2018年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
2018高三数学全国二模汇编(理科)专题03导数与应用
【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018河南郑州高三二模】已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 【答案】B【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决。
2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()11,a f b ef e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. a c b << 【答案】D【解析】 设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义域上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集上的偶函数， 当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时()h x 为单调递增函数， 又由11e e <<-，所以()()()111f f ef e ef e e e ⎛⎫<<--=-- ⎪⎝⎭， 即a c b <<，故选D.点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函数()()h x xf x =，得出函数()h x 为单调递增函数和函数()h x 是定义在实数集上的偶函数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.3．【2018湖南衡阳高三二模】已知e 为自然对数的底数，设函数()21f ln 2x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()0f 0x <,则下列结论中正确的是( )A. 存在0x =使得()01f 2x e<-B. 存在0x =()20f x e >-C. b 的最大值为3eD. b 的最大值为22e 【答案】C分析得()f x 的极大值点为10x x =，22a a a a -==<=， (()0,x f x ∴∈∴在()00,x 递增，在()02,x x 递减，当()0,x x f x =取得极大值()0f x ，又()200000'00bf x x a x b ax x =⇒-+=⇒+=， ()()222000000011ln ln 22f x xax b x x x b b x =-+=-++，即()20001ln 2f x x b b x =--+，令()(21ln ,2g x x b x b x =-+-∈，原命题转化为()0g x <恒成立，()()22'000b x bg x x x x b xx-+∴=-+=><<<<， ()g x ∴在(上递增，()12g x gb b ∴<=-+ 102b b b =-+≤，33232bb e b e ∴≤⇒≤⇒≤，所以b 的最大值为3e ， C 对、D 错，又0x b <，即不存在极大值点0x =,A B ，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x'=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】B点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A6．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（ ） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e - 【答案】B【解析】 由题意()()0,x f x g x ∀>≤，即ln 1x a ax b +≤++，即ln 1x ax a b -+≤+， 设()ln h x x ax a =-+，则()1h x a x'=-， 若0a ≤时， ()10h x a x -'=>，函数()h x 单调递增，无最大值，不适合题意； 当0a >时，令()10h x a x -'==，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0h x '<，函数()h x 单调递减， 所以()max 1ln 1h x h a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，即ln 11a a b -+-≤+，即ln 20a a b -+--≤ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．7．【2018甘肃兰州高三二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x >'有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. ()01f = B. ()01f < C. ()62f e < D. ()62f e >【答案】C 【解析】设()()3xf xg x e=，则()()()()()()()333223333x x x xxe f x f x e f x e f x g x e e ⎡⎤-'-⎣⎦=''=. ∵在R 上()()3f x f x >'有恒成立∴()0g x '<在R 上恒成立，即()g x 在R 上为减函数. ∴()()()()()0301001f f g f g e e ==>=∵()31f e =∴()01f >，故A ，B 不正确. ∵()()()62211f g g e =<=∴()62f e < 故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等8．【2018河北唐山高三二模】已知函数()f x 满足()()f x f x >'，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A. ()()12ef f > B. ()()12ef f < C. ()()12f ef > D. ()()12f ef < 【答案】A点睛：本题的关键在于通过()f x f >'（x ）能得到()'()0xf x e <，得到()xf x R e 是上的减函数，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”y e =. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()()f x kx e x R ≥-∈，可得20x kx e -+-≥，当x R ∈恒成立，则(20k ∆=-≤，只有k =，此时直线方程为y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()G x e h x =--2ln e e x =--， ()'x G x x=，当x =()'0G x =；当0x << ()'0G x <；当x >()'0G x >；当x = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()0G x e h x ∴=--≥，则()h x e ≤-， ∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的. 10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 23,3e e -⎡⎤-⎣⎦C. 2,3e e -⎡⎤-⎣⎦D. 322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D若直线y=1﹣mx 经过点（1e，﹣2），则m=3e ，若直线y=1﹣mx 与y=2lnx 相切，设切点为（x ，y ）．则，解得3232{3 2x ey m e-===-．∴322e--≤m≤3e．故选：D ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. [)2,+∞【答案】A 【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号。
郑州市2018年高中毕业年级第二次质量预测理数试题
2018年高中毕业年级第二次质量预测理科数学 参考答案一、选择题：1.B 2．C 3. C 4．B 5.D 6．D 7. B 8．D 9． C 10. A 11.A 12.B二、填空题：13．4860;14．1;215．12;π16．4.3-三、解答题17．解：（Ⅰ）由正弦定理得， 222(sin sin )()sin ,R B A b c C -=-................................2分可化为sin sin sin sin b B a A b C c C -=- 即222.b a bc c -=-.....................4分 2221cos 22b c a A bc +-==，60.A =................................6分（Ⅱ）以,AB AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在ABE ∆中，120,ABE AE ∠==................................8分在ABE ∆中，由余弦定理得2222cos120,AE AB BE AB BE =+-⋅............................10分 即：22119923(),2AC AC =+-⨯⨯⨯-解得， 2.AC =故1sin 22ABC S bc A ∆==.................................12分18.解：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则P (A )＝35................................3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，X服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，35，故E (X )＝10×35＝6................................6分 (Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为E (Y )，由抽样可得7815137()1003005007009005205050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则该自然村年均用电量约156 000度．...............................9分又该村所装发电机组年预计发电量为300 000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144000×0.8＝115200元．................................12分19.解：（Ⅰ）在△BCD 中，EB =ED =EC ，故,23BCD CBE CEB ππ∠=∠=∠=， 因为△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ， 从而有.3FED BEC AEB π∠=∠=∠=.............................3分 ∴FED FEA ∠=∠，故EF ⊥AD ，AF =FD ． 又PG =GD ，∴FG//PA ．又PA ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥AD ，CF EF F ⋂=故AD ⊥平面CFG.又AD ⊂平面CFG ，∴平面P AD ⊥平面CGF.............................6分（Ⅱ）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则(000)(200)(330)(0230)(003).A B C D P ，，，，，，，，，，，，， 故(130BC =，，），(333CP =--，，），(330CD =-，，）． 设平面BCP 的法向量111(1)y z =，，n ， 则111130,3330,y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得1132.3y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩即132(1).3=，－，n .............................9分设平面DCP 的法向量222(1)y z =，，n，则22230330z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(12)=n ．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124||3cos ||||16θ===n n n n .............................12分 20.解：（Ⅰ）设PF 的中点为S ，切点为T ，连OS ，ST ，则|OS|+|SF|=|OT|=2，取F 关于y 轴的对称点F′，连F′P，故|F′P|+|FP|=2（|OS|+|SF|）=4．.. (3)分 所以点B 的轨迹是以F′，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=1,曲线C 方程分 (Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设(0,),Q m设直线l M(x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．x ，得22(34)4110.k x kx ++-=由直线l Δ>0，由求根公式得： 121222411,,3434k x x x x k k--+=⋅=++.............................9分 由得MQO NQO ∠=∠,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零.故121212121212121112()()2220,kx m kx m kx x m x x y m y m x x x x x x +-+-+-+--+=+== 1212222111144(6)2()()2()0.23423434k k m kx x m x x k m k k k ---+-+=⋅+-⋅==+++ 存在定点（0,6），当斜率不存在时定点（0,6）也符合题意．........................12分21.（Ⅰ）'()2xf x e x =-，.............................2分由题设得'(1)2f e =-，(1)1f e =-， 曲线()f x 在1x =处的切线方程为(2) 1.y e x =-+............................4分（Ⅱ）x e x f x 2)('-=，2)(''-=x e x f ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以max ()(1)1,[0,1]f x f e x ==-∈.)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方..............................7分下证：当0>x 时，,1)2()(+-≥x e x f设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则2)(''),2(2)('-=---=xx e x g e x e x g ， )('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln21g e g =->=<<，∴0)2(ln '<g ，所以，存在0(0,12)x n ∈，使得0'()0g x =，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增，..........................10分又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x . 又ln 1x x ≥+，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，当1=x 时，等号成立...............12分22． 解：(Ⅰ)由直线l 过点A则易得直线l 的直角坐标方程为20x y +-=..............................2分 根据点到直线的距离方程可得曲线1C 上的点到直线l 的距离分 (Ⅱ)由（1）知直线l 的倾斜角为34π， 则直线1l 的参数方程为31cos ,431si (n ,4)x t y t f x ππ⎧⎪⎪=⎨=-+=+⎪⎪⎩（t 为参数）. 又易知曲线1C 的普通方程为22143x y +=. 把直线1l 的参数方程代入曲线1C分23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)()12f x x +-≥可化为||112ax x -+-≥．||1122a a x x -+-≥-∴11,2a -≥解得：0a ≤或4a ≥．∴实数a 的取值范围为(,0][4,).-∞+∞....................5分 （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知 1.2a <31,(),2()1,(1),231,(1),a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a-∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增，min ()()11,22a a f x f a ∴==-+=-解得：4 2.3a =< 4.3a ∴=.............................10分。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或610．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．512．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是．16．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅【解答】解；P＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}∴故选：A．2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵||＝，∴iz＝||+2i＝，则z＝，∴．则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标为（2，），位于第一象限．故选：A．3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若•＝|•|，则||•||cos＜，＞＝|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞＝|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞＝π，cos＜，＞＝﹣1，此时•＝|•|不成立，即必要性不成立，故“•＝|•|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），∴，解得a＝3，b＝4，∴双曲线的方程为．故选：A．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，∴f（x+6）＝f（x+5）﹣f（x+4）＝f（x+4）﹣f（x+3）﹣f（x+4）＝﹣f（x+3）＝﹣[f（x+2）﹣f（x+1）]＝﹣[f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）]＝f（x），∴f（2014）＝f（335×6+4）＝f（4）＝f（3）﹣f（2）＝f（2）﹣f（1）﹣f（2）＝﹣f（1）＝﹣f（0）+f（﹣1）＝﹣log21+log22＝1．故选：C．6．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin（β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A．7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）【解答】解：由三视图可知几何体为底面半径和高均为1的圆柱中挖去一个同底同高的圆锥，截面为圆环．设截面小圆半径为r，则，即r＝h，∴截面面积为S＝π×12﹣πr2＝π（1﹣h2）．故选：D．8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：男生甲不站两端，共有n＝C41A55＝480种，考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C32A22A42A33＝432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C32A22A32A22＝144种，∴不同的排列方法共有m＝432﹣144＝288种，∴在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是：p＝＝．故选：C．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或6【解答】解：由{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列．即（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8）＝36．∴S8﹣S4＝±6∴S8＝9或﹣3，当S8＝﹣3时，即S4＝3，即，可得：q＝1不满足题意，∴S8≠﹣3∴S8＝9．故选：B．10．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则∠D'KA＝90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，如图当E与C重合时，AK＝＝1，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠KOA＝，∴∠KOD'＝，其所对的弧长为，故选：A．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．5【解答】解：设P（m，m2），分别过B、P作直线y＝﹣2的垂线，垂足为D、E，∵BC∥AF，∴＝＝，∵|FP|＝|PE|，∴|FC|＝|BD|＝2，设直线PQ的方程为y＝kx+2，代入C：x2＝8y得x2﹣8kx﹣16＝0，∴m•x Q＝﹣16，∴x Q＝﹣，∴y Q＝，∵|PF|＝m2+2，∴|PC|＝m2，∵|QF|＝+2，|PC|＝|QF|，∴得m2＝+2，∴m4﹣16m2﹣256＝0，解得m2＝8+8∴|PF|＝m2+2＝3+．故选：C．12．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2【解答】解：由题意可得f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即为e x﹣mx﹣n≥0，令h（x）＝e x﹣mx﹣n，h′（x）＝e x﹣m，若m＝0，则h（x）＝e x﹣n的最小值为h（x）＞﹣n≥0，得n≤0，此时mn＝0；若m＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时h（x）→﹣∞，不可能恒有h（x）≥0．若m＞0，则得极小值点x＝lnm，由h（lnm）＝m﹣mlnm﹣n≥0，得n≤m（1﹣lnm），mn≤m2（1﹣lnm）＝k（m）．现求k（m）的最小值：由k′（m）＝2m（1﹣lnm）﹣m＝m（1﹣2lnm）＝0，得极小值点m＝，k（）＝，所以mn的最大值为．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝4．【解答】解：∵（x2+﹣2）n＝的展式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x2n﹣2r，令2n﹣2r＝0，求得n＝r，故展开式的常数项为（﹣1）n•＝70，求得n＝4，故答案为：4．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（﹣3，1），当时，t＝过A时有最大值为；当时，t＝过B 时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是15．【解答】解：i＝1，m＝4，满足条件i＜m，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝1+1＝2；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝2+1＝3；j＝2，不满足条件j≤i，则i＝2，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝3+1＝4；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝2，S＝4+2＝6；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝6+1＝7；j＝3，不满足条件j≤i，则i＝3，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝7+1＝8；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝8+3＝11；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝11+3＝14；j＝3，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝14+1＝15；j＝4，不满足条件j≤i，则i＝4，不满足条件i＜m，输出S＝15；故答案为：1516．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝•3n+1．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝+22•32+32•33+42•34+…+n2•3n，3S n＝+22•33+32•34+42•35+…+n2•3n+1，相减可得﹣2S n＝27+5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n﹣n2•3n+1，设T n＝5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝5•34+7•35+…+（2n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2T n＝5•33+2（34+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝135+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T n＝（n﹣1）•3n+1﹣27，即有﹣2S n＝27+（n﹣1）•3n+1﹣27﹣n2•3n+1，化简可得S n＝•3n+1，故答案为：•3n+1．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，△ABC中，cos A＝，cos C＝．则sin A＝＝，sin C＝＝，则cos B＝﹣cos（A+C）＝﹣cos A cos C+sin A sin C＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin B＝＝，又由sin A＝，sin C＝，则有＝＝，即＝＝，设BC＝4k，AC＝5k，AB＝6k，若|+|＝，则2+2+2•＝25k2+16k2+2×5k×4k×＝46k2＝46，解可得：k＝1，k＝﹣1（舍）；则BC＝4，AC＝5，AB＝6，设BC的中点为D，则＝（+），则有2＝（2+2+2•）＝（25+36+2×5×6×）＝，则||＝；则BC边上中线的长为．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k【解答】解：（1）若ξ＝2099，则I＝，而＝＝0.2，…（2分）∴估计值与实际值的误差为：，即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）∴Eξ＝10000×0.2＝2000．…（9分）（3）I与实际值之差在区间（﹣0.01，0.01）的概率为P（||＜0.01）＝P（1900＜ξ＜2100）＝＝P（2099）﹣P（1900）＝0.9871．…（14分）19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC1中，∵AB＝BC1，D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C1C，而AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AC；（Ⅱ）解：由题意知，四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，而BD⊥平面ACC1A1，故分别以DA1，DA，DB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，），A1（，0，0），C（，0，0），令B1（x，y，z），则，．而，∴x＝z＝，y＝﹣1．即B1（，﹣1，），，而，，令平面ABC的一个法向量为，则有，取z＝1，得．设直线AB1与平面ABC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．∴cosθ＝．故直线AB1与平面ABC所成角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．【解答】（1）解：设直线l的方程为，∵点在直线l的上方，∴，∴b＜0直线l的方程代入椭圆方程，整理可得2x2+6bx+9b2﹣36＝0∵斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，∴△＝36b2﹣8（9b2﹣36）＝﹣36b2+288＞0∴﹣2＜b＜2∴﹣2＜b＜0由，令y＝0可得x＝﹣3b，即x0＝﹣3b，∴（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，y1），则∵，∴k P A+k PB＝0，又∵点P在直线l的上方，故∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，故∠P AB的内切圆圆心在直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．∴x∈（0，+∞），＝＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．证明：（Ⅱ）∵方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，由（Ⅰ）知a＞0，设0＜x1＜x2，则＝c，，两式相减，得﹣＝0，∴a＝，∵f′（）＝0，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴只要证明＞即可，即证明x1+x2＞，即证明（x1+x2）（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）＜，即证明ln＜，设t＝（0＜t＜1），令g（t）＝lnt﹣，则g′（t）＝＝，∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0，∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，∴f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
郑州高三第二次质量检测理数学(理科)及答案
2018年髙中毕业年级第二次质量预测理科数学试題卷第1卷（共甜分〉迪择題；本大砂边牛小嵐毎小題5给共甜处花却小題峪出的四个选项中，只有一項垦杆創a日要求的-h 已MW^F={i[y= V-x J + X4 2（^£^（?= {x|lnx<H HJ* n Q =（）A [0* J 2} & {1. 2} d.⑷.2] D* [0.町2. S3L«U =壬？划星炊』花复军面内对应町点在（）A.霸一彖瑁匕第二撇阻S第三凝限D.第四魏限乩命更一3工+ 2壬D"的黔建为（>A,匕 t fl,2l 才一％ * E A 8, Vx € flZjjX2…取* 忑 A （JG 遵一3Xn*2> M. 9X O«（1,21^-SX B+ 2>04.已暂双曲线G呂―首二】前一漲葡近绒与直统已工一y*5=D垂克•则取脸线C的葛心垦算千（）A. B. ^― C. D. 2^/5乩运行如驗所示阶程严権乳則箱出和油（）「呼]A『工二心」'F 二—m”, r^in-iJ-J+WA. 100& 3. -1003 C*10O? I>. -1009民巴M E二严〔?：；：* ' %定恥为弘戳乳gx肚旳肩弧二畑.M{叫）丑谨増飙列.则靖]取世范回星（）乩 O + «） 乩+ W ） C.C1，3） 几（3 - + «）1.已知宇面向曼0.扒访I 足|a| - Ibl = H - 1,若口- b = g JUS +占）■ （2占-c ）的島小僮为< ）益-2 0. -/3 C. -I D* 0S- f 红強行功> 建一倒现代优輝犁直财够片.谀片讲连了申国簿军M 歧龙夹击队”華命执希 脈係柱丹的按事、範乐辻程申.海车規輕宴我啟员北惓議竜處六坝任吳・沖对任畀町喷号稷 出了如下厦求，車虎任筹？I 必鏡毎DE 前三艮・且任齐职F 必纯特!X —起・忠达六坯狂备呼年 间輩澤方異共祎（）JL 240 种 B. 18G C.1E6 D. 120 W=乩已拠畠册8二询ms （2i-£-CDG 皱若宴博卅个寄備戟的图矗.则可以特旌蝮『00的翌稼（丿A.向左平曾'尊也忙度a +向石早幕f 介駐牧快度 C.向左字畤个氧橙隹滾 九向右不S|尹睾住£廈口.如閒・已知勵內強6的庞戌在岂怖廉点.為点在H 柚上.且垃点口 町.囱“妒+护-4«+3 -险逹■*前更线I 与曆井刖玄干尸心期賂确I 冋V|+ 4|Q 阳們最丿暇力10* BQ ^ty - ?in I fl + cos 2^c ）在区叫一⑺ 卸上M 弋锁图费为（ ）A+ 23 乩 42 C12 九 52垢•已却盹=但|代0£〕=； O^JV =（阳{旳=睦苕存在山右此0"巧便词健-0| = %两蘇丽00対庆町互为■苕f （x}-沪“ - 1场駅刃・工’ -讥产互力5度孚月 函菱” •测实載“苗射昼范因为（）a $冷 乩影］c - &4） 臥E 禺第口堆£共90 *>二、填空瓏（議19 5幷・灌分幼分.将褂秦览在答JS 戟卜J打.已知二珈貞Gs —耳*啲噩开式中二项弍臬叛之和为64•削展开式申疋曲东删为 _____□已旬实畑沖足竟件陞+ y>御士曲最犬值 _________________ .站•觀国也代戟学若麦（九謝立转几间査凤入的Pt 兜+从甚尹一件藪韋附谓哥见・ 杀妃”静粘“星?a 四个面都是肓珮三彌形的豈樓够.熹”誉廉"的三況图E 图申阿格银上毎 个尔正卉母的询哙矜门妬慳断示「已地几冋怫高壮谑町谒几和療外接铁的亵僧腰坦巳知惓劭车彳石=1（2“ Q ）的龙搞痺勺FC1脇凤蔑心爭曙的二"点都色橢鼬上.说g 毗三撇辺朋、BC.肚『冲点廿别力6 £. K.且三茉边所在・tU 惮空异剔为町、%、匕・E 知、7匕均齐为0 0为量标醸虎・著直线D6 9E.。
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.(5分)己知集t iP={x\y=7-x2+x+2-xEN}, Q= {却n xVl},则PMQ=(A. {0,1,2}B.{1,2}C.(0,2]D・(0.e)【解答】解：集合P={My=寸一疽+x+2}={H・«+x+2N0,.v€N}={0,L 2},Q={a I0«},•.•FCQ={1,2).故选：B.2.（5分）若复数z=2+t则复数z在冬平・面内对应的点在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:2+i_2+i_(2+i)(i+l)_1+31_1 3.对应点的坐标为（-§位于第三象限角.故选：C.3.（5分）命题"V.vGlL2],/・3x+2WO”的否定是（）A. V a€|U2]t.r-3x+2>0B. V a€|1,2],x2-3a+2>0C. 3x0[1/2], x02-3x0+2>OD・3x o e[1,2]，x02-3x0+2>0【解答】解：命题:-V a€|1. 2],。
的否定是3x0G[1.2].x02-3x0+2>0.故选：c.4.（5分）己知双曲线C：的一条渐近线与直线3"计5=0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A.y/2B.-—C.V10D.2\/23【解答】解：...双曲线c.・§=1的渐近线方程为尸土又直线3x-y+5=0可化为y=3x+5,可得斜率为3.•.•双曲线”马―*=1的一-条渐近线与直线3a-->4-5=0垂直，砂bb1c2-a21''a=3,k=m二双曲的离心率「=:=攀.CL O故选：B.5.（5分）运行如图所示的程序框图，输出的S=（）A.1009B.・1008C.1007D.・1009【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=1-2+3-4+…十2017 -2018的值,由于S=1・2+3-4+-+20I7-2018=(1+3+-+2017)-(2+4+-+2018)(1+2017)x1009(2+2018)x1009=c—C22=-1009.故选；D.6.(5分)己知/(%)=0。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 若P ={y|y =x 2}，Q ={x|x 2+y 2=2}，P ∩Q 等于（ ）A.[0,√2brackB.{(1, 1), (−1, 1)}C.{0,√2}D.⌀2. 若复数z 满足iz =|−1+√3i 1+i|+2i ，（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面上所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设a →,b →为两个非零向量，则“a →⋅b →=|a →⋅b →|”是“a →与b →共线”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0, b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4, 3)，则此双曲线的方程为（ ） A.y 29−x 216=1 B.y 24−x 23=1 C.y 216−x 29=1D.y 23−x 24=15. 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 2(1−x),x ≤0f(x −1)−f(x −2),x >0 ，则f(2014)的值为（ ） A.−1 B.0C.1D.26. 若sin2α=√55，sin(β−α)=√1010，且α∈[π4, π]，β∈[π, 3π2]，则α+β的值是（ ）A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π47. 祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为ℎ(0<ℎ<1)的平面截该几何体，则截面面积为（ ）A.πB.πℎ2C.π(1−ℎ)2D.π(1−ℎ2)8. 现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（ ） A.15B.25C.35D.459. 已知{a n }为等比数列，S 4=3，S 12−S 8=12，则S 8等于（ ） A.−3 B.9 C.−3或9 D.−3或610. 如图在矩形ABCD 中，AB =2√3，BC =2，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）A.2π3B.π3C.√6+√23D.√6+√2211. 已知抛物线Γ：x 2=8y 的焦点为F ，直线l 与抛物线Γ在第一象限相切于点P ，并且与直线y =−2及x 轴分别交于A 、B 两点，直线PF 与抛物线Γ的另一交点为Q ，过点B 作BC // AF 交PF 于点C ，若|PC|=|QF|，则|PF|=( ) A.√5−1 B.2+√5 C.3+√5 D.5+√512. 已知f(x)=e x ，g(x)=mx +n ，若对任意实数x ，都有f(x)≥g(x)，则mn 的最大值为（ ） A.e 2B.e 23C.2eD.2e 2 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）(x 2+1x −2)n 展式中的常数项是70，则n =________．已知实数x 、y 满足关系{x +y −2≤0x −y +4≥0y ≥1 ，则|√3x −y|的最大值为________．将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m =4则相应最后的输出S 的值是________．数列{a n }的通项公式为a n ={92,(n =1)n 2⋅3n,(n ≥2) ，则数列{a n }的前n 项和S n =________．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长依次a ，b ，c 若cosA =34，cosC =18． (Ⅰ)求cosB 的值；(Ⅱ)若|AC →+BC →|=√46，求BC 边上中线的长．Monte −Carlo 方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte −Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分∫1x 4dx ，这时∫1x 4dx 等于由曲线y =x 4，x 轴，x =1所围成的区域M 的面积，为求它的值，我们在M 外作一个边长为1正方形OABC ，设想在正方形OABC 内随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，则M 的面积的估计值为mn ，此即为定积分∫1x 4dx 的估计值L ，向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M ．(Ⅰ)若ξ=2099，计算L 的值，并与实际值比较误差是否在5%以内； (Ⅱ)求ξ的数学期望；(Ⅲ)用以上方法求定积分，求L 与实际值之差在区间(−0.01, 0.001)的概率．附表：p(n)=∑n i=1C 10000k×0.2k ×0.810000−k .810000−k如图三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC 1与A 1C 相交于点D ，AB =AC =AA 1=BC 1=2，∠A 1AC =120∘，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ． (Ⅰ)求证：BD ⊥AC ；(Ⅱ)求直线AB 1与平面ABC 所成角的余弦值．已知椭圆C:x 236+y 24=1，斜率为13的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P(3√2,√2)在直线l 的上方，（1）求直线l 与x 轴交点的横坐标x 0的取值范围；（2）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条直线上．设函数f(x)=x 2−(a −2)x −alnx ． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若方程f(x)=c （c 为常数）有两个不相等的实数根x 1，x 2，求证：f′(x 1+x 22)>0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ （φ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sinθ. (1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，(0<α<π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4√2，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲](a≠0).已知函数f(x)=|x−a|+12a(1)若不等式f(x)−f(x+m)≤1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a<1，函数g(x)=f(x)+|2x−1|有零点，求实数a的取值范围．2参考答案与试题解析2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】集合P表示的是函数的值域，求出二次函数的值域即化简了P；集合Q表示的方程中x的范围，求出x的范围化简集合Q；利用交集的定义求出P∩Q．【解答】解；P={y|y=x2}={y|y≥0}Q={x|x2+y2=2}={x|−√2≤x≤√2}∴P∩Q={x|0≤x≤√2}2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，进一步求得z的坐标得答案．【解答】∵|−1+√3i1+i |=|−1+√3i||1+i|=√2=√2，∴iz=|−1+√3i1+i|+2i=√2+2i，则z=√2+2ii =(√2+2i)(−i)−i2=2−√2i，∴z=2+√2i．则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标为(2, √2)，位于第一象限．3.【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论．【解答】若a→⋅b→=|a→⋅b→|，则|a→|⋅|b→|cos<a→，b→>=|a→||b→||cos<a→，b→>|，即cos<a→，b→>=|cos<a→，b→>|，则cos<a→，b→>≥0，则a→与b→共线不成立，即充分性不成立．若a→与b→共线，当<a→，b→>=π，cos<a→，b→>=−1，此时a→⋅b→=|a→⋅b→|不成立，即必要性不成立，故“a→⋅b→=|a→⋅b→|”是“a→与b→共线”的既不充分也不必要条件，4.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】由已知条件推导出以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2，且{16+9=c23=ab×4，由此能求出双曲线的方程．【解答】∵双曲线y2a −x2b=1(a>0, b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=c2，∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4, 3)，∴{16+9=c 23=ab×4，解得a=3，b=4，∴双曲线的方程为y29−x216=1．5.【答案】C【考点】函数的求值求函数的值【解析】推导出f(x+6)=f(x)，从而f(2014)=f(335×6+4)=f(4)=f(3)−f(2)= f(2)−f(1)−f(2)=−f(1)=−f(0)+f(−1)，由此能求出结果．【解答】∵定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1−x),x≤0f(x−1)−f(x−2),x>0，∴f(x+6)=f(x+5)−f(x+4)=f(x+4)−f(x+3)−f(x+4)=−f(x+3)=−[f(x+2)−f(x+1)]=−[f(x+1)−f(x)−f(x+1)]=f(x)，∴f(2014)=f(335×6+4)=f(4)=f(3)−f(2)=f(2)−f(1)−f(2)=−f(1)=−f(0)+f(−1)=−log21+log22=1．故选：C．6.【答案】A【考点】二倍角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】依题意，可求得α∈[π4, π2]，2α∈[π2, π]，进一步可知β−α∈[π2, π]，于是可求得cos(β−α)与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】∵α∈[π4, π]，β∈[π, 3π2]，∴2α∈[π2, 2π]，又0<sin2α=√55<12，∴2α∈(5π6, π)，即α∈(5π12, π2)，∴β−α∈(π2, 13π12)，∴cos2α=−√1−sin22α=−2√55；又sin(β−α)=√1010，∴β−α∈(π2, π)，∴cos(β−α)=−√1−sin2(β−α)=−3√1010，∴cos(α+β)＝cos[2α+(β−α)]＝cos2αcos(β−α)−sin2αsin(β−α)=−2√55×(−3√1010)−√55×√1010=√22．又α∈(5π12, π2)，β∈[π, 3π2]，∴(α+β)∈(17π12, 2π)，∴α+β=7π4，7.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】根据相似求出截面小圆的半径，从额得出答案．【解答】由三视图可知几何体为底面半径和高均为1的圆柱中挖去一个同底同高的圆锥，截面为圆环．设截面小圆半径为r，则r1=ℎ1，即r=ℎ，∴截面面积为S=π×12−πr2=π(1−ℎ2)．8.【答案】C【考点】排列、组合的应用古典概型及其概率计算公式【解析】男生甲不站两端，共有n=C41A55=480种，考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C32A22A42A33=432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C32A22A32A22=144种，从而不同的排列方法共有m=432−144=288种，由此能求出在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率．【解答】解：男生甲不站两端，共有n=C41A55=480种，考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C32A22A42A33=432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C32A22A32A22=144种，∴不同的排列方法共有m=432−144=288种，∴在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是：p=mn =288480=35．故选C.9.【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】根据等比数列的性质求解即可．【解答】由{a n}为等比数列，S4=3，S12−S8=12，可得S4，S8−S4，S12−S8成等比数列．即(S8−S4)2=S4(S12−S8)=36．∴S8−S4=±6∴S8=9或−3，当S8=−3时，即a1(1−q7)1−q=−3S4=3，即a1(1−q3)1−q=3，可得：q=1不满足题意，∴S8≠−3∴S8=9．10.【答案】A【考点】轨迹方程【解析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D′K，则∠D′KA=90∘，得到K点的轨迹是以AD′为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D′K，则∠D′KA=90∘，故K点的轨迹是以AD′为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，如图当E与C重合时，AK=√12+4=1，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠KOA=π3，∴∠KOD′=2π3，其所对的弧长为2π3，11.【答案】C【考点】抛物线的求解【解析】设P(m, 18m2)，分别过B、P作直线y=−2的垂线，垂足为D、E，由已知条件推导出|FC|=|BD|=2，设直线PQ的方程为y=kx+2，代入C:x2=8y得x2−8kx−16= 00，由此能求出|PF|．【解答】设P(m, 18m2)，分别过B、P作直线y=−2的垂线，垂足为D、E，∵BC // AF，∴|FC||FP|=|AB||AP|=|BD||PE|，∵|FP|=|PE|，∴|FC|=|BD|=2，设直线PQ的方程为y=kx+2，代入C:x2=8y得x2−8kx−16=0，∴m⋅x Q=−16，∴x Q=−16m ，∴y Q=32m2，∵|PF|=18m2+2，∴|PC|=18m2，∵|QF|=32m2+2，|PC|=|QF|，∴得18m2=32m2+2，∴m4−16m2−256=0，解得m2=8+8√5∴|PF|=18m2+2=3+√5．12.【答案】A【考点】函数的求值【解析】由题意可得f(x)−g(x)≥0恒成立，即为e x−mx−n≥0，令ℎ(x)=e x−mx−n，求出函数的导数，再分别讨论m=0，m<0，m>0的情况，从而得出mn的最大值．【解答】由题意可得f(x)−g(x)≥0恒成立，即为e x−mx−n≥0，令ℎ(x)=e x−mx−n，ℎ′(x)=e x−m，若m=0，则ℎ(x)=e x−n的最小值为ℎ(x)>−n≥0，得n≤0，此时mn=0；若m<0，则ℎ′(x)>0，函数单调增，x→−∞，此时ℎ(x)→−∞，不可能恒有ℎ(x)≥0．若m>0，则得极小值点x=lnm，由ℎ(lnm)=m−mlnm−n≥0，得n≤m(1−lnm)，mn≤m2(1−lnm)=k(m)．现求k(m)的最小值：由k′(m)=2m(1−lnm)−m=m(1−2lnm)=0，得极小值点m=e12，k(e12)=e2，所以mn的最大值为e2．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）【答案】4【考点】二项式定理的应用【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得n=r，再根据常数项为70，求得n的值．【解答】∵(x2+1x2−2)n=(x−1x)2n的展式的通项公式为T r+1=C2n r⋅(−1)r⋅x2n−2r，令2n−2r=0，求得n=r，故展开式的常数项为(−1)n⋅C2n n=70，求得n=4，【答案】3√3+1【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，然后分√3x−y>0和√3x−y<0分别求出其最小值和最大值，则|√3x−y|的最大值可求．【解答】由约束条件{x +y −2≤0x −y +4≥0y ≥1 作出可行域如图，联立{y =1x +y −2=0 ，解得A(1, 1)， 联立{y =1x −y +4=0，解得B(−3, 1)， 当√3x −y >0时，t =√3x −y 过A 时有最大值为√3−1；当√3x −y <0时，t =√3x −y 过B 时有最小值为−3√3−1． ∴ |√3x −y|的最大值为3√3+1． 【答案】 15【考点】循环结构的应用 【解析】根据所给条件，按照流程图的流程进行逐一判定，看其是否满足判断框的条件，从而选择下一处理框，依次执行可得到所求． 【解答】i =1，m =4，满足条件i <m ，j =0，满足条件j ≤i ，则a =C 10=1，S =1+1=2；j =1，满足条件j ≤i ，则a =C 11=1，S =2+1=3；j =2，不满足条件j ≤i ，则i =2，j =0，满足条件j ≤i ，则a =C 20=1，S =3+1=4；j =1，满足条件j ≤i ，则a =C 21=2，S =4+2=6； j =2，满足条件j ≤i ，则a =C 22=1，S =6+1=7；j =3，不满足条件j ≤i ，则i =3，j =0，满足条件j ≤i ，则a =C 30=1，S =7+1=8；j =1，满足条件j ≤i ，则a =C 31=3，S =8+3=11； j =2，满足条件j ≤i ，则a =C 32=3，S =11+3=14； j =3，满足条件j ≤i ，则a =C 33=1，S =14+1=15；j =4，不满足条件j ≤i ，则i =4，不满足条件i <m ，输出S =15； 【答案】n 2−n +12⋅3n+1【考点】 数列的求和 【解析】由错位相减法可得−2S n =27+5⋅33+7⋅34+...+(2n −1)⋅3n −n 2⋅3n+1，设T n =5⋅33+7⋅34+...+(2n −1)⋅3n ，再运用乘公比作差法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】数列{a n }的前n 项和S n =92+22⋅32+32⋅33+42⋅34+...+n 2⋅3n ， 3S n =272+22⋅33+32⋅34+42⋅35+...+n 2⋅3n+1，相减可得−2S n =27+5⋅33+7⋅34+...+(2n −1)⋅3n −n 2⋅3n+1， 设T n =5⋅33+7⋅34+...+(2n −1)⋅3n ， 3T n =5⋅34+7⋅35+...+(2n −1)⋅3n+1，相减可得−2T n =5⋅33+2(34+...+3n )−(2n −1)⋅3n+1 =135+2⋅81(1−3n−3)1−3−(2n −1)⋅3n+1，化简可得T n =(n −1)⋅3n+1−27，即有−2S n =27+(n −1)⋅3n+1−27−n 2⋅3n+1， 化简可得S n =n 2−n+12⋅3n+1，三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【答案】(Ⅰ)根据题意，△ABC 中，cosA =34，cosC =18． 则sinA =√1−cos 2A =74，sinC =√1−cos 2C =3√78， 则cosB =−cos(A +C)=−cosAcosC +sinAsinC =916； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB =√1−cos 2B =5√716， 又由sinA =74，sinC =3√78，则有BC sinA =AC sinB =AB sinC ，即BC 4=AC 5=AB 6，设BC =4k ，AC =5k ，AB =6k ，若|AC →+BC →|=√46，则AC →2+BC →2+2AC →⋅BC →=25k 2+16k 2+2×5k ×4k ×18=46k 2=46，解可得：k =1，k =−1（舍）； 则BC =4，AC =5，AB =6，设BC 的中点为D ，则AD →=12(AC →+AB →)，则有AD →2=14(AC →2+AB →2+2AC →⋅AB →)=14(25+36+2×5×6×34)=1064，则|AD →|=√1062；则BC 边上中线的长为√1062．【考点】 三角形求面积 【解析】(Ⅰ)根据题意，由同角三角函数的基本关系式分析可得sinA 、sinC 的值，由和角公式计算可得答案；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，计算可得sinB 的值，由正弦定理可得BCsinA =ACsinB =ABsinC ，即BC4=AC 5=AB6，设BC =4k ，AC =5k ，AB =6k ，由向量数量积的计算公式可得若|AC →+BC →|=√46，则AC →2+BC →2+2AC →⋅BC →=25k 2+16k 2+2×5k ×4k ×18=46k 2=46，解可得k 的值，即可得BC =4，AC =5，AB =6，设BC 的中点为D ，则AD →=12(AC →+AB →)，结合向量数量积的计算公式计算可得答案． 【解答】(Ⅰ)根据题意，△ABC 中，cosA =34，cosC =18． 则sinA =√1−cos 2A =74，sinC =√1−cos 2C =3√78， 则cosB =−cos(A +C)=−cosAcosC +sinAsinC =916； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB =√1−cos 2B =5√716， 又由sinA =74，sinC =3√78，则有BC sinA =AC sinB =AB sinC ，即BC 4=AC 5=AB 6，设BC =4k ，AC =5k ，AB =6k ，若|AC →+BC →|=√46，则AC →2+BC →2+2AC →⋅BC →=25k 2+16k 2+2×5k ×4k ×18=46k 2=46，解可得：k =1，k =−1（舍）； 则BC =4，AC =5，AB =6，设BC 的中点为D ，则AD →=12(AC →+AB →)，则有AD →2=14(AC →2+AB →2+2AC →⋅AB →)=14(25+36+2×5×6×34)=1064，则|AD →|=√1062；则BC 边上中线的长为√1062．【答案】（1）若ξ=2099，则I =209910000=0.2099， 而∫1x 4dx =15x 5|01=0.2，∴ 估计值与实际值的误差为：|0.2099−0.2|0.2×100%=4.95%，即估计值与实际值的误差在5%以内．（2）由题意，每一次试验能够落入区域M 中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ∼B(10000, 0.2)，∴Eξ=10000×0.2=2000．（3）I与实际值之差在区间(−0.01, 0.01)的概率为P(|ξ10000−0.2|<0.01)=P(1900<ξ<2100)=∑∗k=19012100C10000k0.2k∗0.810000−k=P(2099)−P(1900)=0.9871．【考点】独立性检验离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）若ξ=2099，则I=209910000=0.2099，由此利用定积分能求出估计值与实际值的误差在5%以内．（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ∼B(10000, 0.2)，由此能求出ξ的数学期望．（3）I与实际值之差在区间(−0.01, 0.01)的概率为P(|ξ10000−0.2|<0.01)，由此能求出结果．【解答】（1）若ξ=2099，则I=209910000=0.2099，而∫10x4dx=15x5|01=0.2，∴估计值与实际值的误差为：|0.2099−0.2|0.2×100%=4.95%，即估计值与实际值的误差在5%以内．（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ∼B(10000, 0.2)，∴Eξ=10000×0.2=2000．（3）I与实际值之差在区间(−0.01, 0.01)的概率为P(|ξ10000−0.2|<0.01)=P(1900<ξ<2100)=∑∗k=19012100C10000k0.2k∗0.810000−k=P(2099)−P(1900)=0.9871．【答案】(Ⅰ)证明：在△ABC1中，∵AB=BC1，D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，∴BD⊥平面AA1C1C，而AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AC；(Ⅱ)由题意知，四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，而BD⊥平面ACC1A1，故分别以DA1，DA，DB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D −xyz ．则A(0, 1, 0)，B(0, 0, √3)，A 1(√3, 0, 0)， C(−√3, 0, 0)，令B 1(x, y, z)，则BB 1→=(x,y,z −√3)，AA 1→=(√3,−1,0)． 而AA 1→=BB 1→，∴ x =z =√3，y =−1． 即B 1(√3, −1, √3)，AB 1→=(√3,−2,√3)， 而AB →=(0,−1,√3)，AC →=(−√3,−1,0)， 令平面ABC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则有{n →∗AB →=−y +√3z =0n →∗AC →=−√3x −y =0 ，取z =1，得n →=(−1,√3,1)． 设直线AB 1与平面ABC 所成角为θ， 则sinθ=|cos <n →,AB 1→>|=|n →∗AB 1→||n →|∗|AB 1→|=√35√2=√65． ∴ cosθ=√1−sin 2θ=√195．故直线AB 1与平面ABC 所成角的余弦值为√195．【考点】直线与平面所成的角 【解析】(Ⅰ)在△ABC 1中，由已知可得BD ⊥AC 1，再由面面垂直的性质可得BD ⊥平面AA 1C 1C ，从而得到BD ⊥AC ；(Ⅱ)由题意知，四边形ACC 1A 1是菱形，可得A 1C ⊥AC 1，而BD ⊥平面ACC 1A 1，故分别以DA 1，DA ，DB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，设出B 1坐标，由AA 1→=BB 1→求得B 1，然后求出平面ABC 的一个法向量，进一步求得直线AB 1与平面ABC 所成角的余弦值，则直线AB 1与平面ABC 所成角的余弦值可求． 【解答】(Ⅰ)证明：在△ABC 1中，∵ AB =BC 1，D 为AC 1的中点，∴ BD ⊥AC 1，∵ 平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC 1∩平面AA 1C 1C =AC 1， ∴ BD ⊥平面AA 1C 1C ，而AC ⊂平面AA 1C 1C ，∴ BD ⊥AC ；(Ⅱ)由题意知，四边形ACC 1A 1是菱形，∴ A 1C ⊥AC 1，而BD ⊥平面ACC 1A 1，故分别以DA 1，DA ，DB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ．则A(0, 1, 0)，B(0, 0, √3)，A 1(√3, 0, 0)， C(−√3, 0, 0)，令B 1(x, y, z)，则BB 1→=(x,y,z −√3)，AA 1→=(√3,−1,0)． 而AA 1→=BB 1→，∴ x =z =√3，y =−1． 即B 1(√3, −1, √3)，AB 1→=(√3,−2,√3)， 而AB →=(0,−1,√3)，AC →=(−√3,−1,0)， 令平面ABC 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则有{n →∗AB →=−y +√3z =0n →∗AC →=−√3x −y =0 ，取z =1，得n →=(−1,√3,1)． 设直线AB 1与平面ABC 所成角为θ， 则sinθ=|cos <n →,AB 1→>|=|n →∗AB 1→||n →|∗|AB 1→|=√35√2=√65． ∴ cosθ=√1−sin 2θ=√195．故直线AB 1与平面ABC 所成角的余弦值为√195．【答案】设直线l 的方程为y =13x +b ，∵ 点P(3√2,√2)在直线l 的上方， ∴ √2>√2+b ，∴ b <0直线l 的方程代入椭圆方程，整理可得2x 2+6bx +9b 2−36=0 ∵ 斜率为13的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点， ∴ △=36b 2−8(9b 2−36)=−36b 2+288>0 ∴ −2√2<b <2√2 ∴ −2√2<b <0由y =13x +b ，令y =0可得x =−3b ，即x 0=−3b ，∴ x 0∈(0,6√2)证明：设A(x 1, y 1)，B(x 1, y 1)，则{x 1+x 2=x 0x 1⋅x 2=x 02−362∵ k PA =10√2)3(x −3√2)，k PB =20√2)3(x −3√2)∴ k PA +k PB =0，又∵ 点P 在直线l 的上方，故∠APB 的角平分线是平行于y 轴的直线， 故∠PAB 的内切圆圆心在直线x =3√2上． 【考点】圆锥曲线的综合问题直线与椭圆结合的最值问题 【解析】（1）根据点P(3√2,√2)在直线l 的上方，斜率为13的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，可得b 的范围，进而可求直线l 与x 轴交点的横坐标x 0的取值范围；（2）证明k PA +k PB =0，根据点P 在直线l 的上方，可得∠APB 的角平分线是平行于y 轴的直线，故可得结论． 【解答】设直线l 的方程为y =13x +b ，∵ 点P(3√2,√2)在直线l 的上方， ∴ √2>√2+b ，∴ b <0直线l 的方程代入椭圆方程，整理可得2x 2+6bx +9b 2−36=0 ∵ 斜率为13的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点， ∴ △=36b 2−8(9b 2−36)=−36b 2+288>0 ∴ −2√2<b <2√2 ∴ −2√2<b <0由y =13x +b ，令y =0可得x =−3b ，即x 0=−3b ， ∴ x 0∈(0,6√2)证明：设A(x 1, y 1)，B(x 1, y 1)，则{x 1+x 2=x 0x 1⋅x 2=x 02−362∵ k PA =10√2)3(x −3√2)，k PB =20√2)3(x −3√2)∴ k PA +k PB =0，又∵ 点P 在直线l 的上方，故∠APB 的角平分线是平行于y 轴的直线， 故∠PAB 的内切圆圆心在直线x =3√2上． 【答案】(Ⅰ)∵ f(x)=x 2−(a −2)x −alnx ． ∴ x ∈(0, +∞)，f′(x)=2x −(a −2)−ax =2x 2−(a−2)x−ax=(2x−a)(x+1)x，当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ f(x)的单调递增区间为(0, +∞)，当a >0时，由f′(x)>0，得x >a2，由f′(x)<0，得0<x <a2，∴函数f(x)的单调递增区间为(a2, +∞)，单调递减区间为(0, a2)．证明：(Ⅱ)∵方程f(x)=c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，由(Ⅰ)知a>0，设0<x1<x2，则x12−(a−2)x1−alnx1=c，x22−(a−2)x2−alnx2=c，两式相减，得x12−(a−2)x1−alnx1−x22+(a−2)x2+alnx2=0，∴a=x12+2x1−x22−2x2x1+lnx1+x2−lnx2，∵f′(a2)=0，当x∈(0, a2)时，f′(x)<0，当x∈(a2, +∞)时，f′(x)>0，∴只要证明x1+x22>a2即可，即证明x1+x2>x12+2x1−x22−2xx1+lnx1−x2−lnx22，即证明(x1+x2)(x1+lnx1−x2−lnx2)<x12+2x1−x22−2x2，即证明ln x1x2<2x1−2x2x1+x2，设t=x1x2(0<t<1)，令g(t)=lnt−2t−2t+1，则g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2，∵1>t>0，∴g′(t)>0，∴g(t)在(0, 1)上是增函数，又在t=1处连续且g(1)=0，∴当t∈(0, 1)时，g(t)<0总成立，∴f′(x1+x22)>0．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)推导出x∈(0, +∞)，f′(x)=2x−(a−2)−ax =(2x−a)(x+1)x，由此利用导数性质能求出函数f(x)的单调区间．(Ⅱ)推导出a>0，设0<x1<x2，则x12−(a−2)x1−alnx1=c，x22−(a−2)x2−alnx2=c，从而a=x12+2x1−x22−2x2x1+lnx1+x2−lnx2，进而只要证明x1+x22>a2，即证明ln x1x2<2x1−2x2x1+x2，设t=x1x2(0<t<1)，令g(t)=lnt−2t−2t+1，利用导数性质能证明f′(x1+x22)>0．【解答】(Ⅰ)∵f(x)=x2−(a−2)x−alnx．∴x∈(0, +∞)，f′(x)=2x−(a−2)−ax =2x2−(a−2)x−ax=(2x−a)(x+1)x，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f(x)的单调递增区间为(0, +∞)，当a>0时，由f′(x)>0，得x>a2，由f′(x)<0，得0<x<a2，∴函数f(x)的单调递增区间为(a2, +∞)，单调递减区间为(0, a2)．证明：(Ⅱ)∵ 方程f(x)=c （c 为常数）有两个不相等的实数根x 1，x 2， 由(Ⅰ)知a >0，设0<x 1<x 2，则x 12−(a −2)x 1−alnx 1=c ，x 22−(a −2)x 2−alnx 2=c ， 两式相减，得x 12−(a −2)x 1−alnx 1−x 22+(a −2)x 2+alnx 2=0， ∴ a =x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1+x 2−lnx 2，∵ f′(a2)=0，当x ∈(0, a2)时，f′(x)<0，当x ∈(a2, +∞)时，f′(x)>0， ∴ 只要证明x 1+x 22>a2即可，即证明x 1+x 2>x12+2x 1−x 22−2xx 1+lnx1−x 2−lnx 22，即证明(x 1+x 2)(x 1+lnx 1−x 2−lnx 2)<x 12+2x 1−x 22−2x 2，即证明ln x1x 2<2x 1−2x 2x 1+x 2，设t =x1x 2(0<t <1)，令g(t)=lnt −2t−2t+1，则g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2，∵ 1>t >0，∴ g′(t)>0，∴ g(t)在(0, 1)上是增函数，又在t =1处连续且g(1)=0， ∴ 当t ∈(0, 1)时，g(t)<0总成立， ∴ f′(x 1+x 22)>0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲] 【答案】解：(1)由曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数），消去参数得曲线C 1的普通方程为(x −2)2+y 2＝4． ∵ 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sinθ， ∴ ρ2＝4ρsinθ，∴ C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝4y ，整理，得x 2+(y −2)2＝4．(2)曲线C 1：(x −2)2+y 2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ， 设A(ρ1, α1)，B(ρ2, α2)，∵ 曲线C 3的极坐标方程为θ＝α，0<α<π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点， 点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB|＝4√2， ∴ |AB|＝|ρ1−ρ2|＝|4sinα−4cosα|＝4√2|sin(α−π4)|＝4√2， ∴ sin(α−π4)＝±1， ∵ 0<α<π， ∴ −π4<α−π4<3π4，∴ α−π4=π2， 解得α=3π4．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】(Ⅰ)由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程．(Ⅱ)曲线C 1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A(ρ1, α1)，B(ρ2, α2)，从而得到|AB|＝|ρ1−ρ2|＝|4sinα−4cosα|＝4√2|sin(α−π4)|＝4√2，进而sin(α−π4)＝±1，由此能求出结果．【解答】解：(1)由曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ（φ为参数）， 消去参数得曲线C 1的普通方程为(x −2)2+y 2＝4．∵ 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ ρ2＝4ρsinθ，∴ C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝4y ，整理，得x 2+(y −2)2＝4．(2)曲线C 1：(x −2)2+y 2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ， 设A(ρ1, α1)，B(ρ2, α2)，∵ 曲线C 3的极坐标方程为θ＝α，0<α<π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点， 点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB|＝4√2， ∴ |AB|＝|ρ1−ρ2|＝|4sinα−4cosα|＝4√2|sin(α−π4)|＝4√2， ∴ sin(α−π4)＝±1，∵ 0<α<π，∴ −π4<α−π4<3π4， ∴ α−π4=π2，解得α=3π4．[选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)∵ f(x)=|x −a|+12a ，∴ f(x +m)=|x +m −a|+12a ，∴ f(x)−f(x +m)=|x −a|−|x +m −a|≤|m|，∴ |m|≤1，∴ −1≤m ≤1，∴ 实数m 的最大值为1；(2)当a <12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a={ −3x +a +12a +1,x <a,−x −a +1+1,a ≤x ≤1,3x −a +12a −1,x >12,∵ g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，∴ g(x)在(−∞, 12)上单调递减，在(12, +∞)上单调递增．∴ g(x)min =g(12)=12−a +12a=−2a 2+a+12a ≤0， ∴ {0<a <12,−2a 2+a +1≤0,或{a <0,−2a 2+a +1≥0, 解得−12≤a <0，∴ 实数a 的取值范围是[−12,0)．【考点】绝对值不等式绝对值三角不等式函数零点的判定定理【解析】（1）若不等式f(x)−f(x +m)≤1恒成立，利用f(x)−f(x +m)＝|x −a|−|x +m −a|≤|m|，求实数m 的最大值；（2）当a 12时，函数g(x)＝f(x)+|2x −1|有零点，g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a ≤0，可得{0a 12−2a 2+a +1≤0 或{a0−2a 2+a +1≥0 ，即可求实数a 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=|x −a|+12a ，∴ f(x +m)=|x +m −a|+12a ，∴ f(x)−f(x +m)=|x −a|−|x +m −a|≤|m|，∴ |m|≤1，∴ −1≤m ≤1，∴ 实数m 的最大值为1；(2)当a <12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a={ −3x +a +12a +1,x <a,−x −a +12a +1,a ≤x ≤12,3x −a +12a −1,x >12, ∵ g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，∴ g(x)在(−∞, 12)上单调递减，在(12, +∞)上单调递增．∴ g(x)min =g(12)=12−a +12a=−2a 2+a+12a ≤0， ∴ {0<a <12,−2a 2+a +1≤0,或{a <0,−2a 2+a +1≥0, 解得−12≤a <0， ∴ 实数a 的取值范围是[−12,0)．。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．26．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或610．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．512．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是．16．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）若P＝{y|y＝x2}，Q＝{x|x2+y2＝2}，P∩Q等于（）A．B．{（1，1），（﹣1，1）}C．D．∅【解答】解；P＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}∴故选：A．2．（5分）若复数z满足iz＝||+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵||＝，∴iz＝||+2i＝，则z＝，∴．则复数z的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标为（2，），位于第一象限．故选：A．3．（5分）设为两个非零向量，则“•＝|•|”是“与共线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若•＝|•|，则||•||cos＜，＞＝|||||cos＜，＞|，即cos＜，＞＝|cos＜，＞|，则cos＜，＞≥0，则与共线不成立，即充分性不成立．若与共线，当＜，＞＝π，cos＜，＞＝﹣1，此时•＝|•|不成立，即必要性不成立，故“•＝|•|”是“与共线”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，∴以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，∵以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），∴，解得a＝3，b＝4，∴双曲线的方程为．故选：A．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，则f（2014）的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝，∴f（x+6）＝f（x+5）﹣f（x+4）＝f（x+4）﹣f（x+3）﹣f（x+4）＝﹣f（x+3）＝﹣[f（x+2）﹣f（x+1）]＝﹣[f（x+1）﹣f（x）﹣f（x+1）]＝f（x），∴f（2014）＝f（335×6+4）＝f（4）＝f（3）﹣f（2）＝f（2）﹣f（1）﹣f（2）＝﹣f（1）＝﹣f（0）+f（﹣1）＝﹣log21+log22＝1．故选：C．6．（5分）若sin2α＝，sin（β﹣α）＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α＝＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α＝﹣＝﹣；又sin（β﹣α）＝，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）＝﹣＝﹣，∴cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）＝﹣×（﹣）﹣×＝．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β＝，故选：A．7．（5分）祖暅是我国南北朝时代伟大的数学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面积面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体的三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行且相距为h（0＜h＜1）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．πB．πh2C．π（1﹣h）2D．π（1﹣h2）【解答】解：由三视图可知几何体为底面半径和高均为1的圆柱中挖去一个同底同高的圆锥，截面为圆环．设截面小圆半径为r，则，即r＝h，∴截面面积为S＝π×12﹣πr2＝π（1﹣h2）．故选：D．8．（5分）现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：男生甲不站两端，共有n＝C41A55＝480种，考虑3位女生中有且只有两位相邻的排列，共有C32A22A42A33＝432种，在3女生中有且仅有两位相邻且男生甲在两端的排列有2×C32A22A32A22＝144种，∴不同的排列方法共有m＝432﹣144＝288种，∴在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是：p＝＝．故选：C．9．（5分）已知{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，则S8等于（）A．﹣3B．9C．﹣3或9D．﹣3或6【解答】解：由{a n}为等比数列，S4＝3，S12﹣S8＝12，可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列．即（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8）＝36．∴S8﹣S4＝±6∴S8＝9或﹣3，当S8＝﹣3时，即S4＝3，即，可得：q＝1不满足题意，∴S8≠﹣3∴S8＝9．故选：B．10．（5分）如图在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为线段DC上一动点，现将△AED 沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则∠D'KA＝90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，如图当E与C重合时，AK＝＝1，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠KOA＝，∴∠KOD'＝，其所对的弧长为，故选：A．11．（5分）已知抛物线Γ：x2＝8y的焦点为F，直线l与抛物线Γ在第一象限相切于点P，并且与直线y＝﹣2及x轴分别交于A、B两点，直线PF与抛物线Γ的另一交点为Q，过点B作BC∥AF交PF于点C，若|PC|＝|QF|，则|PF|＝（）A．﹣1B．2C．3D．5【解答】解：设P（m，m2），分别过B、P作直线y＝﹣2的垂线，垂足为D、E，∵BC∥AF，∴＝＝，∵|FP|＝|PE|，∴|FC|＝|BD|＝2，设直线PQ的方程为y＝kx+2，代入C：x2＝8y得x2﹣8kx﹣16＝0，∴m•x Q＝﹣16，∴x Q＝﹣，∴y Q＝，∵|PF|＝m2+2，∴|PC|＝m2，∵|QF|＝+2，|PC|＝|QF|，∴得m2＝+2，∴m4﹣16m2﹣256＝0，解得m2＝8+8∴|PF|＝m2+2＝3+．故选：C．12．（5分）已知f（x）＝e x，g（x）＝mx+n，若对任意实数x，都有f（x）≥g（x），则mn 的最大值为（）A．B．C．2e D．2e2【解答】解：由题意可得f（x）﹣g（x）≥0恒成立，即为e x﹣mx﹣n≥0，令h（x）＝e x﹣mx﹣n，h′（x）＝e x﹣m，若m＝0，则h（x）＝e x﹣n的最小值为h（x）＞﹣n≥0，得n≤0，此时mn＝0；若m＜0，则h′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时h（x）→﹣∞，不可能恒有h（x）≥0．若m＞0，则得极小值点x＝lnm，由h（lnm）＝m﹣mlnm﹣n≥0，得n≤m（1﹣lnm），mn≤m2（1﹣lnm）＝k（m）．现求k（m）的最小值：由k′（m）＝2m（1﹣lnm）﹣m＝m（1﹣2lnm）＝0，得极小值点m＝，k（）＝，所以mn的最大值为．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x2+﹣2）n展式中的常数项是70，则n＝4．【解答】解：∵（x2+﹣2）n＝的展式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x2n﹣2r，令2n﹣2r＝0，求得n＝r，故展开式的常数项为（﹣1）n•＝70，求得n＝4，故答案为：4．14．（5分）已知实数x、y满足关系，则|﹣y|的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得B（﹣3，1），当时，t＝过A时有最大值为；当时，t＝过B 时有最小值为﹣3．∴|﹣y|的最大值为．故答案为：．15．（5分）将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，如图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m＝4则相应最后的输出S的值是15．【解答】解：i＝1，m＝4，满足条件i＜m，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝1+1＝2；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝2+1＝3；j＝2，不满足条件j≤i，则i＝2，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝3+1＝4；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝2，S＝4+2＝6；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝6+1＝7；j＝3，不满足条件j≤i，则i＝3，j＝0，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝7+1＝8；j＝1，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝8+3＝11；j＝2，满足条件j≤i，则a＝＝3，S＝11+3＝14；j＝3，满足条件j≤i，则a＝＝1，S＝14+1＝15；j＝4，不满足条件j≤i，则i＝4，不满足条件i＜m，输出S＝15；故答案为：1516．（5分）数列{a n}的通项公式为a n＝，则数列{a n}的前n项和S n＝•3n+1．【解答】解：数列{a n}的前n项和S n＝+22•32+32•33+42•34+…+n2•3n，3S n＝+22•33+32•34+42•35+…+n2•3n+1，相减可得﹣2S n＝27+5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n﹣n2•3n+1，设T n＝5•33+7•34+…+（2n﹣1）•3n，3T n＝5•34+7•35+…+（2n﹣1）•3n+1，相减可得﹣2T n＝5•33+2（34+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1＝135+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T n＝（n﹣1）•3n+1﹣27，即有﹣2S n＝27+（n﹣1）•3n+1﹣27﹣n2•3n+1，化简可得S n＝•3n+1，故答案为：•3n+1．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次a，b，c若cos A＝，cos C＝．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若|+|＝，求BC边上中线的长．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，△ABC中，cos A＝，cos C＝．则sin A＝＝，sin C＝＝，则cos B＝﹣cos（A+C）＝﹣cos A cos C+sin A sin C＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin B＝＝，又由sin A＝，sin C＝，则有＝＝，即＝＝，设BC＝4k，AC＝5k，AB＝6k，若|+|＝，则2+2+2•＝25k2+16k2+2×5k×4k×＝46k2＝46，解可得：k＝1，k＝﹣1（舍）；则BC＝4，AC＝5，AB＝6，设BC的中点为D，则＝（+），则有2＝（2+2+2•）＝（25+36+2×5×6×）＝，则||＝；则BC边上中线的长为．18．（12分）Monte﹣Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用，下面是利用Monte﹣Carlo 方法来计算定积分，考虑定积分x4dx，这时x4dx等于由曲线y＝x4，x轴，x＝1所围成的区域M的面积，为求它的值，我们在M外作一个边长为1正方形OABC，设想在正方形OABC内随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为，此即为定积分x4dx的估计值L，向正方形ABCD中随机投掷10000个点，有ξ个点落入区域M．（Ⅰ）若ξ＝2099，计算L的值，并与实际值比较误差是否在5%以内；（Ⅱ）求ξ的数学期望；（Ⅲ）用以上方法求定积分，求L与实际值之差在区间（﹣0.01，0.001）的概率．附表：p（n）＝×0.2k×0.810000﹣k.810000﹣k【解答】解：（1）若ξ＝2099，则I＝，而＝＝0.2，…（2分）∴估计值与实际值的误差为：，即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）∴Eξ＝10000×0.2＝2000．…（9分）（3）I与实际值之差在区间（﹣0.01，0.01）的概率为P（||＜0.01）＝P（1900＜ξ＜2100）＝＝P（2099）﹣P（1900）＝0.9871．…（14分）19．（12分）如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC1与A1C相交于点D，AB＝AC＝AA1＝BC1＝2，∠A1AC＝120°，平面ABC1⊥平面AA1C1C．（Ⅰ）求证：BD⊥AC；（Ⅱ）求直线AB1与平面ABC所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC1中，∵AB＝BC1，D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，且平面ABC1∩平面AA1C1C＝AC1，∴BD⊥平面AA1C1C，而AC⊂平面AA1C1C，∴BD⊥AC；（Ⅱ）解：由题意知，四边形ACC1A1是菱形，∴A1C⊥AC1，而BD⊥平面ACC1A1，故分别以DA1，DA，DB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，），A1（，0，0），C（，0，0），令B1（x，y，z），则，．而，∴x＝z＝，y＝﹣1．即B1（，﹣1，），，而，，令平面ABC的一个法向量为，则有，取z＝1，得．设直线AB1与平面ABC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．∴cosθ＝．故直线AB1与平面ABC所成角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆，斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，且点在直线l的上方，（1）求直线l与x轴交点的横坐标x0的取值范围；（2）证明：△P AB的内切圆的圆心在一条直线上．【解答】（1）解：设直线l的方程为，∵点在直线l的上方，∴，∴b＜0直线l的方程代入椭圆方程，整理可得2x2+6bx+9b2﹣36＝0∵斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，∴△＝36b2﹣8（9b2﹣36）＝﹣36b2+288＞0∴﹣2＜b＜2∴﹣2＜b＜0由，令y＝0可得x＝﹣3b，即x0＝﹣3b，∴（2）证明：设A（x1，y1），B（x1，y1），则∵，∴k P A+k PB＝0，又∵点P在直线l的上方，故∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，故∠P AB的内切圆圆心在直线上．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（）＞0．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．∴x∈（0，+∞），＝＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．证明：（Ⅱ）∵方程f（x）＝c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2，由（Ⅰ）知a＞0，设0＜x1＜x2，则＝c，，两式相减，得﹣＝0，∴a＝，∵f′（）＝0，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴只要证明＞即可，即证明x1+x2＞，即证明（x1+x2）（x1+lnx1﹣x2﹣lnx2）＜，即证明ln＜，设t＝（0＜t＜1），令g（t）＝lnt﹣，则g′（t）＝＝，∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0，∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立，∴f′（）＞0．[选修4-4，极坐标与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，求实数α的值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2＝4y，整理，得x2+（y﹣2）2＝4．（Ⅱ）曲线C1：（x﹣2）2+y2＝4化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ＝α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|＝4，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，∴sin（）＝±1，∵0＜α＜π，∴，∴，解得．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
【全国市级联考word】河南省郑州市2018届高三高中毕业年级第二次质量预测理数试题
2018年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={x|y =√−x 2+x +2,x ∈N},Q ={x|ln x <1}，则P ∩Q =（ ） A ．{0，1，2} B ．{1，2} C ．（0，2] D ．(0，e)2.若复数z =2+i i 5−1,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.命题“∀x ∈[1,2],x 2−3x +2≤0”的否定为( ) A ．∀x ∈[1,2],x 2−3x +2>0B ．∀x ∉[1,2],x 2−3x +2>0C ．∃x 0[1,2],x 02−3x 0+2>0D ．∃x 0∉[1,2],x 02−3x 0+2>04.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线与直线3x −y +5=0垂直，则双曲线C 的离心率等于( ) A ．√2 B ．√103C.√10 D ．2√2 5.运行如图所示的程序框图，则输出的S 为( )A ．1009B ．-1008 C.1007 D ．-10096.已知f (x )={(2a −1)x +4,(x ≤1)a x,(x >1)的定义域为R ，数列{a n }(n ∈N ∗)满足a n =f(n),且{a n }是递增数列，则a 的取值范围是( )A ．(1，+∞)B ．(12，+∞) C.(1，3) D ．(3，+∞)7.已知平面向量a,b,c 满足|a |=|b |=|c |=1,若a ∙b =12,则(a +b )∙(2b −c )的最小值为( )A ．-2B ．-√3 C. -1 D ．08.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事.撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A ．240种 B ．188种 C.156种 D ．120种9.已知函数f (x )=√3cos (2x −π2)−cos 2x ,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f (x )的图象( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π12个单位长度 D ．向右平移π12个单位长度10.函数y =sin x (1+cos 2x )在区间[−π，π]上的大致图象为( )A ．B ．C. D ．11.如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0,过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N ,则|PN |+4|QM |的最小值为( )A ．23B ．42 C.12 D ．5212.已知M ={α|f (α)=0},N ={β|g (β)=0},若存在α∈M,β∈N ,使得|α−β|<n ,则称函数f(x)与g(x)互为“n 度零点函数”.若f (x )=32−x −1与g (x )=x 2−ae x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A ．(1e 2,4e ] B ．(1e ,4e 2] C. [4e 2,2e ) D ．[4e 3,2e 2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式(2x−3)n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中x2的系数为．14.已知实数x,y满足条件{y≤2x,2x+y≥2,x≤1,则yx+3的最大值为．15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥.某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为2√2，则该几何体外接球的表面积为．16.已知椭圆r:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且离心率为12，∆ABC的三个顶点都在椭圆r上，设∆ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1.则1k1+1k2+1k3=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.∆ABC内接于半径为R的圆，a,b,c分别是A,B,C的对边，且2R(sin2B−sin2A)=(b−c)sin C,c=3. (Ⅰ)求A；(Ⅱ)若AD是BC边上的中线，AD=√192，求∆ABC的面积.18.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量（单位：度）(0，200](200，400]（400，600](600,800](800,1000]户数7 8 15 13 7(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19.如图所示四棱锥P−ABCD,PA⊥平面ABCD,△DAB≌△DCB,E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC= BC,连接CE并延长交AD于F.(Ⅰ)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；(Ⅱ)若BC=2,PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值.20.已知圆O:x2+y2=4,点F(1,0),P为平面内一动点，以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)M,N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点(0，12)，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由.21.已知函数f(x)=e x−x2.(Ⅰ)求曲线f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x>0时，e x+(2−e)x−1x≥ln x+1.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为(√2，π4)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=a，且l过点A，曲线C1的参数方程为{x=2cosθ,y=√3sinθ,(θ为参数).(Ⅰ)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；(Ⅱ)过点B(−1,1)与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M,N两点，求|BM|∙|BN|的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x−a|+|x−1|,a∈R.(Ⅰ)若不等式f(x)+|x−1|≥2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a<2时，函数f(x)的最小值为a−1,求实数a的值.2018年高中毕业年级第二次质量预测理科数学参考答案一、选择题1-5: BCCBD 6-10: DBDCA 11、12：AB二、填空题13.4860 14.1215.12π 16.−43三、解答题17.解：（Ⅰ）由正弦定理得，2R (sin 2B −sin 2A )=(b −c )sin C 可化为b sin B −a sin A =b sin C −c sin C 即b 2−a 2=bc −c 2 cos A =b 2+c 2−a 22bc=12,A =60°.(Ⅱ)以AB,AC 为邻边作平行四边形ABEC ，在△ABE 中，∠ABE =120°，AE =√19. 在△ABE 中，由余弦定理得AE 2=AB 2+BE 2−2AB ∙BE cos 120°. 即：19−9+AC 2−2×3×AC 2×(−12),解得，AC =2.故133sin 22ABC S bc A ∆==. 18.解：(Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ，则P (A )=35. 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，X 服从二项分布，即X~B (10,35)，故E (X )=10×35=6.(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，由抽样可得7815137()1003005007009005205050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则该自然村年均用电量约156 000度. 又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144000×0.8＝115200元.19. 解：（Ⅰ）在△BCD 中，EB =ED =EC ，故,23BCD CBE CEB ππ∠=∠=∠=，因为△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有.3FED BEC AEB π∠=∠=∠=∴FED FEA ∠=∠，故EF ⊥AD ，AF =FD ． 又PG =GD ，∴FG//PA ．又PA ⊥平面ABCD ， 故GF ⊥平面ABCD ，∴GF ⊥AD ，CF EF F ⋂=故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面CFG ，∴平面PAD ⊥平面CGF . （Ⅱ）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则(000)(200)(330)(0230)(003).A B C D P ，，，，，，，，，，，，，，故(130BC =，，），(333CP =--，，），(330CD =-，，）． 设平面BCP 的法向量111(1)y z =，，n ，则111130,3330,y y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩解得113,32.3y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩－即132(1).33=，－，n 设平面DCP 的法向量222(1)y z =，，n ，则2223303330y y z ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩，，解得2232y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即2(132)=，，n ．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为 12124||23cos .||||41689θ===⨯n n n n20.解：（Ⅰ）设PF 的中点为S ，切点为T ，连OS ，ST ，则|OS|+|SF|=|OT|=2，取F 关于y 轴的对称点F′，连F′P ，故|F′P|+|FP|=2（|OS|+|SF|）=4．所以点B 的轨迹是以F′，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 其中，a =2，c =1,曲线C 方程为x 24+y 23=1.(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设(0,),Q m 设直线l 的方程为12y kx =+，M(x 1,y 1)，N(x 2，y 2)．由221,4312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去x ，得22(34)4110.k x kx ++-= 由直线l 过椭圆内一点1(0,)2作直线故Δ>0，由求根公式得：121222411,,3434k x x x x k k --+=⋅=++由得MQO NQO ∠=∠,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零.故121212121212121112()()2220,kx m kx m kx x m x x y m y m x x x x x x +-+-+-+--+=+== 1212222111144(6)2()()2()0.23423434k k m kx x m x x k m k k k ---+-+=⋅+-⋅==+++存在定点（0,6），当斜率不存在时定点（0,6）也符合题意．21.（Ⅰ）'()2xf x e x =-， 由题设得'(1)2f e =-，(1)1f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为(2) 1.y e x =-+(Ⅱ)x e x f x 2)('-=，2)(''-=xe xf ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，所以02ln 22)2(ln ')('>-=≥f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，所以max ()(1)1,[0,1]f x f e x ==-∈.)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0≠>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方.下证：当0>x 时，,1)2()(+-≥x e x f设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则2)(''),2(2)('-=---=xxe x g e x e x g ，)('x g 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln 21g e g =->=<<，∴0)2(ln '<g ，所以，存在0(0,12)x n ∈，使得0'()0g x =，所以，当),1(),0(0+∞∈ x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+∞上单调递增， 又0)1()0(==g g ，∴01)2()(2≥----=x e x e x g x ，当且仅当1=x 时取等号，故0,1)2(>≥--+x x xx e e x .又ln 1x x ≥+，即1ln 1)2(+≥--+x xx e e x ，当1=x 时，等号成立. 22.解：(Ⅰ)由直线l 过点A 可得2cos 44a ππ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2a =，则易得直线l 的直角坐标方程为20x y +-=根据点到直线的距离方程可得曲线1C 上的点到直线l 的距离()2cos 3sin 27sin 2221,sin 7,cos 7722a a a d φφφ+-+-===， max 72142222d ++∴==(Ⅱ)由（1）知直线l 的倾斜角为34π， 则直线l 1的参数方程为31cos ,431si (n ,4)x t y t f x ππ⎧⎪⎪=⎨=-+=+⎪⎪⎩（t 为参数）. 又易知曲线C 1的普通方程为22143x y +=. 把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程可得2772502t t +-=， 12107t t ∴=-，依据参数t 的几何意义可知12710BM BN t t ⋅==23.解：(Ⅰ)()12f x x +-≥可化为||112ax x -+-≥．||1122a a x x -+-≥-∴11,2a-≥解得：0a ≤或4a ≥．∴实数a 的取值范围为(,0][4,).-∞+∞ （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知 1.2a< 31,(),2()1,(1),231,(1),a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a-∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增，min ()()11,22a af x f a ∴==-+=-解得：4 2.3a =<4.3a ∴=。
2018年河南省六市高三第二次联考数学理
1附表：ρ（n) = I: C 1oooo×0. 2是×0.310000-kn ，.，，‘1900 1901 2099 2100 2101 PCn) I o.0058 I o.0062 I o.0067 I o.9933 I o.9938 I o.994219.本小题满分12分）如右图三棱柱ABC-A1B1C1中，A C 1与A 1C 相交于点D,AB=AC=AA 1 =BC 1 =2，ζA1A C = 120°，平面ABC 1上平面AA1C1C .C I ）求证：BDl_AC;C JB求直线AB1与平面ABC 所成角的余弦值．20.本小题满分12分）已知椭圆c.豆＋芝. 36 4 ＝1，斜率为i 3 的直线l 交椭圆C于A,B两点，且，点.P(3./2,./2）在直线l 的上方，< I ）求直线l与工轴交点的横坐标工。
的取值范围；c IT ）证明：6.PAB 的内切圆的圆心在一条直线上．21.本小题满分12分）设函数f(x)=x 2一α一2)x-alnx .C I ）求函数f(x ）的单调区间；'•' A1 Ac II ）若方程f(x)=c(c 为常数）有两个不相等的实数根…求证：f 咛乌＞o.i 青考生在22一23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.本小题满分10分）［选修4-4，极坐标与参数方程选讲］(x =2+2cosm在直角坐标系x oy 中，曲线C1的参数方程为｛n : 'r(q;为参数），以原点。
为极l y = Z:Slil<p ’ 点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin8.C I ）求曲线C 1的普通方程和飞C 2的直角坐标方程；C II ）已知曲线c 3的极坐标方程为e ＝α，（O ＜α〈π，ρεR），点A是曲线c 3与C1的交点，点B 是曲线c 3与C 2的交点，且A,B均异于原点0，且＇I Aβ｜二4./2，求实数α的值23.本小题满分10分）［选修4-5不等式选讲］已知函数f(x)=Ix-al ＋去（a#O).］）若不等式f(x)-f(x+m ）《l恒成立，求实数m的最大值；C II ）当a ＜÷时，函数g（俨JCx)+I勾－11有零点，求实数α的取值范围高三数学（理科）第4页（共4页）。
河南省八市重点高中2018届高考数学二模试卷理科 含解析
2018年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣） B．（0，） C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为______．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．2018年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1] B．∪=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣） B．（0，） C．（﹣，0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，令t=f（x）﹣xe X，得出f（x）=xe X+t，再由f （t）=te t+t=0求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，不妨令t=f（x）﹣xe X，则f（x）=xe X+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe X，所以f′（x）=（x+1）e X，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为﹣2 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可解1﹣x2＞0得到﹣1＜x＜1，从而有|x﹣2|=2﹣x，这便得到，而由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），这样即可得到2+x+a=﹣（2﹣x+a），从而可求出a的值．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|=2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴2+x+a=﹣（2﹣x+a）；∴2+a=﹣2﹣a；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解： =1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故答案为：4+．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n= （n2﹣2n+3）•2n+1﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n=22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n=（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1=（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）利用a+b+c=1+，a2+b2=c2，根据基本不等式可得1+=a+b+≥2+=（2+）•，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，所以由正、余弦定理，得a+b= c …化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2=c2…故△ABC为直角三角形，且∠C=90° …（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=（2+）•当且仅当a=b时，上式等号成立，所以≤．…故S△ABC=ab≤×…即△ABC面积的最大值为…18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD ⊥平面PAB ，∴是平面PAB 的一个法向量， =（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED 的法向量为=（x ，y ，z ），则•=0， •=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD 的一个法向量，计算可得cos ＜，＞==，∴二面角A ﹣PE ﹣D 的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos ＜，＞==，设1+2λ=t ，t ∈，则cos 2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos ＜，＞|的最大值为．因为y=cosx 在（0，）上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束． （Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值． 【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P==…（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）•=，P（ξ=1）=••=，P（ξ=2）=••=，P（ξ=3）=•+•••+•••=…随机变量ξ的分布列为…．随机变量ξ的均值为E（ξ）=×0+×1+×2+×3=…20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦长公式能求出四边形AA1B1B 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∵，∴b2=5…∴椭圆方程为…（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…∵，∴y1=﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…=∴四边形AA1B1B的面积为．…21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，单调区间，可得f（x）的最大值为f（1）；（Ⅱ）由题意可得恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，求得导数，令导数小于等于0恒成立，运用参数分离和构造函数法，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到所求m的范围；（Ⅲ）结论：＞2n+1．运用构造数列法和等比数列的通项公式，可得a n=．运用对数的运算性质和放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max=f（1）=0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）=，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故min=t（1）=﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由==•+得： =，又，知， =，即有a n=．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）==ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n=a1+a2+…+a n＞+…=ln（2n+1）﹣ln（20+1）=，即＞2n+1．22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O 的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…Rt△OAF中，，…∴r=5证明：（Ⅱ）∵CA=CB，∴∠CAD=∠B又∵∠B=∠E，∴∠CAD=∠E…∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max=9．24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…当时，，得，所以成立．…当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…2018年10月4日。
河南省郑州市2018届高三第二次质量预测理数试题及答案解析
绝密★启用前河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|,{|ln 1}P x y x N Q x x ==∈=<，则P Q ⋂=（ ） A ． {}012，， B ． {}12， C ． 02]（， D ． ()0e ， 2．若复数521iz i +=-,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为( )A ． []21,2,320x x x ∀∈-+> B ． []21,2,320x x x ∀∉-+> C ． []20001,2,320x x x ∃-+> D ． []20001,2,320x x x ∃∉-+>4．已知双曲线22221x y C a b-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A ．． C ． D ． 5．运行如图所示的程序框图，输出的S =（ ）A ． 1009B ． -1008C ． 1007D ． -1009 6．已知()()()214,1{,(1)x a x x f x a x -+≤=>的定义域为R ，数列{}()*n a n N ∈满足()n a f n =,且{}n a 是递增数列，则a 的取值范围是( )A ． ()1+∞，B ． 12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ． ()13， D ． ()3+∞， 7．已知平面向量,,a b c 满足1a b c ===,若12a b = ,则()()2a b b c +- 的最小值为( )A ． -2B ．． -1 D ． 08．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事．撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E F 、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )A ． 240种B ． 188种C ． 156种D ． 120种9．已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数()f x 的图象( )A ． 向左平移6π个单位长度 B ． 向右平移6π个单位长度 C ． 向左平移12π个单位长度 D ． 向右平移12π个单位长度10．函数()y sin 1cos2x x =+在区间[]ππ-，上的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．11．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()24，，圆222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小值为( )A ． 23B ． 42C ． 12D ． 5212．已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A ． 214(,e e ⎤⎥⎦B ． 214(, e e ⎤⎥⎦C ． 242[, e e ⎫⎪⎭D ． 3242[, e e ⎫⎪⎭二、填空题13．已知二项式()23nx -的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中2x 的系数为________．14．已知实数,x y 满足条件2,{22, 1,y x x y x ≤+≥≤则3yx +的最大值为_________．15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为__________．16．已知椭圆()2222r :10x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ,且离心率为12， ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设ABC 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0． O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的斜率之和为1．则123111k k k ++=__________．三、解答题17．ABC 内接于半径为R 的圆， ,,a b c 分别是,,A B C 的对边，且()()222R sin sin b c sin ,3B A C c -=-=．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若AD 是BC 边上的中线，AD =，求ABC 的面积． 18．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；(Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0．8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19．如图所示四棱锥,P ABCD PA -⊥平面,,ABCD DAB DCB E ≌为线段BD 上的一点，且EB ED EC BC ===,连接CE 并延长交AD 于F ． (Ⅰ)若G 为PD 的中点，求证：平面PAD ⊥平面CGF ；(Ⅱ)若BC 2,PA 3==，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值．20．已知圆22O:4x y +=,点()1,0,F P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ,设动点P 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ) ,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．21．已知函数()2xf x e x =-．(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A 的极坐标为4π⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为cos 4a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且l 过点A ，曲线1C 的参数方程为2cos ,{,x y θθ== (θ为参数)．(Ⅰ)求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最大值；(Ⅱ)过点()1,1B -与直线l 平行的直线1l 与曲线 1C 交于,M N 两点，求BM BN 的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈．(Ⅰ)若不等式()12f x x +-≥对R x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当2a <时，函数()f x 的最小值为1a -,求实数a 的值．1．B【解析】由题意可得{}()0,1,3,0,P Q e ==，所以{}12P Q ⋂=，，选B ． 2．C【解析】由题意可得521i z i +=- 2122i i +==---，对应点为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以在复平面对应的点在第三象限，选C ． 3．C【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C ． 4．B【解析】由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B ．5．D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 6．D【解析】由于{}n a 是递增数列，所以1a >，且()21f f >（），即223a a >+，解得1a <-或3a >，所以3a >，选D ．7．B【解析】由题意可得由12a b ⋅=，可得,3a b π=，不妨设()()11,0,,cos ,sin 2a b c θθ⎛=== ⎝⎭原式=21223cos cos 3223a b a c b b c πθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅+-⋅=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小值为B ． 学科￥网 8．D【点睛】三角函数图像变形：路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移| φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A (横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ωx 的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 10．A【解析】当0x +→， 0y +→，排除选项C,D ，当2x π=， 0y =，所以排除选项B,选A ．【点睛】识图问题，根据函数的性质，由整体性质到局部性质，再结合函数图像的差异性进行分析。
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)
2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|(5)4},{|}A x x x B x x a =->=≤，若A B B =，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数322a i z i+=-，在复平面对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(4,)+∞C ．(1,4)-D ．(4,1)--3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）4. 已知23cos tan 3θθ=+，且()k k Z θπ≠∈，则sin[2()]πθ-等于（ ） A ．13- B ．13 C ．23 D ．23- 5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点 1.5S =（单位：升）则输入k 的值为 （ ）A ．4.5B ．6C ．7.5D ．96. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点，过点(0,2)-的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．2B ．．4 D ．7. 若()f x 为奇函数，且0x 是函数()xy f x e =-的一个零点，额下列函数中，0x -一定是其零点的函数是（ ） A ．()1xy f x e -=-⋅- B ．()1x y f x e -=⋅+ C ．()1x y f x e -=⋅- D ．()1xy f x e-=-⋅+8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．103 B ．113 C ．4 D ．1439. 在ABC ∆中，060,5,4,BAC AB AC D ∠===是AB 上一点，且5AB CD ⋅=，则BD 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．110. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2,F O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且22OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13 B ．25C ．5D ．311. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A BE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A ．与平面1A DE 垂直的直线必与直线垂直B ．异面直线BM 与1A E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE MO ⊥D ．三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值12.若曲线()21(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．2(,)e e B ．2(,)2e e C ．2(1,)e D ．[1,)e二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= ．14．已知{a n }是首项为32的等比数列，S n 是其前n 项和，且=，则数列{|log 2a n |}前10项和为 ．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ．16．若曲线C 1：y=ax 2（a ＞0）与曲线C 2：y=e x 存在公切线，则a 的取值范围为 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB+bcosA=0． （1）求角A 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A ，B ，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A ，C 两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC=EB ，AB=4，tan ∠EAB=． （1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当三棱锥C ﹣ADE 体积最大时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F （1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2018年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．向量=（﹣1，1），=（1，0），若（﹣）⊥（2+λ），则λ= 3 ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出λ的值．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（1，0），∴=2， =1，=﹣1；又（﹣）⊥（2+λ），∴（﹣）•（2+λ）=2+（λ﹣2）•﹣λ=0，即2×2+（λ﹣2）•（﹣1）﹣λ•1=0，解得λ=3．故答案为：3．14．已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，则数列{|log2a n|}前10项和为58 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，求出q，可得a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．【解答】解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且=，∴=，∴1+q3=，∴q=，∴a n=32•（）n﹣1=27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故答案是：58．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．16．若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公切线，则a的取值范围为[，+∞）．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=e x，得y′=e x，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=e x存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=e x2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，…即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0，所以sinA+cosA=0，即，…又因为A∈（0，π），所以．…（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•co sA，则…即，解得或，…又，所以．…18．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有1人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，∴ξ的分布列为Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…，∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（Ⅱ）依题意，…，由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…设面DAE的法向量为，，即，∴，…设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F （1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M，且OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得c=1，a=2，求得B，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论当PM垂直于x轴时，求得P，Q的坐标，运用数量积为0，可得t；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），运用直线和圆相切的条件：d=r，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，c=1，解得a=2，b==，可得椭圆方程为+=1；（Ⅱ）当PM垂直于x轴时，可得P（，），Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=3+t=0，解得t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设P（x0，y0），PQ：y﹣y0=k（x﹣x0），即为kx﹣y﹣kx0+y0=0，由PQ于圆O：x2+y2=3相切，可得=，平方可得（kx0﹣y0）2=3（1+k2），即2kx0y0=k2x02+y02﹣3k2﹣3，又Q（，t），由OP⊥OQ，即有•=x0•+ty0=0，解得t=，则t2=======12，解得t=．综上可得，t=．21．已知函数f（x）=e x sinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣e x，（其中e是自然对数的底数）．（1）∀x1∈，∃x2∈使得不等式f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（2）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．【考点】6P：不等式恒成立的问题．【分析】（1）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】（1）解：∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣e x，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣e x，∵x∈，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0， e x≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=﹣，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（2）证明：x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证e x sinx﹣cosx＞xcosx﹣e x，只要证e x（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证，下面证明x＞﹣1时，不等式成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，∴直线AB的方程为y=k（x+），由于点A在圆x2+y2=1上，∴直线AB与圆相交或相切，当直线AB与圆相切且切点在第二象限时，直线AB的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h（0），x≠0时，h（x）＞1≥k，综上所述，当x＞﹣1，f（x）﹣g（x）＞0．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R（2，）．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P点的直角坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标．（Ⅱ）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，则：曲线C的方程为ρ2=，转化成．点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）．（Ⅱ）设P（）根据题意，得到Q（2，sinθ），则：|PQ|=，|QR|=2﹣sinθ，所以：|PQ|+|QR|=．当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）．五、选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为=，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．2017年5月23日。
2018高三数学全国二模汇编(理科)专题03导数与应用
【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018河南郑州高三二模】已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x -=-与()2x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 【答案】B【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决。
2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()11,a f b ef e e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. a c b << 【答案】D【解析】 设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义域上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集上的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时()h x 为单调递增函数， 又由11e e <<-，所以()()()111f f ef e ef e e e ⎛⎫<<--=-- ⎪⎝⎭， 即a c b <<，故选D.点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函数()()h x xf x =，得出函数()h x 为单调递增函数和函数()h x 是定义在实数集上的偶函数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.3．【2018湖南衡阳高三二模】已知e 为自然对数的底数，设函数()21f ln 2x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()0f 0x <,则下列结论中正确的是( ) A. 存在0x b = ,使得()01f 2x e<-B. 存在0x b =，使得()20f x e >- C. b 的最大值为3e D. b 的最大值为22e 【答案】C分析得()f x 的极大值点为10x x =，()2222244422424a a b a a b a a b b ba a ba a b--+---==<=+-+-， (()0,x b f x ∴∈∴在()00,x 递增，在()02,x x 递减，当()0,x x f x =取得极大值()0f x ，又()200000'00bf x x a x b ax x =⇒-+=⇒+=，()()222000000011ln ln 22f x x ax b x x x b b x =-+=-++，即()20001ln 2f x x b b x =--+，令 ()()21ln ,0,2g x x b x b x b =-+-∈，原命题转化为()0g x <恒成立，()()22'000b x bg x x x b x b x x-+∴=-+=><<⇒<<， ()g x ∴在()0,b 上递增，()()()1ln2g x gb b b b b ∴<=-+- 1ln 02b b b b =-+-≤，3323ln 2bb b b e b e ∴≤⇒≤⇒≤，所以b 的最大值为3e ， C 对、D 错，又0x b <，即不存在极大值点0x b =，排除,A B ，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】B点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A6．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（ ） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e - 【答案】B【解析】 由题意()()0,x f x g x ∀>≤，即ln 1x a ax b +≤++，即ln 1x ax a b -+≤+， 设()ln h x x ax a =-+，则()1h x a x'=-， 若0a ≤时， ()10h x a x -'=>，函数()h x 单调递增，无最大值，不适合题意； 当0a >时，令()10h x a x -'==，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()max 1ln 1h x h a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，即ln 11a a b -+-≤+，即ln 20a a b -+--≤点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．7．【2018甘肃兰州高三二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x >'有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A. ()01f = B. ()01f < C. ()62f e < D. ()62f e >【答案】C 【解析】设()()3xf xg x e =，则()()()()()()()333223333x x x xxe f x f x e f x e f x g x e e ⎡⎤-'-⎣⎦=''=.∵在R 上()()3f x f x >'有恒成立∴()0g x '<在R 上恒成立，即()g x 在R 上为减函数. ∴()()()()()0301001f f g f g ee==>=∵()31f e =∴()01f >，故A ，B 不正确. ∵()()()62211f g g e =<=∴()62f e < 故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等8．【2018河北唐山高三二模】已知函数()f x 满足()()f x f x >'，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A. ()()12ef f > B. ()()12ef f < C. ()()12f ef > D. ()()12f ef < 【答案】A点睛：本题的关键在于通过()f x f >'（x ）能得到()'()0xf x e<，得到()xf x R e是上的减函数，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x=<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”2y ex e =-. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x 的图象在x e =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线方程为(y e k x e -=，即y kx e e =-，由()()f x kx e e x R ≥-∈，可得20x kx e e -+≥，当x R ∈恒成立，则(20k e∆=-≤，只有k e =，此时直线方程为2y ex e =-，下面证明()2h x ex e ≤-，令()()2G x ex e h x =-- 22ln ex e e x =--， ()2'e x eG x x=，当x e =()'0G x =；当0x e << ()'0G x <；当x e >()'0G x >；当x e = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()20G x ex e h x ∴=--≥，则()2h x ex e ≤-， ∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y ex e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的. 10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 23,3e e -⎡⎤-⎣⎦C. 2,3e e -⎡⎤-⎣⎦D. 322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D若直线y=1﹣mx 经过点（1e，﹣2），则m=3e ， 若直线y=1﹣mx 与y=2lnx 相切，设切点为（x ，y ）．则1{2 2y mxy lnx m x===-﹣，解得3232{3 2x ey m e-===-．∴322e--≤m≤3e．故选：D ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. [)2,+∞【答案】A【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号。
【郑州二测】郑州市2018届高三第二次质量预测理科数学(含答案)
从而有 FED BEC AEB
3
. .............................3 分
∴ FED FEA ，故 EF⊥AD，AF=FD． 又 PG=GD，∴FG//PA．又 PA⊥平面 ABCD，故 GF⊥平面 ABCD，
∴GF⊥AD， CF EF F 故 AD⊥平面 CFG.
3 y2 0，
解得
y2
3，
3 y2 3z2 0， z2 2，
即 n2 (1， 3 ，2) ．从而平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值为
cos
| n1n2 | | n1 || n2 |
4
3
16 9
8
2 4
.
.............................12 分
20.解：（Ⅰ）设 PF 的中点为 S，切点为 T，连 OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，取 F 关于 y 轴的对称点 F′，
（Ⅱ）以 AB, AC 为邻边作平行四边形 ABEC ，在 ABE 中， ABE 120o, AE 19,
................................8 分
在 ABE 中，由余弦定理得 AE2 AB2 BE2 2AB BE cos120o, ............................10 分
(Ⅱ)假设存在满足题意的定点 Q ，设 Q(0, m), 设直线 l 的方程为 y kx 1 ，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
2
x2
由
4
y2 3
1,
消去
x，得 (3 4k 2) x2
4kx 11 0.
y
kx
1 2
2018年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极
轴，建立极坐标系，点 A 的极坐标为
，直线 l 的极坐标方程为
，且 l 过点 A，曲线 C1 的参数方程为
（θ 为参
数）．
（Ⅰ）求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值； （Ⅱ）过点 B（﹣1，1）与直线 l 平行的直线 l1 与曲线 C1 交于 M，N 两点，求
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国家能源局、国务院扶贫办联合在 6 省的 30 个县开展光伏扶贫试点，在某 县居民中随机抽取 50 户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作
为概率．
用电量（单位： 度）
（0， 200]
（200， 400]
（400， 600]
（600， 800]
（800， 1000]
数列与函数的区别，以及分界点的函数值，考查运算能力，属于中档题和易 错题．
7． 【分析】利用已知条件，设出向量的夹角，利用数量积化简转化求解即可． 【解答】解：设平面向量 ， 的夹角为：α， ， 的夹角为：β， 平面向量 ， ， 满足| |=| |=| |=1，若 • = ，可得平面向量 ， 的夹角
|BM|•|BN|的值．
[选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）=|23﹣a|+|3﹣1|，a∈R． （Ⅰ）若不等式 f（x）+|3﹣1|≥2 对∀x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）当 a＜2 时，函数 f（x）的最小值为 a﹣1，求实数 a 的值．
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Q={x|0＜x＜e}， ∴P∩Q={1，2}． 故选：B． 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能
河南省郑州市2017-2018学年高三第二次模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}4-==x y x A ，{}0121≤-≤-=x x B ，则=B A C U （ ） A ．),4(+∞ B ．]21,0[ C ．]4,21( D ．]4,1( 【答案】B 【解析】试题分析：所以。
【考点】本题主要考查集合的关系．2. “00≤∃x ，使得020≥x ”的否定是（ ）A ．0,02<≤∀x xB ．0,02≥≤∀x xC ．00>∃x ，020>xD ．00<∃x ，020≤x【答案】A. 【解析】试题分析：根据特称的否定是全称可知选A ，故选A ． 【考点】本题主要考查特称的否定．3. 定义运算bc ad d c b a -=,,，则符合条件02,1,=-+ii i z 的复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，(1)12[(1)]222i i i zi i i z i -+--+⇒==--，∴1122z i =-+，故在第二象限，故选B ．【考点】本题主要考查复数的计算与复平面的概念．4. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017【答案】D. 【解析】试题分析：分析程序框图可知，当i 为偶数时，2017S =，当i 为奇数时，2016S =，而程序在0i =时跳出循环，故输出2017S =，故选D ． 【考点】本题主要考查程序框图．5. 曲线3)(3+-=x x x f 在点P 处的切线平行于直线12-=x y ，则P 点的坐标为（ ） A ．)3,1( B ．)3,1(- C ．)3,1(和)3,1(- D ．)3,1(- 【答案】C. 【解析】试题分析：2'()31f x x =-，令'()2f x =，23121x x -=⇒=或1-，∴(1,3)P 或(1,3)-，经检验，点(1,3)，(1,3)-均不在直线21y x =-上，故选C ． 【考点】本题主要考查导数的运用．6. 经过点)1,2(，且渐近线与圆1)2(22=-+y x 相切的双曲线的标准方程为（ ）A ．11131122=-y x B ．1222=-y x C ．11131122=-x y D ．13111122=-x y 【答案】A. 【解析】试题分析：设双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，其渐近线方程为y =， ∵渐近线方程与圆22(2)1x y +-=13m n =⇒=-①，又∵双曲线过点(2,1)，∴41m n +=②，联立①②，可得311111m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴双曲线的标准方程为22111113x y -=，故选A ． 【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与直线与圆的位置关系． 7. 将函数)22sin()(π-=x x f 的图象向右平移4π个单位后得到函数)(x g ，则)(x g 具有性质（ ）A ．最大值为1，图象关于直线2π=x 对称B ．在)4,0(π上单调递减，为奇函数C ．在)8,83(ππ-上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点)0,83(π对称 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，()sin[2()]sin(2)sin 242g x x x x πππ=--=-=-， A ：最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=对称，故A 错误；B ：当(0,)4x π∈时，2(0,)2x π∈，满足单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；C ：当3(,)88x ππ∈-时，32(,)44x ππ∈-，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；D ：周期22T ππ==，3()8g π=，故不关于点3(,0)8π对称，故选B ． 【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质．8. 设数列{}n a 满足3,121==a a ，且11)1()1(2+-++-=n n n a n a n na ，则20a 的值是（ ） A ．514B ．524C ．534D ．544 【答案】D. 【解析】试题分析：∵112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，∴数列{}n na 是以11a =为首项，2125a a -=为公差的等差数列，∴202024420151996455a a =+⋅=⇒==，故选D ． 【考点】本题主要考查数列的通项公式．9. 如图是正三棱锥ABC V -的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C. 【解析】试题分析：由三视图可知，正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为h ==162S =⨯=，故选C ．【考点】本题主要考查空间几何体的三视图．10. 已知定义在R 上的奇函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，当01<≤-x 时，)(log )(21x x f --=，则方程021)(=-x f 在)6,0(内的零点之和为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【答案】C. 【解析】试题分析：∵奇函数()f x 关于直线1x =对称，∴()(2)()f x f x f x =-=--， 即()(2)(4)f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期函数，其周期4T =，又∵当[1,0)x ∈-时，12()log ()f x x =--，故()f x 在(0,6)上的函数图象如下图所示，∴可知方程1()02f x -=在(0,6)的根共有4个，其和为123421012x x x x +++=+=，故选C ．【考点】本题主要考查函数与方程．11. 对]2,0[,∈∈∀n R α，向量(23cos ,3sin )c n n αα=+-r的长度不超过6的概率为（ ）A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 【答案】C.【解析】试题分析：||c =r=，∴要使||6c ≤r对任意R α∈都成立，6≤成立即可，即25936n n ++≤⇒≤≤ 又∵[0,2]n ∈，∴0n ≤≤520=-A ． 【考点】本题主要考查平面向量的模长与几何概型．12. 已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角，向量m u r满足m =u r,cos )22B C B C m +-=u r ，若A 最大时，动点P 使得PB uu r 、BC uu u r 、PC uu u r 成等差数列，则PA BCuu r uu u r 的最大值是（ ） A ．332 B ．322 C ．42 D ．423 【答案】A. 【解析】试题分析：m ==u r ， ∴222313cos2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵(0,)22A π∈，∴12cos 2262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 的最大值为23π，取到最大值时6B C π==，又∵||PB uu r ，||BC uu u r ，||PC uu u r 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+u u u r u u r u u u r，故P 点的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，如下图所示建立平面直角坐标系，不妨设2AB AC ==，∴22||a BC a ===u u u rc =3b =，∴椭圆的标准方程是221129x y+=，∴||PA==uu r4=，当且仅当3y=-时，等号成立，∴max||()||PABC==uu ruu u r A．【考点】本题主要考查：1.三角恒等变换；2.椭圆的标准方程及其性质；3.函数最值．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知{}n a为等差数列，公差为1，且5a是3a与11a的等比中项，n S是{}n a的前n项和，则12S的值为_____.【答案】54.【解析】试题分析：由题意得，2253111111(4)(2)(10)1a a a a a a a=⇒+=++⇒=-，∴12121112(1)1542S⋅=⋅-+⋅=，故填：54.【考点】本题主要考查等差数列与等比数列的性质及其运算．14. 已知正数yx,满足0322=-+xyx，则yx+2的最小值是_______.【答案】3.【解析】试题分析：由题意得，232xyx-=，∴223333122()3222x xx y x xx x x-++=+==+≥，当且仅当1x y==时，等号成立，故填：3.【考点】本题主要考查基本不等式求最值.15. 已知yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥242myxyxx，若目标函数yxz+=3的最大值为10，则z的最小值为______.【答案】5.【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：30x y +=，平移l ，从而可知取到最大值时，310341x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，∴23105m m ⋅--=⇒=，∴当2x =，2251y =⋅-=-时，min 3215z =⋅-=，故填：5.【考点】本题主要考查线性规划．16. 在正三棱锥ABC V -内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______.【答案】【解析】试题分析：由题意，设侧棱长为a ，底面边长为b ，∴211132332V ABC V -==⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-， ∴113232V ABCV -=⨯⨯==， 令2480b t -=>，3(48)()t f t t +=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t +-++-==，故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h ==【考点】本题主要考查球的性质与导数的运用．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足)3sin()3sin(22cos 2cos C C A C -+=-ππ.（1）求角A 的值；（2）若3=a 且a b ≥，求c b -2的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】考点：本题主要考查：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变换. 18. （本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有%99的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在)45,35[),15,5[的的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=【答案】（1）没有把握；（2）分布列详见解析，45E ξ=. 【解析】试题分析：本题主要考查独立性检验、离散型随机变量的概率的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先根据题目中出现的数据填写列联表，再由2k 的公式计算，最后与表中的数据作比较判断出结论；第二问，先分析出ξ的所有可能取值，再分别计算出概率，列出分布列后，利用11n n E P P ξξξ=++ 计算数学期望.试题解析： (Ⅰ)2乘2列联表＜所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异． (Ⅱ)所有可能取值有0, 1,2,3,所以的分布列是所以的期望值是考点: 本题主要考查：1.独立性检验；2.离散型随机变量的概率分布及其期望. 19. （本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，CD AB ∥，1===CB DC AD ，120=∠BCD ，四边形BFED为梯形，平面⊥BFED 平面ABCD ，1=BF . （1）求证：⊥AD 平面BFED ；（2）求点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力. 第一问，在ABD ∆中，利用余弦定理可推出222AB AD BD =+，由勾股定理得AD BD ⊥，又由面面垂直的性质得DE DB ⊥，所以由线面垂直的判定定理得到结论；第二问，建立空间直角坐标系，先计算出平面PAB 和平面ADE 的法向量，再由夹角公式计算cos θ，最后利用配方法求最值. 试题解析：(1)在梯形中，∵∥，∴∴∴∴∵平面平面平面平面，∴∴又 ∴(2)由(1)可建立分别以直线为轴，轴，轴的，如图所示的空间直角坐标系，令(≤≤),则∴设为平面的一个法向量，由得取则∵是平面的一个法向量,∴∵≤≤,∴当=时，有最大值．∴的最小值为考点：本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解. 20. （本小题满分12分）已知曲线C 的方程是)0,0(122>>=+n m ny mx ，且曲线C 过点)33,66(),22,42(B A 两点，O 为坐标原点. （1）求曲线C 的方程；（2）设),(),,(2211y x N y x M 是曲线C 上两点，且ON OM ⊥，求证：直线MN 恒与一个定圆相切.【答案】（1）2241y x +=；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定值问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，由曲线C 过A,B 两点，知A,B 在曲线上，代入方程中，解方程组即可；第二问，数形结合得出点O 到直线MN 的距离为||||||OA OB d AB =，用坐标关系代换得到d =所以可得到直线恒与定圆相切.试题解析：（1）由题可得：解得所以曲线方程为．（2）由题得：原点到直线的距离由得：所以=所以直线恒与定圆相切。
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2018年省市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则P∩Q=（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．（0，2]D．（0，e）2．（5分）若复数，则复数z在复平面对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0”的否定是（）A．∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2＞0B．∀x∉[1，2]，x2﹣3x+2＞0C．D．4．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5=0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．5．（5分）运行如图所示的程序框图，输出的S=（）A．1009B．﹣1008C．1007D．﹣10096．（5分）已知的定义域为R，数列满足a n=f（n），且{a n}是递增数列，则a的取值围是（）A．（1，+∞）B．C．（1，3）D．（3，+∞）7．（5分）已知平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，则（+）•（2﹣）的最小值为（）A．﹣2B．﹣C．﹣1D．08．（5分）《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A．240种B．188种C．156种D．120种9．（5分）已知函数，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）函数y=sinx（1+cos2x）在区间[﹣π，π]上的大致图象为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（2，4），圆，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|+4|QM|的最小值为（）A．23B．42C．12D．5212．（5分）已知M={α|f（α）=0}，N={β|g（β）=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|＜n，则称函数f（x）与g（x）互为“n度零点函数“，若f（x）=32﹣x ﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，则实数a的取值围为（）A．（，]B．（，]C．[，）D．[，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知二项式（2x﹣3）n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中x2的系数为．14．（5分）已知实数x，y满足条件，则的最大值为．15．（5分）我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为2，则该几何体外接球的表面积为．16．（5分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且k1、k2、k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为1．则=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R （sin2B﹣sin2A）=（b﹣c）sinC，c=3．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若AD是BC边上的中线，，求△ABC的面积．18．（12分）光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．用电量（单（0，200]（200，400]（400，600]（600，800]（800，1000]位：度）户数7815137（Ⅰ）在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；（Ⅱ）在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？19．（12分）如图所示四棱锥P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC=BC，连接CE并延长交AD于F．（Ⅰ）若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；（Ⅱ）若BC=2，PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点F（1，0），P为平面一动点，以线段FP为直径的圆切于圆O，设动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）M，N是曲线C上的动点，且直线MN经过定点，问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO=∠NQO，若存在，请求出定点Q，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣x2．（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；（Ⅱ）过点B（﹣1，1）与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）+|x﹣1|≥2对∀x∈R恒成立，数a的取值围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为a﹣1，数a的值．2018年省市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】分别求出集合P，Q，由此能求出P∩Q．【解答】解：集合P={x|y=}={x|﹣x2+x+2≥0，x∈N}={0，1，2}，Q={x|0＜x＜e}，∴P∩Q={1，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．【分析】根据复数的基本运算进行化简，集合复数的几何意义进行判断即可．【解答】解：====﹣﹣i，对应点的坐标为（﹣，﹣）位于第三象限角，故选：C．【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．3．【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．【解答】解：命题：“∀x∈[1，2]，x2﹣3x+2≤0的否定是，故选：C．【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．4．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5=0与渐近线y=﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±x．又直线3x﹣y+5=0可化为y=3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5=0垂直，∴=，=∴双曲的离心率e==．故选：B．【点评】熟练掌握双曲线的渐近线、相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式是解题的关键．5．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018的值，由于S=1﹣2+3﹣4+…+2017﹣2018=（1+3+...+2017）﹣（2+4+ (2018)=﹣=﹣1009．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6．【分析】由题意可得2a﹣1＞0，a＞1，且2a﹣1+4＜a2，解不等式组，即可得到所求围．【解答】解：的定义域为R，数列满足a n=f（n），且{a n}是递增数列，可得2a﹣1＞0，即a＞；又a＞1；且2a﹣1+4＜a2，即a＞3或a＜﹣1，综上可得，a＞3，故选：D．【点评】本题考查数列与函数的综合，考查数列的单调性的判断和应用，注意数列与函数的区别，以及分界点的函数值，考查运算能力，属于中档题和易错题．7．【分析】利用已知条件，设出向量的夹角，利用数量积化简转化求解即可．【解答】解：设平面向量，的夹角为：α，，的夹角为：β，平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，可得平面向量，的夹角为：60°，则（+）•（2﹣）=2﹣﹣+2=﹣cosα+2cosβ，由表达式可知当0°≤α≤90°，β＞90°时，表达式取得最小值，如图：﹣cosα+2cosβ=﹣cosα+2cos60°cosα﹣2sin60°sinα=sinα≥﹣．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的应用，最值的求法，考查数形结合以及计算能力．8．【分析】根据题意，由于任务A必须排在前三位，按A的位置分3种情况讨论，依次分析任务E、F以及其他三个任务的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的安排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：①、A排在第一位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种安排方案；②、A排在第二位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种安排方案；③、A排在第三位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种安排方案；则符合题意要求的安排方案有36+36+48=120种；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素或位置．9．【分析】利用辅助角公式化积，结合y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数、余弦函数的奇偶性得出结论．【解答】解：=，将函数f（x）2=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=2sin[2（x+）﹣]=2sin2x的图象，显然，y=sin2x为奇函数，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，是中档题．10．【分析】利用三角函数的特殊角的函数值，判断选项即可．【解答】解：当x=时，y=（1+0）=，对应点在第一象限，排除C，D选项；当x=时，y=1+cosπ=0，对应点在x轴上，排除选项B，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断，利用特殊点判断选项是常用方法，也可以化简函数的解析式，判断函数的图象．11．【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得+=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．【解答】解：设抛物线的方程：y2=2px（p＞0），则16=2p×2，则2p=8，∴抛物线的标准方程：y2=8x，焦点坐标F（2，0），由直线PQ过抛物线的焦点，则+==，圆C2：（x﹣2）2+y2=1圆心为（2，0），半径1，|PN|+4|QM|=|PF|+1+4（|QF|+1）=|PF|+4|QF|+5=2（|PF|+4|QF|）×（+）+5=2（5++）+5≥2（5+2）+5=23，∴|PN|+4|QM|的最小值为23，故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．12．【分析】由f（x）=32﹣x﹣1=0，解得x=2，由g（x）=x2﹣ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x0，由f（x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，得1＜x0＜3，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，由此能求出实数a的取值围．【解答】解：由f（x）=32﹣x﹣1=0，解得x=2，由g（x）=x2﹣ae x=0，解得x2=ae x，设其解为x0，∵f（x）=32﹣x﹣1与g（x）=x2﹣ae x互为“1度零点函数“，∴|x0﹣2|＜1，解得1＜x0＜3，∵，∴a=，设h（x）=，则，x∈（1，3），当1＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，当2＜x＜3时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，∴h（x）max=h（2）=，h（1）=，h（3）=，∴实数a的取值围为（，]．故选：B．【点评】本题考查实数取值围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【分析】根据二项式展开式的二项式系数和求得n的值，再根据展开式的通项公式求出x2的系数．【解答】解：二项式（2x﹣3）n的展开式中二项式系数之和为2n=64，解得n=6；∴（2x﹣3）6的展开式项公式为T r+1=•（2x）6﹣r•（﹣3）r，令6﹣r=2，解得r=4，∴展开式中x2的系数为•22•（﹣3）4=4860．故答案为：4860．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式与二项式系数和的应用问题，是基础题．14．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=，再利用z的几何意义求最值，只需求出区域的点Q与点P（﹣3，0）连线的斜率的取值围即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=，将z转化区域的点Q与点P（﹣3，0）连线的斜率，当动点Q在点A（1，2）时，z的值为：=，最大，∴z=最大值：．故答案为：．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．15．【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，结合图形求出外接球的半径，代入球的表面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，∵△ABD与△ACD均为直角三角形，∴AD为该多面体外接球的直径，AD=，∴该多面体外接球的半径R=．∴该几何体外接球的表面积为．故答案为：12π．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16．【分析】求得椭圆的方程，利用“点差法”求得直线直线AB的斜率，同理即可求得．【解答】解：由c=1，e==，则a=2，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），由A，B在椭圆上，则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，两式相减得到：=﹣•，所以k1==﹣•=﹣•，即=﹣，同理=﹣，=﹣，所以=﹣（++），直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则=﹣，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过正弦定理以及余弦定理转化求解即可得到A；（Ⅱ）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，．在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．求出AC，然后求解三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，2R（sin2B﹣sin2A）=（b﹣c）sinC可化为bsinB ﹣asinA=bsinC﹣csinC 即b2﹣a2=bc﹣c2．（Ⅱ）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，．在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2﹣2AB•BEcos120°．即：，解得，AC=2．故．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．【分析】（Ⅰ）记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，求出概率，由年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，求解期望即可．（Ⅱ）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），利用线性关系求解期望，然后推出结果．【解答】解：（Ⅰ）记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，则．由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，即，故．（Ⅱ）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），由抽样可得，则该自然村年均用电量约156 000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益144000×0.8=115200元．【点评】本题考查随机变量的期望的求法，二项分布的期望的求法，考查转化思想以及计算能力．19．【分析】（Ⅰ）通过三角形全等证明∠FED=∠FEA，推出EF⊥AD，证明FG∥PA．可得GF⊥AD，即可证明AD⊥平面CFG．然后证明平面PAD⊥平面CGF．（Ⅱ）以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，求出平面BCP的法向量，平面DCP的法向量利用向量的数量积求解平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△BCD中，EB=ED=EC，故，因为△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而有．∴∠FED=∠FEA，故EF⊥AD，AF=FD．又PG=GD，∴FG∥PA．又PA⊥平面ABCD，故GF⊥平面ABCD，∴GF⊥AD，CF∩EF=F故AD⊥平面CFG．又AD⊂平面CFG，∴平面PAD⊥平面CGF．（Ⅱ）解：以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则．故，，．设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得即．设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得即=（1，）．从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．【分析】（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，推出点B的轨迹是以F'，F为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线C方程．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去x，得（3+4k2）x2+4kx﹣11=0．利用韦达定理以及∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．求解m即可．【解答】解：（Ⅰ）设PF的中点为S，切点为T，连OS，ST，则|OS|+|SF|=|OT|=2，取F关于y轴的对称点F'，连F'P，故|F'P|+|FP|=2（|OS|+|SF|）=4．所以点B的轨迹是以F'，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=1，曲线C方程为．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去y，得（3+4k2）x2+4kx﹣11=0．由直线l过椭圆一点作直线故△＞0，由求根公式得：，由得∠MQO=∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．故，．所以m=6，存在定点（0，6），当斜率不存在时定点（0，6）也符合题意．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，存在性问题的解决方法，考查计算能力．21．【分析】（Ⅰ）求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，只证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，又x≥lnx+1，即，即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x﹣2x，由题设得f'（1）=e﹣2，f（1）=e﹣1，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1．（Ⅱ）f'（x）=e x﹣2x，f''（x）=e x﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1，x∈[0，1]．f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，则g'（x）=e x﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=e x﹣2，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（0）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1n2），使得g'（x0）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=e x﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．又x≥lnx+1，即，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）由直线l过点A可得，从而，进而得到直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离，由此能求出曲线C1上的点到直线l的距离的最大值．（Ⅱ）直线l的倾斜角为，求出直线l1的参数方程和曲线C1的普通方程，把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程，依据参数t的几何意义可求出|BM|•|BN|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，由直线l过点A可得，解得，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0，根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）．曲线C1的普通方程为．把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得，∴，依据参数t的几何意义可知．【点评】本题考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查两线段的乘积的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）f（x）+|x﹣1|≥2可化为利用绝对值的几何意义，转化求解即可．（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知．化简函数为分段函数，利用函数的单调性求解函数的最小值推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+|x﹣1|≥2可化为．∵∴，解得：a≤0或a≥4．∴实数a的取值围为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知．∴如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，解得：．∴．【点评】本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，分段函数的应用，考查计算能力．。