全称量词与特称量词(整理)
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（1）有的平行四边形是菱形
（2）有一个素数不是奇数 （1）（2）都是特称命题
短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑 中通常叫做存在量词，并用符号“”表示， 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
例如，命题： 2 存在一个实数 x , x 2 x 3 0 . 2 符号表示为: x , x 2 x 3 0 .
例1：判定全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数 （2） x∈R, x2+1≥1
（3）对每个无理数x，x2也是无理数
要判定全称命题“
x∈M,
p(x) ”是真命题， 证明p(x)成立；
需要对集合M中每个元素x,
如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立， 那么这个全称命题就是假命题
Leabharlann Baidu 探究二
符号： x∈M，p(x) 例如：存在一个x∈R，使2x+1=3 用符号表示为: x∈R，2x+1=3
判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题 还是特称命题,并用符号" " 或 " "来表示 (1)有一个向量a，a的方向不能确定． (2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有解． (4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗? 解答(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题， (3)是全称命题．(4)不是命题．
问题:命题 p“面积相等的三角形是全等三角 形”的否定形式p 为“面积相等的三角形不 是全等三角形”对吗？若不对，请写出p.
命题p可改写为：“任意两个面积相等的 三角形全等。”
答：它的否定应为 “存在两个面积相等的三 角形不全等。 ”
§1.4全称量词与存在量词
探究一
下列语句是否是命题？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ （1）x>3 不是命题
例如，命题： 2 2 b 对任意的 a 、 R ， a b ≥ 2 ab . 2 2 b 符号表示为: a 、 R , a b ≥ 2 ab .
判定命题是否为全称命题？
（1）对任意的n∈Z,
2n+1 是奇数
（2）所有的正方形都是矩形 (3)自然数的平方是正数 一般地，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)„.. 表示,x的取值范围用M表示。 全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” p(x) 读作：对任意x属于M，有p(x)成立 符号简记为： x∈M,
下列语句是否是命题？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ （1）2x+1=3 （2）x能被2和3整除 （3）存在一个x∈R, 使得2x+1=3 （4）至少有一个x∈Z, x能被2和3整除 (1),(2)不是命题，但是(3),(4)是陈述句，并且能判定真假， 所以(3)(4)是命题
类于（3）（4）中的短语“存在一个”“至少 有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有 的”“存在着”等，在逻辑中通常叫做存在量 词号表示： 符 含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为： x∈R , p(x) 读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立” 判定命题是否为特称命题？
能力提升
假
假
真
真
假
注:⑴判断特称命题为真,只要找一个例子即可; ⑵判断全称命题为假,只要找一个反例即可; ⑶证明全称命题为真,要证明所有的都成立.
本章小结：
全称量词与全称命题
“一切”、 1 全称量词： 短语“所有的”、 “任意一个”、 “每一个”等， 符号： “任给”、 全称命题：含有全称量词的命题，
全称命题的形式：“对M中任意一个x，有p(x)成立 符号： x∈M，p(x) 例如：对任意一个x∈Z， 2x+1是整数. 用符号表示为: x∈Z, 2x+1 ∈Z
存在量词与特称命题
2 存在量词：短语“存在一个”、 “至少有一个”、 “有些”、 “对某个”等， 符号： 特称命题：含有存在量词的命题
特称命题的形式：“存在M中的元素x，使p(x)成立
（2）面积相等的三角形是全等三角形
（3）对所有的 x∈R, x>3 是命题
不是命题
（4）对任意一对面积相等的三角形是全等三角形 是命题 类于（3）（4）中的短语“所有的”“任意一个”“任意 的”“一切的”“每一个”“任给”等，在逻辑中通常叫做全 称量词 符号表示：
含有全称量词的命题，叫做全称命题
短语“所有的” “任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词，并用符号“”表示， 含有全称量词的命题，叫做全称命题。
判定特称命题的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线
（3）有些整数只有两个正因数
要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题， 只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立 即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不 存在，则特称命题是假命题
注意： (1)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题
(2)一个全称命题，可以包含多个变数，例如
x R , y R , ( x y )( x y ) 0
练习1： 用全称量词表示下列词句．并用量词符号“ ”表示 (1)抛物线与x轴都有两个交点． (2)三角函数都是周期函数． (3)菱形的对角线垂直且互相平分 (4)x2+x+1>0 (1)所有的抛物线与x轴都有两个交点 (2)一切的三角函数都是周期函数． (3)任何菱形的对角线垂直且互相平分． (4)对于任意实数x，都有x2+x+1>0．
（2）有一个素数不是奇数 （1）（2）都是特称命题
短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑 中通常叫做存在量词，并用符号“”表示， 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
例如，命题： 2 存在一个实数 x , x 2 x 3 0 . 2 符号表示为: x , x 2 x 3 0 .
例1：判定全称命题的真假：
（1）所有的素数是奇数 （2） x∈R, x2+1≥1
（3）对每个无理数x，x2也是无理数
要判定全称命题“
x∈M,
p(x) ”是真命题， 证明p(x)成立；
需要对集合M中每个元素x,
如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立， 那么这个全称命题就是假命题
Leabharlann Baidu 探究二
符号： x∈M，p(x) 例如：存在一个x∈R，使2x+1=3 用符号表示为: x∈R，2x+1=3
判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题 还是特称命题,并用符号" " 或 " "来表示 (1)有一个向量a，a的方向不能确定． (2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有解． (4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗? 解答(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题， (3)是全称命题．(4)不是命题．
问题:命题 p“面积相等的三角形是全等三角 形”的否定形式p 为“面积相等的三角形不 是全等三角形”对吗？若不对，请写出p.
命题p可改写为：“任意两个面积相等的 三角形全等。”
答：它的否定应为 “存在两个面积相等的三 角形不全等。 ”
§1.4全称量词与存在量词
探究一
下列语句是否是命题？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ （1）x>3 不是命题
例如，命题： 2 2 b 对任意的 a 、 R ， a b ≥ 2 ab . 2 2 b 符号表示为: a 、 R , a b ≥ 2 ab .
判定命题是否为全称命题？
（1）对任意的n∈Z,
2n+1 是奇数
（2）所有的正方形都是矩形 (3)自然数的平方是正数 一般地，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)„.. 表示,x的取值范围用M表示。 全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” p(x) 读作：对任意x属于M，有p(x)成立 符号简记为： x∈M,
下列语句是否是命题？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？ （1）2x+1=3 （2）x能被2和3整除 （3）存在一个x∈R, 使得2x+1=3 （4）至少有一个x∈Z, x能被2和3整除 (1),(2)不是命题，但是(3),(4)是陈述句，并且能判定真假， 所以(3)(4)是命题
类于（3）（4）中的短语“存在一个”“至少 有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有 的”“存在着”等，在逻辑中通常叫做存在量 词号表示： 符 含有存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为： x∈R , p(x) 读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立” 判定命题是否为特称命题？
能力提升
假
假
真
真
假
注:⑴判断特称命题为真,只要找一个例子即可; ⑵判断全称命题为假,只要找一个反例即可; ⑶证明全称命题为真,要证明所有的都成立.
本章小结：
全称量词与全称命题
“一切”、 1 全称量词： 短语“所有的”、 “任意一个”、 “每一个”等， 符号： “任给”、 全称命题：含有全称量词的命题，
全称命题的形式：“对M中任意一个x，有p(x)成立 符号： x∈M，p(x) 例如：对任意一个x∈Z， 2x+1是整数. 用符号表示为: x∈Z, 2x+1 ∈Z
存在量词与特称命题
2 存在量词：短语“存在一个”、 “至少有一个”、 “有些”、 “对某个”等， 符号： 特称命题：含有存在量词的命题
特称命题的形式：“存在M中的元素x，使p(x)成立
（2）面积相等的三角形是全等三角形
（3）对所有的 x∈R, x>3 是命题
不是命题
（4）对任意一对面积相等的三角形是全等三角形 是命题 类于（3）（4）中的短语“所有的”“任意一个”“任意 的”“一切的”“每一个”“任给”等，在逻辑中通常叫做全 称量词 符号表示：
含有全称量词的命题，叫做全称命题
短语“所有的” “任意一个”在逻辑中 通常叫做全称量词，并用符号“”表示， 含有全称量词的命题，叫做全称命题。
判定特称命题的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0
（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线
（3）有些整数只有两个正因数
要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题， 只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立 即可，如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不 存在，则特称命题是假命题
注意： (1)全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题
(2)一个全称命题，可以包含多个变数，例如
x R , y R , ( x y )( x y ) 0
练习1： 用全称量词表示下列词句．并用量词符号“ ”表示 (1)抛物线与x轴都有两个交点． (2)三角函数都是周期函数． (3)菱形的对角线垂直且互相平分 (4)x2+x+1>0 (1)所有的抛物线与x轴都有两个交点 (2)一切的三角函数都是周期函数． (3)任何菱形的对角线垂直且互相平分． (4)对于任意实数x，都有x2+x+1>0．