信号与线性系统题解第九章
数字信号处理第9章答案
滤波器？ 为什么？
（该题21分， （1）15分， （2）6分） （自测时间2.5~3小时， 满分100分）
第 9 章
自
测
题
题9图
第 9 章
自
测
题
9.4 自 测 题 (四)
1. 设
0.19 X ( z) (1 0.9 z )(1 0.9 z 1 )
试求与X(z)对应的所有可能的序列x(n)。 (该题12分) 2. 假设x(n)=R8(n), h(n)=R4(n)。 （1）令y(n)=x(n)*h(n)， 求y(n)。 要求写出y(n)的表达式， 并画出y(n)的波形。
ˆ （1） 写出 x (t ) 的表达式;
（2） 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
（该题14分 ， （1）6分， （2）8分） 4. 假设线性非时变系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号
x(n)分别用下式表示：
h(n)=R8(n), x(n)=0.5nR8(n) (1) 计算并图示该系统的输出信号y(n);
y1(n)=IDFT［Y(k)］
（FFT计算作为一个框图）， 并注明FFT的最小计算区间N
等于多少。 （该题22分, （1） 7分, （2） 7分, （3） 8分）
第 9 章
自
测
题
5. 二阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器的系统函数为
H a (s) 1 s 2 2s 1
采样间隔T=2 s， 为简单起见， 令3 dB截止频率Ωc=1 rad/s， 用 双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器H(z)， 要求: (1) 求出H(z); (2) 计算数字滤波器的3 dB截止频率; (3) 画出数字滤波器的直接型结构图。 （该题15分， （1） 5分, （2） 5分, （3） 5分）
《信号与系统》第九章习题解答
shown in Figure 1. (a) Determine the system function of the system, is this system causal? (b) Determine the unit impulse response of this system. (c) If the input is x ( t ) = u ( − t ) , determine the output y ( t ) . (d) Draw a block diagram representation of this system.
17
Chapter 9
例：某连续时间 LTI 系统的系统函数为 H ( s ) =
Problem Solution
s +1 为常数。 ，其中 a, b 为常数。已知系统函 2 s + as + b
t
数 在 s = −2 有 一 个 极 点 ， 且 输 入 为 x ( t ) = e , − ∞ < t < +∞ 时 ， 系 统 的 输 出
Problem Solution
y′′(t ) − y′(t ) − 2 y (t ) = x(t )
(b) Determine h(t ) for each of the following cases: −1/ 3 1/ 3 1 1 H (s ) = 2 = = + s − s − 2 (s + 1)(s − 2 ) s + 1 s − 2 1. The system is stable. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) − e u (− t ) − 1 < Re{s} < 2 3 3 2. The system is causal. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) + e u (t ) Re{s} > 2 3 3 3. The system is neither stable nor causal.
信号与系统作业chapter9
96
解法1
周期序列 x p ( n )，周期 N 4, 取其主值序列构
2 N
成一有限长序列 x ( n ) x p ( n ) R N ( n )。求 x ( n )的 DFT
X ( k ) DFT [ x ( n )] x ( n )W nk , N 4, W e
k n 2
令 n n N , 有
2 N 1 n N
x p n e
x p n N e
n 0
N 1
2 j N
k ( n N ) 2
e jk x p n e
n 0
N 1
2 j N
( n )W nk 1
n0 N 1 n0 j 2 n0 k N
N 1
（2） X ( k ) x ( n )W nk ( n n0 )W nk W n0 k e （3） X ( k ) x ( n )W
n0 N 1 nk
a R N x p n e
n0
N 1
2 j N
nk
k X p 1 x p n e 2 n0 所以
N 1
2 k j n N 2
k jk k X p 2 k X p 1 e X p1 2 2 k为奇数 0 k 2 X p1 2 k为偶数
11
9 14 已知有限长序列 x ( n )， DFT [ x ( n )] X ( k )，试用频移定理求： 2 ln (1) DFT x ( n ) cos N 解
2ln 2ln j j N e N 2 ln x(n) e （1） DFT x ( n ) cos DFT 2 N 1 DFT x ( n ) W -ln W ln 2 由频移定理若 DFT [ x ( n )] X ( k ), 则
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
信号与线性系统-白恩健书答案
第1章基本概念K第1章习题k1.1解：（1）x(t)为周期信号，周期为T=10。
（2）x(t)为非周期信号。
（3）x[n]为非周期信号。
（4）x[n]为周期信号，周期为N=2。
（5）x(t)为非周期信号。
（6）x[n]为周期信号，周期为N=2。
1.2解：（1）x(t)为功率信号。
（2）x(t)既不是能量信号也不是功率信号。
（3）x[n]为能量信号。
（4）x(t)为能量信号。
（5）x(t)为能量信号。
（6）x[n]为能量信号。
1.3略。
1.4略。
1.5（原题有误）一个离散时间系统的激励与响应的关系为y[n]=M∑i=0b i x[n−i]。
用算符S−k代表将信号x[n]平移k个单位时间得到输出信号x[n−k]的系统，即x[n−k]=S−k(x[n])。
写出联系y[n]与x[n]的系统算符T及其可逆系统的算符T inv。
解：提示：可逆系统为y[n]−M∑i=1b i x[n−i]=b0x[n]。
1.6解：（1）因果、无记忆、非线性、时不变、BIBO稳定系统。
（2）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（3）因果、无记忆、线性、时变和非稳定系统。
（4）因果、记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（5）因果、无记忆、线性、时变和BIBO稳定系统。
（6）因果、记忆、时不变、非稳定系统。
–2/48–第1章基本概念（7）因果、无记忆、线性、时不变和BIBO稳定系统。
（8）非因果系统、无记忆、线性、时不变、BIBO稳定系统。
1.7证明略。
1.8解：（1）x[n]的响应为{1,1,−1,2,n=0,1,2,3}。
（2）x[n]的响应为{1,1,−3,1,3,−5,2,n=−3∼3}。
（3）x[n]的响应为{1,0,−1,4,−3,2,n=−2∼3}。
1.9证明提示：根据微积分的极限定义证明。
1.10解：（1）x(t)的响应为4(1−e−t)u(t)−6(1−e−t+1)u(t−1)。
（2）x(t)的响应为[2(t+e−t)−2]u(t)。
自动控制原理第9章 习题及解析
第9章 习题参考答案9-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。
解 3x x x =-+由30x x -+=解得1230, 1, 1e e e x x x ===-。
作出系统的相轨迹图如下：平衡状态(0, 0)稳定，平衡状态(1, 0), (1, 0)-不稳定。
9-2 已知非线性系统的微分方程为(1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3) 0x x x ++= (4) 2(1)0x x x x --+= 试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。
解 (1) 奇点(0, 0)。
特征方程为2320λλ++=两个特征根为1,21, 2λ=--平衡点(0, 0)为稳定节点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(2) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为0x x +=其特征方程为210λ+=两个特征根为1,2j λ=±平衡点(0, 0)为中心点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(3) 奇点(0, 0)。
原方程可改写为0000x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩其特征方程、特征根和类型为21,221,2100.50.866 10 1.618, 0.618 j λλλλλλ⎧++==-±⎪⎨+-==-⎪⎩稳定焦点鞍点 在奇点附近的概略相轨迹图：(4) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为x x x-+=其特征方程为210λλ-+=两个特征根为1,20.50.866jλ=±平衡点(0, 0)为不稳定焦点。
在奇点附近的概略相轨迹图：xx9-3 非线性系统的结构图如图9-48所示。
系统开始是静止的，输入信号r(t)＝4·1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，在e-e平面上画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
信号系统教材课后习题答案
第6章 系统及系统的时域分析1. 解：由于系统(1)不满足分解性；系统(2)不满足零输入线性；系统(3)不满足零状态线性，故这三个系统都不是线性系统。
对于系统(4)，如果直接观察)(n y ～)(n f 关系，似乎系统既不满足齐次性，也不满足叠加性。
但考虑到令)(n f =0时，系统响应为常数b ，若把它看成是由初始状态引起的零输入响应时，系统仍是满足线性系统条件的，故系统(4)是线性系统。
2. 解：(1) 已知)(t f →)](cos[)(t f a t y f =，设 dd t t t t f t f >-=),()(1，则其零状态响应为)](cos[)](cos[)(11d f t t f a t f a t y -==，显然 )()(1d f f t t y t y -=，故该系统是时不变系统。
(2) 已知)(n f →)()(n bf n y f =，设01),()(n n n n f n f >-=，则其零状态响应为)()()(011n n bf n bf n y f -==，显然 )()(01n n y n y f f -=，故该系统是时不变系统。
3. 解：对于（1）～（4），由于任一时刻的零状态响应均与该时刻以后的输入无关，因此都是因果系统。
而对于（5），系统任一时刻的零状态响应都与该时刻以后的激励有关。
响应在先，激励在后，这在物理系统中是不可能的。
因此，该系统是非因果的。
（6）也是非因果的，因为如果0)(=t f ，0t t < 则有 0)3()(==t f t y f ，3t t <可见在区间003t t t <<上0)(≠t y f ，即零状态出现于激励之前，因而该系统是非因果的。
4. 解：（1）显然，无论激励)(n f 是何种形式的序列，只要它是有界的，那么)(n y f 也是有界的，因果该系统是稳定的。
（2）若)()(t u t f =，显然该激励是有界的，但 t x x u t y tf ==⎰∞-d )()(，0≥t它随时间t 无限增长，故该系统是不稳定的。
信号与线性系统-9
信号与线性系统-9(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：17，分数：100.00)求下列序列的卷积和。
（分数：8.00）(1).ε(k)*ε(k)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由卷积和的定义有(2).0.5 kε(k)*ε(k)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由卷积和的定义有(3).2 kε(k)*3 kε(k)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由卷积和的定义有(4).kε(k)*δ(k-1)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解由卷积和的定义有1.证明卷积和的移序特性，即若e(k)*h(k)=y(k)，则e(k-k 1 )*h(k-k 2 )=y(k-k 1 -k 2 )（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：证由卷积和的定义得令j-k 1 =x，则求下列差分方程所示系统的零状态响应。
信号与系统答案 西北工业大学 段哲民 第九章 习题
第九章 习题9.1 图题9.1所示电路，已知)(1t x 与)(2t x 为状态变量，试证明以下各对变量是否都可以作为状态变量。
)(),()6();(),()5();(),()4();(),()3();(),()2();(),()1(2131t i t i t u t i t u t i t u t u t u t i y u t i R R R C L C L R C C L L 。
9.1图题++--3R u L u答案解 本题说明状态变量的选取不是唯一的。
若各组变量之间存在着非奇异线性变换关系，则这些变量组即可作为状态变量。
又因为研究的是电路的状态，故可采取无激励电路（即令电路中的激励均为零）。
（1） )()(2t x t i L =)()()(231t x R t x t u L -=即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(110)()(213t x t x R t u t i L L（2）=---=)()(1)(1)(21211t x t x R t x R t i C)()()11(2121t x t x R R -+-)()(1t x t u C =即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(011)11()()(2121t x t x R R t u t i C C（3） )(11t x u R -=)()()(231t x R t x t u L -=即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(101)()(2131t x t x R t u t u L R（4）)()()11()(2121t x t x R R t i C -+-=)()()(231t x R t x t u L -=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(11)11()()(21321t x t x R R R t u t i L C（5）)()()11()(2121t x t x R R t i C -+-=)()(233t x R t u R =即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(01)11()()(213213t x t x R R R t u t i R C可见以上5对变量的变换矩阵，其行列式的值均不为零，即它们均为非奇异矩阵，故以上的五对变量组均可作为该电路的状态变量。
信号与线性系统分析习题答案_(吴大正_第四版__高等教育出版社)
第一章 信号与系统（二）1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
（2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)(sin )(t t f ε=（5）)tf=r)(sin(t（7）)f kε=t)(2(k（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=kkkkfεεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
信号与线性系统分析课后答案吴大正
1第一章1-1画出下列各信号的波形(式中)()(t t t r ε=)为斜升函数。
解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(（3）)()sin()(t t t f επ=（4）)fε=t(t(sin)（5）)tf=(sinr(t)2（7）)tf kε(k=(2)（10）)f kεk-=(k+]()1()1[341-2 画出下列各信号的波形[)()(t t t r ε=为斜升函数]。
（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε（2）)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf（5）)2()2()(ttrtf-=ε56（8）)]5()([)(--=k k k k f εε（11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ（12）)]()3([2)(kkkf k---=εε71-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
81-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
9101-5 判别下列各序列是否为周期性的。
如果是，确定其周期。
（2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+=解：111-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。
（1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5）)21(t f - （6）)25.0(-t f（7）dtt df )( （8）dx x f t ⎰∞-)(解：各信号波形为 （1）)()1(t t f ε-12（2）)1()1(--t t f ε（5）)21(t f -13（6）)25.0( t f（7）dt t df )(（8）dxxft⎰∞-)(14151-7 已知序列)(k f 的图形如图1-7所示，画出下列各序列的图形。
大学科目《信号与系统》各章节习题答案
第一章 习 题1-1 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=(2-e -t )U(t); (2) f 2(t)=e -t cos10πt×[U(t -1)-U(t-2)]。
答案（1）)(1t f 的波形如图1.1（a ）所示.(2) 因t π10cos 的周期s T 2.0102==ππ,故)(2t f 的波形如图题1.1(b)所示.1-2 已知各信号的波形如图题1-2所示，试写出它们各自的函数式。
答案)1()]1()([)(1-+--=t u t u t u t t f)]1()()[1()(2----=t u t u t t f)]3()2()[2()(3----=t u t u t t f1-3 写出图题1-3所示各信号的函数表达式。
答案2002121)2(21121)2(21)(1≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-+=+=t t t t t t t f)2()1()()(2--+=t u t u t u t f)]2()2([2sin )(3--+-=t u t u t t f π)3(2)2(4)1(3)1(2)2()(4-+---++-+=t u t u t u t u t u t f1-4 画出下列各信号的波形：(1) f 1(t)=U(t 2-1); (2) f 2(t)=(t-1)U(t 2-1);(3) f 3(t)=U(t 2-5t+6); (4)f 4(t)=U(sinπt)。
答案(1) )1()1()(1--+-=t u t u t f ,其波形如图题1.4(a)所示.(2))1()1()1()1()]1()1()[1()(2---+--=--+--=t u t t u t t u t u t t f 其波形如图题1.4(b)所示.(3))3()2()(3-++-=t u t u t f ,其波形如图1.4(c)所示.(4) )(sin )(4t u t f π=的波形如图题1.4(d)所示.1-5 判断下列各信号是否为周期信号，若是周期信号，求其周期T 。
信号与系统第1至8章习题参考解答
《信号与系统》第1~8章习题参考解答第一章 (2)第二章 (13)第三章 (22)第四章 (35)第五章 (48)第六章（无） (56)第七章 (57)第八章 (65)第一章1-4 对于例1-1所示信号，由f (t )求f (−3t − 2)，但改变运算顺序，先求f (3t )或先求f (−t )，讨论所得结果是否与原例之结果一致。
解：(1). 例1-1的方法： f (t )→ f (t − 2)→ f (3t − 2)→ f (−3t − 2) (2). 方法二：f (t )→ f (3t )→ 2[3()]3f t − →f (−3t − 2) (3). 方法三：f (t )→f (−t ) →[(2)]f t −+ →f (−3t − 2)方法三：1-5 已知()f t ，为求0()f t at −应按下列哪种运算求得正确结果（式中0t ，a 都为正值）？（1）()f at −左移0t （2）()f at 右移0t （3）()f at 左移0t a （4）()f at −右移0ta解：（4）()f at −右移t a：故（4）运算可以得到正确结果。
注：1-4、1-5 题考察信号时域运算：1-4 题说明采用不同的运算次序可以得到一致的结果； 1-5 题提醒所有的运算是针对自变量t 进行的。
如果先进行尺度变换或者反转变换，再进行移位变换，一定要注意移位量和移位的方向。
1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图： （1）()(2)()t f t e u t −=− （2）2()(36)()t t f t e e u t −−=+ （3）3()(55)()t t f t e e u t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]t f t e t u t u t π−=−−− 解：（1）()(2)()tf t e u t −=−（2）2()(36)()ttf t e eu t −−=+（3）3()(55)()ttf t e eu t −−=−（4）()cos(10)[(1)(2)]tf t e t u t u t π−=−−−1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别：（1）[()(1)]−−；t u t u t（2）(1)�；t u t−（3）[()(1)](1)−−+−；t u t u t u t（4）(1)(1)−−；t u t（5）(1)[()(1)]−−−−；t u t u t（6）[(2)(3)]−−−；t u t u t（7）(2)[(2)(3)]t u t u t−−−−。
信号与系统第9章
第9章随机信号通过线性系统9.0 引言9.1 随机信号的概念9.2 连续随机信号的统计特征9.3 离散随机信号的统计特征9.4 线性连续系统分析9.5 线性离散系统分析9.6 白噪声通过线性系统分析9.0 引言由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一般不能用显式表示。
随机信号一般用统计特性描述，因此，随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。
对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数）和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(jω)), 求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征（互相关函数和互谱密度）。
对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、H(jω)分别用h(k)、H(z)、H(e jω )代替。
由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号，因此，相应有两种情况的分析。
本章只讨论平稳随机信号分析，此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。
分析任务是求输出进入平稳状态后的均值my ，方差Dy，自相关函数Ryy(τ), 功率密度谱Sy （jω），以及输入和输出间的互相关函数Rxy(τ)，互谱密度Sxy（jω）等。
9.1 随机信号的概念9.1.1 随机过程和随机信号的概念在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。
如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。
这就是随机过程概念的简单描述。
随机信号也是随机过程。
设X(t)是一个随机信号，当t=t0 )为一个随机变量。
时，X(t设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做(t)，乙观实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x1(t)，x1(t)≠x2(t)，如图9.1所示。
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(b）当 < 时,试证明，图P9．1（b）相当于一个理想带阻滤波器，并确定阻带宽度。
(ｃ)如果按图P９.1联接的是两个数字滤波器（离散时间滤波器），情况会是如何?
（a)
（b）
解:（a） 是低通,截止频率为 ； 是高通，截止频率为
的傅立叶变换为
又 为实序列,则:
故系统函数为：
单位冲激响应为: ，它具有零相位特性。
（ｂ）由图P9.5(b)可知：
又 为实序列，则 ：
这表明复合滤波器具有零相位特性。 故系统函数为:
单位冲激响应为： 。
9．６ 频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠，则用滤波器就可达到目的。然而,当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法,这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的信号。设 是一个复合信号， 。我们希望设计一个ＬTＩ滤波器,从 中分离出 ,如图P9.6（ａ）所示。也就是说,滤波器的频率响应 应使 是对 较好的近似。假定用 作为 与 之间误差的度量,定义为
(a)按以下三步进行,如图P9.5（ａ)所示。
(b）按以下三步进行,如图Ｐ９.5(ｂ)所示。
分别对以上两种方法求出从输入 到输出 的整个系统的系统函数，单位脉冲响应,并证明该系统具有零相位特性。
（1) (１)
(２) (2）
(3) (3)
(a) （b）
图P９.5
解:(a)由图P9.5(a）可知：
又 的傅立叶变换为
(b)如果 是一个截止频率为 的理想高通滤波器,证明整个系统相当于一个理想低通滤波器。并确定其截止频率。
（c）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图P9.２联接，所组成的系统是理想的离散时间高通(或低通）滤波器吗?
图Ｐ９.2
解:（ａ) 是低通滤波器，截止频率为
整个系统的频率响应为：
故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为：
(b） 证明:如果离散时间滤波器的单位脉冲响应总大于或等于零，即 ,则其阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
解：(a)设 为连续时间LTＩ滤波器的阶跃响应,则有：
因此,当 时,有 ,这表明 是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
(b）设 为离散时间ＬＴI滤波器的阶跃响应，则有：
因此,当 时,有 ，这表明 是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
由以上讨论可见, 在 与 不重叠时，具有理想滤波器特性。
（ｄ）根据图p9.6（b)和（b)的结果可得：
9．7 题９．6讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号,选择连续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况，导出与题9．６（ｂ）中所得结果相对应的结果。
分别用 ， ， ， 和 代替题9．6中的 , ， , 和 有:
其波形如图所示。
(b) 是高通滤波器，截止频率为
整个系统的频率响应为:
故整个系统相当于一个理想低通滤波器,其截止频率为 。
（c）是。
9.３某模拟低通滤波器的幅频特性如图Ｐ9.３所示。试对下列每种相位特性,求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。
(a）∢ =0
(ｂ）∢ =ΩT,其中T为常数
（c)∢ =
解： ,其频谱如下所示,它是一个带阻滤波器。
9．5 在许多滤波问题中,人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器,实现零相位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是可能的。如果要处理的序列 是有限长的， 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应,且 是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应,且 为实序列,则可以通过以下两种方法实现对 的零相位过滤。
其中 和 分别是 和 的傅立叶变换。
（a）用 , 和 表示 。其中 。
（b）限定 为实函数,因此 。通过使 对 的导数为零，确定使误差 为最小的 。
（c）证明：如果 和 不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。
（d） 如果 与 如图P9.６(b）所示,根据（b)的结果，确定并概略画出 。
（a)
解:(a）若∢ =0,则有：
波形如图所示：
(b）若∢ =ΩT，则有：
(ｃ）如∢ = ,则
可视为如下的卷积：
9.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为 ，频率响应如图Ｐ9.４所示。另一个新的滤波器的单位脉冲响应为 ,且
试确定并粗略画出新滤波器的频率特性 。指出它属于哪一种滤波器（低通,高通,带通,带阻）。
(b)
图P9.６
(a) 由图p９.６(a）可得：
故有:率 处有 ，则此时 ，从而有 。对此频率来说， 可以取任意值。
(c） 如果 和 不重叠,则 。
设 在区域 为非零， 在区域 非零，则:
当 时， ;
当 时, 。
在此情况下, 具有如下特性:
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 可为任意值,当然可以规定为 。
,
当 ＞ 时，
故级联后的滤波器为理想带通滤波器,其通带宽度为: 。
（b)当 < 时，
,
故级联后的滤波器为带阻滤波器,阻带宽度为:
（ｃ）数字滤波器结果与上类似。
９.2图Ｐ9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器,反之亦然。
（a) 证明当 是截止频率为 的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高通滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。
假定 为实函数，相应有：
令 ，得:
同样, 如果在某一个频率 处有 ,则此时 ,从而有 。对此频率来说， 可以取任意值。
9．8 在许多滤波器应用中,往往不希望滤波器的阶跃响应出现过冲。例如图象处理中，滤波器阶跃响应的过冲会产生图象轮廓的勾边现象。当滤波器的冲激响应始终非负时,可以消除过冲现象。
（a)证明：如果连续时间滤波器的 始终大于或等于零,即 ，则该滤波器的阶跃响应是单调非减的函数，因而不会发生过冲。
信号与线性系统题解第九章
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第九章习题答案
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９.１如图P9.1所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中 是低通,截止频率为 ; 是高通,截止频率为 :