初中数学共圆问题考点与-常考难题和培优提高练习学习压轴题(含解析~)

初中数学共圆问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)

问题探究：

一个班级的学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？

四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：

（1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；

（2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题

下面给出与四点共圆有关的一些基本知识

（1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；

（2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；

（3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；

（4） 若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆；

（5） 若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =，则A B C D 、、、四点共圆；

（6） 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =，则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。

1．如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ，量得OM=8cm ，ON=6cm ，则该圆玻璃镜的半径是（ ）

A ．cm

B ．5cm

C ．6cm

D ．10cm

2．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆．

3．如图，若AD 、BE 为△ABC 的两条角平分线，I 为内心，若C ，D ，I ，E 四点共圆，且DE=1，则ID= ．

4．如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是∠A ，∠B 的角平分线，O 是AD 与BE 的交点，若C ，D ，O ，E 四点共圆，DE=3，则△ODE 的内切圆半径为 ．

5．如图，已知A ，B ，C ，D 四点共圆，且AC=BC ．求证：DC 平分∠BDE ．

6．如图，BD ，AH 分别是△ABC 的高，求证：A 、B 、H 、D 四点共圆．

7．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，求证：A ，B ，C ，D 四个顶点共圆．

8．如图，四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，点E 为AC 的中点，则A ，B ，C ，D 四点共圆吗？

9．如图所示，I 为△ABC 的内心，求证：△BIC 的外心O 与A 、B 、C 四点共圆．

10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ．求证：B 、E 、F 、C 四点共圆．

11．O 和H 分别是△ABC 的外心和垂心，若∠BAC=60°，求证：B 、0、H 、C 的共圆．

12．如图，AB为⊙O直径，BF⊥AB，E为BF上一点，AE和AF交⊙O于C和D，求证：C、D、F、E四点共圆．

13．如图，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆．

14．如图，点F是△ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆．

15．如图，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是△ABC 的外心，证明C，E，O，F四点共圆．

16．设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD、AE边于点F、G，且AB=AC，求证：F、D、E、G四点共圆．

参考答案

1．（2016•常州）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）

A．cm B．5cm C．6cm D．10cm

【解答】解：如图，连接MN，∵∠O=90°，∴MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm，

∴MN===10（cm）．∴该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm．故选：B．2．（2006•黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定5个不同的圆．

【解答】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．

3．如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=．

【解答】解：连接CI，∵AD、BE为△ABC的两条角平分线，

∴∠BAI=∠BAC，∠IBA=∠ABC，∵∠AIB=180°﹣∠BAI﹣∠IBA，

∴∠AIB=180°﹣（∠CAB+∠CBA），又∵∠ABC+∠CBA+∠ACB=180°，

∴∠AIB=90°+∠C，∵C，D，I，E四点共圆，∴∠EID+∠ACB=180°，

又∵∠AIB=∠EID，∴90°+∠C+∠C=180°，∴∠ACB=60°，

∵I为内心，∴∠ICD=30°，∵DE=1，∴=2R，

∴R=，∴，∴ID=，故答案为：．

4．（2005•温州校级自主招生）如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE 的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为3﹣．

【解答】解：作OF⊥ED于点F，∵AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，

∴∠AOB=90°+∠C，CO平分∠ACB，又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，

∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，又∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE=30°，