2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.2 应用案巩固提升(苏教版)

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2019-2020学年同步人教A版高中数学必修4_第二章2.4.2 应用案巩固提升

[A 基础达标]1．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D.2a －b ＝(4，2)－(－1，k )＝(5，2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2，1)·(5，2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．2解析：选D.2a －b ＝(3，n )，由2a －b 与b 垂直可得(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，所以|a |＝2.3．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8D ．8 2解析：选D.易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选D.因为b ∥c ，所以－3x ＝(－3)×1，所以x ＝3，所以b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4)．所以a －b 与b 的夹角的余弦值为b ·（a －b ）|a －b ||b |＝－124×23＝－32，所以a －b 与b的夹角为150°.5．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使得AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)．AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，所以当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. 此时点P 的坐标为(3，0)．6．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，则m ＝________．解析：a ＋b ＝(m ＋1，－3)＋(1，m －1)＝(m ＋2，m －4)， a －b ＝(m ＋1，－3)－(1，m －1)＝(m ，－2－m )，因为(a ＋b )⊥(a －b )，所以(a ＋b )·(a －b )＝0，即(m ＋2，m －4)·(m ，－m －2)＝0，所以m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，解得m ＝－2. 答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(λ，12)，且|λa ＋b |＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa ＋b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，λ＋12，则(－λ)2＋⎝⎛⎭⎫λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32. 答案：1或－328．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．解析：由题意得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝15，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.答案：3229．已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)． (1)求a －b 及|a －b |；(2)若k a ＋b 与a －b 垂直，求实数k 的值．解：(1)a －b ＝(4，0)，|a －b |＝42＋02＝4.(2)k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －b ＝(4，0)，因为k a ＋b 与a －b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －b )＝4(k －3)＋(2k ＋2)·0＝0，解得k ＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)．(1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3，3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，所以θ＝π4.[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C.设a 与c 的夹角为θ，依题意，得 a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝ 5. 设c ＝(x ，y )，因为(a ＋b )·c ＝52，所以x ＋2y ＝－52.又a ·c ＝x ＋2y ，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5×5＝－525＝－12，所以a 与c 的夹角为120°.12．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM →·EC →的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[]0，1解析：选C.以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1) ＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 13．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)． (1)求a －b 的坐标以及a －b 与a 之间的夹角； (2)当t ∈[－1，1]时，求|a －t b |的取值范围．解：(1)因为向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，0)，所以a －b ＝(1，3)－(－2，0)＝(3，3)，所以cos 〈a －b ，a 〉＝（a －b ）·a |a －b |·|a |＝643＝32.因为〈a －b ，a 〉∈[0，π]，所以向量a －b 与a 的夹角为π6.(2)|a －t b |2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2＝4t 2＋4t ＋4＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122＋3.易知当t ∈[－1，1]时，|a －t b |2∈[3，12]，所以|a －t b |的取值范围是[3，2 3 ]．14．(选做题)已知OA →＝(4，0)，OB →＝(2，23)，OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC →|的最小值．解：(1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－2，23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，因为AB →与BC →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12. 所以当λ＝12时，|OC →|取到最小值2 3.。

2019-2020年新版高中数学北师大版必修4课件：第二章平面向量 2.2.2

答案:13
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题型一
题型二
题型三
题型四
题型一向量减法的几何意义
【例 1】如图,已知向量 a,b,c,求作 a-b-c.
典例透析
随堂演练
分析任选起点→平移向量→共起点,连终点→方向指向被减向量解如图,在平面内任取一点 O,作�� =a, �� =b, �� =c,则由向量减法的三角形法则,得�� =a-b, �� =a-b-c.
【做一做1-1】下列各式中不正确的是( ) A.a-b=b-a B.0-a=-a C.-(-a)=a D.a+(-a)=0 答案:A
12
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知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做1-2】已知a,b分别表示“方向向南,大小为5 m/s的风速”“竖直向上,大小为10 N的力”,请说明向量-a,-b的意义.
2.2 向量的减法
-1-
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典例透析
随堂演练
1.了解相反向量的含义,掌握向量的减法运算,会利用向量减法的三角形法则表示两个向量的差.
2.理解向量的减法要结合图形,通过相反向量揭示向量加、减法之间的内在联系,并通过对向量加法的三角形法则的理解来学习向量减法的三角形法则.
3.能进行向量加、减法的混合运算.
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题型四
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典例透析
随堂演练
反思应用三角形法则进行向量减法运算时,必须平移向量使之共起点,则终点与终点所确定的向量就是两个向量的差向量,此时差向量的方向指向被减向量的终点.对于多个向量的减法运算,一般通过两两相减依次运算.

2019-2020高中数学必修四配套课件：第2章平面向量

第五页，编辑于星期日：点三十八分。
第一页，编辑于星期日：点三十八分。
本章主要包括以下内容： (1)平面向量的有关概念：相等向量、相反向量、平行向量、共线向量； (2)平面向量的运算：加法、减法、数乘、数量积； 3)平面向量基本定理与共线向量定理； (4)平面向量的坐标运算； (5)平面向量的应用：平行、垂直、模、夹角； (6)平面向量与三角、物理等知识的融合．
3．向量的数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，而不是向量．向量的数量积与距离、夹角有密切联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何度量问题，特别是有关垂直的问题．向量的数量积与两向量的夹角有关，体现了它与三角函数的联系．
第四页，编辑于星期日：点三十八分。
4．运算律是运算的灵魂．要注意将向量的运算律与数量的
第二页，编辑于星期日：点三十八分。
学习本章，应特别注意以下几个内容： 1．数学中研究的向量只有大小和方向，与物理中研究的向量不完全一样．如力向量，除与大小和方向有关外，还与作用点有关．向量可以用有向线段、字母、坐标表示． 2．通过向量的学习，体会向量在解析几何中的应用．
第三页，编辑于星期日：点三十八分。
运算律类比．当a，b，c两两不平行时，(a·b)c≠a(b·c)；当a·b
＝b·c时，不一定有a＝c；当a＝c时，一定有a·b＝b·c. 5．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与
实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件与二维的平面向量基本定理又可进行纵向类比．

2019-2020学年人教A版数学必修四课件：第2章 2.2 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

第十二页，编辑于星期六：二十三点十一分。
合作探究提素养
第十三页，编辑于星期六：二十三点十一分。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
[探究问题] 1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
D [A，B，C 项满足运算律，而 D 项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]
第九页，编辑于星期六：二十三点十一分。
2.C→B＋A→D＋B→A等于( A．D→B C．C→D
) B．C→A D．D→C
C [C→B＋A→D＋B→A＝C→B＋B→A＋A→D＝C→D.]
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第三十四页，编辑于星期六：二十三点十一分。
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
第三十五页，编辑于星期六：二十三点十一分。
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
第五页，编辑于星期六：二十三点十一分。
已知两个不共线向量 a，b，作A→B＝a，A→D＝b，以A→B，平行四边形法 A→D为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量A→C ＝a＋b.
则
第六页，编辑于星期六：二十三点十一分。
思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ [提示] 不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．
2.掌握向量加法运算法则，能熟的直观想象和数学建模的核心素养.
练地进行向量加法运算．(重点) 2.对比数的加法，给出了向量的加法

2019-2020学年人教A版高中数学必修四同步课件：第2章平面向量 2.2 2.2.1

[方法总结] 解决向量加法运算时应关注的两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将 0 写成 0.
2.如图，在△ABC 中，O 为重心，D、E、F 分别是 BC、AC、 AB 的中点，化简下列各式：
图形
平前提已知不共线的两个向量 a，b
行四法边则形
作法结论
在平面内任取一点 O，以点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB 对角线O→C就是 a 与 b 的和
法图形则
规定零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝ 3 _0_＋__a__＝ 4 _a__
‖思考辨析‖ 判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量相加结果可能是一个数量．( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
解析：选 B ①错，若 a＋b＝0 时，方向是任意的；②正确； ③错，A，B，C 三点共线时也满足；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
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(1)B→C＋C→E＋E→A； (2)O→E＋A→B＋E→A； (3)A→B＋F→E＋D→C.
解：(1)B→C＋C→E＋E→A＝B→E＋E→A＝B→A. (2)O→E＋A→B＋E→A＝(O→E＋E→A)＋A→B＝O→A＋A→B＝O→B. (3)A→B＋F→E＋D→C＝A→B＋B→D＋D→C＝A→D＋D→C＝A→C.
2．把握 1 个不等式对不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立的说明 (1)当 a，b 至少有一个为零向量时，不等式显然成立． (2)当 a，b 不共线时，作O→A＝a，A→B＝b，则 a＋b＝O→B，如图①所示，根据三角形边长关系，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|. (3)当 a，b 非零且同向时，作O→A＝a，A→B＝b，则 a＋b＝O→B，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.

2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.4 2.4.2 应用案巩固提升(苏教版)

[A 基础达标]1．顶点在原点，焦点为F ⎝⎛⎭⎫32，0的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：选C.顶点在原点，焦点为F ⎝⎛⎭⎫32，0的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px (p >0)，由题意知p 2＝32，故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x .2．已知直线y ＝kx －k (k 为实数)及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线没有公共点解析：选C.因为直线y ＝kx －k 恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y 2＝2px 的内部，所以当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：选B.法一：(特例法)当直线垂直于x 轴时，点A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，y 1y 2x 1x 2＝－p 2p24＝－4.法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得 y 1y 2＝－p 2，则y 1y 2x 1x 2＝y 1·y 2y 212p ·y 222p＝4p 2y 1y 2＝4p 2－p 2＝－4.4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p解析：选B.设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx＝30°，则OA 方程为y ＝33x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，所以△AOB 的边长为43p .5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若AB ＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4解析：选C.直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝⎛⎭⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.6．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________．解析：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D .在Rt △AFD 中，∠AFD ＝60°.令FD ＝m ，则F A ＝2m .AD ＝3m .根据抛物线的定义可知，p ＋m ＝2m .所以m ＝p .所以|OA →|＝OD 2＋AD 2＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋（3p ）2＝212p . 答案：212p 7．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －3，消元得x 2－10x ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝6，所以AP ＝10，BQ ＝2，PQ ＝8，所以梯形APQB 的面积为48.答案：488.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴 1 m ，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (－1，－1)，代入抛物线方程得p ＝12，抛物线x 2＝－y ，代入点(x ，－2)，得x ＝2，即水池半径最小为r ＝(1＋2)m ，水池直径最小为2r ＝(2＋22)m.答案：2＋2 29．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过点F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2，所以A 、B 两点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p2，－p ，所以AB ＝2|p |.因为△OAB 的面积为4，所以12·⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，所以p ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .10.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明：设k AB ＝k (k ≠0)，因为直线AB ，AC 的倾斜角互补，所以k AC＝－k (k ≠0)，因为直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4）＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. 因为A (4，2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解．所以4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1k 2，以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2，所以k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k （x B －4）＋2－[－k （x C －4）＋2]x B －x C＝k （x B ＋x C －8）x B －x C＝k ⎝⎛⎭⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14，所以直线BC 的斜率为定值．[B 能力提升]1．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为____________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由AB ＝42，DE ＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由OA ＝OD ，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4. 答案：42．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为________．解析：如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，因为△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，所以S △AMF S △AOF＝12×AF ×AM ×sin ∠MAF 12×OF ×AF ×sin （π－∠MAF ）＝3.所以AF ＝AM ＝3OF ＝3.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0，所以y 204＋1＝3，所以y 204＝2，解得y 0＝±2 2.所以点A 的坐标是(2，±22)．答案：(2，±22)3．已知定点F (2，0)和定直线l ：x ＝－2，动圆P 过定点F 与定直线l 相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若以M (2，3)为圆心的圆与曲线C 交于两个不同的点A 、B ，且线段AB 是此圆的直径时，求直线AB 的方程．解：(1)由题意知，点P 到F 的距离等于P 到l 的距离，所以P 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，它的方程为y 2＝8x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝8y 2＋y 1.由AB 为圆M (2，3)的直径知，y 2＋y 1＝6，故直线的斜率为43.所以直线AB 的方程为y －3＝43(x －2)，即4x －3y ＋1＝0.4．(选做题)如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点P (2，0)的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N .(1)求y 1y 2的值；(2)记直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，证明：k 1k 2为定值．解：(1)依题意，设AB 的方程为 x ＝my ＋2，代入y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8.(2)证明：连结MN ，设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，k 1k 2＝y 3－y 4x 3－x 4×x 1－x 2y 1－y 2＝y 3－y 4y 234－y 244×y 214－y 224y 1－y 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4，设直线AM 的方程为x ＝ny ＋1，代入y 2＝4x 消x 得：y 2－4ny －4＝0，所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4，k 1k 2＝y 1＋y 2y 3＋y 4＝y 1＋y 2－4y 1＋－4y 2＝y 1y 2－4，由(1)y 1y 2＝－8，所以k 1k 2＝2为定值．。

2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章章末复习提升课应用案巩固提升(苏教版)

[学生用书P115(单独成册)])[A 基础达标]1．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B ．根据共线向量的定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B ．2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( ) A ．34AB →－14AC →B ．14AB →－34AC →C ．34AB →＋14AC →D ．14AB →＋34AC →解析：选A ．法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB→＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ．法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A ．3．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ．设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ，所以19＝4＋9＋12cos θ，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.4．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选A ．因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝⎛⎭⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2. 5．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3解析：选A ．以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝⎛⎭⎫－12，32，设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝⎛⎭⎫32，m －32，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝⎛⎭⎫32，m －32·⎝⎛⎭⎫－12，32＝0，即32×⎝⎛⎭⎫－12＋32⎝⎛⎭⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎡⎦⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎡⎦⎤32，538上单调递减，在⎝⎛⎦⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝⎛⎭⎫5382－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A ．6．已知平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________．解析：由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12. 所以|a ＋2b |＝2 3. 答案：2 37．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →方向相同的单位向量的坐标为________．解析：AB →＝(3，－4)，所以与向量AB →方向相同的单位向量 n ＝（3，－4）9＋16＝（3，－4）5＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：⎝⎛⎭⎫35，－45 8．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________．解析：因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.答案： 459．已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)．求：(1)a ·b 和||a ＋b 的值； (2)a 与b 夹角θ的余弦值．解：由已知，a ＝(3，－2)，b ＝(4，1) (1)a ·b ＝10；||a ＋b ＝|(7，－1)|＝5 2. (2)cos θ＝a ·b ||a ·||b ＝10221221.10．已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1. 求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：因为OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，所以OP 1→＋OP 2→＝－OP 3→，所以(OP 1→＋OP 2→)2＝(－OP 3→)2，所以|OP 1→|2＋|OP 2→|2＋2OP 1→·OP 2→＝|OP 3→|2，所以OP 1→·OP 2→＝－12，又cos ∠P 1OP 2＝OP 1→·OP 2→|OP 1→|·|OP 2→|＝－12，所以∠P 1OP 2＝120°. 所以|P 1P 2→|＝|OP 2→－OP 1→|＝（OP 2→－OP 1→）2＝OP 1→2＋OP 2→2－2OP 1→·OP 2→＝ 3.同理可得|P 2P 3→|＝|P 3P 1→|＝ 3.故△P 1P 2P 3是等边三角形．[B 能力提升]1．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________．解析：由于a ＋λb ＝(1＋λ，2)，故(a ＋λb )∥c ⇒4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝12.答案：122.如图，正六边形ABCDEF 的边长为3，则AC →·DB →＝________．解析：因为||AC →＝||DB→＝2·3 cos 30°＝3，AC →，DB →夹角为120°，所以AC →·DB →＝3×3×cos 120°＝－92.答案：－923．如图，在△ABC 中，CD →＝2DB →.(1)若AD →＝xAB →＋yBC →(x 、y 为实数)，求x 、y 的值； (2)若AB ＝3，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求AD →·BC →的值．解：(1)因为CD →＝2DB →，所以AD →－AC →＝2(AB →－AD →)，所以AD →＝23AB →＋13AC →.又因为AD →＝xAB →＋yBC →＝(x －y )AB →＋yAC →，所以23AB →＋13AC →＝(x －y )AB →＋yAC →.因为AB →与AC →不共线，所以⎩⎨⎧x －y ＝23，y ＝13，所以x ＝1，y ＝13.(2)AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →)＝13AB →·AC →－23AB →2＋13AC →2＝43.4．(选做题)在四边形ABCD 中，已知BC →∥DA →，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x ，y 的值以及四边形ABCD 的面积．解：(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，则BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8，所以S四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2，则BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)． |AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.。

2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.4 第1课时应用案巩固提升(苏教版)

[学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5解析：选C ．由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.2．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C ．因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12解析：选C ．因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0. 解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)．故选C ．4．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →等于( )A ．－32B ．32C ．－32D ．32解析：选C ．因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以AB →·BC →＝1×3×cos 150°＝－32.5．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：选D ．因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0，所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．6．已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝4，⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________．解析：因为⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝|a |2＋12a·b －3|b |2 ＝16＋12|a ||b |cos 60°－3|b |2＝16＋|b |－3|b |2，即16＋|b |－3|b |2＝12，所以3|b |2－|b |－4＝0，解得|b |＝43.答案：437．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 答案：228．如图所示的是正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是________．(只填序号)①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→；③P 1P 2→·P 1P 5→； ④P 1P 2→·P 1P 6→.解析：根据正六边形的几何性质，得P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＜0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·3|P 1P 2→|·cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2|2，经比较可知P 1P 2→·P 1P 3→的数量积最大．答案：①9．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为3π4.求：(1)(3a －2b )·(a －2b )；(2)|a ＋b |.解：(1)(3a －2b )·(a －2b )＝3a 2－8a ·b ＋4b 2＝3×32－8×3×4cos 3π4＋4×42＝91＋48 2.(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝ a 2＋2a ·b ＋b 2＝32＋2×3×4cos 3π4＋42＝25－12 2.10．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，求a 与b 的夹角．解：因为(a －2b )⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，即a 2－2a ·b ＝0. 因为(b －2a )⊥b ，所以(b －2a )·b ＝0，即b 2－2a ·b ＝0.所以a 2＝b 2，即|a |＝|b |.a ·b ＝12a 2，即a ·b ＝12|a |2.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12|a |2|a |2＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.[B 能力提升]1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________．解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →，又因为BC →＝AC →－AB →，AC →2＝1，AB →2＝4，且AB →·AC →＝2×1×cos 120°＝－1，所以AD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →·(AC →－AB →)＝13AC →2－23AB →2＋13AC →·AB →＝－83. 答案：－832．已知圆O 是△ABC 的外接圆，M 是BC 的中点，AB ＝4，AC ＝2，则AO →·AM →＝________．解析：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，又O 是△ABC 的外接圆圆心，所以AB →·AO →＝|AB →||AO →|·cos ∠BAO ＝12|AB →|2＝8，同理可得AC →·AO →＝12|AC →|2＝2，所以AM →·AO→＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝4＋1＝5. 答案：53．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →. (1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP →的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0，由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →.所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →) ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13DC →·⎝⎛⎭⎫AD →－23DC → ＝AD →2－13AD →·DC →－29DC →2＝36－29×81＝18.(2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝AD →2－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6，所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23.所以AB →与AD →夹角的余弦值为23.4．(选做题)已知向量a ，b 满足：a 2＝9，a ·b ＝－12，求|b |的取值范围．解：法一：因为a 2＝9，所以|a |＝3.又a ·b ＝－12. 所以|a ·b |＝12. 又因为|a ·b |≤|a ||b |. 所以12≤3|b |，解得|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．法二：因为a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．又由a 2＝9，得|a |＝3，由a ·b ＝－12，得θ≠90°.即cos θ≠0.所以|b |＝a ·b|a |cos θ＝－123cos θ＝－4cos θ.因为－1≤cos θ<0，所以|b |≥4.故|b |的取值范围是[4，＋∞)．。

2019-2020学年人教A版高中数学必修四培优新方案同步课件：2.第2节 2.2.1 向量加法运算

第十一页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
[尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设＝a，∵a 与 b 有公
共点 A，故过 A 点作＝b，连接即为 a＋b.
(2)如图ⓑ，设＝a，过 O 点作＝b，则以 OA、
OB 为邻边作▱OACB，连接 OC，则
＝a＋b.
第十二页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
提示：从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移
的结果
是位移，与从 A 点直接到 C 点的位移相等．
第二页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
(2)观察教材 P80“探究”的内容，思考： ①力 F 对橡皮条产生的效果，与力 F1 与 F2 共同产生的效果相同吗？
提示：产生的效果相同．
②力 F 与力 F1、F2 有怎样的关系？
第十三页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
[针对训练] 1．如图，已知 a、b、c，求作向量 a＋b＋c.
第十四页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
解：作法：在平面内任取一点 O，如图所示．
作
＝a＋b＋c.
第十五页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
探究点二向量加法运算 [思考探究] 向量加法有哪些运算律？名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[类题通法] 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
（1）表示：用向量表示实际问题中既有大小又有方向的量；
（2）运算：利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和，并用直角三角形等知识解决问题；
（3）解答：根据题意作答.
第二十五页，编辑于星期六：二十三点三十九分。
[针对训练] 3．轮船从 A 港沿东偏北 30°方向行驶了 40 km 到达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶 40 km 到达 C 处，求此时轮船与 A 港的相对位置．

2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.4 2.4.1 应用案巩固提升(苏教版)

[A 基础达标]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x答案：B2．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 解析：选B.由题意可知准线方程为x ＝－p ，所以8＋p ＝10，所以p ＝2. 所以焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74 解析：选C.过A ，B 分别作y 轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB 的中点到y 轴的距离为12(AF ＋BF )－14＝32－14＝54.4．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D.a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b 2，表示焦点在y 轴上的椭圆； ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－ab x ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．5．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________．4因为AF ＝54x 0，所以根据抛物线的定义可得x 0＋14＝AF ＝54x 0，解得x 0＝1.答案：16．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3，0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )，则由定义知PF ＝3－x .又PF ＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)．答案：(－6，62)，(－6，－62)7．(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P (4，2)，求抛物线的方程；(2)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点A (m ，4)到其焦点的距离为174，求p 与m 的值．解：(1)因为抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，所以抛物线的方程为标准方程．又因为点P (4，2)在第一象限，所以抛物线的方程设为y 2＝2px ，x 2＝2py (p >0)．当抛物线为y 2＝2px 时，则有22＝2p ×4，故2p ＝1，y 2＝x ；当抛物线为x 2＝2py 时，则有42＝2p ×2，故2p ＝8，x 2＝8y .综上，所求的抛物线的方程为y 2＝x 或x 2＝8y . (2)由抛物线方程得其准线方程y ＝－p2，根据抛物线定义，点A (m ，4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋p 2＝174，解得p ＝12；所以抛物线方程为：x 2＝y ，将A (m ，4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.8.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．2于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4，4)，B (0，4)，M (0，2)．又F (1，0)，所以k AF ＝43，则F A 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－34x ＋2，y ＝43（x －1），得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45. [B 能力提升]1．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P (x P ，y P )为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.由题意知抛物线的焦点为F (2，0)，准线为x ＝－ 2. 设点P 在抛物线准线上的投影为点M . 由抛物线的定义知 PF ＝PM ，又PF ＝42，所以x P ＝32，代入抛物线方程求得y P ＝26，所以S △POF ＝12·OF ·|y P |＝2 3.2．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33p ，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫33p ，－p 2.又点B 在双曲线上，故13p 23－p 243＝1，解得p ＝6. 答案：63．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32， 6，求抛物线与双曲线的方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4cx ，因为抛物线过点⎝⎛⎭⎫32，6，所以6＝4c ·32.所以c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6，所以94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，所以94a 2－61－a 2＝1.所以a 2＝14或a 2＝9(舍去)．所以b 2＝34，故双曲线方程为：4x 2－4y 23＝1. 4．(选做题)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，BD ＝2p ，圆F 的半径F A ＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝F A ＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12BD ·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0，1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. (2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知AD ＝F A ＝12AB ，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py得x 2－233px －2pb ＝0.由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m 、n 距离的比值为3. 综上，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.。

2019-2020学年人教A版数学必修四课件：第2章平面向量章末整合提升2

量积夹角公式设a＝x1，y1，b＝x2，y2，夹角为θ，cosθ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
平面向量的应用举例平平面面向向量量在在几物何理中中的的应应用用
第六页，编辑于星期六：二十三点十三分。
专题探究
第七页，编辑于星期六：二十三点十三分。
专题一 ⇨平面向量的线性运算
A．－3
B．－2
C．2
D．3
[解析] ∵B→C＝A→C－A→B＝(3，t)－(2,3)＝(1，t－3)，|B→C|＝1，
∴ 12＋t－32＝1，∴t＝3，∴B→C＝(1,0)，
∴A→B·B→C＝2×1＋3×0＝2.故选 C．
第二十六页，编辑于星期六：二十三点十三分。
二、填空题 4．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B|的最小值为___5___. [解析] 以 D 点为坐标原点，DA，DC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，且设 DC＝m，P(0，y)，则P→A＋3P→B＝(2，－y)＋3(1，m－y)＝(5,3m －4y)，所以|P→A＋3P→B|＝ 52＋3m－4y2≥5，当且仅当 y＝34m时取等号，即|P→A＋ 3P→B|的最小值是 5.
第十七页，编辑于星期六：二十三点十三分。
[解析] (1)设点 B 的坐标为(x1，y1)． ∵A→B＝(4,3)，A(－1，－2)， ∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)． ∴xy11＋＋12＝＝43，， ∴xy11＝＝31， . ∴B(3,1)．同理可得 D(－4，－3)．
第十八页，编辑于星期六：二十三点十三分。

2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第1章1.2 1.2.2 应用案巩固提升(苏教版)

[学生用书P83(单独成册)])[A 基础达标]1．若cos α＝13，则(1＋sin α)(1－sin α)等于( )A ．13B ．19C ．223D ．89解析：选B ．原式＝1－sin 2α＝cos 2α＝19，故选B ．2．若α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( )A ．15B ．－14C ．513D ．－513解析：选D ．因为tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±513.因为α是第四象限角，所以sin α＝－513.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A ．由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝29.因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23. 4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝( ) A ．73B ．75C ．54D ．53解析：选B ．法一：1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1，又tan θ＝2，所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝75.法二：tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(2cos θ)2＋cos 2θ＝1，所以cos 2 θ＝15.又tan θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角．当θ为第一象限角时，cos θ＝55，此时sin θ＝1－cos 2θ＝255，则1＋sin θcos θ＝1＋255×55＝75；当θ为第三象限角时，cos θ＝－55，此时sin θ＝－1－cos 2θ＝－255，则1＋sin θcos θ＝1＋(－255)×(－55)＝75.5．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A ．12B ．2C ．－12D ．－2解析：选B ．由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1得(5sin α＋2)2＝0. 所以sin α＝－255，cos α＝－55.所以tan α＝2.6．已知tan α＝m ⎝⎛⎭⎫π＜α＜3π2，则sin α＝________．解析：因为tan α＝m ，所以sin 2αcos 2α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1，sin 2α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－mm 2＋1. 答案：－m1＋m 27．已知sin α－cos αsin α＋cos α＝2，则sin αcos α的值为________．解析：由sin α－cos αsin α＋cos α＝2，等式左边的分子分母同除以cos α，得tan α－1tan α＋1＝2，所以tan α＝－3，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－310.答案：－3108．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2 α＋21－sin 2 αcos α＝________．解析：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α1－cos 2α＋21－sin 2αcos α＝sin αsin α＋－2cos αcos α＝－1.答案：－19．化简：sin 2xsin x －cos x －sin x ＋cos x tan 2x －1.解：原式＝sin 2xsin x －cos x－sin x ＋cos x sin 2x cos 2x －1＝sin 2xsin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x＝sin x ＋cos x . 10．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1. 解：(1)因为tan α＝2，所以cos α≠0.所以2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×22－34×22－9＝57. (2)因为tan α＝2，所以cos α≠0. 所以sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α) ＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α ＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.[B 能力提升]1．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( )A ．153B ．－153C ．53D ．－53解析：选A ．因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13＞0，所以A 为锐角，所以sin A＋cos A ＞0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153. 2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．解析：因为tan θ＝2，所以cos θ≠0，则原式可化为sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2cos 2θcos 2θsin 2θcos 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.答案：453．已知2sin θ－cos θ＝1，3cos θ－2sin θ＝a ，记数a 形成的集合为A ，若x ∈A ，y ∈A ，则以点P (x ，y )为顶点的平面图形是什么图形？解：联立⎩⎪⎨⎪⎧2sin θ－cos θ＝1，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，或⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35.所以a ＝3cos θ－2sin θ＝－3或15，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，15.因此，点P (x ，y )可以是P 1(－3，－3)， P 2⎝⎛⎭⎫－3，15，P 3⎝⎛⎭⎫15，15， P 4⎝⎛⎭⎫15，－3.经分析知，这四个点构成一个正方形．4．(选做题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：由根与系数的关系，可得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m 2，②Δ＝4＋23－8m ≥0.③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(2)由①平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 又由②，得m 2＝34，所以m ＝32，由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32符合题意； (3)当m ＝32时，原方程变为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或π6.。

2019-2020年数学必修4同步课件讲义应用案巩固提升：第2章2.3 2.3.1 应用案巩固提升(苏教版)

[A 基础达标]1．已知双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0B.⎝⎛⎭⎫52，0C.⎝⎛⎭⎫62，0D ．(3，0)解析：选C.将双曲线方程化成标准方程为x 21－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，所以c ＝a 2＋b 2＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1解析：选D.依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.4．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.设点P (x 0，y 0)，依题意得，F 1F 2＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12·F 1F 2·|y 0|＝2|y 0|＝2，所以|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，所以x 20＝3(y 20＋1)＝6.所以PF 1→·PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.5.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左，右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意，得B (2，0)，C (2，3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 24a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 6．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为____________．解析：不妨设点F 1(－3，0)，容易计算得出MF 1＝32＝62， MF 2－MF 1＝2 6. 解得MF 2＝526.而F 1F 2＝6，在直角三角形MF 1F 2中，由12MF 1·F 1F 2＝12MF 2·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.答案：657．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则PF ＋P A 的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知PF ＝2a ＋PF 1＝4＋PF 1，所以PF ＋P A ＝4＋PF 1＋P A .所以当PF ＋P A 最小时需满足PF 1＋P A 最小．由双曲线的图象可知当点A 、P 、F 1共线时，满足PF 1＋P A 最小，易求得最小值为AF 1＝5，故所求最小值为9.答案：98．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．解：因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b 2＝1.①又因为点Q (0，5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 解得c 2＝25.②又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.9．如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．解：(1)由双曲线的定义得|MF 1－MF 2|＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 由于c －a ＝5－3＝2，10>2，22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将PF 2－PF 1＝2a ＝6，两边平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，所以PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[B 能力提升]1．已知椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，那么cos ∠F 1PF 2的值是____________．解析：不妨设点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点，因为P 在椭圆上，所以PF 1＋PF 2＝2 6.又P 在双曲线上，所以PF 1－PF 2＝23，两式联立，得PF 1＝6＋3，PF 2＝6－ 3.又F 1F 2＝4，根据余弦定理可以求得cos ∠F 1PF 2＝13.答案：132．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，另一个焦点为F 2，点N 是PF 1的中点，则ON 的大小(O 为坐标原点)为________．解析：连结ON (图略)，ON 是三角形PF 1F 2的中位线，所以ON ＝12PF 2，因为|PF 1－PF 2|＝8，PF 1＝10，所以PF 2＝2或18，所以ON ＝12PF 2＝1或9.答案：1或9 3.已知双曲线的方程为x 2－y 24＝1，如图所示，点A 的坐标为(－5，0)，B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，求MA ＋MB 的最小值．解：设点D 的坐标为(5，0)，则点A ，D 是双曲线的焦点，如图，连结MD ，BD ，由双曲线的定义，得MA －MD ＝2a ＝2.所以MA ＋MB ＝2＋MB ＋MD ≥2＋BD ，又点B 是圆x 2＋(y －5)2＝1上的点，圆的圆心为C (0，5)，半径为1，故BD ≥CD －1＝10－1，从而MA ＋MB ≥2＋BD ≥10＋1，当点M ，B 在线段CD 上时上式取等号，即MA ＋MB 的最小值为10＋1.4．(选做题)在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路P A ，PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知P A ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路P A 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路P A送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路P A，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．设M为界线上的任意一点，则有P A＋MA＝PB＋MB，即MA－MB＝PB－P A＝50(定值)．界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示．以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为a＝25，2c＝AB＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝507，所以c＝257，b2＝c2－a2＝3 750，所以双曲线方程为x2625－y23 750＝1，因为C的坐标为(257，60)，所以y的最大值为60，此时x＝35.因此界线的曲线方程为x2625－y23 750＝1(25≤x≤35，y≥0)．。