计算素数个数的一个新公式
素数分布五大规律
素数分布五大规律寻找素数分布的规律和秩序，一直是数学家们研究和探索的重大课题，至今并无多大进展。
国际数学界公布千禧年数学难题时曾公认：“质数在整个自然数中分布不遵循任何规则和模式。
”但是，《全素数表》的发现和证明颠覆了人们对素数认知的传统观念和方法，素数在自然数中的分布规律应该可以大白于天下了。
《全素数表》水到渠成地推出“素数分布五大规律”，改变了人类长时期以来总认为素数分布无规可循的传统观念，结束了几千年人们没有公式代替筛法计算素数的历史，实现了高斯在自然数中“把素数和合数鉴别开来”的生前愿望。
人类久攻不克的三大数学猜想，长期困扰和争论不休的许多历史遗留问题，在《全素数表》理论框架下，都会转化为普通排列的客观现象，得到客观合理的解释和证明，《全素数表》才是打开素数大门的金钥匙！本文特将“素数分布五大规律”向社会发布，供读者享用。
规律1、素合分流律《n级自然数表》提升的极限是两个无限逼近100%的《全素数表》和《全合数表》的有机组合。
规律2：素数对称律（1）素数总是以△=〔m1m2…m n〕为公变周期，沿着△和△/2轴线，反复无穷地等距离对称出现。
虽然不可回避有对称性破坏，但这种对称破坏率会随着n值无限提升而无限向零靠拢，素数对称率无限逼近100%。
规律3、素数对称律（2）（或称：哥德巴赫定理）以任意自然数N（包括0和1）为原点的项标轴正、负方向两端等距离对称分布着无穷的素数对，周期性，反复无穷地合成2N。
规律4、素数极限分布律《n级素数表》提升的极限是一个横平竖直，整齐排列，有规律（呈等差数列纵队），有秩序（从m n+1起由小到大）的大于m n的原生态《全素数表》往无穷方向延伸。
（附素数极限公式分布图于后）规律5、素数普遍公式设△=〔m1m2…m n〕是n个顺序素数的最小公倍数，m n+1是第n+1个素数，任意非1自然数N若满足：（N △）=1 且N＜m2n+1则N一定是新生素数。
规律5可以说是黎曼公式最好的结果，我们不一定要知道N内有多少个素数，我们只要知道第n个自然数是不是素数就行了。
素数公式
素数公式素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录1 多项式形式的素数公式2 丢番图方程形式的素数公式3 带高斯函数的素数公式3.1 Mills 公式3.2 威尔逊定理的利用3.3 另一个用高斯函数的例子4 递推关系5 其他公式6 参见7 参考文献多项式形式的素数公式可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式P(n) = n2 + n + 41的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
梅森素数公式
梅森素数公式
梅森素数公式
是计算梅森素数个数的公式。
它不是绝对公式，只是近似公式。
梅森素数公式
3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*17/15.8*......*P/(p-1.2)-1=M
P梅森数的指数，M梅森数指数P以下的所有梅森素数的个数。
是根据梅森素数分布理论得出的，1为万数之首，1被除外，所以要减去1。
指数5，计算2.947，实际3 ，误差0.053；
指数7，计算3.764，实际4 ，误差 0.236；
指数13，计算4.891，实际5，误差0.109；
指数17，计算5.339，实际6，误差0.661；
指数19，计算5.766，实际7，误差1.234；
指数31，计算6.746，实际8，误差1.254；
指数61，计算8.445，实际9，误差0.555；
指数89，计算9.201，实际10，误差0.799；
指数107，计算9.697，实际11，误差1.303；
指数127，计算10.036 ，实际12，误差1.964；
指数521，计算13.818，实际13，误差-0.818；
指数607，计算14.259，实际14，误差-0.259；
指数1279，计算16.306，实际15，误差-1.306；
指数2203，计算17.573，实际16，误差-1.573；
指数2281，计算17.941，实际17，误差-0.941；
.....
本来P-1就行了，因于素因子的重叠，这个公式是P-1.2，随着梅森数的增大，重叠更多，计算的数会比实际的越来越少。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
素数的几种判断方法和实现
PS：本来没有决心把这个东西写完的，结果早上写到一半，出去吃个饭，没保存，回来手一抖直接关掉了，好不容易写了一大半了，只能重新写了，坑爹啊，但就是这个插曲，本来还没有决心的我，一下子却坚定了信念，一点要把这个东西写完。
就这样开始吧BY：Lee下面，我们重新开始═══════════════════════════════════════════如何判断一个数是否是素数呢═══════════════════════════════════════════也许你会认为这是一个简单的问题，但事实上，世界上任何一个问题，都没有你想象中的那么简单1 + 1 是否等于2 ，这便是一个简单而又复杂的问题，呵呵。
突然想把这个东西换一种风格来写了，就这样扯淡扯下去吧。
扯的时候文章中多少有内容来自于网络，没有侵权的意思，如果作者看到还请见谅。
═══════════════════════════════════════════下面正式进入正题═══════════════════════════════════════════一、朴素判断素数═══════════════════════════════════════════1. 这种方法被誉为笨蛋的做法：一个数去除以比它的一半还要大的数，一定除不尽的，这还用判断吗？？很容易发现的，这种方法判断素数，对于一个整数n，需要n-2 次判断，时间复杂度是O(n)在n非常大或者测试量很大的时候，这种笨蛋做法肯定是不可取的。
2. 改进一下下小学生的做法：3. 再改进一下聪明的小学生的做法对于一个小于n的整数X，如果n不能整除X,则n必定不能整除n/X。
反之相同一个明显的优化，就是只要从2枚举到√n 即可。
因为在判断2的同时也判断了n/2。
到√n时就把2到n-1都判断过了。
在这里，这个聪明的小学生还用了i*i <= n 来代替sqrt（n），这里是避免了调用函数sqrt（），其消耗时间很大，特别是在大量数据测试的时候消耗很明显。
欧拉函数φn
欧拉函数φn欧拉函数是数论中一个重要的函数，它描述了整数m与小于m的正整数中，互质的个数。
欧拉函数常用符号为φ(n)，其中n为正整数。
欧拉函数的定义是：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示不大于n的正整数中与n 互质的数的个数。
特别地，φ(1)=1。
欧拉函数的计算方法有多种，下面以一些常用的方法进行总结。
方法1：直接计算法欧拉函数的最直接计算方法是对于每个小于等于n的数i，如果gcd(i,n)等于1，则将计数器加1。
最终的结果即为φ(n)。
计算φ(8)时，满足与8互质的数有1、3、5、7，因此φ(8)=4。
这种方法简单易懂，但对于大整数的计算，计算量会非常大。
方法2：分解质因数法欧拉函数的另一种计算方法是利用分解质因数的结果，将n分解成质因数的乘积：n=p₁^k₁ × p₂^k₂ × …×pₙ^kₙp₁、p₂、…、pₙ均为不同的质数，k₁、k₂、…、kₙ均为正整数。
那么根据乘法原理，可以将φ(n)分解成φ(p₁^k₁)×φ(p₂^k₂)×…×φ(pₙ^kₙ)。
对于任意一个质数p来说，小于等于p的正整数中，与p的公约数只有1和p，因此φ(p)=p-1。
综合以上两点，就可以得到φ(n)的分解式：φ(n)=n×(1-1/p₁)×(1-1/p₂)×…×(1-1/pₙ)计算φ(24)时，24=2^3×3，因此φ(24)=24×(1-1/2)×(1-1/3)=8。
这种方法都要先分解质因数，因此对于大整数的计算，也需要大量时间。
方法3：线性筛法欧拉函数的线性筛法是一种效率较高的计算方法，它的核心思路是根据欧拉函数的性质，利用筛法的思想求出所有小于等于n的正整数的欧拉函数值。
首先定义一个数组phi[n]，初值全部设为i，表示小于等于n的正整数i的欧拉函数值φ(i)。
接着，从2开始枚举到n，如果phi[i]=i，说明i是一个质数，那么对于i的倍数j，phi[j]需要乘上(1-1/i)，以此更新phi[j]。
世界上第一个求素数公式
世界上第一个求素数公式摘要：人们一直认为：在正整数中，素数看起来是以一种随机的方式出现的，很难用一个统一的公式求出来。
虽然，人们作了大量的努力和尝试，但至今还是没有找到一个易为计算的素数公式来。
有人甚至哀叹：“我们至少还需要一百万年才能完全了解素数。
”这种哀叹虽然有点过分和夸张，但求素数的公式几百年都没有出现，可见其难度之大。
而下面所给出的求素数公式，即简洁又完整，它包括两个方面的内容：（1）可以统计出n至t之间（t为有限大的自然数，n（n→2n）之间的素数=（n→2n）之间的奇数-（■3×aj；■3×ai；■5×bk；■7×ci；…；■p×qs）说明：1.当n确定之后，“（n→2n）之间的奇数”为已知，共有■个。
2.（■3×aj；■5×bk；■7×ci；…；■p×qs）表示（n-2n）之间的所有奇合数；这一点，它和公式1中所表达的实际意义既有联系，又有区别。
3.如用电脑编程，公式2中的数据和结果可由公式1自动生成。
证明：（下面仅对公式1予以证明）设m为n至2n间的奇数，（1）若m为合数，必然为以下因式分解中的一个：m=3×a；5×b；7×c；……；p×q（n≤p×q＜2n）所以，任何一个奇合数m不可能留在下式中：（■个奇数）-（3×aj；5×bk；7×ci；……；p×qs）当（■个奇数）减去所有的合数之后，留下的数字必然都是素数。
（2）若m为素数，则任何一个素数都不可能被（■个奇数）-（3×aj；5×bk；7×ci；……；p×qs）这个公式减去，所以，在n与2n之间的所有素数得以保留。
证毕。
下面，再通过几个实例的计算来对公式作进一步的说明：1.计算在17与34之间有多少个素数。
素数的个数公式
素数的个数公式素数，这可是数学世界里相当有趣的一部分呢！咱们今天就来好好聊聊素数的个数公式。
素数，简单来说，就是那些只能被 1 和它自身整除的大于 1 的自然数。
比如 2、3、5、7 等等。
你可别小看这些数字，它们在数学的大舞台上可是有着重要的角色。
还记得我当年上数学课的时候，老师让我们找素数，大家都瞪大了眼睛，一个一个数地去判断。
那场面，真的是既紧张又兴奋。
我记得当时我旁边的同学，为了找出一个数是不是素数，嘴里还念念有词，手指头不停地比划，那认真劲儿，别提多可爱了。
咱们言归正传，说说素数的个数公式。
其实啊，要精确地确定素数的个数，可不是一件容易的事儿。
但是数学家们厉害啊，经过不断地研究和探索，还是给出了一些相关的公式和定理。
其中，比较著名的就是素数定理。
它大致说的是，不超过正整数 x 的素数的个数近似等于 x 除以自然对数 x 。
这听起来可能有点抽象，但咱们稍微解释一下。
比如说，你想知道 100 以内有多少个素数，就可以用 100 除以自然对数 100 来近似估计。
不过，这只是一个近似的结果哦，不是完全准确的。
但在很多情况下，这个近似已经能给我们提供很有用的信息了。
素数的个数公式在密码学里也有着大用场。
比如说，现在的网络安全很重要吧，很多加密算法都依赖于素数的特性。
要是没有对素数的深入研究，咱们的网络世界可能就没那么安全啦。
想象一下，如果没有这些关于素数的知识，咱们在网上购物、聊天的时候，信息被别人随便窃取，那得多可怕！再来说说我们在日常生活中，其实也能感受到素数的魅力。
比如在设计一些有规律的图案或者安排一些周期性的活动时，素数说不定就会发挥作用。
总之，素数的个数公式虽然看起来有点深奥，但它背后蕴含的数学智慧和实际应用可是非常广泛和重要的。
就像我当年和同学们一起在课堂上探索素数的世界一样，每一次的发现和理解，都让人感到无比兴奋和满足。
希望大家以后在学习数学的时候，也能多去发现这些有趣的东西，感受数学的魅力！。
实验五：素数(.ppt)
2
a (modn) n
• 维路于1978年指出，上述常数C=70. • 由此可以设计如下多项式算法： 对任意n, 依次对a=1,2,…,70(logn)^2检验 上式是否成立。若对每一个a都不成立， 则n为素数。否则，n 为合数。 上述算法的运算量为O(logn)^5.
2、素数表的构造
• Eratosthenes筛法 2 3 4 5 10 11 12 13
18 19 26 27 20 28 21 29
6 14 22 30
7 15
8 16
9 17 25
23 24 31
32 33
经过众多学者的艰辛努力, D.N.Lehmer 于 1914年编织出了10000000以内的素数表。
通过编程计算发现，反过来结论并不成 立。例如，
2
340
1 mod341
1 mod p
但是341=11x34为合数！称使得
2
p 1
成立的p为伪素数。
注意同余的计算：
2
340
(2 ) 1024
10 34 34 34
(3 341 1) 1 mod 341
进一步，伪素数有多少个？
• 五年后他进一步证明了: 一个正n边行可 用直尺与园规作图的充要条件是, n=2^k 或者n=2^k p_1 p_2... p_r, 其中 p_1,p_2,...,p_r为不同的Fermat数. 特 别地, 正17边形可以用直尺与园规做出. • 此后，数学家梨西罗与盖尔美斯给出了 正257边形与正65537边形的做图法！
267 1 193707721 7618382572 87
• 截止2002年2月, 数学家仅发现了39个 Mersenne素数.
质数规律公式
质数规律公式质数是指大于1的正整数，除了1和自身之外不能被其他正整数整除的数。
在数论中，质数一直是研究的热门话题之一，很多数学家都致力于发掘质数的规律和性质。
虽然目前尚未找到质数的明确规律，但是有一些公式和定理可以用来研究和推测质数的分布和性质。
1. 费马小定理：费马小定理是指对于任意一个质数p和整数a，如果a不是p的倍数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理可以用来判断一个数是否为质数。
如果对于某个数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)成立，那么p有可能是质数；如果对于任意小于p的a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)成立，那么p很可能是质数。
2. 素数定理：素数定理是数论中最重要的定理之一，它描述了质数的分布规律。
素数定理表明，在不超过n的自然数中，质数的个数大约为n/ln(n)。
这个公式揭示了质数的分布相对于数的增长是逐渐稀疏的。
3. 素数数列公式：质数数列是指按照从小到大的顺序排列的所有质数。
对于质数数列，有一些公式可以用来计算其中的数。
例如，希尔伯特的第一公式表示第n个质数p(n)约等于n(ln(n) + ln(ln(n)))。
4. 筛法：筛法是一种用来求解质数的有效方法。
其中最著名的是埃拉托斯特尼筛法，即埃拉托斯特尼筛。
它的基本思想是从2开始，将所有能被2整除的数标记为合数；然后，再选择下一个未被标记的数，即3，将所有能被3整除的数标记为合数；重复这个过程，直到所有的数都被标记完为止。
剩下的未被标记的数即为质数。
5. 艾特金-伊辛素数判定法则：艾特金-伊辛素数判定法则是一种用来验证一个数是否为质数的方法。
该规则是较新的一个判定法则，它基于庞大且高度平行的计算，并使用了数论中的相关定理。
虽然已经被证明是正确的，但它在实践中很少被使用，因为它的计算量非常庞大。
虽然质数的规律和性质至今未被完全揭示，但是数学家们一直在努力研究和发现新的方法和公式来解决这个难题。
以上提到的公式和定理是质数研究中的重要参考内容，对于进一步理解和推测质数的规律具有重要的意义。
素数的个数公式
( n ) 时，π ( n, r ) = j + 1 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……
又因为
⎡n⎤ m ⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ j = n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎣ i j⎦ ⎣ i j k⎥ ⎦
m
⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎣ ⎢ pi p j ⎦ ⎥ i< j<k ⎣ ⎢ pi p j pk ⎦ ⎥
倍数的个数也就是还剩有质数，合数和 1。故
⎡n⎤ m ⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ i j⎦ ⎣ i j k⎦
m
当 m = 0 时，有容斥原理可以知道这个公式表示 n 减去 n 以内 0 个质数倍数的个 数也就是没有减去一个数。故
pm 为 n 的前部素数， m = π
( n ) 是前部质数的个
数，那么所有不大于 n 的素数的个数
π ( n) = m + n − ∑ ⎢
⎡ n ⎤ ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ ⎥ +∑⎢ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ i j i j k ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
素数的个数公式
作者姓名：弯国强
作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学 E-mail：632158@
素数普遍公式
素数普遍公式目录[隐藏]一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题[编辑本段]一、引言2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔素数普遍公式，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。
2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。
黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。
也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。
希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。
实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。
[编辑本段]二、素数普遍公式公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。
（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。
.（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。
见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。
屉部贞世朗编。
259页）。
（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=p k m k+a k 。
(1)其中p1，p2，.....，p k表示顺序素数2，3，5，,,,,。
a≠0。
即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，p km+0形。
若N<P（k+1）的平方[注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。
素数组合规则解答
基础数论就是要厘清这些奥秘真相，是自然数数论天机谜底。
这是复合“积”范畴与“和”范畴不相同区别。
其它理论，如奇数分解有二种:
“和”的分解与“积”的分解可用逆向思维方法进行。
“和”先分解任意一个奇数，再把剩下偶数按偶数方法进行分解，这样把叠加堆垒形态倒过来进行而已。
3， 具体数字:
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，61，63，65，67，69，71，73，75，77，79，81，83，85，87，89，91，93，95，97，99……
称之为偶组合:
偶数个数素数1+1=偶数。
以及(奇数个数数量)叠加组合【三重奇数6N+3和双轨数阳奇(6N+1)，阴奇(6N-1)之三列中】奇组合数，
称之为奇组合:
奇数个数素数1+1+1=奇数。
②，“积”是在铁路双轨数中(任意阴阳两种)素数6N±1，经过2^2=4次变換
=6(N1+N2+N3)+1-1+1
=6N+1
这就是阳奇数 6N+1 数理模式
(略)
⑥ 奇数w
=阳+阴+阴
=1+1+1
=P1+P2+P3
=(6N1+1)+(6N2-1)+(6N3-1)
=6(N1+N2+N3)+1-1-1
=6N-1
这就是阴奇数 6N-1 数理模式
乐平林登发
职称经济师
素数的序乘以及与序乘相关的素数的生成公式
素数的序乘以及与序乘相关的素数的生成公式1陈惟昌1，陈志义2，陈志华1，王自强11卫生部中日友好临床医学研究所，北京 (100029)2中国科学院自动化研究所国家模式识别实验室，北京 (100080)E-mail: chenweic@摘要：素数的序乘是指素数按大小顺序的连乘积。
第n个素数的序乘称为第n个欧几里德合数。
根据欧几里德合数可将自然数列依次划分为欧几里德区间。
欧几里德合数及其后续的各素数之和组成的素数系列称为超序素数系列。
应用超序素数的生成公式可以产生一系列的大型素数。
这在RSA密钥的编码中有一定实用价值。
本文对与序乘相关素数的性质进行了讨论，并提出与序乘有关素数的综合猜想。
关键词：素数序乘；欧几里德区间；超序素数；素数生成公式；RSA密钥系统中图分类号：0156.11. 引言多年来数学家一直致力于寻找产生素数的普适公式。
最著名的如麦森数M p = 2p −1，费马数F m = 22^m＋1以及欧拉公式f(n)= n2 + n + 41，欧拉公式可产生41个素数（当n = 0，1，… 40时）。
但f (41)却为合数[1]。
麦森数的发现与测试，十分复杂，而费马数F m当m＞4时是否仍为素数尚不明确。
本文提出应用素数序乘公式Pω(n, d)=P n(!)+P n+d以产生任意大的素数的方法。
式中P n(!)为素数P n的序乘。
100位以上的大型素数在RSA密钥的编码中有一定实用价值。
2. 素数的序乘2.1 序乘的概念参考数字阶乘的定义：n! = 1• 2 • … • (n −1) • n ……………………………………………(2.1) 以及0! = 1 …………………………………………………………………(2.2)可以对有序函数或数列的序乘(sequential factorial，或简称sequorial)进行定义：X n(!) = X1 • X2 • … • X n－1 • X n ………………………………………(2.3) 以及X0(!) = 1 ………………………………………………………………(2.4)n称为序乘的阶数(rank)。
自然数学之素数公式
自然数学之素数公式一．素数的判别：素数也称为质数，它是只能被1和自身整除的自然数。
所以人们在判断一个数是不是素数素数就需要将这个数逐一除以这个数开平方内的所有素数。
即我们常用的筛法。
但这方法有一缺点，需要相当多的素数储备。
当一个数相当大，我们储备的素数不够多时,我们就无法判别。
那么有没有其他方法能判别和获得素数呢？有！就是要在此发表的素数公式。
这个公式不是凭空想象出来的，是根据自然数学的基础理论和定律获得。
二．自然数学的简单介绍：物体，时间，数量是自然数学的三个要素。
它们的的定义是：1，物体：具有质量为物，占有空间为体，统称为物体。
2，时间：物体的变化过程为时间。
3，数量：在物体不变的情况下，对指定范围内的同一概念物体的计量。
这样自然数学和应用数学的数字在数轴的表现方式就会产生了明显的不同。
现在的应用数学的数值在数轴的表现方式是这样的：每个数都是数轴上的一个点。
自然数学的数值在数轴的表现方式这样的：每个数都是数轴上的一个线段。
从上可以看到0和负数在自然数学中都是自然数。
为什么将0和负数归入自然数和自然数的基础理论等以后有机会再作详细介绍。
三，素数公式：这个公式非常简单，如果用自然数学表达，可能会让人产生误会。
用应用数学有两个表达方式。
它们的计算方法是一样的。
同余式：函数式：获得素数公式的原理和定律等讲解自然数学基础理论时再公布。
四：为什么命名为素数公式：将以上公式作为组合公式：把2，3，4，……n/2分别代人a，如果公式全部成立，那么n必定是素数。
否则必定是合数。
将以上公式单独应用：1：a为2，3，4，……n/2中的任意一个数，n代人素数等式必然成立。
2：等式不成立，代人n的数必定不是素数。
3：有极少量的合数也能使得公式成立，但比例很小。
且当数字越大，能使公式成立的合数越少，准确率越高。
五：公式的计算和与筛法的对照：我们知道a的n次方是一个相当大的数，但公式的余数必定小于n。
我们可以用因式分解方法解决。
自然数学之素数公式
自然数学之素数公式一．素数的判别：素数也称为质数，它是只能被1和自身整除的自然数。
所以人们在判断一个数是不是素数素数就需要将这个数逐一除以这个数开平方内的所有素数。
即我们常用的筛法。
但这方法有一缺点，需要相当多的素数储备。
当一个数相当大，我们储备的素数不够多时,我们就无法判别。
那么有没有其他方法能判别和获得素数呢？有！就是要在此发表的素数公式。
这个公式不是凭空想象出来的，是根据自然数学的基础理论和定律获得。
二．自然数学的简单介绍：物体，时间，数量是自然数学的三个要素。
它们的的定义是：1，物体：具有质量为物，占有空间为体，统称为物体。
2，时间：物体的变化过程为时间。
3，数量：在物体不变的情况下，对指定范围内的同一概念物体的计量。
这样自然数学和应用数学的数字在数轴的表现方式就会产生了明显的不同。
现在的应用数学的数值在数轴的表现方式是这样的：每个数都是数轴上的一个点。
自然数学的数值在数轴的表现方式这样的：每个数都是数轴上的一个线段。
从上可以看到0和负数在自然数学中都是自然数。
为什么将0和负数归入自然数和自然数的基础理论等以后有机会再作详细介绍。
三，素数公式：这个公式非常简单，如果用自然数学表达，可能会让人产生误会。
用应用数学有两个表达方式。
它们的计算方法是一样的。
同余式：函数式：获得素数公式的原理和定律等讲解自然数学基础理论时再公布。
四：为什么命名为素数公式：将以上公式作为组合公式：把2，3，4，……n/2分别代人a，如果公式全部成立，那么n必定是素数。
否则必定是合数。
将以上公式单独应用：1：a为2，3，4，……n/2中的任意一个数，n代人素数等式必然成立。
2：等式不成立，代人n的数必定不是素数。
3：有极少量的合数也能使得公式成立，但比例很小。
且当数字越大，能使公式成立的合数越少，准确率越高。
五：公式的计算和与筛法的对照：我们知道a的n次方是一个相当大的数，但公式的余数必定小于n。
我们可以用因式分解方法解决。
世界上第一个求素数公式
世界上第一个求素数公式李君池摘要： 人们一直认为：在正整数中，素数看起来是以一种随机的方式出现的，很难用一个统一的公式求出来。
虽然，人们作了大量的努力和尝试，但至今还是没有找到一个易为计算的素数公式来。
有人甚至哀叹：“我们至少还需要一百万年才能完全了解素数”。
这种哀叹虽然有点过分和夸张，但求素数的公式几百年都没有出现，可见其难度之大。
而本文所给出的求素数公式，即简洁又完整，它包括两个方面的内容：一可以统计出n 至T 之间（T 为有限大的自然数，n<T ）所有素数的个数，二可以毫无遗漏地写出n 至T 之间所有素数的数值。
关键词： 自然数 圆形排列图 n 与T 之间 素数个数 素数数值1.自然数圆形排列图 关于求素数公式，人们有着这样的期待：1、这个公式必须是“一种能够仅产生素数的公式”；2、“这个公式能够一个不漏地产生所有的素数”；3、“对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数”；4、“输入的值是自然数集（或整数集及其它可数集）”；5、这个公式还必须是“易于计算且符合上述条件的”。
以上这五条要求是紧密联系的、完整的、不可分割的，离开了其中的一条，则不符合人们所期盼的要求。
如何找到这样一个好的求素数公式，本文所采用的方法是：将所有的自然数按逆时针方向排列成一个“自然数的圆形排列图”（参见下一页中的图形。
1处在圆心位置，图中没有显示）。
在这个排列图中，最里圈的是偶素数2，向外分别是第一圈、第二圈、......第f 圈。
第一圈里有三个数，它们是3、4、5，其中素数有3和5；第二圈有六个数，它们是6、7、8、9、10、11，其中素数有7和11；第三圈、第四圈......，以后每一圈里自然数的个数是前一圈的2倍，它们中的素数个数是怎样的呢？我们把“自然数圆形排列图”中的数据一圈一圈地分开来计算：（1）设第三圈的第一个数12为n ，第四圈的第一个数24为2n ，则第三圈中自然数的个数为12个（不包括第四圈的24），那么，第三圈中素数的个数可以这样求得：(1224)12/2(35;37)φϕ→=-⨯⨯，式中1224φ→（）表示12至24之间素数的个数，122表示在12至24之间共有6个奇数，）（73,53⨯⨯ϕ表示在12至24之间共有15和21两个奇合数，这样可以得到：6个奇数－２个奇合数＝４个奇素数，即12至24之间共有4个素数，它们是：13、17、19、23。
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π + ( x)
()
()
( ( ) ) = o (π − ( x ) )
( n→∞ , x→∞ )
（2） 由已知
及（2-4），（3-2）： r ( x) = π n ( x) − h ( x) n −1 r ( x ) = ∑ ( bk −bk −1 ) f + ( x −bn −1 ) f + 0.5 − xf n k n k =1
f
( xe, ) =
fk =
π ( bk )−π ( bk −1 )
bk −bk −1
。（ π ( x ) 的定义见[2]数论导引 90）
（1-7）
2．不大于 x 的素数个数的计算公式（或称素数分布定理）
对任意 x ∈ Tn ，即 x ∈ [ an , bn ] ，命 fk = ∏ p ≤ pk
π
−
计算素数个数的一个新公式
许作铭 ，罗贵文
辽宁大学数学学院，沈阳（ 110036 ）
E-mail: xzm9@
摘要：本文通过利用一种新的筛法，得到并证明了计算素数个数的一个新公式。计算不大 于 x 的素数个数，比利用素数定理精确。 关键词：素数定理；素数分布；台阶系数；筛法。 中图分类号：O156.1
n ≥ 51 : + −
π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.5n k =1
n−1
(
)
(
)
π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.25n − 12.5 k =1
n−1
(
)
(
)
（2-3） （2-4）
（2）
π ( x) lim =1 ， x→∞ π ( x )
+
(
) (
π ( x) lim − = 1， π x→∞ ( x )
)
r ( x )=o( xf n )=o( xf ( xe, ) )
( n→∞ , x→∞ )
（3-3） （3-4）
π ( x) lim =1 。 xf x→∞ ( xe, )
p −1 p
，则 （2-1）
π ( x) lim = 1。 x→∞ xf ( xe, )
( x) ≤ π ( x) ≤ π + ( x) 。
π ( x) lim − = 1， x→∞ π ( x )
− n−1
并且
π + ( x) lim =1， x→∞ π ( x )
（2-2）
其中：（1）当 1 ≤ n ≤ 50 :
引理 2
对任意 x∈Tn 即 x ∈ [ an ,bn ] ，命
hn ( x ) ≤ π n ( x )
−
h ( x) = xf n ， 则 xf ( xe, ) = n
（3-2） 当 n ≥ 51 时：
− 证明： 显然当 n ≤ 50 时， hn ( x ) ≤ π n ( x ) ；
f xe, → 0
0 ≺ f xe, ≤ 0.5
f ( xe,1) ≺ f ( xe, ) ≺ f ( xe,−1)
( )
（1-2） （1-3） （1-4）
p ( x ,) 。
( )
渐近线
f xe, = 0
( )
(
当 x 较小时， p ( xe, ) ≥ p p ( x , ) 与 p ( xe, ) 的关系： 定义 3
因此
( n→∞, x→∞ )
r ( x ) = o ( xf n ) = o xf ( x )
(
)
即
π + ( x) =1 lim x→∞ xf ( xe, )
根据夹逼准则
π + ( x) lim =1 x→∞ π ( x )
π ( x) lim = 1 。引理 3 证毕。 xf x →∞ ( xe, )
+
2 × 3 × 5 × ... × pn 倍，然后将这些素数及合数对应的数字也筛去，这种筛法称 p ( xe, ) 筛法。
根据定义 1 及定义 4，把正整数 x 逐次筛分到 p ( x , ) 时， 第一个 X 区间的数字除 1 以外全部为素数。当继续扩大筛分到 p ( xe, ) ，这时平均每个 X 区间的数字个数为：
4.结论：
由引理 3，素数分布定理得证。应用本定理估算任何不大于 x 的素数个数比应用素数定 理精确。即 x ln x ≤ π − ( x ) ≤ π ( x ) ， π ( x ) ≤ π + ( x ) ≤ lix 。（ lix 见[2]华罗庚§5，86-88） 附表 1
T
5 14 38 113 341 1057 3324 10653 34600 113650
（3-5）
显然，由于 2 | f ( xe, ) |≤ 1 当 n→∞ ， x→∞
+ − − R ( x) = π n x − π n x = o π n x
即
1 →0 2 x f ( xe, )
即 lim
π ( x) π + ( x) =1。 = 1 。根据夹逼准则（见[3]§1-7 64-71） lim = 1 ， lim − x→∞ π − ( x ) x→∞ π ( x ) x→∞ π ( x )
15 32
由 于 1 ≤ a1
15 32
≺
b115 32 即
≺7
15 32
因此关系式
1≤ x
15 32
成立。
≺ bn
15 32
（2）假设对任意 k = n x ∈ Tn 即 x ∈ [an , bn ] n ≤ an 则 当 k = n + 1 x ∈ Tn +1
，关系式 n ≤ x
15 32
15 32
15 32
an +115 32 ≺ bn +115 32
⇒ n +1 ≤ x
15 32
。
于是，根据数学归纳法原理，对任意 由于
0 ≺ 15 32 ≤ 1 2
x ∈ Tn 即 x ∈ an ,bn 恒有
15 32
n≤x
。
，
因此
n≤x
≤
x 。
引理 1 证毕。
-2-
1. 台阶的划分与 p ( xe, ) 筛法
定义 1 我们把小于并最接近 x 的素数称为方根素数， 用 p ( x , ) 表示。 显然 p ( x , ) ≤ x 。 p − 1 定义 2 令 （1-1） ∏ f ( xe, ) =
p ≤ p ( xe, ) p
我们把 p ( xe, ) 称为台阶素数； p ( xe,−1) 为 p ( xe, ) 前面的一个素数； p ( xe,1) 为 p ( xe, ) 后面的 一个素数。称 f ( xe, ) 为素数的台阶系数，简称台阶系数。显然， f ( xe, ) 具有以下性质： （1） f ( xe, ) 是非负有界函数 （2） f ( xe, ) 是单调递减函数 （3） 当 x → ∞ 时
π n ( x ) = ∑ ( bk −bk −1 ) f k + ( x −bn−1 ) fn − 0.25n − 12.5
k =1 n −1 = ∑ ( f k − f k +1 )bk + xf − 0.25n − 12.5 n k =1 n −1 ∑ 1 + xf − 0.25 n − 12.5 = 0.75n − 13.5 + xf ≥ xf ≥ xf n n n n k =1
（2） π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.5 k =1 （3） p n = p ( xe, )
k ≤n 。
(
)
(
)
3．证明素数分布定理的几个引理
引理 1 对任意
an ,bn 恒有 x ∈ Tn 即 x ∈ n≤x
15 32
≤
x
成立。
即 x ∈ [ an +1 , bn +1 ] 时 ∵ an +1 = bn +1 ∴ n ≤ an
15 32
≺
bn15 32
≺
an +115 32
即
显 然 k = n ≥ 3 ： n + 1 ≤ an
n +1 ≺
+ 1 ≤ bn
15 32
。 因 此 n + 1 ≤ bn
15 32
≺
an +115 32 ≺ bn +115 32
（3-1）
证明： 由（1-5） x ∈ Tn ： （ 1 ） 当 k =1 时
1≤1
15 32
e1 f ( xe, ) + 1 = b ( xe, ) + 1 = b + 1 = a ， an ≺ bn 。 n n +1
x ∈ T1
对任意
即
x∈
[a1 , b1 ] = [1,7]
显 然 ， | fn |≤ 0.5
2 | f |≤ 1 n
当 n → ∞ , x → ∞ ： 2 fn x
1 16
→∞
； 2 fn x
Байду номын сангаас
17 32
→∞
；
−1 1 2 →0， →0 ； →0 ； f x → ∞ ；即 n 1 16 17 32 f nx 2 fn x 2 fn x r( x) 1 1 2 ≤ − + →0 xf n 2 f n x1 16 2 f n x17 32 xf n
+ − 证明：（1）当 n ≥ 51 时：由（2-3）（2-4） R ( x ) = π n ( x ) − π n ( x ) = 0.25n + 13 ≤ 0.5n