第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
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8 × 20 4(1 + ) 20
= 4.19 kN
10－ 6 标语牌由钢管支撑，如图所示。若标语牌的重量为 FP1 ，作用在标语牌上的水平风 力为 FP2 ，试分析此钢管的受力，指出危险截面和危险点的位置，并画出危险点的应力状态。
aw .
σ
习题 10－6 解图
FP1
横截面
σ τ
co
a
τ
FP2
习题 10－6 图
16.55MPa
A
Mz
y
C
10
My
z
5
习题 10－10 图
(a)
解： A = 5 ×10 ×10
Wy =
Wz =
−6
= 50 ×10 −6 m2
10 × 5 2 1 × 10 −9 = × 10 −6 m3 6 24
FNx = 1 kN
M y = 1000 × 5 × 10 −3 = 5 N·m
10－ 11 等截面钢轴如图所示。轴材料的许用应力[σ]=60MPa。若轴传递的功率 N＝ 2.5马 力，转速 n=12r/min，试解最大剪应力理论确定轴的直径。 解：轴的受力与内力（忽略剪力）图如图所示。
σ max =
所以，选择 No.16 工字钢。 No.16 工字钢的横截面面积与弯曲截面系数分别为：
A = 26.1cm 2 = 26.1× 10−4 m 2 ,
再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度
所以，选择 No.16 工字钢，梁的强度是安全的。
后 答
案
所能承受的许可预紧力[FP]
课
网
10－ 5 钩头螺栓受力简化如图所示。已知螺栓材料之许用应力 [σ ] = 120 MPa 。求此螺栓
eBook
工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
aw .
（教师用书） (第 10 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
co
m
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。
案
网
σ max =
FNx M y M z + + A Wy Wz
ww w
M z = 1000 × 2.5 × 10 −3 = 2.5 N·m
9
.k hd
aw .
co
5 × 10 −2 1 × 10 −9 = × 10 −6 m3 6 12
m
FP 2 =
m 1.463 × 2 = = 5.85kN D2 / 2 0.5
W
=
32 1.463 2 + 0.817 2 ≤ [σ ] πd 3
于是有
d ≥3
co
M z = FP1 × 2l = 800N × 2m=1600N ⋅ m
m
B
M y = FP2l = 1600N × 1m=1600N ⋅ m
习题 10－4 图
解： 1. 受力分析 起重荷载位于 AB 梁中点时，梁处于危险状态。这时，梁承受弯曲与轴向压缩的共同作用。
∑M
A
l = 0 , − FP × + FBC × lsin30D = 0 , FBC = FP = 22 kN 2
σ=
6F e F FP 6e + P2 = P (1 + ) b × h bh bh h
6
.k hd
FP
10－ 8 承受偏心拉力的矩形截面杆如图所示。今用实验法测得杆左右两侧的纵向应变 ε1
FP F M P = FP e
习题 10－8 解图
aw .
co
m
ε1 =
2 处：
σ
E
=
FP 6e (1 + ) Ebh h
（a）
σ=
6F e F FP 6e − P2 = P (1 − ) b × h bh bh h F σ 6e ε 2 = = P (1 − ) E Ebh h
（b）
由（a） （b）得
ε 1 − ε 2 Ebh h 6e = = 2 FP ε1 + ε 2 h
Ebh
2 FP 6e
e=
10－9
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
FP
习题 10－5 图
解：在预紧力 FP作用下，钩头螺栓横截面上的内力分量为：
F N ＝ FP M＝ FPe
截面上的最大拉应力为 :
ww w
＝85.3MPa< [σ ]
4
.k hd
aw .
σA =
FN M + A W 19052 22 × 103 × 2 = + 26.1× 10−4 4 × 141×10−6 = 7.3 ×106 Pa +78 ×106 Pa
σ M max =
Mz 445 × 61 × 10 −3 = = 14.526 MPa W z1 π× 26.7 3 −9 × 10 32
ww w
应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
习题 10－9 图
7
.k hd
aw .
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
co
m
由此得
y
y
A
O
0.795
3
AB 梁在 B 点承受的轴向压缩力
FN = FBC cos30D = 19052 N
2. 强度设计 首先按照弯曲强度设计，然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核。
M max ≤ [σ ] , W FPl 22 ×103 N × 2m W≥ 4 = = 110 ×10－6 m3＝110 cm3 6 [σ ] 4 ×160 ×10 Pa
轴力： FNx = FP1
在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心，
10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
a FP ⋅ FP 4 = 4 ⋅ FP σa = + 3 3 2 3 a2 a × a a( a) 2 2 6
m = 7.02
FP1 =
课
最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点 A，如图（a）所示。
N 2.5 = 7.02 = 1.463kN ⋅ m n 12
m 1.463 × 2 = = 7.32kN D1 / 2 0.4
后 答
⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1000 5 2 . 5 ⎟ × 10 6 = 140 =⎜ + + MPa 1 1 ⎟ ⎜ 50 ⎟ ⎜ 12 24 ⎠ ⎝
10－10
杆轴线的纵向力 FP。若已知 FP＝1 kN，杆各部分尺寸如图中所示。试求：杆内横截面上的最大 正应力，并指出其作用位置。
课
正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于
后 答
Mz = Wz 2
案
Mz
网
445 × 106 26.7 2 ⎤ ⎡ π ⎢ 26.7 2 − ( ) ⎥ 2 ⎣ ⎦ 4
Mz ≤ [σ ] hb bh 2 6 6 6 × 1600 6 ×1600 + ≤ 160 × 106 3 3 2b 4b
2
b≥
2．截面为圆形
3
3 × 2.4 × 103 = 0.0356 m=35.6 mm 160 × 106
d≤
3
课
后 答
10－4 旋转式起重机由工字梁 AB 及拉杆 BC 组成，A、B、C 三处均可以简化为铰链约束。 起重荷载 FP＝22 kN，l＝2m。已知 σ ＝100 MPa。试：选择 AB 梁的工字钢的号码。
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
沿 y 方向应力分布如图（c）所示，中性轴为 zc。 2． σ N 2 = FN = −
ww w
.k hd
FP1 FP2
aw .
co
10－2
解：
后 答
案
课
z
网
y
习题 10－3 图
1．截面为矩形
M y = FP2 × 2l = 800N × 2m=1600N ⋅ m M z = FP1 × l = 1600N ×1m=1600N ⋅ m
2
m
[ ]
σ max =
My +
My Wy
+
Mz ≤ [σ ] Wz
co
m
W = 141cm3 = 141×10−6 m3
σ max =
应用
σ max ≤ [σ ] ，由上式得
FP ≤
FN M 4 FP 32 FP e 4 FP 8e + = + = (1 + ) 2 3 2 A W d πd πd πd
πd 2 [σ ]
8e 4(1 + ) d
=
π 20 2 × 10 −6 × 120 × 10 3
A2
σ M 2 max =
+ σ max = 15.494 − 1.06 = 14.43 MPa
− σ max = −15.494 − 1.06 = −16.55 MPa
zC 为中性轴，沿 y 轴应力分布如图（d）
− σ 1− 15.32 σ2 16.55 = 0.926 = = 1 . 08 ，或 − = 3． σ 2 16.55 σ 1− 15.32
网
FP a2
ww w
5
.k hd
b
m
上表面
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
FP
网
ww w
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
课
后 答
案
FP
M = FP e
习题 10－8 图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受
课
后 答
案
网
3．确定 1、2 两种情形下，骨骼在横截面 B－B 上最大压应力之比。
FN 445 ×106 解：1． σ N1 = − = = −0.795 MPa A1 π × 26.7 2 4
从内力图上可以看出 D以左截面为危险截面其上之弯矩和扭矩分别为
2 M = My + M z2 = 0.78 2 + 0.244 2 = 0.817 kN ⋅ m
M x = 1.463kN ⋅ m
应用最大剪应力理论
σ r 3 = σ + 4τ =
2 2
2 M2 +Mx
W
=
2 2 Mx +My + M z2
1 W z1 (1 − ( ) 4 ) 2
= 14.526 ×
ww w
=
− 4 × 445 × 106 = −0.795 × 4 = −1.06 MPa 3 1 π× 26.7 2 (1 − ) 4
16 = 15.494 MPa 15
8
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aw .
co
zC
zC
z
m
14.1mm
−15.32MPa
（b）为单向拉伸
课
面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。
后 答
扭矩： M x = FP2 a
σb =
案
解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H
案
网
32 × 2262.7 = 0.0524 m=52.4 mm π ×160 × 106
[ ]
ww w
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FAy D FAx A FP FBC
30˚
σ max =
M max ≤ [σ ] W 32 × 2262.7 ≤ 160 × 103 3 πd 6
aw .
百度文库
2 M = My + M z2 = 16002 + 16002 = 2262.7 N ⋅ m
= 4.19 kN
10－ 6 标语牌由钢管支撑，如图所示。若标语牌的重量为 FP1 ，作用在标语牌上的水平风 力为 FP2 ，试分析此钢管的受力，指出危险截面和危险点的位置，并画出危险点的应力状态。
aw .
σ
习题 10－6 解图
FP1
横截面
σ τ
co
a
τ
FP2
习题 10－6 图
16.55MPa
A
Mz
y
C
10
My
z
5
习题 10－10 图
(a)
解： A = 5 ×10 ×10
Wy =
Wz =
−6
= 50 ×10 −6 m2
10 × 5 2 1 × 10 −9 = × 10 −6 m3 6 24
FNx = 1 kN
M y = 1000 × 5 × 10 −3 = 5 N·m
10－ 11 等截面钢轴如图所示。轴材料的许用应力[σ]=60MPa。若轴传递的功率 N＝ 2.5马 力，转速 n=12r/min，试解最大剪应力理论确定轴的直径。 解：轴的受力与内力（忽略剪力）图如图所示。
σ max =
所以，选择 No.16 工字钢。 No.16 工字钢的横截面面积与弯曲截面系数分别为：
A = 26.1cm 2 = 26.1× 10−4 m 2 ,
再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度
所以，选择 No.16 工字钢，梁的强度是安全的。
后 答
案
所能承受的许可预紧力[FP]
课
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10－ 5 钩头螺栓受力简化如图所示。已知螺栓材料之许用应力 [σ ] = 120 MPa 。求此螺栓
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
aw .
（教师用书） (第 10 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
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2006-12-18
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1
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co
m
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。
案
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σ max =
FNx M y M z + + A Wy Wz
ww w
M z = 1000 × 2.5 × 10 −3 = 2.5 N·m
9
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aw .
co
5 × 10 −2 1 × 10 −9 = × 10 −6 m3 6 12
m
FP 2 =
m 1.463 × 2 = = 5.85kN D2 / 2 0.5
W
=
32 1.463 2 + 0.817 2 ≤ [σ ] πd 3
于是有
d ≥3
co
M z = FP1 × 2l = 800N × 2m=1600N ⋅ m
m
B
M y = FP2l = 1600N × 1m=1600N ⋅ m
习题 10－4 图
解： 1. 受力分析 起重荷载位于 AB 梁中点时，梁处于危险状态。这时，梁承受弯曲与轴向压缩的共同作用。
∑M
A
l = 0 , − FP × + FBC × lsin30D = 0 , FBC = FP = 22 kN 2
σ=
6F e F FP 6e + P2 = P (1 + ) b × h bh bh h
6
.k hd
FP
10－ 8 承受偏心拉力的矩形截面杆如图所示。今用实验法测得杆左右两侧的纵向应变 ε1
FP F M P = FP e
习题 10－8 解图
aw .
co
m
ε1 =
2 处：
σ
E
=
FP 6e (1 + ) Ebh h
（a）
σ=
6F e F FP 6e − P2 = P (1 − ) b × h bh bh h F σ 6e ε 2 = = P (1 − ) E Ebh h
（b）
由（a） （b）得
ε 1 − ε 2 Ebh h 6e = = 2 FP ε1 + ε 2 h
Ebh
2 FP 6e
e=
10－9
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
FP
习题 10－5 图
解：在预紧力 FP作用下，钩头螺栓横截面上的内力分量为：
F N ＝ FP M＝ FPe
截面上的最大拉应力为 :
ww w
＝85.3MPa< [σ ]
4
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aw .
σA =
FN M + A W 19052 22 × 103 × 2 = + 26.1× 10−4 4 × 141×10−6 = 7.3 ×106 Pa +78 ×106 Pa
σ M max =
Mz 445 × 61 × 10 −3 = = 14.526 MPa W z1 π× 26.7 3 −9 × 10 32
ww w
应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
习题 10－9 图
7
.k hd
aw .
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
co
m
由此得
y
y
A
O
0.795
3
AB 梁在 B 点承受的轴向压缩力
FN = FBC cos30D = 19052 N
2. 强度设计 首先按照弯曲强度设计，然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核。
M max ≤ [σ ] , W FPl 22 ×103 N × 2m W≥ 4 = = 110 ×10－6 m3＝110 cm3 6 [σ ] 4 ×160 ×10 Pa
轴力： FNx = FP1
在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心，
10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
a FP ⋅ FP 4 = 4 ⋅ FP σa = + 3 3 2 3 a2 a × a a( a) 2 2 6
m = 7.02
FP1 =
课
最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点 A，如图（a）所示。
N 2.5 = 7.02 = 1.463kN ⋅ m n 12
m 1.463 × 2 = = 7.32kN D1 / 2 0.4
后 答
⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1000 5 2 . 5 ⎟ × 10 6 = 140 =⎜ + + MPa 1 1 ⎟ ⎜ 50 ⎟ ⎜ 12 24 ⎠ ⎝
10－10
杆轴线的纵向力 FP。若已知 FP＝1 kN，杆各部分尺寸如图中所示。试求：杆内横截面上的最大 正应力，并指出其作用位置。
课
正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于
后 答
Mz = Wz 2
案
Mz
网
445 × 106 26.7 2 ⎤ ⎡ π ⎢ 26.7 2 − ( ) ⎥ 2 ⎣ ⎦ 4
Mz ≤ [σ ] hb bh 2 6 6 6 × 1600 6 ×1600 + ≤ 160 × 106 3 3 2b 4b
2
b≥
2．截面为圆形
3
3 × 2.4 × 103 = 0.0356 m=35.6 mm 160 × 106
d≤
3
课
后 答
10－4 旋转式起重机由工字梁 AB 及拉杆 BC 组成，A、B、C 三处均可以简化为铰链约束。 起重荷载 FP＝22 kN，l＝2m。已知 σ ＝100 MPa。试：选择 AB 梁的工字钢的号码。
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
沿 y 方向应力分布如图（c）所示，中性轴为 zc。 2． σ N 2 = FN = −
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FP1 FP2
aw .
co
10－2
解：
后 答
案
课
z
网
y
习题 10－3 图
1．截面为矩形
M y = FP2 × 2l = 800N × 2m=1600N ⋅ m M z = FP1 × l = 1600N ×1m=1600N ⋅ m
2
m
[ ]
σ max =
My +
My Wy
+
Mz ≤ [σ ] Wz
co
m
W = 141cm3 = 141×10−6 m3
σ max =
应用
σ max ≤ [σ ] ，由上式得
FP ≤
FN M 4 FP 32 FP e 4 FP 8e + = + = (1 + ) 2 3 2 A W d πd πd πd
πd 2 [σ ]
8e 4(1 + ) d
=
π 20 2 × 10 −6 × 120 × 10 3
A2
σ M 2 max =
+ σ max = 15.494 − 1.06 = 14.43 MPa
− σ max = −15.494 − 1.06 = −16.55 MPa
zC 为中性轴，沿 y 轴应力分布如图（d）
− σ 1− 15.32 σ2 16.55 = 0.926 = = 1 . 08 ，或 − = 3． σ 2 16.55 σ 1− 15.32
网
FP a2
ww w
5
.k hd
b
m
上表面
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
FP
网
ww w
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
课
后 答
案
FP
M = FP e
习题 10－8 图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受
课
后 答
案
网
3．确定 1、2 两种情形下，骨骼在横截面 B－B 上最大压应力之比。
FN 445 ×106 解：1． σ N1 = − = = −0.795 MPa A1 π × 26.7 2 4
从内力图上可以看出 D以左截面为危险截面其上之弯矩和扭矩分别为
2 M = My + M z2 = 0.78 2 + 0.244 2 = 0.817 kN ⋅ m
M x = 1.463kN ⋅ m
应用最大剪应力理论
σ r 3 = σ + 4τ =
2 2
2 M2 +Mx
W
=
2 2 Mx +My + M z2
1 W z1 (1 − ( ) 4 ) 2
= 14.526 ×
ww w
=
− 4 × 445 × 106 = −0.795 × 4 = −1.06 MPa 3 1 π× 26.7 2 (1 − ) 4
16 = 15.494 MPa 15
8
.k hd
aw .
co
zC
zC
z
m
14.1mm
−15.32MPa
（b）为单向拉伸
课
面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。
后 答
扭矩： M x = FP2 a
σb =
案
解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H
案
网
32 × 2262.7 = 0.0524 m=52.4 mm π ×160 × 106
[ ]
ww w
.k hd
FAy D FAx A FP FBC
30˚
σ max =
M max ≤ [σ ] W 32 × 2262.7 ≤ 160 × 103 3 πd 6
aw .
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2 M = My + M z2 = 16002 + 16002 = 2262.7 N ⋅ m