《分数指数幂》教学设计
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教学设计:《分数指数幂》
教学目标
〖知识与技能〗
(1) 理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质,并能运用性质进行计算和化简。 (2) 会对根式、分数指数幂进行互化。 (3) 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗
通过对实际问题的探究过程,感知应用数学解决问题的方法,理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗
通过对数学实例的探究,感受现实生活对数学的需求,体验数学知识与现实的密切联系。 教学重难点
根式、分数指数幂的概念及其性质。
教学情景设计
1、复习讨论
(1)根式的相关概念
(2)整数指数幂:a a a a n
⨯⨯⨯= 运算性质:n n n mn n m n
m n
m
b a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。
2、问题情境设疑
问题1、当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个
时间称为“半衰期”,根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2
1(t
P =,考古学家
根据这个式子可以知道,生物死亡t 年后,体内碳14含量P 的值。
例如:
当生物死亡了5730,2×5730,3×5730,……年后,它体内碳14的含量P 分别为
21,2)21(,3
)2
1(,…… 21,2)21(,3
)2
1(,……是正整数指数幂。 当生物死亡了6000年,10000年,100000年后,根据上式,它体内碳14的含量P 分别为57306000
)21(,
573010000
)21(,5730
100000
)2
1
(。
设疑:以上三个数的含义到底是什么呢? 问题2:如何计算:322⨯? 分析:6623626
3332222222=⨯=⨯=
⨯,然而普通学生要找到该解法并不容易,如何把这种运算简单
化呢?能否类似于整数指数幂的运算来解决上题?
3、分数指数幂 实例引入:5
102
5
525
10
)(a a a a
===,4
123
4
43412
)(a a a a
===
问题:1、从以上两个例子你能发现什么结论?
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成 根指数
被开方数的指数
a
的形式
2、4532,,c b a 如何表示? 结论:规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m
问题3、正数的负分数指数幂是:)1,,,0(*>∈>=-n N n m a a n
m
分析:)1,,,0(1
*00>∈>=
=
=-
-
n N n m a a a
a a a
n
m
n
m n
m n
m
如:3
4
3
45
1
5
=
-
,)0(1
3
2
3
2>=
-
a a
a
。
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
特别指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
4、有理指数幂的运算性质: (1)r a ·s
r r a
a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs
s
r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s
r
r
a a a
b =)(
),0,0(Q r b a ∈>>
回到前面的问题,则有66
53
1213
12
13
32222222===⨯=⨯+,对于本节开头的问题2,考古学家正式利用有理
数指数幂的知识,计算出生物死亡6000年,10000年,100000年后体内碳14含量P 的值。例如
当t=6000时,P=484.0)2
1()21(573600
573600
≈=(精确到0.001),即生物死亡6000年后,其体内碳14的含量约为原
来的48.4%。相信学生在真正掌握了分数指数幂的意义及运算性质后,都能够顺利解决。
例1.求值:43
52
132
)81
16(,)21(,25,8-
--
例2.用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0):
①a a ⋅3
②a 2·3
a 2
③3a a
例3.计算下列各式(式中字母都是正数)
(1))3()6)(2(6
56
13
12
12
13
2b a b a b a -÷- (2)8
834
1)(-n m