一级倒立摆物理建模、传递函数和状态方程的推导

一级倒立摆物理建模和传递函数的推导
设定：
M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度 I
摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 车位置
φ 摆杆与垂直向上方向的夹角
图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。

其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用。

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
N x b F x M --=•
•• (1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
)sin (22
θl x dt
d m N += (2)
即：
θθθθsin cos 2
••
•••-+=ml ml x m N (3)
把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程：
F ml ml x b x m M =-+++••
••••θθθθsin cos )(2
(4)
对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程:
)cos (2
2
θl dt
d m mg P =- (5) θθθθcos sin 2
••
•--=-ml ml mg P (6)
力矩平衡方程：
•
•=--θθθI Nl Pl cos sin
(7)
此方程中力矩的方向，由于φπθ+=,θφcos cos -=,θφsin sin -=,故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程：
θ
θθcos sin )(2
•
•••-=++x ml mgl ml I (8)
设θ =π +φ, 假设φ 与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ,0)(2
=dt
d θ。

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：
{
u
ml x b x m M x ml mgl ml I =-++=-+•
••
•
••
•••φφφ)()(2
(9)
假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换：
{
)
()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X l M s s mlX s mgl s s ml I =Φ-++=Φ-Φ+ (10)
由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
)(])([)(22s s
g
ml ml I s X Φ-+= (11)
或
mgl s ml I mls s X s -+=Φ2
22)()()( (12)
令•
•=x v ，则有：
mgl
s ml I ml
s V s -+=Φ22)()()( (13) 把上式代入方程组的第二个方程，得到：
)()()(])([)(])()[(22222
2s U s s ml s s s
g ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++ (14)
整理后得到传递函数：
q
bmgl
s q mgl m M s q ml I b s s
q
ml
s U s -
+++=Φ2223)()()()( (15) 其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=。

系统物理参数： M
小车质量
1.096Kg m 摆杆质量
0.109Kg b 小车摩擦系数
0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
I
摆杆惯量
0.0034Kg*m*m
设系统状态空间方程为：
Du
CX Y Bu AX X +=+=•
对•
•x ，•
•φ解代数方程，得到解如下：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++++-==+++++++-=
=••
••••••••u Mml m M I ml Mml m M I m M mg x Mml m M I mlb u Mml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x 2222222222)()()()()()
()()()(φφφφφ (17) 整理后得到系统状态空间方程：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+++-+++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••••2222
2
2
2
2
2
2)(0)()(00)()()(010
000)()()(0001
Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mg Mml m M I mlb Mml m M I gl m Mml m M I b ml I x x φφφφu u x x x y ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=••0001
00
0001
φφφ (18)
对于质量均匀分布的摆杆有： 23
1
ml I =,由(9)的第一个方程
•
••
•=-+x ml mgl ml I φφ)(2
，可得到：
)31(2
2ml ml +••φ- mgl ml =φ••x 化简：
•
•φ=l
l g 4343+φ•
•x
（19）
设X=,,,,⎭
⎬⎫⎩⎨⎧••φφx x '
u =•
•x ,有：
'430100430
0100
000000010
u l x x l g x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••••φφφφ
'
0001000001u x x x y ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=••φφφ （20）
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