一级倒立摆物理建模、传递函数和状态方程的推导

一级倒立摆物理建模和传递函数的推导

设定：

M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数

l

摆杆转动轴心到杆质心的长度 I

摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 车位置

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

N x b F x M --=•

•• (1)

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

)sin (22

θl x dt

d m N += (2)

即：

θθθθsin cos 2

••

•••-+=ml ml x m N (3)

把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程：

F ml ml x b x m M =-+++••

••••θθθθsin cos )(2

(4)

对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程:

)cos (2

2

θl dt

d m mg P =- (5) θθθθcos sin 2

••

•--=-ml ml mg P (6)

力矩平衡方程：

•

•=--θθθI Nl Pl cos sin

(7)

此方程中力矩的方向，由于φπθ+=,θφcos cos -=,θφsin sin -=,故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程：

θ

θθcos sin )(2

•

•••-=++x ml mgl ml I (8)

设θ =π +φ, 假设φ 与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ,0)(2

=dt

d θ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：

{

u

ml x b x m M x ml mgl ml I =-++=-+•

••

•

••

•••φφφ)()(2

(9)

假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换：

{

)

()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X l M s s mlX s mgl s s ml I =Φ-++=Φ-Φ+ (10)

由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

)(])([)(22s s

g

ml ml I s X Φ-+= (11)

或

mgl s ml I mls s X s -+=Φ2

22)()()( (12)

令•

•=x v ，则有：

mgl

s ml I ml

s V s -+=Φ22)()()( (13) 把上式代入方程组的第二个方程，得到：

)()()(])([)(])()[(22222

2s U s s ml s s s

g ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++ (14)

整理后得到传递函数：

q

bmgl

s q mgl m M s q ml I b s s

q

ml

s U s -

+++=Φ2223)()()()( (15) 其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=。

系统物理参数： M

小车质量

1.096Kg m 摆杆质量

0.109Kg b 小车摩擦系数

0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

I

摆杆惯量

0.0034Kg*m*m

设系统状态空间方程为：

Du

CX Y Bu AX X +=+=•

对•

•x ，•

•φ解代数方程，得到解如下：

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++++-==+++++++-=

=••

••••••••u Mml m M I ml Mml m M I m M mg x Mml m M I mlb u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222)()()()()()

()()()(φφφφφ (17) 整理后得到系统状态空间方程：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡+++-+++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••••2222

2

2

2

2

2

2)(0)()(00)()()(010

000)()()(0001

Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mg Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x φφφφu u x x x y ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=••0001

00

0001

φφφ (18)

对于质量均匀分布的摆杆有： 23

1

ml I =,由(9)的第一个方程

•

••

•=-+x ml mgl ml I φφ)(2

，可得到：

)31(2

2ml ml +••φ- mgl ml =φ••x 化简：

•

•φ=l

l g 4343+φ•

•x

（19）

设X=,,,,⎭

⎬⎫⎩⎨⎧••φφx x '

u =•

•x ,有：

'430100430

0100

000000010

u l x x l g x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••••φφφφ