二元函数的积分中值定理的探究

目录

摘要................................................................................ I 关键词.............................................................................. I Abstract ........................................................................... II Key words .......................................................................... II 前言.. (1)

1预备知识 (1)

1.1相关定理 (1)

2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2)

2.1 曲线积分中值定理的推广 (2)

2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2)

2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4)

2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5)

2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7)

2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7)

2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7)

结论 (9)

参考文献 (10)

致谢 (11)

摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式.

关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理

Study on mean-value theorems for Riemann-Stieltjes integrals of

functions of two variables

Abstract: Mean-value theorems for integrals are one of theorems in mathematical analysis. In this paper mean-value theorem for Riemann-Stieltjes integrals of functions of two variables are discussed. We obtain all kinds of mean-value theorems for integrals which include curvilinear, multiple and surface integrals. Finally, the proofs of mean-value theorems are given.

Key word s: mean-value theorem integral; second mean-value theorems; curvilinear integral; multiple integrals; surface integrals

二元函数的积分中值定理的探究

前言

积分中值定理是微积分中的一个重要定理，主要包含一元函数及多元函数的积分中值定理，它在数学分析中占有很重要的地位.但是许多文献，对于多元函数的曲线积分、曲面积分、重积分的中值定理的探究相对较少或相对浅略.基于这个理由，我们将借鉴一元函数的第一、第二积分中值定理的研究方法及思想，在文献[1-6]的基础上，主要讨论二元函数的积分中值定理在曲线、曲面、重积分情形上是否成立，通过研究该课题，进一步完善积分中值定理的相关理论.

1预备知识

1.1相关定理

定理1

[5]

假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，且()f x 在区间

[,]a b 上可积，则有

()()()b

a

m b a f x dx M b a -≤≤-⎰ ()a b <

成立. 定理2

[5]

(一元函数的介值性定理 ) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续.并且函数()f a 与

()f b 函数不相等.如果μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数()()f a f b μ<<或()()f a f b μ>>，则至少存在一点0x ，使得

0()f x μ=

成立，其中0(,)x a b ∈. 定理3

[5]

(二元函数的介值性定理)设函数f 在区域2

D R ⊂上连续，若12,P P 为

D 中任意两点，且12()()f P f P <，则对任何满足不等式

12()()f P f P μ<<

的实数μ，必存在点0p D ∈，使得0()f P μ=.

定理4]

3[（定积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式

()()()b

a

f x dx f b a ξ=-⎰

()a b ξ≤≤

成立.

定理5

]

3[（推广的第一积分中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上

不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰ ()a b ξ≤≤

成立. 定理6

]

3[（积分第二中值定理）如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上

单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立

()()()()()()b

b

a

a

f x

g x dx g a f x dx g b f x dx ξξ

=+⎰

⎰⎰

定义1

[6]

设平面光滑曲线L :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈，两端点为((),())A x y αα和

((),())B x y ββ.若()x t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标x 是无反向的. 若()y t 在[,]αβ上不变号，称曲线L 关于坐标y 是无反向的.

2 多元函数积分中值定理的各种形式

受文献[1],文献[2]的启发，本文主要对曲线积分的三种形式，二重积分及曲面积分的三种形式的中值定理进行探讨.

2.1 曲线积分中值定理的推广

首先对曲线积分中值定理进行探讨，在本文中只讨论曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈为参数方程的情形，而对于曲线C 为直角坐标形式及其它形式的积分中值定理类似地可得到. 2.1.1（第一型曲线积分中值定理）

定理7 如果函数(,)f x y 在光滑有界曲线C :(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη.使

(,)(,)C

f x y ds f S ξη=⎰

成立，其中C

ds ⎰为曲线C 的弧长，并且C

ds S =⎰.

证明 因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以

22(,)((),())()()C

f x y ds f x t y t x t y t dt β

α

''=+⎰

⎰

记 22()((),()),()()()F t f x t y t G t x t y t ''==

+

由已知条件知()F t 在[,]αβ上连续，()G t 在[,]αβ上连续且非负，则根据推广的第一积分中值定理，

0[,]t αβ∃∈，00(,)((),())x t y t ξη=使

22

22(,)((),())()()(,)()()(,)C

f x y ds f x t y t x t y t dt f x t y t dt f S β

β

α

α

ξηξη''''=+=+=⎰

⎰⎰

成

立.

即

(,)(,)C

f x y ds f S ξη=⎰

从而命题得证.

在数学分析等文献中仅仅阐述了定理7，而对两个函数乘积的曲线积分中值定理未提到，下面我们将对其探究证明,并进行推广.