倒易点阵介绍

n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )

相应的位向差为
2

2
( S S0 )

OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。

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大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl

2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
其长度为： S=S-S0=2sin / =1/d
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3 、S长度为1/d，方向垂 直于hkl面网， 所以 S=g* 即： 衍射矢量就是倒易矢量。 4 、可以A点为球心，以 1/为半径作一球面，称为 反射球（Ewald 球）。衍 射矢量的端点必定在反射 球面上

P
S/
S S0 g
hkl S/ 1/ A S 0 / O
增大晶体产生衍射几率的方法
(1)入射方向不变，转动晶体 即 Ewald 球 不 动 ，
hkl S/ 1/
围绕O点转动倒易
晶格，接触到球面
C
的倒易点代表的晶
面均产生衍射（周
S 0 /
O
转晶体法的基础）。
增大晶体产生衍射几率的方法
hkl
(2) 波长连续， 使Ewald球的数 量增加，即球壁 增厚（Laue法）
( S S0 )

ha k b l c g hkl
* * *
满足衍射条件的矢量方程。 X射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方程均 可由该矢量方程导出。

布拉格方程推导 g
hkl
1
m
θ
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
n O
S-S0=Ssinθ + S0sinθ = 2sinθ
S/ 1/
A
S 0 /
O
Δλ
增大晶体产生衍射几率的方法
（ 3 ） Ewald 球 不 动 ， 增 加随机分 布的晶体 数量 ， 相当于围绕O点转动倒易
S/ 1/ hkl
晶格，使每个倒易点均
形成一个 球 （倒易 球 ）。 （粉晶法的基础）
A
S 0 /
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最
观地看出那些面网的衍射状
况。
入射矢量S0、 衍射矢量S
及倒易矢量g*的端 点均落在球面上 S的方向与大小均
由2所决定
O g3 P3
S0 2
A
S S
S
g1 P1 P2
g2
Ewald 球与极限球
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凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件 若同时有m个倒易点落在球面上，将同时有m个衍射发生，衍 射线方向即球心A与球面上倒易点连线所指方向。

3
倒易点阵的概念
倒易点阵是一个假想的点阵. 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换, 就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵, 但其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间 称为倒易空间。

4
倒易点阵的定义
设正点阵的原点为O，基矢 为a、b、c，倒易点阵的原点 为O* ，基矢为a* 、b* 、c*， 则有： a*=b×c/V, b*=c×a /V, c*=a×b/V. 式中，V为正 点阵中单胞的体积： V=a·(b×c) =b·(c×a) =c·(a×b) 表明某一倒易基矢垂直于 正点阵中和自己异名的二基矢 所成平面
5
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0 同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1. 2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 ghkl(倒易矢量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中 的晶面指数 3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
8
衍射条件
设:入射线波长为λ ,入 射线方向为单位矢量S0, 衍射线方向为单位矢量S, 那么在S方向有衍射线的 条件是:在与S方向相垂 直的波阵面上,晶体中各 原子散射线的位向相同。 先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
g
1
m
θ
hkl
A
θ θ
S 2 (S-S0) (HKL) S0
6

1.倒易矢量ghkl 垂直于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 平行于它的法向Nhkl 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
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晶带定理



在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。 图示为正空间中晶体的[uvw]晶带 图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、 （h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒 易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方 向相同. 晶带定理：因为各倒易矢量都和 其晶带轴r=[uvw]垂直，固有 ghkl•r=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就 是晶带定理。

OA pa qb rc
ha k b l c*
现在不明确h、k、l一定是整数。由：
2
( S S0 )
可见，只有当φ =2π n时，才能发生衍射，此时n应 为整数。 由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：

OA 2 (ha* k b* l c* ) ( pa qb r c) 2 (hp kq lr )
倒易点阵
倒易点阵几何 衍射条件 爱瓦尔德图解法 粉末衍射法

1
倒易点阵简介
布拉格公式作为结构分析的数学工具,在 大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射 效应是布拉格公式无法解释的,例如非布 拉格散射就是如此. 倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠 定了基础.

2
倒易点阵几何
倒易点阵的概念 倒易点阵的定义 倒易点阵的性质 晶带定理
(S-S0)/λ= 2sinθ )/λ=ghkl=1/d 2dsinθ =λ
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Ewald 作图法
Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 sinθ =λ/2d



令d= λ /ghkl （此时比例系数用X射线的波长）
则sinθ = ghkl /2 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
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Ewald 图解
反射方向 反射线 P
g
入射线 B 1 反射球
θ 2θ θ θ
(hkl)
A
O
Ewald 作图法
1、设以单位矢量S0代表波 长为的X-RAY,照射在晶 P
S/
体上并对某个hkl面网产生
衍射， 衍射线方向为S，二 者夹角为2。
S S0 g
2
1/
A
O
S0 /
2、定义S=S-S0为衍射矢量，