二次函数与一元二次方程教学讲义

二次函数与一元二次方程教学讲义第一讲：一元二次方程判别式及根与系数的关系一、知识点总结1、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式：2、证明：设ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根为x 1，x 2，由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)⑴、若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2=－b/a ；x 1x 2=c/a ； ⑵、若x 1，x 2是某一元二次方程的两根，则该方程可以写成：x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0。

关于一元二次方程根的判别式：3、一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的判别式为：△=b 2-4ac作用：不解方程，判断方程根的情况，解决与根的情况有关的问题。

主要内容：⑴、△＞0：有两个不相等的实数根； ⑵、△＝0：有两个相等的实数根； ⑶、△＜0：没有实数根。

二、典型例题关于根的判别式的应用：1、对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；2、对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；3、运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题。

例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0, （1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.解：∵△=（4m+1）2-4×2×（2m 2-1）=8m+9（1）当△=8m+9=0，即m= -89时，方程有两个相等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m ＞-89时，方程有两个不等的实根；（3）当△=8m+9＜0，即m ＜ -89时，方程没有实根。

例2 求证：关于x 的方程x 2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。

分析：(1)要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零.(2)对于一个含有字母的代数式，要判断其正负，通常下面方法：通过配方变为“ 一个完全平方式+正数”；或变为“ -（ ）2–正数”。

解答过程略关于根与系数的关系（韦达定理）的应用：例3 （1）已知关于x 的方程3x 2+6x-2=0的两根为x 1 ，x 2，求2111x x +的值。

分析：已知方程，求两根组成代数式的值。

这里主要说明解题格式，学生完成过程.（2）已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ，求 ①m 的值；②求x 12+x 22的值。

分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。

第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系。

小结：求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式。

关于根的判别式和韦达定理的综合应用问题：例4、已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

（1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

（2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。

通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）。

第二讲：二次函数的解析式与图象一、复习引入1、二次函数的三种表达式： ⑴、一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0），解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。

当a ＞0时,图象开口向上；当a ＜0时，图象开口向上。

对称轴为：x=-b/2a 。

当△=b2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点（方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根）；当△=b2－4ac=0时，图象与x 轴有且只有一个交点（方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根）；当△=b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点（方程ax 2+bx+c=0没有实数根）。

顶点坐标是：（-b/2a ，4ac-b 2/4a ）。

⑵、顶点式：y =a （x-h ）2+k （a ≠0）。

其中，h= -b/2a ，k=4ac-b 2/4a 。

⑶、零点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)。

利用了函数与方程根的关系。

2、二次函数的图象：⑴、说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点： y=(x+2)2-1；(2) y=-(x-2)2+2；(3) y=a(x+h)2+k 。

⑵、①、二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像可由的y=x 2图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到；②、a 决定了图像的开口方向: a>0开口向上，a< 0开口向下；③、a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小: |a|越小图像开口就越大。

第三节：用二次函数的图象讨论二次方程根的分布对一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，除了讨论其根的性质和符号外往往还要求我们讨论其根落在某个区间内或外的充要条件，这类问题，一般大都以二次函数的图象作为辅助工具。

下面介绍借助二次函数图象讨论二次方程根的范围问题的一般方法。

对于方程)0(02≠=++a c bx ax ，总可以化为与其同解的方程02=++q px x 的形式。

1． 程02=++q px x 的根与常数k 的关系设0)(2=++=q px x x f 的二根为α、β，且βα≤，那么它们与常数),(βα≠≠k k k ，在x 轴上的位置关系分别如下图：α k α β k α β （1）两根均小于k ，即k <≤βα的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧<->≥∆kp k f 2/0)(0（2）一根小于k 而另一根大于k ，即βα<<k 的充要条件是0)(<k fkβ xx x（3）二根均大于k ，即βα≤<k 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>->≥∆kp k f 2/0)(0例1 设二次方程0622=-++p px x 的解满足下列条件：（1）两根都大于1；（2）一根大于1，而另一根小于1，分别求实数p 的范围。

2．方程02=++q px x 的根与常数)(,2121k k k k <的关系如果方程=)(x f 02=++q px x 二根为α、β，且βα≤，那么它们与常数)(,2121k k k k <，在x 轴上的位置关系分别如下图：（1） 方程0)(=x f ，两根βα,分别在),(21k k 两侧的充要条件是⎩⎨⎧<<0)(0)(21k f k f（2）方程0)(=x f 在),(21k k 只有一根，即βα<<<21k k 或21k k <<<βα的充要条件是⎩⎨⎧<>0)(0)(21k f k f 或⎩⎨⎧><0)(0)(21k f k f（3）方程0)(=x f 二根都在),(21k k 内，即21k k <≤<βα的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧<-<>>≥∆21212/0)(0)(0kp k k f k f （4）方程0)(=x f 二根α、β满足条件21k k <<α且43k k <<β的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><<>0)(0)(0)(0)(4321k f k f k f k f 例2．若方程)0(0122>=+-a x ax 的二根满足条件，小根小于1，大根在（1, 3）内，求a 的范围。

一般说来，利用二次函数图象来研究与其相应的一元二次方程实根的分布问题，关键xβ α 1k 2k x α β 1k 2kx αβ 1k 2k xαβ 1k 2k4k3k是根据题设条件作出抛物线的确切位置的草图，根据图列出满足条件的不等式。

这要比直接利用判别式和根与系数的关系来解方便些。

其优点是直观明显，公式与图形结合，有利于提高我们分析问题和解决问题的能力。

若二次方程的根分布在某闭区间上，这时区间端点的值要通过检验看是否满足题意。

随堂练习1．方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根均大于2，求实数m 的范围。

2．方程0122=++px x 的两实数一根小于1，另一根大于1，求实数p 的范围。

3．方程01)5(42=+-+x a x 的两实根都在（0, 1）内，求实数a 的范围。

4．p 为什么数时，关于x 的方程02)13(722=--++-p p x p x 的两根α、β分别满足10<<α，21<<β。

第四节：二次函数的最值一、 课前基础练习：1函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）)(A 1 ,3 )(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）41-, 32.函数242-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 23.函数5482+-=x x y 的最值为 （ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值4. 若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的值域是______________________5. 函数)0(12)(2>++=a ax ax x f 在区间]2,3[-上有最大值4，则=a ____________ 二、 能力培养：6.如果实数y x ,满足122=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有 （ ）(A)最大值为 1 , 最小值为21 (B)无最大值，最小值为43（C ）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为437.已知函数322+-=x x y 在必区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 （ ）(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞8.若函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+那么 （ ）(A))4()1()2(f f f << (B))4()2()1(f f f << (C))1()4()2(f f f << (D))1()2()4(f f f <<9. 若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么232y x +的最小值为__________________10．设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实根，则2221x x +的最小值______三、 综合拓展：11.设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。