1.第一节 圆的基本性质
六年级数学课件圆的基本性质
建筑结构：桥梁、高架路等建筑结构中，也常常采用圆形作为受力结构，因为圆形的受力分布均匀，能够承受更大的重量。
数学中的圆的应用
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圆在几何学中的应用：圆是几何学中一个基本图形，可以用来研究图形的性质和特点，例如圆周长、圆面积、圆心角等。
圆的定义可以用来描述圆的特征和性质
圆的形成
圆的概念：圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合
圆的形成：通过绕一个固定点旋转直线来形成圆
圆的基本性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的应用：圆在生活和生产中有着广泛的应用，如车轮、钟表等
圆的基本属性
圆的概念：平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合
周长的定义：图形边界的总长度
圆的面积公式推导
圆的面积公式：S=πr²
注意事项：在推导过程中，需要注意扇形的数量和大小，以确保推导结果的准确性。
拓展知识：除了圆的面积公式外，还可以推导出其他与圆相关的公式，如圆的周长公式、圆的半径公式等。
推导过程：通过将圆分割成若干个扇形，再将这些扇形重新组合成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。
圆的性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的基本元素：圆心、半径、直径
圆的面积和周长计算公式
03
圆的基本性质
圆心与半径
圆心的定义：圆心是圆的中心点，通过圆心的任意直线都可以将圆等分。
半径的定义：半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，是圆的特征之一。
半径的长度：半径的长度等于圆的直径的一半，可以通过测量或计算得出。
圆与对称轴的关系
第1部分第6章第1节圆的基本性质PPT课件
圆周角定理及其推论(必考) 4．(2019 安徽，13，5 分)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30 °，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长 为 2．
【解析】本题考查圆周角定理和三角函数等，体现了逻辑推理和 数学运算的核心素养．如图，连接 OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝60°. 又∵OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，∴BC＝OB＝2.又∵∠CDB ＝90°，∠CBD＝45°，CD＝BC·sin45°＝2× 22＝ 2.
弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为 r、弦长为 a、 弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于 四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出 其余两个量．
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见 的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了 解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的延长 线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位： cm)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO1 的长度为 61 cm.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的⑳____内__对__角____， 如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到 弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问 题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常 结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在 一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦_平__分___这条弦，并且平分弦所对 的两条弧．
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
第一节 圆的基本性质
情况
圆心在圆周 角一条边上
圆心在圆 周角内部
理
圆心在圆 周角外部
图形
结论
∠APB = 15
1 AOB 2
推论1
推论2
半圆（或直径）所对
圆 内容 同弧或等弧所对的 的圆周角是⑯ 90°，
周
圆周角相等
90°的圆周角所对的
角
弦是⑰直径
推 论
表现 如∴∠图1，=(⑱1)∵∠2BD； BD
如图，(1)∵AB是直 径,∴∠C=⑲ 90°
及其
h表示弓形高，半径OC与弦AB垂直，则有：
推论 垂径
定理 （1）r=d+h；
简单 （2）r2=( 应用
1 2
1
a)
2
+d
2=( a
2
a)2+(r-h)2；
（3 h）
r
r
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
圆
内容 角的⑭
1 2
周
角 定
形式 (2)∵DE BD , ∴∠2=∠3
(2)∵∠C=90°,∴AB 是直径
推论1
推论2
圆
周 角
图形
推
论 (1)连直径,得直角;
作用 证明圆周角相等 (2)确定圆的直径
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个 圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形 圆的内接 多边形
2.圆内接四边形的对角⑳ 互补
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
考点精讲
与圆有关的概念及性质
圆 弧、弦、圆心角之间的关系
的 基
垂径定理及其推论
定理
本 性 质
圆周角定理及其推论 推论
圆的内接多边形 圆与多边形
2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节 圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这 样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节 圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节 圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节 圆的基本性质
【作法提示】 分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在
圆的性质介绍中学生圆的基本性质
企业跨国并购存在的风险有哪些企业并购对于大家而言也行并不是个陌生的词，当一家企业有了足够的实力是，会通过并购其他企业来增强自己的实力，企业并购带来的不仅仅好处，同样也存在着风险，那么这次要带大家讨论的是有关于企业跨国并购存在的风险的知识了。
▲一、企业跨国并购存在的风险▲(一)▲信息不对称风险由于“信息不对称”现象的存在，在有效市场条件下，投资者依据这些信息进行并购决策，择优避劣。
然而，公司财务报表和股价等信息又有着明显的局限性。
公司财务报表和股价不可能与企业基本情况及变化完全一致，公司仍可在制度、原则允许的范围内隐藏不必公开的商业秘密。
可见，“信息不对称”的现象影响着并购行为，成为并购经营者必须严加关注和防范的一种风险。
▲(二)▲财务风险对价值的预测风险在确定要并购的企业后，并购双方最关心的问题莫过于以持续经营的观点合理地估算目标企业的价值并作为成交的底价，这是并购成功的基础。
目标企业的估价取决于并购企业对其未来自由现金流量和时间的预测。
对目标企业的价值评估可能因预测不当而不够准确，这就产生了并购公司的估价风险.并购的融资风险并购的融资风险主要是指能否按时足额地筹集到资金，保证并购的顺利进行，如何利用企业内部和外部的资金渠道在短期内筹集到所需的资金是关系到并购活动能否成功的关键。
并购对资金的需要决定了企业必须综合考虑各种融资渠道。
并购企业应针对目标企业负债偿还期限的长短，维持正常的营运资金，使投资回收期与借款种类相配合，合理安排资本结构。
▲(三)▲经营风险经验的外在风险。
一方面是在市场经济环境中，企业都面临着巨大的竞争压力，许多企业都在抢夺同一片市场，为自己争取更多的顾客群。
为了获得更多的顾客和销售收入，竞争对手经常调整自己的竞争策略。
使外部环境发生预期变化。
另一方面，政府政策变化对企业经营的影响。
经验的内部风险。
作为买方，企业所购买的应当是一个能够运营的目标公司的整体业务，而不仅仅是简单的资产总和，要做到这一点，企业集团必须做到拥有强大的经营管理能力作为支持，否则，将可能跌入经营不善的陷阱。
圆的基本性质
圆的基本性质圆是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我将介绍圆的基本性质，包括圆的定义、圆的半径和直径、圆心和弧、圆的面积和周长等。
通过了解这些基本性质，我们可以更好地理解和运用圆形。
1. 圆的定义圆是由一条与一个固定点距离相等的点构成的集合。
这个固定点被称为圆心，圆心到圆上的任意一点的距离被称为半径。
圆内部的点到圆心的距离都小于半径，而圆外部的点到圆心的距离都大于半径。
2. 圆的半径和直径圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的直径是通过圆心，并且两个端点都在圆上的线段。
圆的直径是半径的两倍，也是圆的最长线段。
3. 圆心和弧圆心是圆的中心点。
圆上的弧是由圆上的两个点以及它们之间的弧长所确定的。
圆的弧可以被度量为角度，弧度或弧长。
4. 圆的面积圆的面积是圆内部所包围的空间。
圆的面积公式为：面积= π * r²，其中π（pi）是一个无理数，约等于3.14159，r是圆的半径。
这个公式表明，圆的面积正比于半径的平方。
5. 圆的周长圆的周长是圆上所有点之间的距离总和。
圆的周长也被称为圆周长或圆的周长。
圆的周长公式为：周长= 2 * π * r，其中2πr是一个圆的直径。
6. 圆的切线在圆上的每个点上都有一个与切线相切的方向。
切线是与圆只有一个交点的直线，且与圆的切点处于圆上的切线角度为90度。
7. 圆的弦圆上的任意两个点之间的线段被称为弦。
最长的弦是圆的直径。
8. 圆的弧度弧度是一种用于度量圆上弧长的单位。
一个圆的弧长等于半径的弧度数乘以圆心角的弧度。
总结：在几何学中，圆拥有许多独特的性质和特征。
通过了解圆的定义、圆的半径和直径、圆心和弧、圆的面积和周长等基本性质，我们可以更好地理解和应用圆形。
圆在许多领域中都有广泛的应用，如工程、建筑、数学等。
掌握圆的基本性质对于解决与圆相关的问题非常重要。
通过学习和应用这些性质，我们可以更好地理解圆，并在实际生活和学习中运用它们。
考点跟踪突破-第六章圆
第六章圆第一节圆的基本性质基础过关1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(D)A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D第1题图第2题图2．(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为(A) A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m3．(2019·滨州)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(B)A．60°B．50°C．40°D．20°第3题图第4题图4．(2019·镇江)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC＝CB .若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于(A)A．55°B．60°C．65°D．70°5．(2019·宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是(A)A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°第5题图第6题图6．(2019·安顺)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为(D)A ．13B ．2 2C ．223D ．247．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在⊙O 上，且AB 为50°，则∠E ＋∠C ＝__155__°.第7题图第8题图8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝__60°__．9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，则cos ∠OCB 的值是2__．第9题图第11题图10．(2019·陕西)若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为__6__．11．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE∶DE＝3∶5，则AC∶BD＝__3∶5__．12．(2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为__(－1，－2)__．13．(2018·玉林)小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是__10__cm.14．(2018·呼和浩特)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．15．(2019·南京)如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.证明：连接AC，∵AB＝CD，∴AB＝CD，∴AB＋BD＝BD＋CD，即AD＝CB，∴∠C＝∠A，∴PA＝PC.满分冲刺16．(2019·梧州)如图，在半径为13 的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是(C)A ．2 6B ．210C ．211D ．4 3第16题图第17题图17．(2019·安徽)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为．18．(2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为__12__．19．(2019·苏州)如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F.(1)求证：DO ∥AC ； (2)求证：DE·DA ＝DC 2；(3)若tan ∠CAD ＝12，求sin ∠CDA 的值．(1)证明：∵D 是BC 的中点，∴CD ＝DB ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CAB ＝2∠BAD.在⊙O 中，∠DOB ＝2∠BAD.∴∠CAB ＝∠DOB.∴DO ∥AC.(2)证明：∵点D 是BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴∠CAD ＝∠DCB ，∴△DCE ∽△DAC ，∴CD 2＝DE·DA ；(3)解：连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∴∠ACB ＝90°，∵DO ∥AC ，∴∠OFB ＝∠ACB ＝90°，∴∠BFD ＝90°.∵∠CAD ＝∠CBD(同弧所对的圆周角相等).∴tan ∠CBD ＝tan ∠CAD ＝12 ，∴DF BF ＝12 .设DF ＝k(k ＞0)，则BF ＝2k ，设OB ＝OD＝r ，则OF ＝OD －DF ＝r －k.在Rt △BOF 中，有OF 2＋BF 2＝OB 2.即(r －k)2＋(2k)2＝r 2，化简得r ＝52 k.∴OF ＝OD －DF ＝r －k ＝32 k ，∴sin ∠CBA ＝OF OB ＝32k 52k ＝35.∵∠CDA ＝∠CBA(同弧所对的圆周角相等)，∴sin ∠CDA ＝sin ∠CBA ＝35.第二节与圆有关的位置关系基础过关1．(2019·广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到⊙O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(C)A．0条B．1条C．2条D．无数条2．(金昌模拟)如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，边AB切⊙O于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝34°，则∠BAC的度数为(B) A．20°B．22°C．34°D．68°第2题图第3题图3．(2019·杭州)如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝(B)A．2 B．3 C．4 D．54．(2019·福建)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于(B)A．55°B．70°C．110°D．125°第4题图第5题图5．(2019·嘉兴)如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 的延长线于点P ，则PA 的长为(B)A ．2B ． 3C ． 2D ．126．(2019·台州)如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则⊙O 的半径为(A)A ．2 3B ．3C ．4D ．4－ 3第6题图第7题图7．(2019·河池)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝38°，则∠P ＝__76__°.8．(2019·宿迁)直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为__2__．9．(2018·连云港)如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ，已知∠OAB ＝22°，则∠OCB ＝__44__°.10．(2019·眉山)如图，在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝4 2 .⊙O 的半径为2，点P 是AB边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ(点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为．第10题图第11题图11．(2018·山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 是AB 的中点，以CD 为直径作⊙O ，⊙O 分别与AC ，BC 交于点E ，F ，过点F 作⊙O 的切线FG ，交AB 于点G ，则FG 的长为__125__．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P.若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．证明：连接AC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠COB ＝2∠ACO ，又∵∠COB ＝2∠PCB ，∴∠ACO ＝∠PCB.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°.∴∠PCB ＋∠OCB ＝90°，即OC ⊥CP.∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线．13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切于点D ，与AB 交于点E ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F.(1)求证：AE ＝AF ；(2)若DE ＝3，sin ∠BDE ＝13 ，求AC 的长．(1)证明：连接OD.∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED.∵直线BC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥BC.∴∠ODB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴OD ∥AC.∴∠ODE ＝∠F.∴∠OED ＝∠F.∴AE ＝AF ；(2)解：连接AD.∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°.∵AE ＝AF ，∴DF ＝DE ＝3.∵∠ACB ＝90°.∴∠DAF ＋∠F ＝90°，∠CDF ＋∠F ＝90°，∴∠DAF ＝∠CDF ＝∠BDE.在Rt △ADF 中，DF AF ＝sin ∠DAF ＝sin ∠BDE ＝13 ，∴AF ＝3DF ＝9.在Rt △CDF 中，CF DF ＝sin ∠CDF ＝sin ∠BDE ＝13 ，∴CF ＝13DF ＝1.∴AC ＝AF －CF ＝8.14．(2019·十堰改编)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且∠CDE ＝12∠BAC.(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AB ＝3BD ，CE ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)DE 是⊙O 的切线．理由：如解图，连接OD ，AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝12 ∠BAC ，∵∠CDE＝12 ∠BAC ，∴∠CDE ＝∠CAD.∵OA ＝OD ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∵∠ADO ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵AB ＝3BD ，∴AC ＝3DC ，设DC ＝x ，则AC ＝3x ，∴AD ＝AC 2－DC 2 ＝2 2 x.∵∠CDE ＝∠CAD ，∠DEC ＝∠AED ，∴△CDE ∽△DAE ，∴CE DE ＝DC AD ＝DE AE ，即2DE ＝x 22x ＝DE 3x ＋2，∴DE ＝4 2 ，x ＝143 ，∴AC ＝3x ＝14，∴⊙O 的半径为7.满分冲刺15．(2019·菏泽)如图，直线y ＝－34 x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是__(－73 ，0)或(－173，0)__．16．(2019·德州)如图，∠BPD ＝120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠PAC ＝30°，AC ＝2 3 .(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A 、C 两点分别与射线PB 和PD 相切；(要求：写出作法，并保留作图痕迹)(2)根据(1)的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； (3)求所得的劣弧与线段PA 、PC 围成的封闭图形的面积．解：(1)如解图；(2)已知：∠BPD ＝120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠PAC ＝30°，AC ＝2 3 ，过A 、C 分别作PB 、PD 的垂线，它们相交于点O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，OC ⊥PD，求证：PB、PC为⊙O的切线．证明：∵∠BPD＝120°，∠PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL)，∴OA＝OC，∴PB、PC为⊙O的切线；(3)∵∠OAC＝∠OCA＝90°－30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2 3 ，∠AOC＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝33×2 3 ＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO －S扇形AOC＝2×12×2 3 ×2－60π·（23）2360＝4 3 －2π.第三节与圆有关的计算基础过关1．(2019·长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(C)A．2πB．4πC．12πD．24π2．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则BD的长为(D)A. 23πB.43πC. 2πD.83π第2题图第4题图3．(2019·湖州)已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是(B)A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm24．(2019·绍兴)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2 2 ，则BC的长为(A)A．πB． 2 πC．2πD．2 2 π5．(2019·南充)如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)A．6πB．3 3 πC．2 3 πD．2π第5题图第6题图6．(2019·山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2 3 ，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A)A ．534 －π2B ．534 ＋π2C ．2 3 －πD ．4 3 －π27．(2019·天门)75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm ，则此弧所在圆的半径是__6__cm . 8．(2019·十堰)如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝6，将半圆绕点A 顺时针旋转60°，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为__6π__．第8题图第9题图9．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2 3 ，∠BAO ＝60°，弦BC ∥OA ，则BC 的长为__2π__．(结果保留π)10．(2019·哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是__110__度．11．(2019·贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是．第11题图第13题图12．(2019·无锡)已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15π cm 2，则这个圆锥的底面圆半径为__3__cm .13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BC 边于点E ，若E 恰为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为2 －23π__．14．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD 的中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，E ，F 分别是AD ，BA 的延长线与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积为__π－1__．(结果保留π)15．(2019·安顺)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为__6__．第15题图第16题图16．(2019·重庆)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为3．(结果保留π)17．(2019·邵阳)如图，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的角平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求图中阴影部分的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.解：(1)∵在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝30°，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝ 3 AD ＝6 3 ，∴BC ＝2BD ＝12 3 ，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12 ×6×123 －120π·62360＝36 3 －12π；(2)设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝120π·6180 ，解得r ＝2，h ＝62－22＝4 2 .18．(2018·湖州)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC.(1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC 的长．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°，即OC ⊥AD ，∴AE ＝ED ；(2)解：∵OC ⊥AD ，∴AC ＝CD ，∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝2×36°＝72°，∴AC 的长＝72π×5180＝2π.满分冲刺19．(2018·云南)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD ＝∠BAC.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若∠D ＝30°，BD ＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB ＝60°，∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2 3 ，易求S△AOC ＝12×2 3 ×1＝ 3 .S扇形OAC＝120π×4360＝4π3，∴阴影部分面积为43π－3 .。
数学中的圆的性质
数学中的圆的性质数学中的圆是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和特征。
本文将深入探讨圆的性质，并通过具体的例子加以说明。
1. 圆的定义与基本性质圆由平面上所有到一个固定点的距离相等的点构成。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的基本性质包括：（1）圆的直径是任意两点在圆上的距离中最大的。
（2）圆的半径相等。
（3）圆的周长是圆心到圆上一点的距离的两倍，即2πr（其中r为半径）。
（4）圆的面积是πr²。
例如，考虑一个半径为5个单位的圆。
根据定义，圆上的任意一点到圆心的距离都是5个单位。
圆的半径也是5个单位，周长为10π个单位，面积为25π个单位。
2. 圆与其他几何图形的关系圆与其他几何图形之间存在着密切的关系，例如直线、正方形和三角形。
（1）圆与直线的关系：直线可以与圆相交于两个点、一个点或没有交点。
当直线与圆相交于两个点时，这条直线被称为切线。
（2）圆与正方形的关系：正方形的四个顶点可以构成一个圆。
这个圆被称为内切圆，也就是正方形内部与正方形的四条边都相切的圆。
（3）圆与三角形的关系：三角形中可以有一个外接圆，即一个圆与三角形的三条边都相切。
此外，三角形也可以有一个内切圆，即一个圆与三角形的三条边的延长线相切。
3. 圆的重要定理在数学中，圆的性质可以由一系列重要的定理来描述。
以下是其中的两个：（1）圆的切线定理：如果一个直线与圆相切于圆上一点P，那么这条切线垂直于通过点P的半径。
（2）圆的弦线定理：如果一条弦通过圆的中心，那么它一定是圆的直径。
这些定理对于解决与圆相关的问题非常有用。
例如，在旋转几何中经常使用到切线定理。
4. 圆的应用圆的性质在实际生活中有许多应用。
以下是一些常见的例子：（1）建筑设计：建筑设计中常常需要使用圆形结构，例如圆形天井、圆形拱门等。
圆的性质可以帮助工程师和设计师在设计过程中合理地计算和安排结构的大小和位置。
（2）钟表：钟表的表盘通常是圆形的，钟表上的刻度也是按照圆的性质设计的。
初中数学圆的基本性质
初中数学圆的基本性质
在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆的中心叫圆心，用O表示。
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
在同一个圆中，圆的直径d=2r。
扩展资料
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
顶点在圆心上的`角叫做圆心角；顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
圆周角定理：相同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
圆的周长计算公式：C=πd=2πr，半圆的周长C=πr+2r，圆的面积S=πr2。
圆和圆的位置关系：无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。
有两个公共点的叫相交。
圆和圆的位置关系由圆心距决定。
初中数学圆的基本性质公式定理
初中数学圆的基本性质公式定理初中数学圆的基本性质公式定理大全大家都知道：圆是定点的距离等于定长的点的集合，那么圆的半径、圆心等性质大家熟知了吗。
以下是小编为你整理的内容，欢迎阅读。
圆的基本性质1圆是定点的距离等于定长的点的集合2圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4同圆或等圆的半径相等5到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
上面为大家带来的是初中数学公式定理大全之圆的公式定理，热爱数学的同学们应该熟记于心了吧。
初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
湘教版圆的知识点总结
湘教版圆的知识点总结一、圆的基本性质1.1 圆的定义在平面上，以一个点为圆心，一个定长为半径，取平面上任意一点与圆心之间的距离等于半径长的集合，这个集合就是圆。
1.2 圆的要素圆的要素包括圆心、半径、直径和弦。
圆心是圆的中心点，以O表示；半径是圆心到圆上所有点的距离，以r表示；直径是通过圆心且在圆上的线段，长度为2r，以d表示；弦是圆上的线段，以AB表示。
1.3 圆的性质（1）圆的内部和外部：圆内部的点到圆心的距离小于半径长，圆外部的点到圆心的距离大于半径长。
（2）同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆互为同心圆。
（3）同轴圆：具有相同的圆心但不同半径的圆互为同轴圆。
（4）圆的切线：过圆上一点并且与圆相切的直线称为圆的切线。
1.4 圆与角度（1）圆的度量：圆被分成360等份，每一份叫做一度，记作1°。
以圆心为端点的角叫做圆心角。
（2）弧度制度：弧长等于半径长的圆心角叫做一弧度，弧长分别为π、2π、π/2、π/3等，用弧度制度可以更加简便地表示圆的弧长和圆心角。
（3）正弦、余弦和正切：利用圆的角度可以定义出正弦、余弦和正切函数，这在三角函数的学习中非常重要。
1.5 圆与平面几何（1）圆与直线的位置关系：圆与直线有三种位置关系，相离、相切和相交。
（2）圆与圆的位置关系：圆与圆有四种位置关系，包括外切、内切、相交和相离。
二、圆的相关定理2.1 圆的基本定理（1）直径定理：直径是圆的特殊弦，而且是最长的弦。
（2）半径垂直弦定理：半径垂直于弦，是弦的中垂线。
2.2 直角三角形中的圆的性质（1）直角三角形的圆的内切和外接圆：直角三角形的内切圆的圆心在直角顶点角的平分线上；直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点处。
（2）勾股定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即a²+b²=c²。
2.3 圆周角的性质（1）圆周角与其对应的圆心角相等。
（2）同弧所对的圆周角相等。
初中数学重点梳理：圆的基本性质
圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。
圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。
（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
圆的基本性质与计算公式(知识点总结)
圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。
本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。
2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。
3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。
5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。
6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。
7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。
二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。
周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。
2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。
3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。
弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。
扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。
弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。
三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。
解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。
圆的基本性质知识点总结
圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。
圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。
-圆心：圆的中心点，通常表示为O。
-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。
-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。
-弦：在圆上连接两点的线段。
-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。
3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。
4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。
周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。
-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。
面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。
5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。
-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。
否则，弦将分割圆周上的两个弧。
并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。
6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。
7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。
-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。
-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。
以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。
河南省中考数学总复习 第六章 圆作业帮-人教版初中九年级全册数学试题
第一节圆的基本性质考点1 圆周角定理及其推论1.[2018某某聊城]如图,☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )A.25°B.27.5°C.30°D.35°(第1题) (第2题)2.[2018某某]如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为( )A.15°B.35°C.25°D.45°3.[2017某某某某]如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( )A.AD=2OBB.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD4.(9分)[2018某某某某中考改编]如图,在△ABC中,AB=AC. 以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E.延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求cos∠BAD的值.考点2 圆内接四边形的性质5.[2018某某某某]如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°(第5题) (第6题)6.[2017某某某某]如图,已知☉O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则☉O的半径长为( )A. B.C. D.7.[2018某某某某]如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=.(第7题) (第8题)8.[2017某某永州]如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点D是的中点,点E是上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC=°.9.(9分)[2018某某某某]如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.1.[2018某某一模]如图,已知AB是☉O的直径,BC是弦,∠ABC=40°,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,则∠DCB为( )A.20°B.25°C.30°D.35°2.[2018某某地区模拟]如图,在☉O中,∠AOB的度数为160°,C是优弧AB上一点,D,E是上不同的两点(不与点A,B重合),则∠D+∠E的度数为( )A.160°B.140°C.100°D.80°(第2题) (第3题)3.[2017某某地区模拟]如图,四边形ABCD内接于☉O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°4.[2018某某某某一模]如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,把半圆沿弦AC折叠,恰好经过点O,则与的关系是( )A.=B.=C.=(第4题) (第5题)5.[2018某某三模]如图,以△ABC的边BC为直径的☉O交AB,AC于点D,E,连接OD,OE,若∠DOE=40°,则∠A的度数为.6.(9分)[2018某某瑶海区一模]如图,在半径为4的☉O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交☉O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=.(1)求证:AM·MB=EM·MC;(2)求EM的长.7.(9分)[2017某某一模]如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC,BC于点D,E.连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)填空:①若AB=6,CD=4,则BC=;②连接OD,当∠A=°时,四边形ODEB是菱形.8.(9分)[2018某某二模改编]如图,在△ABC中,AB=10,∠BAC=60°,∠B=45°,点D是BC 边上一动点,连接AD,以AD为直径作☉O,☉O交边AB,AC于点E,F,连接OE,OF,DE,DF,EF.(1)求的值;(2)当∠BAD=°时,四边形OEDF正好是菱形,请说明理由;(3)点D运动过程中,线段EF的最小值为(直接写出结果).第二节与圆有关的位置关系考点1 点与圆的位置关系1.[2017某某枣庄]如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),若以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值X围为( )<r< B.<r<3C.<r<5D.5<r<2.[2018某某某某]如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为( )A.3B.4(第2题) (第3题)3.[2016某某中考改编]如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为.考点2 直线与圆的位置关系4.[2018某某湘西州中考改编]已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为6 cm,则直线l与☉O的位置关系为( )5.[2018某某某某]已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的☉O相交(点O为坐标原点),则m的取值X围为.6.(9分)[2018某某仙桃]如图,在☉O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO 于点D,交AC于点E,交☉O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.(1)判断CM与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.考点3 切线的性质7.[2018某某某某]如图,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )A.3B.3(第7题) (第8题)8.[2017某某某某]如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( )A.20°B.35°C.40°D.55°9.[2018某某某某]如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=.(第9题) (第10题)10.[2018某某某某]如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM的长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为. 11.(9分)[2018]如图,AB是☉O的直径,过☉O外一点P作☉O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.(1)求证:OP⊥CD;(2)连接AD,BC.若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.12.(9分)[2018某某随州]如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,为☉O的切线,连接AC,BC,过点O作OM⊥AB,分别交AC,于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=4,求MC的长.考点4 切线的判定13.(9分)[2018某某某某]如图,已知A,B,C,D,E是☉O上五点,☉O的直径BE=2,∠BCD=120°,A为的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.(1)求线段BD的长;(2)求证:直线PE是☉O的切线.14.(9分)[2018某某]如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心、OC的长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=,求AD的长.考点5 三角形的内切圆和外接圆15.[2017某某某某]如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )16.[2017某某某某]已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为( )A.B. C.17.[2018某某]如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2.将∠ACB平移,使其顶点与点I 重合,则图中阴影部分的周长为( )A.4.518.[2018某某某某]如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm.(第18题) (第19题)19.[2017某某某某]如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为.20.(9分)[2018某某某某]如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在上.(1)求证:AE=AB;(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的长.21.(9分)[2018某某某某]结果如此巧合!下框中是小颖对一道题目的解答.题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x,根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2,整理,得x2+7x=12,所以S△ABC=AC·BC=(x+3)(x+4)=(x2+7x+12)=×(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.考点6 正多边形和圆22.[2017某某达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A.B.C.D.23.[2018某某株洲]如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM=.24.[2018某某某某]X徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设☉O的半径为1,若用☉O 的外切正六边形的面积S来近似估计☉O的面积,则S=.(结果保留根号)1.[2018某某外国语模拟改编]如图,☉O是△ABC的外接圆,弦AC的长为2,sin B=,则☉O 的直径为( )A.4B.3(第1题) (第2题)2.[2018某某地区模拟]如图,☉O的半径为2,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为( )B.3 D.3.[2018某某某某姜堰区二模改编]如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,点P是优弧AE上一点,则∠APE=°.4.(9分)[2018某某二模]如图,AB为☉O的直径,CD切☉O于点D,AC⊥CD于点C,交☉O于点E,连接AD,BD,ED.(1)求证:BD=ED;(2)若CE=3,CD=4,求AB的长.5.(9分)[2018某某二模]如图,AB是☉O的直径,且AB=6,点M为☉O外一点,且MA,MC分别切☉O于点A,C.点D是直线BC与AM延长线的交点.(1)求证:DM=AM;(2)填空:①当CM=时,四边形AOCM是正方形;②当CM=时,△CDM为等边三角形.6.(9分)[2018某某二模]如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的动点,PC∥AB,点M是OP的中点,连接AM并延长,交PC于点C,连接OC,BC,AP.(1)求证:四边形OBCP是平行四边形;(2)填空:①当∠BOP=°时,四边形AOCP是菱形;②连接BP,当∠ABP=°时,PC是☉O的切线.第三节与圆有关的计算考点1 弧长的计算1.[2017某某某某]如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则的长为( )A.πB.(第1题) (第2题)2.[2017某某某某]如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则的长为( )A.πB.πC.πD.π3.[2018某某某某A]如图,△ABC的外接圆O的半径为3,∠C=55°,则劣弧AB的长是.(结果保留π)(第3题) (第4题)4.[2018某某潍坊]如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线,交直线l:y=x于点B1,以原点O为圆心、OB1的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线,交直线l于点B2,以原点O为圆心、OB2的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A3……按此作法进行下去,则的长是.5.(9分)[2018某某荆州]问题:已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,求α+β的度数. 探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出α+β的度数.延伸:(2)设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于R,求的长度.考点2 扇形面积的计算6.[2018某某某某]一个扇形的圆心角为135°,弧长为3π cm,则此扇形的面积是cm2.7.[2017某某日照]如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心、BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD是平行四边形,AB=6,则图中扇形的面积是.考点3 阴影部分面积的计算8.[2018某某]如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是( )9.[2017某某莱芜]如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过部分的面积为( )A. B.(2-)πC.10.[2017某某某某]如图,将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A'B'CD'的位置,AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为.(第10题) (第11题)11.[2017某某某某]已知:如图,△ABC内接于☉O,且半径OC⊥AB,点D在半径OB的延长线上,且∠A=∠BCD=30°,AC=2,则阴影部分的面积为.12.[2018某某某某]如图,△OAC的顶点O在坐标原点,OA边在x轴上,OA=2,AC=1,把△OAC 绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',使得点O'的坐标是(1,),则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为.1.[2018某某一模]如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形OCED的顶点C,D分别在半径OA,OB上,顶点E在上,以点O为圆心、OC的长为半径作.若OA=2,则阴影部分的面积为( )A.πB.C.(第1题) (第2题)2.[2018某某二模]如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D',点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上,则AD扫过的部分(即阴影部分)的面积为( ) A.-C.-D.3.[2017某某二模改编]如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合,则圆心O运动路径的长度等于.4.[2017某某二模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,以点C为圆心,CB的长为半径画弧,与AB边交于点D,将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为.(第4题) (第5题)5.[2017某某一模]如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,半径OA=3,OC=AC,OD=BD,F是弧AB 的中点.将△OCD沿CD折叠,点O落在点E处,则图中阴影部分的面积为.6.[2017潍坊二模改编]如图所示的图形是由若干条圆心相同的圆弧组成,其圆心角为90°,最小的扇形半径为1.若每两个相邻圆弧的半径之差为1,由里往外的阴影部分的面积依次记为S1,S2,S3,…,S20,则S1+S2+S3+…+S20=.(第6题) (第7题)7.[2018某某一模]如图,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2 cm,C为弧AB的中点,D 是OA的中点,则图中阴影部分的面积为cm2.8.[2018某某宛城区二模]如图,AC是半圆O的一条弦,将弧AC沿AC折叠后恰好过圆心O,☉O 的半径为2,则图中阴影部分的面积为.(第8题) (第9题)9.[2018某某三模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,点D为边AB的中点.以点B为圆心、BD的长为半径作弧,交BC于点E;以点C为圆心、CD的长为半径作弧,交AC于点F,则图中阴影部分的面积为.10.[2018某某二模]运用图形变化的方法研究下列问题:如图,EF是☉O的直径,CD,AB是☉O 的弦,且AB∥CD∥EF,EF=20,CD=16,AB=12.则图中阴影部分的面积是.(第10题) (第11题)11.[2017某某地区模拟]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,连接AD,则图中阴影部分面积是.参考答案第一节圆的基本性质AC,∴∠ABC=∠BCA=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°,∴∠BDC=∠BAC=50°.∵CD∥AB,∴∠ABD=∠BDC=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.故选A.3.D ∵2OB=AB≠AD,故选项A错误;由垂径定理可知,点E是CD的中点,由圆周角定理及其推论可知,∠COB=2∠BAD=40°,∴∠OCE=50°,∴CE≠EO,故选项B,C错误,选项D正确.∴∠AEB=90°.∵AB=AC,∴CE=BE.又∵EF=AE,∴四边形ABFC是菱形.(3分)(2)设CD=x,则AB=AC=7+x.连接BD,∵AB为半圆的直径,∴∠ADB=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,即(7+x)2-72=42-x2,解得x1=1,x2=-8(舍去),(6分)∴AB=7+x=7+1=8,∴cos∠BAD==.(9分)5.B∵∠BOC=40°,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=(180°-40°)=70°,∴∠D=180°-∠OBC=110°.故选B.6.D 如图,作直径BM,连接DM,BD,则∠BDM=90°.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°,∴∠M=60°.又AB=AD=2,∴BD=2 .在Rt△BDM中,sin M===,∴BM=,∴OB=BM=,故☉O的半径长为.故选D.如图,连接OA,OB,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD.∵∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=2∠ADB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=2.8.100 连接AE.∵点D是的中点,∴∠AED=∠CED=40°,∴∠AEC=80°.∵四边形ADCE是☉O的内接四边形,∴∠ADC+∠AEC=180°,∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.9.如图,连接BD,分别延长AD,BC交于点E.(1分)∵∠A=90°,∴BD是☉O的直径,∴∠ECD=∠BCD=90°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ABC+∠ADC=180°.∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠EDC=∠ABC,(3分)∴cos∠EDC=cos∠ABC=,∴=,即=,解得ED=.(4分)在Rt△EDC中,由勾股定理,得EC==.(6分)易得△ECD∽△EAB,∴=,即=,解得EA=,∴AD=EA-ED=-=6.(9分)模拟提升练设OD交BC于点E.∵OD⊥BC,∴∠OEB=90°,∵∠ABC=40°,∴∠BOD=50°,∴∠DCB=∠BOD=25°.故选B. 如图,连接OC.∵∠AOB=160°,∴∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=200°.∵∠D=∠AOC,∠E=∠BOC,∴∠D+∠E=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=100°.故选C.3.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°.∵=,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°,∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°.故选B.4.A 如图,连接OC,BC,过O作OE⊥AC于点D,交半圆O于点E.由折叠可知OD=OE.∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴OD∥BC.∵OA=OB,∴OD=BC,∴BC=OE=OB=OC,∴∠COB=60°,∴∠AOC=12 0°,∴=.故选A.5.70°连接BE.∵∠DOE=40°,∴∠ABE=∠DOE=20°.∵BC为☉O的直径,∴∠BEA=∠BEC=90°,∴∠A=90°-∠ABE=90°-20°=70°.6.(1)证明:连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM.又∵∠AMC=∠EMB,∴△AMC∽△EMB,∴=,即AM·MB=EM·MC.(4分)(2)∵DC为☉O的直径,且DC=4×2=8,∴∠DEC=90°,EC===7.∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2.设EM=x,则CM=7-x.由(1)知AM·MB=EM·MC,得6×2=x(7-x). 解得x1=3,x2=4.∵EM>MC,∴EM=4.(9分)7.(1)证明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C.∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(3分)(2)①4(7分)②60(9分)解法提示:①连接AE,∵AB为☉O的直径, ∴AE⊥BC,又∵AB=AC,∴BE=EC.∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CDE∽△CBA,∴=,即=,∴BC=4.②∵四边形ODEB是菱形,∴OB=BE=OD=ED=OE,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴∠BOD=120°,∴∠A=60°.8.(1)∵∠BAC=60°,∴∠EOF=120°.过点O作OH⊥EF于点H,则EH=FH.设OE=x,则OF=x,FH=EH=x,∴EF=x,∴=.(3分)(2)30(4分)理由:∵四边形OEDF是菱形,∴OE=ED=DF=FO.又∵OE=OD=OF,∴OE=ED=DF=FO=OD,∴∠OED=∠EOD=∠DOF=∠DFO=60°.∵AD是☉O的直径,∴∠DEA=∠DFA=90°,∴∠AEO=∠OFA=30°,又∵OE=OA=OF,∴∠EAO=∠OAF=30°.(7分)(3)5(9分)解法提示:由(1)可知EF=OE=AD,故当AD最短,即AD⊥BC时,EF有最小值.∵AB=10,∠B=45°,AD⊥BC,∴AD=10÷=10,∴EF的最小值为10×=5.第二节与圆有关的位置关系真题分点练1.B 给各点标上字母,如图所示,则AB==2,AC=AD==,AE==3,AF==,AG=AM=AN==5,∴当<r<3时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.2.C 连接OP.∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵点A,B关于原点O对称,∴AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则OP需取得最小值.连接OM,交☉M于点P',当点P与P'重合时,OP取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5,又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB的最小值为2OP'=6,故选C.3.2∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠A PB=90°,∴点P在以AB为直径的圆上.设AB的中点为O,连接OC,交☉O于点P,此时PC最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=5,∴PC=OC-OP=5-3=2,即PC的最小值为2.4.C ∵6>5,∴直线和圆相离.故选C.5.0<m<把点(12,-5)代入直线y=kx,得-5=12k,∴k=-.直线y=-x向上平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=-x+m(m>0),设直线l与x轴,y轴分别交于点A,B,则A(m,0),B(0,m),即OA=m,OB=m.在Rt△OAB中,AB===m,过点O作OD⊥AB于点D,∵S△ABO=OD·AB=OA·OB,∴OD·m=×m2,解得OD=m.由直线l与☉O相交可知m<6,解得m<,即m的取值X围为0<m<.6.(1)CM与☉O相切.(1分)理由如下:如图,连接OC.∵OC=OA,∴∠A=∠1.∵GD⊥OA,∴∠A+∠2=∠A+∠3=∠1+∠3=90°. (2分) ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠GCE=90°.∵M是GE的中点,∴MG=ME=MC,(3分)∴∠3=∠MCE,∴∠1+∠MCE=90°,∴OC⊥MC,∴CM与☉O相切.(4分)(2)如图,∵∠GCE=90°,∴∠G+∠3=90°.又∵∠A+∠3=90°,∴∠A=∠G.(5分)∵MG=MC,∴∠4=∠G+∠MCG=2∠G.∵∠5=2∠A,∴∠4=∠5,∴∠3=∠MCE=∠EFC,△ECF∽△EMC,∴CE=CF,=.(6分)∵EM=CM=6,EC=CF=4,∴EF===,∴MF=EM-EF=6-=.(9分)7.A 连接OA,根据切线的性质可得,OA⊥AP,∵∠P=30°,∴OP=2OA.又∵OA=OB=3,∴OP=6,∴BP=OP-OB=3.故选A.8.A ∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∠ACB=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=125°,∠BAC=90°-∠ABC=35°.由题易得∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°.∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠AC D=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.故选A.9.44°连接OB.∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°.∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°.∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°.∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=18 0°-68°-68°=44°.∵AB=8,点M是AB的中点,∴BM=4.当☉P与CD相切于点C时,如图(1),设PM=PC=r,则BP=8-r.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BM2+BP2=PM2,即42+(8-r)2=r2,解得r=5,∴BP=8-5=3;当☉P与AD相切于点E时,如图(2),连接PE,则PE⊥AD,∴PE=CD=8,∴PM=8.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BP===4 .综上可知,BP=3或4.图(1) 图(2)11.(1)证明:如图,连接OC,OD.∵PC,PD为☉O的两条切线,∴PC=PD.又∵OC=OD,∴OP垂直平分CD,即OP⊥CD.(4分)(2)如图,∵OD=OA,∠DAB=50°,∴∠ADO=∠DAB=50°.∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠CBA=70°,∴∠ADC=180°-∠CBA=110°,∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°.∵OP⊥CD,∴∠ODC+∠DOP=90°,∴∠POD=30°.∵PD为☉O的切线,OD为半径,∴∠ODP=90°.∵OA=2,∴OD=OA=2.在Rt△ODP中,OP===.(9分)12.(1)证明:连接OC.∵为☉O的切线,∴OC⊥CM,∴∠OCA+∠ACM=90°.∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC.(3分)(2)依题意可知AB=5×2=10.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==2.∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB,∴=,即=,得OD=.(6分)设MC=MD=x,则OM=x+,在Rt△OCM中,由勾股定理得(x+)2=x2+52,解得x=,即MC=.(9分)13.(1)如图,连接DE.∵BE为☉O的直径,∴∠BDE=90°.∵B,C,D,E四点共圆,∴∠BCD+∠BED=180°,∴∠BED=60°,∴BD=BE·sin 60°=2×=3.(4分)(2)证明:如图,连接AE.∵BE为☉O的直径,∴BA⊥AE.∵点A为的中点,∴BA=AE.(6分)又∵AB=AP,∴AB=AE=AP,∴△BEP为直角三角形,∴PE⊥EB,∴直线PE是☉O的切线.(9分)14.(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E,则∠OEB=90°.∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.在△OEB和△OCB中,∴△OEB≌△OCB,∴OE=OC,∴AB为☉O的切线.(4分)(2)∵BC=6,tan∠ABC=,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8,∴AB===10.∵AB与BC均为☉O的切线,∴BE=BC=6,∴AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,在Rt△AEO中,AO2=AE2+OE2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,∴OB===3.∵S△BOA=AB·OE=BO·AD,∴AB·OE=BO·AD,∴AD===2.(9分)15.B ∵☉O是△ABC的内切圆,∴点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是△ABC三条角平分线的交点.故选B.16.C 如图,BC=5,AB=7,AC=8,设内切圆的半径为R.过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,所以AD==4.由面积公式可知,S△ABC=BC·AD=(AB+BC+AC)·R,即×5×4=×(7+5+8)R,解得R=.故选C.17.B 如图,连接AI,BI.∵点I是△ABC的内心,∴∠CAI=∠IAD.根据平移的性质,可知DI∥AC,∴∠AID=∠CAI,∴∠AID=∠IAD,∴ID=AD.同理可得IE=BE,故阴影部分的周长为ID+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.故选B.18.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是如图所示的△ABC的外接圆☉O.连接OB,OC,则∠BOC=2∠BAC=120°.过点O作OD⊥BC于点D,则∠BOD=∠BOC=60°.由垂径定理得BD=BC=cm,∴OB==(cm),故能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.19.(7,4),(6,5)或(1,4) ∵点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2),∴PA=PB==.∵点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,∴PC=PA=PB==,则点C的坐标为 (7,4),(6,5)或(1,4).20.(1)证明:由折叠可得△ADE≌△ADC,∴∠AED=∠ACD,AE=AC.∵∠ABD=∠AED,∴∠ABD=∠ACD,∴AB=AC,∴AE=AB.(3分)(2)如图,过点A作AH⊥BE于点H.∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1,∠ABE=∠AEB=∠ADB.又cos∠ADB=,∴cos∠ABE=,∴=,∴AC=AB=3.∵∠BAC=90°,AC=AB,∴BC=3.(9分)21.设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,由题易得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以S△ABC=AC·BC=(x+m)(x+n)=[x2+(m+n)x+mn]=(mn+mn)=mn.(3分)(2)证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2,根据勾股定理的逆定理,可得∠C=90°.(6分)(3)如图,过点A作AG⊥BC,垂足为点G.在Rt△ACG中,AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m), 所以BG=BC-CG=x+n-(x+m).在Rt△ABG中,根据勾股定理,得AG2+BG2=AB2,即[(x+m)]2+[x+n-(x+m)]2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以S△ABC=BC·AG=(x+n)·(x+m)=[x2+(m+n)x+mn]=(3mn+mn)=mn.(9分)22.A 如图(1),∵☉O的半径OC=2,∴边心距OD=2×sin 30°=1;如图(2),∵☉O的半径OB=2,∴边心距OE=2×sin 45°=;如图(3),∵☉O的半径OA=2,∴边心距OD=2×cos 30°=,则该三角形的三边长分别为1,,.∵12+()2=()2,∴该三角形是直角三角形,其面积为×1×=.故选A.图(1) 图(2) 图(3)23.48°连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB==72°.∵△AMN是正三角形,∴∠AOM==120°,∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.如图,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形.∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6×××1=2.模拟提升练1.B 如图,作直径AD,连接CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B,∴sin D=sin B=,在Rt△ADC中,AC=2,∴AD==3,∴☉O的直径为3.故选B.2.C ∵∠BAC与∠BOC互补,∴∠BAC+∠BOC=180°.∵∠BAC=∠BOC,∴∠BOC=120°.如图,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,则BD=CD,∠DOC=∠BOC=60°,∴DC=OC·sin60°=2×=,∴BC=2DC=2,故选C.3.30 如图,连接AC,EC.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠D==120°,AB=BC=CD=DE,∴∠BAC=∠BCA=(1 80°-∠B)=30°,同理∠CED=30°,∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=120°-30°=90°,同理∠CEF=90°.在四边形ACEF中,∠ACE=360°-90°-90°-120°=60°,∴∠APE=∠ACE=30°.4.(1)证明:如图,连接OD,OE.∵CD切☉O于点D,∴OD⊥CD.又∵AC⊥CD,∴OD∥AC.∴∠EAO=∠DOB,∠AEO=∠EOD.又∵∠EAO=∠AEO,∴∠DOB=∠EOD,∴BD=ED.(4分)(2)∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°.又∵CE=3,CD=4,∴ED=5.∵BD=ED,∴BD=5.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ACD=∠ADB.∵四边形ABDE内接于☉O,∴∠CED=∠B,∴△CDE∽△DAB,∴=,即=,解得AB=.(9分)5.(1)证明:如图,连接OM.(1分)∵MA,MC分别切☉O于点A,C,∴MA⊥OA,MC⊥OC.在Rt△MAO和Rt△MCO中,∴Rt△MAO≌Rt△MCO,∴MC=MA.(3分)∵OC=OB,∴∠2=∠B,又∵∠1+∠2=90°,∠D+∠B=90°,∴∠1=∠D,∴DM=MC,∴DM=AM. (5分)(2)①3(7分)②(9分)解法提示:①由四边形AOCM是正方形,可知CM=OA=AB=×6=3.②由△CDM为等边三角形,可知∠CMD=60°.由(1)得,Rt△MAO≌Rt△MCO,∴∠CMO=∠AMO=(180°-∠CMD)=60°,∴CM==.6.(1)证明:∵点M是OP的中点,∴OM=PM.∵PC∥AB,∴∠AOM=∠CPM.在△AOM和△CPM中,∴△AOM≌△CPM,(3分)∴PC=OA.∵OA=OB,∴PC=OB.又∵PC∥OB,∴四边形OBCP是平行四边形.(5分)(2)①120(7分)②45(9分)解法提示:①∵四边形AOCP是菱形,∴AO=AP,又∵AO=OP,∴△AOP是等边三角形,∴∠AOP=60°,∴∠BOP=120°.②∵PC∥OB,∴∠CPB=∠OBP,又∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠OPB=∠BPC.∵PC是☉O的切线,∴∠OPC=90°,∴∠ABP=∠OPB=∠OPC=×90°=45°.第三节与圆有关的计算真题分点练1.C ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠BCD+∠A=180°.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠BCD,∴2∠A+∠A=180°,∴∠A=60°,∴∠BOD=120°,∴的长为=2π.故选C.2.B 连接OE,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°-2×7 0°=40°,∴的长为=π.故选B.3.π∵∠C=55°,∴∠AOB=2∠C=110°, ∴劣弧AB的长为=π.4.根据题意可得OA1=2,A1B1=2,∴tan∠A1OB1=,∴∠A1OB1=60°,OB1=4,∴OA2=OB1=4=22,∴OB2=8,∴OA3=OB2=8=23.依此规律,可得OA2 019=22 019,∴的长是=.5.(1)连接MH,MA,则tan∠PHM==tan α,∴∠PHM=α.易得AM=MH=,AH=,∵AM2+MH2=AH2,∴△AMH是等腰直角三角形,∴∠AHM=45°,∴α+β=∠PHM+∠PHA=∠AHM=45°. (4分)(2)设MH交QN于点O,连接MR,RO,则点O是M,P,H三点所在圆的圆心,MH为☉O的直径,∴∠MRH=90°.∵∠AHM=45°,∴△MRH是等腰直角三角形,∴∠RMO=45°,RO⊥MH,∴的长度=×π=.(9分)6.6π设扇形的半径为r cm,则=3π,解得r=4,所以扇形的面积为×3π×4=6π(cm2).7.6π∵四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD.∵BE=AB=CD=6,∴AB=BE=AE,∴△ABE是等边三角形,∴∠B=60°,∴S扇形ABE==6π.8.A 由圆及正方形的对称性可知,阴影部分的面积为扇形EAF的面积减去△ABD的面积,即S2-×2×4=4π-4.故选A.阴影=S扇形EAF-S△ABD=×π×49.D 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2,AB=4.由旋转可知,S△ABC=S△ADE,∠DAE=∠CAB=30°,AE=AC=2,AD=AB=4,∠CAE=∠DAB=90°,∴S阴影部分=S扇形BAD+S△ABC-S扇形CAE-S△ADE=S扇形BAD-S扇形CAE=-=π.故选D.10.π-2如图,连接CE.∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4,CD=AB=2,∠BCD=∠ADC=90°,由旋转可知CE=BC=4,∴CE=2CD,∴∠DEC=30°,∴∠DCE=60°,由勾股定理得DE=2,∴S阴影部分=S扇形ECB'-S△CDE=-×2×2=π-2.-π∵OC⊥AB,∠A=∠BCD=30°,∴∠O=60°,=,∴BC=AC=2,△OBC是等边三角形,∴∠OCB=60°,∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,∴CD=OC=2,∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=×2×2-=2-π.12.如图,过点O'作O'M⊥OA于点M,则∠O'MA=90°,∵点O'的坐标是(1,),∴O'M=,OM=1,∵AO=2,∴AM=2-1=1,∴tan∠O'AM==,∴∠O'AM=60°,∴∠CAC'=∠OAO'=60°.∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',∴S△OAC=S△O'AC',∴S阴影部分=S扇形OAO'+S△O'AC'-S△OAC-S扇形CAC'=S扇形OAO'-S扇形CAC'=-=.模拟提升练1.D 连接OE,由题分析可知,S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD.∵四边形OCED是正方形,∴∠BOE =45°,S扇形BOE===.在Rt△OCE中,CE=OC==,∴S△OCE=OC·CE=1.又∵S扇形COD==,∴S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD=+1-=1,故选D.2.A 如图,连接BD,BD',在Rt△A'BC中,A'B=AB=,BC=1,由勾股定理得A'C=1,∴BC=A'C,∴∠A'BC=45°,∴∠ABA'=45°, ∠DBD'=45°.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=,∴S阴影=S梯形ABA'D-S扇形ABA'+S扇形DBD'-S△A'BD-S△A'BD'=(-1+)×1-+-(-1)×1-××1=--+-+=.故选A.3.5π如图,由题意可知,圆心O的运动路径为线段OO1和,即圆心O运动路径的长度为×2π×5+×2π×5=5π.由旋转可知AD=BD,∵∠ACB=90°,∴CD=BD,∵CB=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=∠CBD=60°,∴BC=AC=4,∴S阴影部分=××4×4=4.5.如图,连接OF,过点C作CH⊥OF于点H.∵OA=OB=OF=3,OC=AC,OD=BD,∴OC=,OD=1.∵F是弧AB的中点,∠COH=45°,∴CH=OH=,∴S阴影=S扇形FOB+S△COF-2S△COD=+×3×-2×××1=.6.195π由题可知,S1=π·12=π;S2=π·(32-22)=π+π;S3=π·(52-42)=π+2π;…;S20=π+19π;∴S1 +S2+S3+…+S20=5π+(1+2+3+…+19)π=195π.7.如图,连接OC,过点C作CE⊥OA于点E.∵∠AOB=90°,C为弧AB的中点,∴∠COE=45°,∴CE=OC×sin∠COE=,∴S阴影部分=S扇形AOB-S△BOD-(S扇形AOC-S△COD)=-×1×2-+×1×=.8.如图,过点O作OE⊥AC,分别交AC,半圆于点D,E,连接OC,BC,∵OD=DE=OE=OA,∴∠A=30°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=60°.∵OB=OC=2,∴△OBC是等边三角形,∴OC=BC,∴弓形OC的面积=弓形BC的面积,∴S阴影=S△OBC=×2×=.9.16 ∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,∴∠B=∠A=45°,AB=8,又∵点D是AB的中点,∴BD=AD=CD=4,S△BCD=S△ABC,∴S阴影部分=S△BCD-S扇形DBE+S扇形DCF=-+=16.10.50π如图,连接AO,BO,CO,DO.∵AB∥CD∥EF,∴S△ABE=S△AOB,S△CDF=S△COD,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形COD.连接AO并延长,交☉O于点G,连接BG,则∠ABG=90°,∴BG===16,∴BG=CD,即∠COD=∠BOG,∴S扇形COD=S扇形BOG,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形BOG=S半圆=×π×()2=50π.11.8-π如图,过点D作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB==.由旋转的性质可知,OE=OB=2,DE=EF=AB=,△DHE≌△BOA,∴DH=OB=2,S阴影部分=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF=×5×2+×2×3+-=8-π.。
圆基本性质超经典题目集锦基础加能力提升中考必备
第六章圆第一节圆的基本性质1.与圆有关的看法及性质弦、直径、弦心距、圆心角、圆周角等对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形。
注意：由于圆的对称性，因本题目会出现两种或多种答案的情况。
例 1.已知⊙ O中，半径为 5，弦 AB 与弦 CD平行，且 AB=8， CD=6，求 AB和 CD之间的距离。
例 2：已知⊙ O中有一点 P，且 OP=4，半径为 5，则过点 P的所有弦中整数弦的条数是几条？1.已知⊙ O中，直径 AB长为 10，弦 CD垂直 AB 于点 E，且 CD长为 6，求 AC的长度。
2. 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为 5 的⊙ B 与 y 轴的正半轴交于点A（ 0，1），过点 P（0，﹣7）的直线 l 与⊙ B 订交于 C，D 两点．则弦 CD长的所有可能的整数值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个垂径定理及其推论定理： ________________________________________________________________________推论： ________________________________________________________________________“知二推三”的灵便运用：①直径（半径）②直径垂直弦③直径均分弦④直径均分优弧⑤直径均分劣弧注意：熟记这五条，选择、填空可直接运用，大题解答或证明需证明才能运用。
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCO的极点 A、C 分别在 y 轴、 x 轴上，以 AB为弦的⊙ M与 x 轴相切．若点 A 的坐标为（ 0，8），则圆心 M的坐标为（）（﹣ 4，5） B （﹣ 5， 4） C （5，﹣ 4） D （4，﹣ 5） A．．．．C1. 如图，已知⊙ O的直径 AB和弦 CD订交于点 E，AE=6cm，EB=2cm，∠ BED=30°，E求 CD的长 .A BO D弦、弧、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角______________________________________________推论：“知一推二”在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中一组量相等，其余两组量分别相等。