=ay。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于于对数函数。
通常形式如下：（a\ue0, a≠1， x\ue0,特别当α=e时，记作y=ln x）常见三角函数主要有以下 6 种：正弦函数：y =sinx，余弦函数：y =cos x，正弦函数：y =tan x，余切函数：y =cot x，余割函数：y =sec x，正割函数：y =csc x。
此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。
反三角函数主要存有以下6种：反正弦函数：y = arcsin x，反余弦函数：y = arccos x，反正切函数：y = arctan x，反余切函数：y = arccot x，反正割函数：y = arcsec x，反余割函数：y = arccsc x。
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次式唯一确定。有两种 方法可以证明
10与上次课一样，列出
然后证明系数行列式 插值时比较复杂
但此法在处理高维
16
20思路是
或
要证
的唯一性，只须指出
若 插值函数
，则在
是一个多项式且由假设有
上二次
17
故其必然同时含有因子 即
因
为二次式，故必有
方法简单易推广。
基函数
，则 (4.12)
称为单元 上二次插值的基 函数，很容易从长度坐标得到。
18
从图形看
用长度坐标表示时：
考虑到
，则
含
因子,再要满足
则可写出
则
必
（即
时 ），
19
同理
(4.13)
（2） （i）
的性质
在
上连续,且有分段连续微商
20
（ii）当 即
是二次多项式时， 就是 从而由逼近定理估计
本身，
（iii） 的总体自由度：2N-1 一般说来，总还可以构造更高次的Lagrange 型插值函数，
多种不同的形式，但齐k次多项式却是唯一的。
只要证明对任何
有
，
即有
11
这是因为在开区间（0,1）中任取k+1个不同点
， 由于当
时
(4.8)
其系数行列式为
12
如
时
的解
，有
，故式（4.8）
40
若取 为独立变量（
），则
x1
Q1
X2 Q2
L为
为顶点的单元的长度。13
为方便起见，把对x的积分换成对长度坐标的积分，特别 是当被积函数本身已由长度坐标表出的时候。
的（
）之间有
一一对应关系，（
）可作为坐标，称为长度坐标
（只有一个变量独立）。
20 单元顶点 （0，1）和（
和形心的长度坐标分别是（1，0），
）。
10
30 任一k次多项式
是
的齐k次多项式，反
之亦然（由于
，任何数乘以1还是原数，只须对
的任一项
乘以
使可得到
的齐k次式） 另：把k次多项式
化成
的k次多项式虽可有
(4.9)
任意区间标准区间[0,1] 注意Euler 积分公式
利用式（3.9）直接得到
(4.10)
14
(4.11)
这个公式在计算线单元“刚度系数”和“荷载向量”常用
2．高次Lagrange 型插值(1)
的定义：
已知函数 要求：
在各单元顶点和中点的函数值 和
10
15
20 在每个单元
上
是二次
式。给中点值的原因是三点能使二
对于基函数，一般研究下述问题：
1．连续性（光滑性）
2．逼近阶（误差大小）
2
3．总体自由度（关系到离散单元的数量、工作量） 为说明每类插值函数的逼近度，需要引进函数的度量， 命
其中n=1,2,3分别对应一维，二维和三维情况。
都是非负整数。
3
逼近定理 设f(x)是给定在Ω上的函数，它使得
有意义， 是f(x) 的插值函数，
②高次Lagrange型 ③Hemnite 型
并分别叙述了它们的充滑性， 29
逼近度和总体自由度，这也是谈插值必谈的三点，根据 这三点，权衡精度和工作量这对矛盾的统一体来选择或 构造各种不同的插值多项式。
在讲一维插值中多次利用长度坐标
这
为我们方便地写出插值基函数提供了条件，需熟练
掌握，在二维插值中，这种思想将发展成面积坐标。
已知值(=f(x))
Hermite型：除本身外，还要求多项式的微商（
，
法向微商）在插值点上取已知值。
插值函数的定义 设区间[a,b]被分成若
干单元，节点为
5
已知函数 使得
10 20 在第一单元 是一次式。
在各节点的值，插值函数 上
(4.3)
6
线性插值函数的性质
10
在[a,b]上连续,有分段连续微商。
20 若f(x)取作一次多项式，则
就是它本身，即
，从而由逼近定理有估计：
其中
7
30简洁，下面研究长度坐标，回忆上一章线性
插值基函数的线性变换[式（2-32）到式（2-35）]
B λ2
Pm
1
0 1A
λ1
e
Pi (t=0)
Pj（t=l)
将e变成
平面上的标准三角形OAB。
第四章 插值与基函数 重新回忆虚功方程它是解释有限元法的思想基础。
注意到未知位移是通过插值函数用结点位移表示
实
虚
[N] 是关键。故可以说采用
插值函数位移模式是有限元法的一个重要特点。这样提高
插值精度是提高有限元法精度的重要手段。换言之,用什
么单元的问题是关键问题，它决定了工作量和精度。
1
插值函数类是有限维的，与空间向量存在着一组基一样， 也存在一组基函数，所有同一类的插值函数都可通过这组 基函数表现出来。例如三角形单元中有三个基函数（一组 基）。
如当中加两个点等等。这样插值函数逼近的 精度会有所提高，但充滑性并不增加，不合 算。如作位移模式，仅位移连续，而转角等 不连续。因此，如需在单元顶点上增加微商 条件的话，拟采用Hermite型插值。
21
3．三次Hermite 型插值
（1）
的定义
函数
在每单元端点的函数值
和
微商值，
使
满足
10 20 在每一单元
另外又把N变换成三角形弧长的一次式[式（2-35）]
8
这里，研究一个小区间：
令
(4.4)
λ1 λ2
则
1
1
(4.5)
xi
Xi+1
称为单元 上线性插值基函数，很有用
（这样，无论对于哪一个单元都可以用同一形式表示）
恰好又为长度比：
9
(4.6)
性质： 10 记
点的坐标为
，则有
(4.7)
这说明坐标X与满足关系式
在这里再次强调
的定义
30
（二）二维插值 1．二维插值的特点：
一维的推广，但情况复杂一些，如 10 两个相邻单元结点的连续可微不等于边的连续可微 性，因此对每个插值函数在整个区域上的连续可微必须认 真考虑。
26
得到 同理得
之条件 ，有
式（3.14）也可写成
（4.15）
(4.14a)
27
（2）
的性质：
（i）
在
连续的二阶微商。
上有一阶连续微商和分变
（ii）如 本身，即
为三次多项式，则
就是
则有估计式
28
（iii）总体自由度：2N
归纳一下： 一维插值讲了三种插值多项式，分别为 ①线性Lagarange 型
它在位移光滑的区域 上有L-1阶连续微商，而L阶微商
在 上分块连续,如果它对于K次多项式
是准确的，
即
，则有估计式
(4.2)
其中 与h,f无关的常数。
是所有插值单元的最大直径，M是
4
（注） 是插值运算因子， 变为
，即把f(x)
（一）一维插值
1．线性插值（Lagrange型）与长度坐标
Lagrange型：只要求插值多项式本身在插值点上取
是三次式
上
22
为构造 即
根据条件（即
),多项式
中必含
及
项，从而
,否则至少4次.
，要在每个单元 上构造四个基函数，
(4.14)
这些基函数应满足：
23
24
用长度坐标表示，注意到 由
，则
可知
这样
必含
项，故导数要为0，
25
根据长度坐标的性质（3），
多项式， 这样可将
表为
的多项式为齐3次
为待求系数
利用