2017九年级数学方程及其应用.doc

2017九年级数学方程及其应用.doc三、方程（组）及其应用郭福林苏州市相城实验中学【课标要求】(1) 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．(2) 会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）、简单的三元一次方程组、二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）．(3) 理解配方法，会用因式分解法、十字相乘法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．(4) 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．(5) 掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用．(6) 能根据具体问题中的数量关系，列出方程（组），解决简单问题．【课时分布】方程（组）部分在第一轮复习时大约需要6个课时．下表为内容及课时安排（仅供参考）： 课时数内 容1一元一次方程、二元一次方程组、简单的三元一次方程组 1一元二次方程的解法、二元二次方程组 1分式方程 1一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系 2方程（组）的应用 方程（组）单元测试与评析 【知识回顾】1、知识脉络方程（组）的应用二元二次实际方 程一元一二元一次三元一一元二二元二分 式 方 二元一三元一2、基础知识方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程．能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做根．求方程的解的过程叫做解方程．一元一次方程①只含有一个未知数，且未知项的次数是1的整式方程叫做一元一次方程，它的标准形式是()0ax．+ab0≠=②一元一次方程的解法．二元一次方程（组）①含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．②由几个方程所组成的一组方程叫做方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．求方程组的解的过程叫做解方程组．③含有两个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组．④二元一次方程组的解法．其基本思想是消元．其基本方法是代入消元法和加减消元法．三元一次方程（组）①含有三个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程．②含有三个未知数，且未知项的次数都是1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组．③三元一次方程组的解法．其基本思想仍是消元．其基本方法仍是代入法和加减法．一元二次方程①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )，其中bx ax ,2分别叫做二次项，一次项；c b a ,,分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项．②一元二次方程的解法.其基本思想是降次．其常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法．③一元二次方程02=++c bx ax(c b a ,,是已知数，0≠a )的根的判别式（ac b42-=∆）： (ⅰ)当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(ⅱ)当0=∆时，一元二次方程有两个相等的实数根；(ⅲ)当0<∆时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立．④一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程02=++c bx ax(c b a ,,是已知数，0≠a )的两根为1x 、2x ，则a c x x a b x x =⋅-=+2121,．二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）①含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组．②二元二次方程组的解法．其基本思想是消元、降次．其方法主要是代入消元法．分式方程①分母中含有未知数的方程叫做分式方程．②分式方程的解法．其基本思想是将分式方程转化为整式方程．其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根．列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未知数；④列出方程（组）；⑤解方程（组）；⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句．3、能力要求例1 解二元一次方程组和三元一次方程组：（1）⎩⎨⎧=+=+;134,1632y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=++.1232,72,1323z y x z y x z y x 【分析】(1)因为方程②中的x 的系数为1，所以应① ①②③把方程②变形为y x 413-=，然后把它代入方程①求出y 后再求x 即可．（2）三个未知数的系数中最简单的系数是z的系数，故考虑先消去z ，而消去z 的方法有①+③；②+③×2；①×2－②，我们选择①+③和②+③×2，消去同一个未知数z ，就可以得到关于x 与y 的二元一次方程组，然后解此二元一次方程组．【解】(1) 由②，得.413y x -= ③将③代入①,得 (),1634132=+-y y 即.105-=-y.2=∴y ④ 将④代入③,得 .5=x所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.2,5y x （2）①+③，得,2555=+y x 即 .5=+y x ④ ②+③×2，得 .3175=+y x ⑤④与⑤组成方程组，⎩⎨⎧=+=+.3175,5y x y x 解这个方程组得 ⎩⎨⎧==.3,2y x把2=x ，3=y 代入①，得 .133223=+⨯+⨯z.1=∴z所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧===.1,3,2z y x 【说明】本题主要考查学生的计算能力．教师在复习时要加强计算能力的培养，为解决综合题中的计算打好基础．该题体现了化归思想方法．请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组，并进行比较．例2 解一元二次方程和二元二次方程组：（1）;0132=-+x x（2）()();02≠-=-a b ax b ax （3）⎩⎨⎧=--=-+-.012,011622y x y y x 【分析】（1）解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法．本题通过尝试，选用公式法较为适宜．（2）该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以ax b -，否则，方程将失根．（3）题中方程②是二元一次方程，把它变形为21x y =+，并把它代入方程①，可得到关于y 的一①②元二次方程．【解】(1) ∵原方程中,1=a ,3=b ,1-=c(),013114942>=-⨯⨯-=-=∆ac b ,2133242±-=-±-=a ac b b x1313,2x -+∴= .21332--=x（2）移项，提取公因式，得()().01=---b ax b ax 0=-∴b ax 或.01=--b ax,0≠a Θ,1a b x =∴.12a b x +=(3) 由②，得.12+=y x ③ 把③代入①，得 (),01161222=-+-+y y y 即.09102=+-y y 解之得 ,91=y .12=y 当91=y时，;191=x当12=y 时，.32=x 所以原方程组的解是⎩⎨⎧==,9,1911yx ⎩⎨⎧==.1,322y x 【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计算能力；该题不但考查了数学的转化（消元、降次）思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：求抛物线与x 轴的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标等问题．例3 解分式方程：（1）;32121---=-xx x （2）.113162=---x x 【分析】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数x 降幂排列，（1）的最简公分母是()2x -，（2）的最简公分母是()()11x x +-．分式方程可转化为一元一次方程或一元二次方程．【解】（1）原方程变形为.32121---=-x x x 方程两边同乘以最简公分母()2x -，约去分母，得 ().2311---=x x解这个方程得 .2=x检验：把2=x 代入最简公分母，得.02=-x∴2=x 是原方程的增根．所以原方程无解．（2）原方程变形为()().113116=---+x x x 方程两边同乘以最简公分母()()11-+x x ，约去分母，得 ()()().11136-+=+-x x x整理得 .0432=-+x x解这个方程得 ,41-=x .12=x经检验，41-=x 是原方程的根；12=x 是原方程的增根．所以原方程的根是4-=x ．【说明】解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验．值得注意的是在去分母时不要遗漏没有分母的项．该题考查了化归思想，教学时应将这种数学思想渗透给学生．例4已知：是关于的方程的两个实数根，且，求的值．【分析】题中有条件：是方程的两根；对此条件的联想：根的定义，根的判别式，根与系数的关系等；题中要求的值，应列出关于的关系式．【解】因是关于的方程的两个实数根， 故.2345322121m x x m x x -=⋅-=+，,023,2322121≤-=⋅=m x x x x Θ .2321-=∴x x设，，k x k x 2321=-=所以 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+-.2323,453232m k k m k k整理得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.4,43522m k m k 解之得 当5121==m m ，时，△分别都大于.0∴m 的值1或5【说明】本题考查的知识点是根的判别式，根与系数的关系，及绝对值的概念，解方程及方程组．教学时要求学生运用消元思想合理消去未知数，重视学生联想能力的培养．例5 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共92人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够90人），•准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上每套服 60元 50元 40元装的价格如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5000元．（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（3）如果甲校有10名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．【分析】（1）由于甲、乙两校联合起来购买92套服装，因此每套服装的价格为40元．（2）由于甲、乙两校共92人，甲校人数多于乙校人数，因此甲校人数多于46人；又由于甲校人数不够90人，因此甲校应按每套50元购买，乙校应按每套60元购买．（3）利用（2）的结果分别讨论各自购买和联合购买的服装款；由于91×40＜90×50，即按每套40元购买时的服装款有可能比按每套50元购买时的服装款少，因此，还需与按每套40元购买时的服装款比较．【解】（1）由题意得5000－92×40=5000－3680=1320（元）即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可省1320元．（2）设甲、乙两所学校分别有x 名，y 名学生准备参加演出由题意得：⎩⎨⎧=+=+5000605092y x y x 解得：⎩⎨⎧==4052y x 答：甲、乙两所学校分别有52名，40名学生准备参加演出．（3）因为甲校有10人不能参加演出，所以甲校有52－10=42人参加演出若两校各自购买服装，则需要42×60+40×60=4920（元）；若两校联合起来购买服装，则需要50×（42+40）=4100（元），此时比各自购买服装可以节约4920－4100=820（元）；但如果两校联合购买91套服装只需40×91=3640（元），此时又比联合购买每套50元的服装可节约4100—3640=460（元）所以最省钱的买服装方案是两校联合购买91套服装（即比实际人数多购买9套）．【说明】本题属于代数信息型开放题，考查学生对实际问题的分析、抽象、概括和计算能力；解题的关键是要从题目中所提供的信息，找出等量关系，建立方程或方程组．要求学生具备分类讨论思想和数学建模（方程（组））思想．例6 已知：如图，矩形ABCD中，AD=a，DC=b．在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE= x．问：这样的点E 是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由．【分析】要使Rt△ADE, Rt△BEC, △ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC=90°,为此，可设在AB上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽ Rt △BEC即可解决．【解】依题意，要使分成的三个三角形相似，则∠AED+∠BEC=90°，而∠BEC+∠ECB=90°， 即∠AED=∠ECB ，则△ADE ∽△BEC ∴,BE AD BC AE =∴x b a a x -= 整理得：,022=+-a bx x()()a b a b ac b 2242-+=-=∆ 而,02>+a b 当02<-a b 即a b 2<时，,0<∆方程无实数解，即符合条件的点E 不存在．当02=-a b 即a b 2=时，,0=∆方程有两个相等的实数解，即点E 存在，且只有一个，是AB 的中点．当02>-a b 即a b 2>时，,0>∆方程有两个不相等的实数解，24222,1a b b x -±=都符合题意，即存在两个点满足条件．【说明】本题是数形结合型题目．在解决很多几何题目时，常常用到一元二次方程的有关知识来做．解决此类型题目的关键在于把“形”的条件转化为“数”的条件，通过解决“数”的问题来达到解决“形”的问题的目的；同时，还要注意分类讨论思想的运用．本题也可用与圆有关的知DCA E B识解答．【复习建议】1、立足教材，打好基础，通过复习使学生提高计算能力，掌握方程（组）的基本知识，基本方法，基本技能．2、注重实践操作依托思想理论的意识渗透．3、重视情景（信息）问题的分析，增强学生的情景分析或信息提取能力，增强学生用数学知识解决情景问题能力即建模能力．4、提高方程（组），不等式，函数，直角三角形，相似三角形等知识的综合运用能力，力争做到相互联系，融会贯通．5、重视与社会发展相适应的一些实际问题，增强用数学的意识．。