计算素数个数的一个新公式

显 然 ， | fn |≤ 0.5
2 | f |≤ 1 n
当 n → ∞ , x → ∞ ： 2 fn x
1 16
→∞
； 2 fn x
17 32
→∞
；
−1 1 2 →0， →0 ； →0 ； f x → ∞ ；即 n 1 16 17 32 f nx 2 fn x 2 fn x r( x) 1 1 2 ≤ − + →0 xf n 2 f n x1 16 2 f n x17 32 xf n
n ≥ 51 : + −
π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.5n k =1
n−1
(
)
(
)
π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.25n − 12.5 k =1
n−1
(
)
(
)
（2-3） （2-4）
+
2 × 3 × 5 × ... × pn 倍，然后将这些素数及合数对应的数字也筛去，这种筛法称 p ( xe, ) 筛法。
根据定义 1 及定义 4，把正整数 x 逐次筛分到 p ( x , ) 时， 第一个 X 区间的数字除 1 以外全部为素数。当继续扩大筛分到 p ( xe, ) ，这时平均每个 X 区间的数字个数为：
π n ( x ) = ∑ ( bk −bk −1 ) f k + ( x −bn−1 ) fn − 0.25n − 12.5
k =1 n −1 = ∑ ( f k − f k +1 )bk + xf − 0.25n − 12.5 n k =1 n −1 ∑ 1 + xf − 0.25 n − 12.5 = 0.75n − 13.5 + xf ≥ xf ≥ xf n n n n k =1
π + ( x)
()
()
( ( ) ) = o (π − ( x ) )
( n→∞ , x→∞ )
（2） 由已知
及（2-4），（3-2）： r ( x) = π n ( x) − h ( x) n −1 r ( x ) = ∑ ( bk −bk −1 ) f + ( x −bn −1 ) f + 0.5 − xf n k n k =1
+
x ,) ； 在第 7 台阶后 p ( xe, )
将正整数集合 N 分成无限个有限数字组成的台阶，每个台阶中的数字具有同
一个台阶素数 p ( xe, ) ，把这些数字称为同一台阶的数。每一个台阶中第一个数称该台阶的首 数，用 a ( xe,) 表示；最后一个数称该台阶的尾数，用 b ( xe,) 表示。 Tk 表示第 k 个台阶。 台阶的划分由台阶系数 f ( xe, ) 来决定. 令
f xe, → 0
0 ≺ f xe, ≤ 0.5
f ( xe,1) ≺ f ( xe, ) ≺ f ( xe,−1)
( )
（1-2） （1-3） （1-4）
p ( x ,) 。
( )
渐近线
f xe, = 0
( )
(
当 x 较小时， p ( xe, ) ≥ p p ( x , ) 与 p ( xe, ) 的关系： 定义 3
成立。
即 x ∈ [ an +1 , bn +1 ] 时 ∵ an +1 = bn +1 ∴ n ≤ an
15 32
≺
bn15 32
≺
an +115 32
即
显 然 k = n ≥ 3 ： n + 1 ≤ an
n +1 ≺
+ 1 ≤ bn
15 32
。 因 此 n + 1 ≤ bn
15 32
≺
an +115 32 ≺ bn +115 32
引理 2
对任意 x∈Tn 即 x ∈ [ an ,bn ] ，命
hn ( x ) ≤ π n ( x )
−
h ( x) = xf n ， 则 xf ( xe, ) = n
（3-2） 当 n ≥ 51 时：
− 证明： 显然当 n ≤ 50 时， hn ( x ) ≤ π n ( x ) ；
+ − 证明：（1）当 n ≥ 51 时：由（2-3）（2-4） R ( x ) = π n ( x ) − π n ( x ) = 0.25n + 13 ≤ 0.5n
由引理 1 及引理 2
+ x −π − x πn R( x ) ( ) n ( ) 0.5n 0.5 x 1 。 = ≤ ≤ = − − − π n ( x) π n ( x) π n ( x ) xf ( xe, ) 2 x f ( xe, ) 2 x f ( xe, ) → ∞
（2）
π ( x) lim =1 ， x→∞ π ( x )
+
(
) (
π ( x) lim − = 1， π x→∞ ( x )
)
r ( x )=o( xf n )=o( xf ( xe, ) )
( n→∞ , x→∞ )
（3-3） （3-4）
π ( x) lim =1 。 xf x→∞ ( xe, )
p −1 p
，则 （2-1）
π ( x) lim = 1。 x→∞ xf ( xe, )
( x) ≤ π ( x) ≤ π + ( x) 。
π ( x) lim − = 1， x→∞ π ( x )
− n−1
并且
π + ( x) lim =1， x→∞ π ( x )
（2-2）
其中：（1）当 1 ≤ n ≤ 50 :
（3-5）
显然，由于 2 | f ( xe, ) |≤ 1 当 n→∞ ， x→∞
+ − − R ( x) = π n x − π n x = o π n x
即
1 →0 2 x f ( xe, )
即 lim
π ( x) π + ( x) =1。 = 1 。根据夹逼准则（见[3]§1-7 64-71） lim = 1 ， lim − x→∞ π − ( x ) x→∞ π ( x ) x→∞ π ( x )
（3-1）
证明： 由（1-5） x ∈ Tn ： （ 1 ） 当 k =1 时
1≤1
15 32
e1 f ( xe, ) + 1 = b ( xe, ) + 1 = b + 1 = a ， an ≺ bn 。 n n +1
x ∈ T1
对任意
即
x∈
[a1 , b1 ] = [1,7]
4.结论：
由引理 3，素数分布定理得证。应用本定理估算任何不大于 x 的素数个数比应用素数定 理精确。即 x ln x ≤ π − ( x ) ≤ π ( x ) ， π ( x ) ≤ π + ( x ) ≤ lix 。（ lix 见[2]华罗庚§5，86-88） 附表 1
T
5 14 38 113 341 1057 3324 10653 34600 113650
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计算素数个数的一个新公式
许作铭 ，罗贵文
辽宁大学数学学院，沈阳（ 110036 ）
E-mail: xzm9@163.com
摘要：本文通过利用一种新的筛法，得到并证明了计算素数个数的一个新公式。计算不大 于 x 的素数个数，比利用素数定理精确。 关键词：素数定理；素数分布；台阶系数；筛法。 中图分类号：O156.1
因此
( n→∞, x→∞ )
r ( x ) = o ( xf n ) = o xf ( x )
(
)
即
π + ( x) =1 lim x→∞ xf ( xe, )
根据夹逼准则
π + ( x) lim =1 x→∞ π ( x )
π ( x) lim = 1 。引理 3 证毕。 xf x →∞ ( xe, )
（2） π n ( x ) = ∑ bk − bk −1 fk + x − bn−1 fn − 0.5 k =1 （3） p n = p ( xe, )
k 百度文库n 。
(
)
(
)
3．证明素数分布定理的几个引理
引理 1 对任意
an ,bn 恒有 x ∈ Tn 即 x ∈ n≤x
15 32
≤
x
1 e1 f ( xe, ) = b ( xe, ) = b = e fk k
ak +1 = + 1 = b ( xe, ) + 1 = bk e1 f ( xe, )
+1
（1-5）
则 bk 为 p ( xe, ) 的台阶尾数； ak +1 为 p ( xe,1) 台阶的首数。（见[1]） 定义 4 设集合 P={2，3，5，7，11，…}。将正整数 x ∈ N 按集合 P 的次序逐次扩大
f
( xe, ) =
fk =
π ( bk )−π ( bk −1 )
bk −bk −1
。（ π ( x ) 的定义见[2]数论导引 90）
（1-7）
2．不大于 x 的素数个数的计算公式（或称素数分布定理）
对任意 x ∈ Tn ，即 x ∈ [ an , bn ] ，命 fk = ∏ p ≤ pk
π
−
15 32
由 于 1 ≤ a1
15 32
≺
b115 32 即
≺7
15 32
因此关系式
1≤ x
15 32
成立。
≺ bn
15 32
（2）假设对任意 k = n x ∈ Tn 即 x ∈ [an , bn ] n ≤ an 则 当 k = n + 1 x ∈ Tn +1
，关系式 n ≤ x
15 32
15 32
1. 台阶的划分与 p ( xe, ) 筛法
定义 1 我们把小于并最接近 x 的素数称为方根素数， 用 p ( x , ) 表示。 显然 p ( x , ) ≤ x 。 p − 1 定义 2 令 （1-1） ∏ f ( xe, ) =
p ≤ p ( xe, ) p
我们把 p ( xe, ) 称为台阶素数； p ( xe,−1) 为 p ( xe, ) 前面的一个素数； p ( xe,1) 为 p ( xe, ) 后面的 一个素数。称 f ( xe, ) 为素数的台阶系数，简称台阶系数。显然， f ( xe, ) 具有以下性质： （1） f ( xe, ) 是非负有界函数 （2） f ( xe, ) 是单调递减函数 （3） 当 x → ∞ 时
+
≤ ( b1 −b0 ) f1 + ( b2 −b1 ) f2 + ( b3 −b2 ) f3 + ... + ( bn −1 −bn − 2 ) f n −1 + xfn − bn −1 f + 0.5 − xfn + 1 n n −1 n −1 n −1 f b p −1 = ∑ ( f k − f k +1 )bk + 1.5 = ∑ f k − f k k +1 bk + 1.5 = ∑ k k + 1.5 pk +1 k =1 k =1 k =1 pk +1 n −1 n( n −1) 2 ≤ ∑ k+2= + 2 = 0.5n − 0.5n + 2 2 k =1
x p −1 = xf ( xe, ) p ≤ p ( xe , ) p
∏
（1-6）
-1-
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定义 5 定义 6
我们把 xf ( xe, ) 称为每个 X 区间数字个数的平均值。 我们把每个台阶中实际素数个数与该台阶数字个数的比称为素数在该台阶中平
∗
均分布密度，简称分布密度，用 f ∗ ( xe, ) 表示。显然第 k 个台阶的分布密度为：
15 32
an +115 32 ≺ bn +115 32
⇒ n +1 ≤ x
15 32
。
于是，根据数学归纳法原理，对任意 由于
0 ≺ 15 32 ≤ 1 2
x ∈ Tn 即 x ∈ an ,bn 恒有
15 32
n≤x
。
，
因此
n≤x
≤
x 。
引理 1 证毕。
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−
n −1
∵ hn ( x ) = xf n
∴
hn x ≤ π n ( x )
()
−
证毕。
+ 引理 3 对任意 x∈Tn ，设 R ( x ) = π n ( x ) − π n− ( x ) ； r ( x ) = π n+ ( x ) − xfn ， 则
− （1） R ( x ) = o π n ( x) = o π − ( x)
（ n ≥ 51 ）
由引理 1
r ( x ) ≤ 0.5 x
15 16
− 0.5 x
15 32
+2
-3-
http://www.paper.edu.cn + x − xf r( x) π n ( ) n 0.5 x15 16 −0.5 x15 32 + 2 1 1 2 = ≤ = − + 1 16 17 32 xf n xf n xf n xf n 2 fn x 2 fn x