小学数学教学中高等数学思想渗透论文

小学数学教学中的高等数学思想的渗透

(淮安市开发区李集小学江苏淮安223001)

高等数学和小学数学之间存在着密切的联系，小学数学的教学中渗透着高等数学的思想. 二者之

间在思想上是相通的.

１．化归思想

化归思想是数学方法论中常用基本思维方式，特殊性化归为高等数学的问题提供了一种基本方法，一

般性化归更是创新数学理论的基本手段. 其基本思想是：将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结为

一个已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过乙问题的解答返回去求得原问题甲的解答. 它的基本

形式有：化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等. 在小学数学中蕴藏着各种可运用化归

的方法进行解答的内容，让学生初步学会化归的思想方法. 如：教学圆面积的计算方法，这里要推导出圆

面积公式，在推导过程中，采用把圆分成若干等份，然后拼成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式.

这里把圆剪拼成近似长方形的过程，就是把曲线形化归为直线形的过程. 这一思想在高等数学中的例子比

比皆是. 例如，利用拉氏变换求解微分方程，利用截痕法来研究三元二次方程所表示的曲面特征. 在定积

分的应用过程中，利用化归原则，将曲边梯形面积、旋转体体积巧妙转换成求解矩形面积和薄圆柱体积，

使问题简单化，达到求解目的.

２．分类和比较

分类，是通过比较建立集合的思维方法. 比较，是从具有同一性的事物间寻找其差异性，或者从具有

差异性的事物间寻找其同一性的思维方法.

小学生由于年龄特征，思维往往表现出单一性，各种知识交错出现，一时也难以分辩. 应不断强化学

生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类后，再通过比较才能系统完整的理解它们，如

不分类，就很容易出现混淆. 在解题教学中，通过分类还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从

而增强学生思维训练.

案例：教学三角形的分类

教师第一步先让学生把现实中的三角形分类：

（１）出示不同类型的三角形．

（２）小组合作学习，分组讨论三角形分类情况．（强调分类就得找一个分类的标准）

（３）组织学生汇报情况：你们是从什么角度分类的？怎么分？可能情况：ａ．按角的特征进行分类；ｂ．按边的特征进行分类先归纳，再分别根据角的特征去定

义：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．

（４）教师在肯定的情况下，同时板书集合图进行分类．（强调我们今天是按角的特征分类. ）

然后让学生观察手中的三角形，将表格填完整：

以上是按三角形角的大小来分的，在这一过程中，为学生提供了观察、操作、思考和讨论的空间，通

过学生间的交流使学生悟出“一个三角形中最多只能有一个直角或一个钝角”的道理，把前面学过的角的

分类的方法正确地迁移到三角形的分类中来，实现了三角形的正确分类，并给这三类三角形取出了合适的

名字，这不仅激发了学生的创新热情和创新意识，还培养了学生的思维变通力和独创力.

而在高等数学中可以把整数与多项式、矩阵与线性变换、多面体和平面图等建立联系，这就是比较、

分类的方法.

３．建模思想

数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解

问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求

得解决的一种数学思想和方法. 小学数学教学中有的内容实际上可以看做数学模型的教学. 如在“空间与

图形”领域的教学中就渗透了数学建模思想.

课上可以设计这样的环节：用１６根１厘米长的小棒围成长方形或正方形，你能围出多少个？其中面

积最大的是多少？并填写如下表格.

学生经过研究可以得到“长７ｃｍ，宽１ｃｍ”，“长６ｃｍ，宽２ｃｍ”，“长５ｃｍ，宽３

ｃｍ”，“长４ｃｍ，宽４ｃｍ（正方形）这四种长方形，其中正方形的面积最大. 在研究过程中学生

会渐渐地认识到：要想得到最大的面积，就要把所有的长方形一一列举出来去比较；而要想得到不同的长

方形，必须在保持周长不变的情况下改变长方形的长和宽，由于长逐渐地减小，在周长不变的情况下，宽

必须跟随着不断地增大. 这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究. 整个教学过程经历了“问题情

境──建立数学模型──解释与应用”的基本过程，引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究

，实现了学习方式的转变，改变了单一的记忆、接受、模仿的被动学习方式，培养学生的能力. 数学建模

思想在高等数学中更是体现得淋漓尽致，还专门开设了数学建模课程，进行数学建模竞赛培训.

４．数形结合思想

数形结合最早是出现在华罗庚先生在１９６４年撰写的《谈谈与

蜂房结构有关的数学问题》的科普小

册子中，提出“数无形时少知觉，形少数时难入微”. 数和形是数学研究的两个主要对象，两者既有区别

又有联系，在解答数学问题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，

启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法. 既分析了数式特征，又了解了几何含义. 如：一艘货船

运货，已经运走了１０吨，剩下的部分是全部的一半，这批货共有多少吨？画出线段图后，题中数量之间

的对应关系就非常清楚. 通过数形结合，把题中给出的数量关系转化成图形，由图直观地揭示数量关系，

有利于活跃学生的思维，提高解题能力. 高等数学中常常用到数形结合思想，像利用维恩图来理解概率论

中的概念，微积分中第一积分中值定理的讲解及运用.

综上所述，高等数学和小学数学之间确实存在着密切的联系. 正如《数学课标（实验稿）》中指出：

“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方

法. ”小学数学是义务教育的一门重要学科，它是为学生后续学习打基础的，它蕴含着许多与高等数学相

通的数学思想方法. 如果在小学数学的教学过程中能科学地认识高等数学与小学数学在思维形式上的相通