108350_简单的绝对值不等式与二次不等式的解法(修改版)_龚光元

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第三课时：§1.3简单绝对值不等式与一元二次不等式的解法

第三课时：§1.3简单绝对值不等式与一元二次不等式的解法教学目的：①知识目标：掌握简单绝对值不等式、一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)及简单应用．②能力目标：能灵活运用“三个二次”解相关问题③情感目标：通过数形结合，学会“享受”解数学题带乐趣，感受其中的美。

教学重点、难点及其突破：重点是掌握去掉绝对值符号的方法；难点是含绝对值的不等式与其它内容的综合问题．解不等式的问题灵活性比较高，对于含有字母系数的二次不等式是一类较常见的题目，由于这类问题与相应的二次方程，二次函数关系密切，故应就二次项系数的正、负情况，判别式的情况以及根的情况加以讨论．教学方法：讲练结合高考要求及学法指导：本节内容考查方式主要有两种：一是单独考查，二是作为中间过程常与函数、不等式、三角，解析几何综合进行考查，试题以容易题和中档题为主．含绝对值的各种不等式的解法，其基本原则是去掉绝对值符号；注意分类讨论思想的运用。

知识网络：教学过程：一、知识点复习：1、一元二次不等式的标准形式是： >0或，（其中a>0）从函数观点来看，一元二次不等式(a>0)的解集是二次函数在x 轴上方的点的横坐标的集合，而一元二次方程=0(a>0)的根就是相应的一次函数与x 轴交点的横坐标．因此，要解一元二次不等式，只要先解相应的一元二次方程即可．2、一元二次不等式的解集与一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系分类列表如下（下页）：3、二次函数的解析式有三种形式：，，其中a≠0，要学会根据不同的情况合理选用． 4、二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为ab x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下，当时，二次函数的图象与x 轴有两个交点，，则a∆５、简单分式不等式的解法（1）形如)()(x g x f ＞０型：)()(x g x f ＞０)()(x g x f ⋅⇔＞０⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(x g x f2（2）形如)()(x g x f ＜０型：)()(x g x f ＜０)()(x g x f ⋅⇔＜０⎩⎨⎧<>⇔0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><⇔0)(0)(x g x f（３）形如≥０型：)()(x g x f ≥０⎩⎨⎧≠≥⋅⇔0)(0)()(x g x g x f（4）形如≤０型：)()(x g x f ≤０⎩⎨⎧≠≤⋅⇔0)(0)()(x g x g x f二、例题选讲：（一）基础知识扫描 1、不等式的解集是( )A.B.C.D. 2、设，化简______________________3、不等式的解集是______________________4、若不等式的整数解只有一个，则实数c 的取值范围是________________5、不等式的解集为)21,31(，那么a ，c 为( )A ．a=6，c=1B ．a=-6，C=-1C ．a=1，c=6D ．a=-1，C=-66、不等式的解集是_________________________________ （二）典型例题分析题型1：简单绝对值不等式的解法．例1 解不等式解 (利用等价转化)原不等式可化为或或或，原不等式的解集为本题也可以用图解法（如图）画出和的图象．如右图．解方程可得，故满足的不等式即原不等式的解集为例2 (2002年东城区模拟题)解不等式分析去掉绝对值符号是解题的指导思想，分段讨论是基本方法．解原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>+----≤421221xxx或⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤<-4212221xxx或⎩⎨⎧>-++>42122xxx即x<-1或1<x≤2或x>2。

高三一轮含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

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[拓展提升]
解形如ax2 ＋bx＋c>0的不等式时，首先
要考虑对x2 的系数进行分类．当a＝0时，这个不等式是bx
＋c>0，解的时候还要对b、c进一步分类讨论；当a≠0且
Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，其中x1、x2(x1<x2) 是方程ax2 ＋bx＋c＝0的两个根，如果a>0，则不等式的解
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∴原不等式的解集为{x|x<－1或x>1}． (2)原不等式可转化为：1<2x＋1≤3或－3≤2x＋1<－1，即0<x≤1或－2≤x<－1， ∴原不等式的解集为{x|0<x≤1或－2≤x<－1}．
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[拓展提升]
求解绝对值不等式，关键是去掉绝对值
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[例4]
设函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，
是否存在这样的实数a，使得不等式f(1－ax－x2)<f(2－a)对
于任意x∈[0,1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．
[分析]
首先利用函数单调性将抽象型函数符号去掉，
然后转化为二次不等式恒成立问题，最后转化为二次函数区间最值问题．
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4 <0 M＝x x－4 ，集合
2．已知集合
N＝{x|x2－3x＋2≥0}， ( )
则集合{x|x∉M 且 x∈N}为 A．{x|x≥4} C．{x|x≥4 或 x≤0}
B．{x|x>4} D．{x|x>4 或 x<0}

含绝对值的不等式解法一元二次不等式解法

第一讲不等式解法一、含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <>{|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> 把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解[例题精讲]例1．解关于x 的不等式|x-2|<4.解：|x-2|<4属于|x|<a (a>0)型。

∴ -4<x-2<4, 不等号各端加2，得-2<x<6。

∴不等式解集是{x|-2<x<6}例2．解不等式1<|x-2|≤7.解：由1<|x-2|≤7,∴1|2||2|7x x <-⎧⎨-≤⎩由1<|x-2| 得1<x-2或x-2<-1 即3<x 或x<1由|x-2|≤7 得-7≤x -2≤7 即-5≤x≤9∴ 3<x≤9或 -5≤x<1。

不等式解集是{x|3<x≤9或 -5≤x<1}例3．解不等式|x ＋2|＞x ＋2；解：∵当x ＋2≥0时，|x ＋2|=x ＋2，x ＋2＞x ＋2无解.当x ＋2＜0时，|x ＋2|=－(x ＋2)＞0＞x ＋2∴当x ＜－2时，｜x ＋2｜＞x ＋2∴不等式的解集为｛x ｜x ＜－2｝判别式 24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根 21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a ==- 无实根 20(0)ax bx c a ++>>的解集 1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a ≠- R 20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x << ∅ ∅例 x 分析: 首先把二次项系数变为正数, 然后再解.解: 两边都乘以-1, 得x 2-5x+6≤0∵>0,方程x 2-5x+6=0的解是x1=2 x2=3∴ 原不等式的解集是 {x|2≤x ≤3} 例5．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－21＜x ＜31，解关于x 的不等式qx 2＋px ＋1＞0．解：由已知得x 1＝－21，x 2＝31是方程x 2＋px ＋q =0的根，∴－p =－21＋31q =－21×31 p ＝61，q ＝－61，∴不等式qx 2＋px ＋1＞0 即－61x 2＋61x ＋1＞0 ∴x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为｛x ｜－2＜x ＜3｝.例6．m 是何值时, 不等式(m+1) x 2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0 (m -1)对于任何x R 都成立?分析: 由于m -1, 由此此题化为不等式(m+1) x 2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0的解集为R 需要满足什么条件? 这里只需使≤0且m+1>0即可解: ∵m -1且(m+1) x 2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0对于任何x R 都成立, 则只要满足=[-2(m-1)]2-4(m+1)3(m-1) ≤0且m+1>0即可解这个不等式得 m ≥2∴ 当m ≥2 时, 不等式(m+1) x 2-2(m-1)x+3(m-1) ≥0 (m -1) 对于任何x R 都成立.三、带参数的不等式例7．解关于x 的不等式x 2+(2-a)x-2a<0,其中a ∈R 。

第3讲一元二次不等式与绝对值不等式的解法

第3讲一元二次不等式与绝对值不等式的解法教学设计：1、一元二次方程：20ax bx c ++= (0)a ≠（1）解法：（根所在区间的讨论）（2）判别式（指定区间内根情况的判定）（3）根与系数的关系、根与函数的关系、根与不等式的关系2、二次函数：2y ax bx c =++ (0)a ≠（1）开口方向（2）顶点与对称轴（3）图象与x 轴交点（4）y 的正、负号3、一元二次不等式：（1）一般式：2200ax bx c ax bx c ++>++<或(0)a ≠（2）解法：（函数法）4、分式不等式的解集：（1）一般式：()00()f x f x g x ><（）或g(x)（2）解法：符号法则商化积⇒序轴标根法5、无理不等式的解集：（1）解题依据：0a b >>⇒n n a b >化为有理不等式组（2）常见题型及解法：22()0()0()()0()0()()()0()()0()()f x f xg x g x g x f x g x f x g x g x f x g x ⎧≥≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩⎧≥⎪<⇔≥⎨⎪<⎩或[说明]“式”化“组”是为了等价转化。

一元二次不等式与绝对值不等式的解法6、含绝对值的不等式解法(1)定义法：(2)公式法：)()()()()()()()()()()()0()0(x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x f a x a x a a x ax a a a x −<>⇔><<−⇔<−<>⇔>><<−⇔><或或例题分析：例1. 解不等式：（1）22320x x −−>（2）2362x x −+>（3）24410x x −+>（4）2230x x −+−>（5）(1)()0x x a −−< （6）(1)(1)0x ax −−>（7）(1)(1)0x x −+>（8）2(69)(1)0x x x +++> 例2. 解不等式：（1）37x x −<+（2）1204x x −≤+（3）28x x x −−≥（431>（5）7340x x +−−+>（6）42280x x −−>（7）2560x x −+<（8）500 5 x −≤（9）257x +>（10）x a b −<（11）2124x x ++−>例3. （1）求集合{013,}x x x Z <−<∈的真子集个数（2x 的集合（3）已知{}{}2,13A x x a B x x A B =−≤=−≥=Φ∩且，则实数a 的范围（4）若0a >，43x x a −+−<使不等式的解集不是空集的a 的范围例4. 已知：方程2(1)2(2)240m x m x m ++−++= ()m R ∈，求：m 为何值时，一根大于3 ,一根小于3.例5. 解关于x 的不等式（1）2220x ax a −−≤参考答案例1．解不等式：（1）解：()(21)0x x x −+> ∴解集为：122x x x ⎧⎫><−⎨⎬⎩⎭或（2）解：等价于23620x x −+<方程23620x x −+=的根为121 133x x =+=−解集为：1133x x ⎧⎪−<<+⎨⎪⎪⎩⎭（3）解：等价于2(21)0x −>解集为：12x x x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且（4）解：等价于2230x x −+<解集为：∅（5）解：①当1a >时，解集为：{}1x x a <<②当1a =时，解集为：∅③当1a <时，解集为： {}1x a x <<（6）解：①当0a =时，解集为：{}1x x <②当01a <<时，11a >，解集为：11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或③当1a =时，2(1)0x −>，解集为：{}1x x x ∈≠R 且④当1a >时，11a <，解集为：11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或⑤当0a <时，解集为：11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（7）解：200(1)(1)0(1)0x x x x x <≥⎧⎧⎨⎨+−<+>⎩⎩或∴解集为：{}11x x x <≠−且（8）解：2(3)(1)0x x ++>解集为：{}1x x >−例2．解不等式：（1）解：等价于(3)(7)0x x −+<解集为：{}73x x −<<（2）解：等价于(21)(4)040x x x −+≥⎧⎨+≠⎩∴解集为：142x x x ⎧⎫≥<−⎨⎬⎩⎭或（3）解：等价于28x x x −−≥或28x x x−−≤−即2280x x −−≥或280x −≤解集为：{}4x x x ≤≥（431>31−<−4>2<20 216x x −≥⎧∴⎨−>⎩或2024x x −≥⎧⎨−<⎩ ∴解集为：{}2618x x x ≤<>或（5）解：73410x x +−−+−>等价于①432100x x ⎧≥⎪⎨⎪−+>⎩②47420x x ⎧−≤<⎪⎨⎪++>⎩③72120x x <−⎧⎨−+>⎩解得：①的解集：4532x x ⎧⎪≤<+⎨⎪⎪⎩⎭②的解集：2443x x ⎧⎫+⎪⎪−<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭③的解集：∅ ∴原式解集2542x x ⎧⎪−<<+⎨⎪⎪⎩⎭（6）x 4－2x 2－8＞0，则（x 2－4）（x 2+2）＞0，即x 2－4＞0∴解集为（－∞，－2）∪（2，+∞）另解：设2x t =（t ＞0）则原不等式化为 t 2－2t －8＞00)2)(4(>+−t t ，∴2−<t 或4>t∵t ＞0，∴4>t ，∴x 2 ＞ 4∴解集为（－∞，－2）∪（2，+∞）（7）设t x =（0≥t ）则原不等式为t 2－5t +6＜0，即（t －2）（t －3）＜0，∴2＜t ＜3∴2＜|x |＜3，∴解集为（－3，－2）∪（2，3）（8）解：等价于55005x −≤−≤即495505x ≤≤∴解集为：{}495505x x ≤≤（9）解：等价于257x +>或257x +<− 即1x >或6x <− ∴解集为：{}16x x x ><−或（10）解：当0b ≤时，解集为∅；当0b >时，解集为{}x a b x a b −<<+（11）解：等价于121x x ⎧<−⎪⎨⎪<−⎩或1221x x ⎧−≤≤⎪⎨⎪>⎩或253x x >⎧⎪⎨>⎪⎩∴解集为：{}11x x x <−>或例3．（1）解：由013x <−<得{}241x x x −<<≠且 x Z ∈∵{}1, 0, 2, 3∴− ∴集合的真子集的个数为42115−=个（2）由题意得：302140x x ⎧−≥⎪⎨+−>⎪⎩即333522x x x −≤≤⎧⎪⎨><−⎪⎩或即533322x x x ⎧⎫−≤<−<≤⎨⎬⎩⎭或（3）解：{}22A x a x a =−≤≤+{}42B x x x =≥≤−或 A B =Φ∵∩22 24a a −>−⎧∴⎨+<⎩∴a 的取值范围是()0, 2a ∈（4）解：设()43f x x x =−+−min ()1f x =∵∵ 不等式43x x a −+−<有解1a ∴>a ∴取值范围是()1, a ∈+∞ 例4．方法一解：设2()(1)2(2)24f x m x m x m =++−++由题意可知1010(3)0(3)0m m f f +>+<⎧⎧⎨⎨<>⎩⎩或即1155m m m m >−<−⎧⎧⎨⎨<−>−⎩⎩或 m ∴的取值范围是()5, 1m ∈−−方法二解：设方程的两根分别为12, x x ，由题意可知21211004(2)4(1)(24)0(3)(3)0242(2)39011m m m m m x x m m m m ⎧⎪≠−+≠⎧⎪⎪Δ>⇔−−++>⎨⎨⎪⎪−−<+−⎩+×+<⎪++⎩解之得()5, 1m ∈−−例5．（1）解：2220x ax a −−≤即(2)()0x a x a −+≤∴12x a =，2x a =−当12x x > 即2a a >−, a ＞0时，解集为[－a ,2a ] 当12x x =即2a =－a , a =0时，原不等式为20x ≤，解集为{}0 当12x x <即2a a <−, a ＜0时，解集为[]2,a a −。

第二讲：绝对值不等式与一元二次不等式

第二讲：绝对值不等式与一元二次方程知识点回顾：1、绝对值的意义：|a|=2、绝对值不等式的解法（1）当0a >时，22||x a x a >⇔>⇔ ；22||x a x a <⇔<⇔（2）当a=0时，不等式||x a >的解集为；不等式||x a <的解集为（3）当a=0时，不等式||x a >的解集为；不等式||x a <的解集为（4）当0c >时，||ax b c +>⇔ ；||ax b c +<⇔复习韦达定理：对于方程20ax bx c ++=（0a ≠）两根为12,x x ，则有1212,b c x x x x a a+=-= 4、数轴标根法（穿针引线法、数轴穿根法）解高次不等式基本思路：将不等式化为含未知数一次因式的连乘或连除即()()()()()()()00()()()x a x b x a x b x c x d x e x c x d x e -------><><---0（）或0（），找到使得各个一次因子等于零的x 的值，将这些值按大小关系在数轴上标出，再从右上方开始画一条曲线，顺次穿过各点，数轴上方的部分标“+”即不等式 >0时的取值范围，数轴下方的部分标“-”即不等式<0时的取值范围。

注意事项：1）当为连续相乘时，可不考虑“不等式≥0（≤0）”是否可以取得使一次因子为0的值；当有除数因子存在时，必须考虑“不等式≥0（≤0）” 是否可以取得使一次因子为0的值；2）当化简的不等式里面存在同一个一次因式的多次方时，则在“穿线”时要遵循：奇穿偶不穿规则，即如果是偶数次方，则画曲线时不考虑该点，越过该点穿越下一个点，如果是奇数次方，则必须要穿过该点。

eg1:求不等式()()()()()x a x b x c x d x e ----->0（a>b>c>d>e)的解集 eg2:求不等式()()()()()x a x b x c x d x e --≤---0（a>b>c>d>e)的解集eg3:解不等式（1）2|25|7x <-≤ eg4:解不等式2(43)(21)0(1)x x x -+>-（2）22||150x x --≥eg5: 解不等式2321-->+x x eg6:求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围．eg7:已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆eg8:（2005年江西高考文）已知函数2()x f x ax b=+（a,b 为常数）， eg9:（2005年高考全国文）已知二次函数()f x 的二次项系数为且方程()120f x x -+=有两个实根123,4x x == a ，且不等式()2f x x >-的解集为（1,3）（1）求函数()f x 的解析式；（1）若方程()60f x a +=有两个相等的实根，求()f x （2）设1k >，解关于x 的不等式：(1)()2k x kf x x+-<- （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围。

含绝对值不等式及一元二次不等式精讲

含绝对值不等式及一元二次不等式精讲高考要求1.掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式.2．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法.3．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法.知识点归纳1.绝对值不等式a x <与)0(>>a a x 型不等式cb ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,；不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ；不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或.2.解一元一次不等式)0(≠>a b ax ①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0. 3.韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则240b ac ∆=-≥且⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121①两个正根，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，②两个负根，则需满足1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，③一正根和一负根，则需满足⎩⎨⎧<>∆0021x x 4.一元二次不等式的解法步骤对于一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或，设相应的一元二次方程()200ax bx c a ++=>的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决.注意：含参数的不等式ax 2＋bx ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况. 典型范例例1 解不等式（1）923<-≤x ；（2）x x 2143+>-.解：（1）原不等式化为：⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-117519232x x x x x 或. }115,17{<≤-≤<-∴x x x 或原不等式的解为：.（2）原不等式化为⎩⎨⎧->-<-⎩⎨⎧->-≥-xx x x x x 21340432143043或解得 535<>x x 或. }5,53{><∴x x x 或不等式的解集为：. 例2 解不等式46522-<+-x x x .解：（1）当042≤-x 时，不等式的解集为∅.（2）当042≤-x 即22>-<x x 或时，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>><⇔⎩⎨⎧<+->+-⇔-<+-<--222101050252465)4(2222x x x x x x x x x x 或. 综上所述，原不等式的解集为}2{>x x .例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1.分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）①当1-<x 时，01,03<+<-x x∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x .②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}321|{<<x x .③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x . 综上，原不等式的解集为}21|{>x x .也可以这样写：解：原不等式等价于①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x 或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ，解①的解集为φ，②的解集为{x|21<x<3}，③的解集为{x|x ≥3}, ∴原不等式的解集为{x|x>21}. 方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点.∴原不等式的解集为{x|x>21}. 例4 已知不等式210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为.a b 求、的值.解：由题意可知 0<a 且－5和1是方程012=++bx ax 的两根.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=-∴54515141)5(b a a a b故b a ,的值分别为54,51--. 例5解关于x 的不等式)(,)]1([)1(222b a x b ax x b x a ≠-+≥-+解：原不等式化为222222222()()2()()()0()0001a b x b a b x a b bx ba b x x a b a b x x x -+≥-+-+⇒--≤≠∴->∴-≤≤≤则{01}x x ≤≤故原不等式的解集为.例6 若不等式13642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 解：∵13642222<++++x x k kx x ⇔013642222<-++++x x k kx x ⇔03643)3(2222>++-+--x x k x k x ⇔ 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立.∴∆=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0⇔k2-4k+3<0⇔1<k<3.∴k 的取值范围是（1，3）.逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分. 例7 已知方程2(k+1)2x +4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围. 解：要原方程有两个负实根，必须: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+≥∆≠+0000)1(22121x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤--≠⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-<+-≤-+≠+132101210)1(2230)1(2402012k k k k k k k k k k k k k 或或13212<<-<<-⇔k k 或.∴实数k 的取值范围是{k|-2<k<-1或32<k<1}. 小结1.含绝对值不等式的解法：解含绝对值不等式，既要明确不等式的基本性质，又要根据绝对值的代数及几何意义，去掉绝对值符号，将其转化为一般的不等式（组）来解.2.一元二次不等式的解法：将一元二次不等式与相应的一元二次方程和二次函数结合起来，主要是根据二次函数的图像来解二次方程.如果不等式的系数含有字母，则应该根据情况予以讨论，如开口方向，两根的大小等等，这是数学中的分类讨论思想.。

一元二次不等式、绝对值不等式的解法、含参一元二次不等式的求解策略

一元二次不等式、绝对值不等式的解法一、含绝对值不等式的解法另：（1）()ax b c c +><或只需把绝对值内看做一个整体（2）()ax b cx d cx d +>+<+或不需要讨论即ax b cx d ax b cx d ⇔+>++<+或())cx d ax b cx d +<+<+或-( 2. 平方法3. 零点分段法（解决含多个绝对值的不等式）4. 数形结合法（构造函数作图）5. 利用绝对值的几何意义（x a x -表示数轴上的点到点a 的距离）配套例题1.122x <-≤2.232x x ->3.1x x <+4.25423x x x +--<+5.a R ∈，若43x x a R -+->在上恒成立，求a 的范围. 变式：0a >，若43x x a R -+-<在上解集非空，求a 的范围. 变式：12x x a R a +-->在上恒成立，求范围. 变式：12x x a R a +--<在上解集非空，求范围.注：第3题可采用平方法以及利用绝对值的几何意义第4题可采用零点分段法以及数形结合法第5题可利用绝对值的几何意义以及数形结合法1.(1)1(0)()3(0)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，解不等式2(1)f x x +≥ (2)解不等式22150x x --≥2.解不等式22230m x mx +-< 练习：2(21)20ax a x -++<3.不等式210ax ax --<解集为R ，求a 的范围.变式：不等式210ax ax --<有解，求a 的范围.4.不等式20ax bx c ++>解集为{|34}x x <<，求不等式20ax bx c -+<的解集. 练习：1.20ax bx c ++>的解集为()1,3，解不等式20bx ax c ++<.含参一元二次不等式的求解策略含参一元二次不等式是同学们学习上的一个难点，为帮助同学们突破这一难点，现介绍几种常用的求解策略。

简单的绝对值不等式的解法

△＝0
△＜0
y
y=f(x)的图象 O
x1 x2
y x
O
x x＝－b／2a 练习
回封页
填表
简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在△＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。 △＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 △＞0
到例3
练习2
练习3
到表思考题
课堂小结
练习3、年高考题)设练习、 (1998年高考题设a≠b，解关于的不等式：年高考题，解关于x 的不等式：
a2x+b2(1－x）≥［a x＋b（1－x）］2 。－）［＋（－）］
解：∴ a2x+b2(1－x)≥［a x＋b(1－x)］2 －［＋－］
分析: 分析:
的解集究竟是什么？集合 B 的解集究竟是什么？还是［如何处理？是［2，3m+1]还是［3m+1,2]?如何处理？，还是如何处理要A ⊆ B，又如何处理？，又如何处理？
到例2
课堂小结
?
可解集合 A＝[2m , m2+1] B＝｛｜(x－2)[x －(3m+1)]≤0，x∈R｝＝｛x｜－＝｛， ∈ ｝
｜＜＜｝ A∪B＝｛x｜x(x－2) ＜0｝，则A∪B＝｛x｜0＜x＜2｝｜－｝。
反馈练习
练习2、若不等式ax 练习、若不等式 2+bx+2＞0的解集为＞的解集为
｛x｜－／2＜x＜1／3｝，则a＝－12 ，b＝－2 。｜－1／＜＜／｝，｝，则｜－＝年高考题)设练习3、年高考题，解关于x 的不等式：练习、 (1998年高考题设a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1－x）≥［a x＋b（1－x）］2 。－）［＋（－）］

含绝对值不等式与一元二次不等式的解法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

解下列绝对值不等式： (1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋1|＋|x－2|>4.
解析：
[变式训练] 1.已知一次函数f(x)＝ax－2. (1)当a＝3时，解不等式|f(x)|<4. (2)解有关x旳不等式|f(x)|<4. 解析： (1)若a＝3，则f(x)＝3x－2. ∴|f(x)|<4 |3x－2|<4 －4<3x－2<4
解析： (1)∵Δ＝42－4×2×3＝16－24＝－8<0. ∴方程2x2＋4x＋3＝0没有实根．
解析： (1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为3>0，
此类问题主要是将一元二次方程旳根，一元二次不等式旳解集以及二次函数旳图象结合起来，来处理问题．即一元二次方程根旳分布转化为一元二次不等式求解，一元二次不等式转化为二次函数旳值域问题来求解．
1．不等式|x－4|＋1>0旳解集是( )
A．{x|x>5或x<3}
B．{x|3<x<4}
C．R
D．
答案： C
2．不等式3＋2x－x2>0旳解集为( )
A．{x|－1<x<3} B．{x|x<－1，或x>3}
C．{x|－3<x<1} D．{x|x<－3，或x>1}
解析： 3＋2x－x2>0 x2－2x－3<0 (x＋1)(x－3)<0 －1<x<3.
3．解含参数旳一元二次不等式环节： (1)二次项若具有参数应讨论是等于0、不不小于0、还是不小于0，然后将不等式转化为二次项系数为正旳形式． (2)判断方程旳根旳个数，讨论鉴别式Δ与0旳关系． (3)拟定无根时可直接写出解集，拟定方程有两个根时，要讨论两根旳大小关系，从而拟定解集旳形式．

【龙门亮剑】高三数学一轮复习第一章第二节绝对值不等式与一元二次不等式课件理(全国版)

第二十三页，编辑于星期五：五点十七分。
一元二次不等式的解法步骤 (1)将二次项系数化为正数； (2)看判别式Δ的符号； (3)求出相应一元二次方程的根(假设根存在)； (4)根据二次函数图象、一元二次方程的根与不等式解集的关系，结合不等号定解集．
第二十四页，编辑于星期五：五点十七分。
(1)常通过因式分解合并上述第(1)、(2)两步． (2)当解含有参数的二次不等式问题时，一定要注意二次项的系数是否含有待定字母(或含有字母的因式)，假设有就要分二次项的系数是否为零进行讨论．
第十七页，编辑于星期五：五点十七分。
解含有绝对值的不等式的根本思想是化归思想，即化为不含有绝对值的不等式． |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，(g(x)>0) |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)，这两种转化可防止对g(x)正负的讨论，当然讨论g(x)正负也可去掉绝对值．利用|x－a|的几何意义(x点到a点的距离)，可简便处理|x－a|±|x－b|>(或<)c类绝对值不等式问题；处理含有多个绝对值不等式的根本方法是根据各个绝对值的零点分段去掉绝对值，把问题转化为不含绝对值问题，方法二就是这样处理的．
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可以看出|xA+1|-|xA-2|=-3， -3<|xB+1|-|xB-2|<3， |xC+1|-|xC-2|=3，由此可知，对任意实数x，都有-3≤|x+1|-|x-2|≤3. 因此，对任意实数x，|x+1|-|x-2|>k恒成立，那么k<-3.
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