简单数列求和习题

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(完整版)求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)n n n n n na n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4n n n n nn n n a n S a a S n nS nS a +++====L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n nn n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列11211{},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求练习1 练习2 练习3 练习4112{},,,.31n n n n n a a a a a n +==+ 已知数列满足求111511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求111{}:1,{}.31n n nn n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式练习8 等比数列{}n a 的前n 项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++Λ练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…；练习5 练习6练习7练习10 求和：1111447(32)(31)n n+++⨯⨯-⨯+L练习11 求和：111112123123n ++++= +++++++LL练习12 设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111a b==，3521a b+=，5313a b+=（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S．答案练习1答案：练习2 证明： (1)注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2)由(1)知，{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

小学数学《数列求和》练习题(含答案)

小学数学《数列求和》练习题（含答案）【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）3、4、5、6、……、76、77、78（3）4、7、10、13、……、40、43、46（4）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。

（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。

（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。

当然，我们还可以有其他的配组方法。

（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。

希望教师能帮助孩子牢固掌握。

【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100（2）2＋5+8+…＋23+26＋29分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。

四年级奥数数列求和练习题

四年级奥数数列求和练习题1. 已知等差数列的首项是2，公差是3，共有7项，求这个数列的和。

解析：首先我们可以确定这个等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

代入已知数据，得到an =2 + (n-1)3。

根据题意，项数为7，代入公式得到a7 = 2 + (7-1)3 = 2 + 18 = 20。

然后，我们可以使用求和公式Sn = n(a1 + an)/2来求和。

代入已知数据，得到S7 = 7(2 + 20)/2 = 7(22)/2 = 7*11 = 77。

因此，这个等差数列的和为77。

2. 求等差数列2，5，8，11，...的前20项和。

解析：根据等差数列的性质，我们可以观察到这个等差数列的首项是2，公差是3。

我们可以利用相邻项之差来求和，即2+5=7，5+8=13，8+11=19，...。

可以发现每两个相邻项之和都比前一个项大3。

因此，我们可以计算前20项之和为S20 = (a1 + a20)*10/2 = (2 + 2 + (20-1)3)*10/2 = (2 + 2 + 57)*10/2 = 61*10/2 = 305。

因此，这个等差数列的前20项和为305。

3. 若数列1，4，7，10，...的和为155，求此数列的第n项。

解析：首先我们可以观察到这个等差数列的首项是1，公差是3。

由于求等差数列的和已知，我们可以用求和公式来解这道题。

设第n项为an，根据求和公式Sn = n(a1 + an)/2，代入已知数据得到155 = n(1 + an)/2。

将等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d代入，得到155 = n(1 +(1 + (n-1)3))/2。

化简得到310 = n(2 + 3n)/2。

进一步化简得到310 = n(1+ 3n)。

解这个二次方程得到3n^2 + n - 310 = 0。

通过因式分解或者求根公式求得n = 10或n = -11/3。

数列简单练习题

数列简单练习题数列是数学中一个基础且重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握数列的概念及相关计算方法，本文将为大家提供一系列数列简单练习题。

通过这些练习题的训练，相信大家能够在数列方面得到更好的掌握。

练习题一：等差数列求和1. 求等差数列2, 5, 8, 11, 14, …的前10项之和。

解析：根据等差数列的求和公式，可知等差数列的前n项之和为Sn = n * (a1 + an) /2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

根据给定的数列可知，a1 = 2，an = 2 + (n-1) * 3 = 3n - 1。

代入公式，得到S10 = 10 * (2 + (10-1) * 3) / 2 = 10 * (2 + 27) / 2 = 10 * 29 / 2 = 145。

所以，等差数列2, 5, 8, 11, 14, …的前10项之和为145。

练习题二：等比数列求和2. 求等比数列1, 3, 9, 27, …的前5项之和。

解析：根据等比数列的求和公式，可知等比数列的前n项之和为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

根据给定的数列可知，a1 = 1，q = 3。

代入公式，得到S5 = 1 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 1 * (243 - 1) / 2 = 242 / 2 = 121。

所以，等比数列1, 3, 9, 27, …的前5项之和为121。

练习题三：斐波那契数列3. 斐波那契数列的定义是f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2)（n≥3）。

求斐波那契数列的前10项。

解析：根据斐波那契数列的定义可知，首先确定前两项f(1)和f(2)分别为1。

然后根据递推公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可以计算出后续的项。

利用递推公式，可以得到斐波那契数列的前10项依次为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55。

数列求和练习题(含答案)

2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16D.130B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.]3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．72B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． [解](1)由已知得⎩⎨⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，3分所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，8分所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2nna a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋12×3×(3－1)d ＝6，5a 1＋12×5×(5－1)d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.3分∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .5分 (2)由(1)得b n ＝a n 2a n＝n2n ，6分∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n 2n ＋1，10分 ∴T n ＝2－12n －1－n2n .12分一、选择题1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )【导学号：31222189】A ．n 2＋1－12n B ．2n 2－n ＋1－12n C ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12nA [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝n 2＋1－12n .]2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，n ∈N *，则S 2 016＝__________. 0 [a n ＝sin n π2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0. S 2 016＝S 4×504＝0.]9．已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解](1)∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是首项为2，公差为1的等差数列，∴2na n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分解得a n ＝2n (n ＋1).5分(2)∵a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1， ∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.12分3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3.当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3.3分∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n .5分(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n ，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝－6－(2n －2)·3n ＋1.10分 ∴T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分法二：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n .7分 ∵(2n －1)·3n ＝(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n －1)·3n ＋1－(n －2)·3n ] ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12分。

【高中数学】习题课二求数列的和

习题课二求数列的和题型一分组分解求和【例1】已知正项等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝6，a 3＋a 4＝24. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和. 解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1·q ＝6，a 1·q 2＋a 1·q 3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2， ∴a n ＝a 1·q n －1＝2×2n －1＝2n .(2)b n ＝log 22n ＝n ，设{a n ＋b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a n ＋b n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2×（2n －1）2－1＋n （1＋n ）2＝2n ＋1－2＋12n 2＋12n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和.【训练1】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1×(2n －1)，∴T 2n ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(4n －3)－(4n －1)] ＝(－2)·n ＝－2n .题型二裂项相消法求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2＝2，S 4＝16，{a n ＋1}是等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n >0，设b n ＝log 2(3a n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和.解 (1)设等比数列{a n ＋1}的公比为q ，其前n 项和为T n ，因为S 2＝2，S 4＝16，所以T 2＝4，T 4＝20，易知q ≠1，所以T 2＝（a 1＋1）（1－q 2）1－q ＝4①，T 4＝（a 1＋1）（1－q 4）1－q ＝20②，由②①得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝13，所以a n ＋1＝43×2n －1＝2n ＋13；当q ＝－2时，a 1＝－5，所以a n ＋1＝(－4)×(－2)n －1＝－(－2)n ＋1. 所以a n ＝2n ＋13－1或a n ＝－(－2)n ＋1－1.(2)因为a n >0，所以a n ＝2n ＋13－1，所以b n ＝log 2(3a n ＋3)＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 规律方法 (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.常见的拆项公式： (ⅰ)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(ⅱ)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(ⅲ)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 【训练2】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12[⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2]＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2.题型三错位相减法求和【例3】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得：a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1 ＝32＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n ＋12n ＋1 ＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .规律方法 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练3】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列. (1)求数列{a n b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5. 设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， ∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2. ∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1. 故a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1，n ∈N *.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n ，②①－②，得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n ，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列求和的方法，提升数学运算和逻辑推理素养.2.求数列的前n 项和，一般有下列几种方法. (1)错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (2)分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (3)裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (4)奇偶并项当数列通项中出现(－1)n 或(－1) n ＋1时，常常需要对n 取值的奇偶性进行分类讨论.(5)倒序相加例如，等差数列前n 项和公式的推导方法. 二、素养训练1.数列214，418，6116，…的前n 项和S n 为( )A.n 2＋1＋12n ＋1B.n 2＋2－12n ＋1C.n (n ＋1)＋12－12n ＋1D.n (n ＋1)＋12n ＋1解析 S n ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1＝12n (2＋2n )＋14⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12 ＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1.答案 C2.等比数列{a n }中，a 5＝2，a 6＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A.6 B.5 C.4D.3解析 ∵数列{a n }是等比数列，a 5＝2，a 6＝5， ∴a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6＝10， ∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 10＝lg(a 1·a 2·…·a 10) ＝lg(a 5a 6)5＝5lg 10＝5. 故选B. 答案 B3.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （n ＋1）的前2 020项和为________.解析因为2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以S 2 020＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋12 020－12 021 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12 021＝4 0402 021. 答案4 0402 0214.已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，则S 100＝________.解析由题意得S 100＝a 1＋a 2＋…＋a 99＋a 100 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝(0＋2＋4＋…＋98)＋(2＋4＋6＋…＋100) ＝5 000. 答案 5 0005.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N *. (1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；(2)在(1)的条件下求数列{a n }的前n 项和S n . (1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1.∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，两边同时乘以2得2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)×2n ＋1. 三、审题答题示范(一) 数列求和问题【典型示例】 (12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，2S n ＝na n ＋n ①，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若取出数列{a n }中的部分项a 2，a 6，a 22，…依次组成一个等比数列{c n }，若数列{b n }满足a n ＝b n ·c n ，求证：数列{b n }的前n 项和T n <23.②联想解题看到①，想到a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，利用S n 与a n 的关系结合定义法或等差中项法证明数列{a n }为等差数列并求通项公式.看到②，想到利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和T n ，从而得到T n 的取值范围，即可证明T n <23. 满分示范(1)解数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝na n ＋n ，n ∈N *，当n ＝1时，2a 1＝a 1＋1，则a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1①， a n ＋1＝S n ＋1－S n ②.2分由②－①得，S n ＋1－2S n ＋S n －1＝a n ＋1－a n ，所以（n ＋1）（a n ＋1＋1）2－n (a n ＋1)＋（n －1）（a n －1＋1）2＝a n ＋1－a n ，所以（n －1）a n ＋1＋（n －1）a n －12＝(n －1)a n ，即a n ＋1＋a n －12＝a n ，所以数列{a n }为等差数列.5分又a 1＝1，且a 2＝4，整理得a n ＝3n －2.6分 (2)证明由a 2＝4，a 6＝16，解得c n ＝4n ，所以b n ＝(3n －2)×14n .8分则T n ＝1×14＋4×142＋…＋(3n －2)×14n ③，14T n ＝1×142＋4×143＋…＋(3n －2)×14n ＋1④，9分由③－④得，34T n ＝14＋3⎝⎛⎭⎫142＋…＋14n －(3n －2)×14n ＋1＝12－3n ＋24n ＋1，解得T n ＝23－3n ＋23×4n <23.12分满分心得(1)利用数列的递推公式求通项公式主要应用构造法，即构造出等差、等比数列，或可应用累加、累乘求解的形式.(2)利用错位相减法求数列的和最容易出现运算错误，运算时要注意作差后所得各项的符号，所得等比数列的项数.(3)与数列的和有关的不等式证明问题，一般是先求和及其范围，再证明不等式.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，n ∈N *，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项的和是( ) A.n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴{b n }的前n 项和S n ＝n （n ＋5）2.答案 C2.数列12×5，15×8，18×11，…，1（3n －1）×（3n ＋2），…的前n 项和为( )A.n 3n ＋2B.n 6n ＋4C.3n 6n ＋4D.n ＋1n ＋2 解析由数列通项公式1（3n －1）（3n ＋2）＝13⎝⎛⎭⎫13n －1－13n ＋2，得前n 项和S n ＝13(12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13⎝⎛⎭⎫12－13n ＋2＝n6n ＋4. 答案 B3.1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋1210的值为( ) A.18＋129B.20＋1210C.22＋1211D.18＋1210解析设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122＋…＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1211＝2⎣⎡⎦⎤11－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋1211 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－12⎝⎛⎭⎫1－12111－12＝2⎣⎡⎦⎤11－⎝⎛⎭⎫1－1211 ＝2⎝⎛⎭⎫11－1＋1211＝20＋1210. 答案 B4.已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 021＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 021)＝( ) A.2 021 B.2 0212C.2D.12解析 ∵函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，∴f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝21＋x 2＋21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝21＋x 2＋2x 2x 2＋1＝2.∵数列{a n }为等比数列，且a 1·a 2 021＝1， ∴a 1a 2 021＝a 2a 2 020＝a 3a 2 019＝…＝a 2 021a 1＝1.∴f (a 1)＋f (a 2 021)＝f (a 2)＋f (a 2 020)＝f (a 3)＋f (a 2 019)＝…＝f (a 2 021)＋f (a 1)＝2，∴f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 021)＝2 021.故选A. 答案 A5.定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为13n ＋1，又b n ＝a n ＋26，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 9b 10＝( )A.111 B.1011 C.910D.1112解析由题意得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝13n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (3n ＋1)＝3n 2＋n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝3n 2＋n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋n －[3·(n －1)2＋(n －1)]＝6n －2.经检验a 1＝4也符合此式，所以a n ＝6n －2，n ∈N *，则b n ＝a n ＋26＝n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 9b 10＝11×2＋12×3＋…＋19×10＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫19－110＝1－110＝910.故选C. 答案 C 二、填空题 6.设a n ＝1n ＋1＋n，数列{a n }的前n 项和S n ＝9，则n ＝________.解析 a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，故S n ＝2－1＋3－2＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1＝9. 解得n ＝99. 答案 997.在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，n ∈N *，则S 15＋S 22－S 31的值是________.解析 S 15＝－4×7＋a 15＝－28＋57＝29， S 22＝－4×11＝－44，S 31＝－4×15＋a 31＝－60＋121＝61， S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76. 答案－768.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则数列{na n }的前n 项和T n 为________.解析 ∵S n ＝2a n －1(n ∈N *)，∴n ＝1时，a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1)，化为a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1. ∴na n ＝n ·2n －1.则数列{na n }的前n 项和T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1. ∴2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ，∴－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， ∴T n ＝(n －1)2n ＋1. 答案 (n －1)2n ＋1 三、解答题9.已知函数f (x )＝2x －3x －1，点(n ，a n )在f (x )的图象上，数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n . 解由题意得a n ＝2n －3n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2（1－2n ）1－2－3·n （n ＋1）2－n＝2n ＋1－n （3n ＋5）2－2.10.已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.能力提升11.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A.1 009B.1 010C.2 019D.2 020解析设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，a 1＋9d ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. 设b n ＝a n cos n π，∴b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…， ∴数列{a n cos n π}的前2 020项和S 2 020＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2 019＋b 2 020)＝2×2 0202＝2 020.故选D. 答案 D12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数). (1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ； (2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列，此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1；当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0，所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列，此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ. (2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ·2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.创新猜想13.(多空题)设等差数列{a n }满足a 2＝5，a 6＋a 8＝30，则a n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n－1的前n 项和为________.解析设等差数列{a n }的公差为d .∵{a n }是等差数列，∴a 6＋a 8＝30＝2a 7，解得a 7＝15，∴a 7－a 2＝5d .又a 2＝5，则d ＝2.∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n ＋1. ∴1a 2n －1＝14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n－1的前n 项和为14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4（n ＋1）. 答案 2n ＋1n4（n ＋1）14.(多空题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2，则a n ＝________，数列{b n }的前2n 项和为________.解析根据题意，数列{a n }满足2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1①，则当n ≥2时，有2S n －1＝⎝⎛⎭⎫1－13n －1a n ②，由①－②可得⎝⎛⎭⎫1－13n (a n ＋1－3a n )＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，即a n ＋1＝3a n (n ≥2).由2S n ＝⎝⎛⎭⎫1－13n a n ＋1，可求得a 2＝3，a 2＝3a 1，则数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1，b n ＝(－1)n ·(log 3a n )2＝(－1)n ·(log 33n －1)2＝(－1)n (n －1)2，则b 2n －1＋b 2n ＝－(2n －2)2＋(2n －1)2＝4n －3.所以数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝1＋5＋9＋…＋(4n －3)＝n （1＋4n －3）2＝2n 2－n .答案 3n －12n 2－n高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

经典的数列通项公式与数列求和练习题(有答案)

经典的数列通项公式与数列求和练习题（有答案）一、斐波那契数列斐波那契数列是最经典的数列之一，它的通项公式为：$$F(n) = F(n-1) + F(n-2)$$其中 $F(1) = 1$，$F(2) = 1$。

以下是一些关于斐波那契数列的练题：练题1：求斐波那契数列的第10项。

解答：根据通项公式进行递归计算，得出第10项为34。

练题2：求斐波那契数列的前20项的和。

解答：利用循环计算斐波那契数列的前20项，并将每项相加得到总和为6765。

二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差。

以下是一些关于等差数列的练题：练题1：已知等差数列的首项 $a_1 = 3$，公差 $d = 5$，求该数列的前10项。

解答：根据通项公式，将$a_1$ 和$d$ 代入，依次计算出前10项为：3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48。

练题2：已知等差数列的首项 $a_1 = 2$，公差 $d = -4$，求该数列的前15项的和。

解答：根据通项公式和等差数列前n项和的公式，将 $a_1$、$d$ 和$n$ 代入，计算出前15项的和为：-420。

三、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的通项公式为：$$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$$其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比。

以下是一些关于等比数列的练题：练题1：已知等比数列的首项 $a_1 = 2$，公比 $q = 3$，求该数列的前8项。

解答：根据通项公式，将 $a_1$ 和 $q$ 代入，依次计算出前8项为：2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374。

练题2：已知等比数列的首项 $a_1 = 5$，公比 $q = \frac{1}{4}$，求该数列的前12项的和。

解答：根据通项公式和等比数列前n项和的公式，将 $a_1$、$q$ 和$n$ 代入，计算出前12项的和为 $\frac{5}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{20}{3}$。

数列求和综合练习题(含答案)

数列求和综合练习题一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n （）A ．90B ．121C ．119D ．1202．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A.172 B.192C.10D.12 3．数列{}n a 中,1160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.630 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于( )A ．142 B ．45 C ．56 D ．675．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.12 B.314 C.172 D.1526．设是等差数列的前项和，已知，则等于 ( )A. 13B. 35C. 49D. 637．等差数列的前n 项和为= ( ) A ．18 B ．20 C ．21D ．228．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于（） A.1- B.1 C.2- D.29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111-=a ，664-=+a a ，则当n S 取最小值时，n 等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 10．在等差数列中，已知，则该数列前11项的和等于（）A ．58B ．88C ．143D ． 17611．已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是（）A ．-76B ．76C ．46D ．1312．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( ) A ．12 B ．14 C ．15 D ．1613．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为( ) {}n a 5128,11,186,n S a S a ==则{}n a 4816a a +=11S二、解答题14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,n S n n N =∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为()0q q >且11423,b S b a a ==+，求数列{}n b 的前n 项和n T .15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．设数列{}n a 的前n 项和122nn S ，数列{}n b 满足21(1)log n nb n a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．18．已知数列}{n a 的前n 项和nn S 2=，数列}{n b 满足)12(,111-+=-=+n b b b n n ()1,2,3,n =．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）求数列}{n b 的通项n b ；（3）若nb ac nn n ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S n +=2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若*)(,1211N n a a a b n n n n ∈-+=+求数列}{n b 的前n 项和n S .20．已知数列{a n }的前n 项和2n n S a =-，数列{b n }满足b 1=1，b 3+b 7=18，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{c n }的前n 项和T n.21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .22．设数列{}n a 满足11=a )(211*+∈=-N n a a n n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S三、填空题23．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a =此数列的其前n 项和__________.n S =24．已知等差数列{}n a 中，52=a ，114=a ，则前10项和=10S ．25．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知488,12,S S ==则13141516a a a a +++的值为． 26．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且3613S S =，则912S S = ．27．等差数列{}n a 中，10120S =，那么29a a += ．28．[2014·北京海淀模拟]在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.29．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S = . 30．已知等差数列{}n a 中，已知8116,0a a ==，则18S =________________.31．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 .32．已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8= _________ ． 33．数列{}n an 项和为9n S =，则n =_________．34．[2014·浙江调研]设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n≥2)，则S n ＝________.}{n a n n S 62,256382-==S a a a a 1a参考答案1．D【解析】n n n n a n -+=++=111 ，()()111...23)12(-+=-+++-+-=∴n n n S n ，1011=-+n ，解得120=n ．【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前n 项和等知识，意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力． 2．B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式3．B 【解析】试题分析：因为13n n a a +=+，所以13n n a a +-=。

求和练习题及小学生如何快速计算数列的和

求和练习题及小学生如何快速计算数列的和数学中的求和运算是一个非常重要的知识点，对小学生来说也是必须掌握的基础内容。

在数列中，求和是一个十分重要的问题，今天我们将来解答一些求和练习题，并且教你们如何快速计算数列的和。

第一部分：求和练习题1. 求1+2+3+…+99+100的和。

解：根据数学公式可得，1+2+3+…+n的和为S=n(n+1)/2。

因此，1+2+3+…+99+100的和为S=100(100+1)/2=5050。

2. 求1^2+2^2+3^2+…+99^2+100^2的和。

解：根据数学公式可得，1^2+2^2+3^2+…+n^2的和为S=n(n+1)(2n+1)/6。

因此，1^2+2^2+3^2+…+99^2+100^2的和为S=100(100+1)(2×100+1)/6=338350。

3. 求1×2+2×3+3×4+…+99×100的和。

解：将每一项展开可得，1×2+2×3+3×4+...+99×100=2+6+12+...+9900。

将公式进行简化，可得2+6+12+...+9900=2(1+3+6+...+99+50)=2(1+3+6+...+99)+(2+4+8+...+10 0)=2×S1+(1+2+4+...+50)×100=2×S1+2550，其中S1=1+3+6+ (99)因为S1可以通过递推的方式求解，有S1=1+3=4、S1=4+6=10、S1=10+9=19、S1=19+12=31、S1=31+15=46、S1=46+18=64、S1=64+21=85、S1=85+24=109、S1=109+27=136、S1=136+30=166、S1=166+33=199、S1=199+36=235、S1=235+39=274、S1=274+42=316、S1=316+45=361、S1=361+48=409、S1=409+51=460、S1=460+54=514、S1=514+57=571、S1=571+60=631、S1=631+63=694、S1=694+66=760、S1=760+69=829、S1=829+72=901、S1=901+75=976、S1=976+78=1054、S1=1054+81=1135、S1=1135+84=1219、S1=1219+87=1306、S1=1306+90=1396、S1=1396+93=1489、S1=1489+96=1585、S1=1585+99=1684。

数学课程数列求和练习题及答案

数学课程数列求和练习题及答案在数学课程中，数列求和是一种重要的数学概念和技巧。

通过练习数列求和题目，我们能更好地理解和应用数列的知识。

本文将为大家提供一些数列求和的练习题及答案，帮助大家巩固对这一知识点的理解。

1. 题目：求和数列1+2+3+...+100的和。

解析：这是一个从1到100的等差数列，首项为1，末项为100，公差为1。

我们可以使用求和公式来计算其和。

根据求和公式S = (首项 + 末项) * 项数 / 2，带入数值计算可得：S = (1 + 100) * 100 / 2 = 5050答案：1+2+3+...+100的和为5050。

2. 题目：求和数列2+4+6+...+100的和。

解析：这是一个从2到100的等差数列，首项为2，末项为100，公差为2。

同样地，我们可以使用求和公式来计算其和。

计算过程如下：首项 = 2末项 = 100公差 = 2项数 = (末项 - 首项) / 公差 + 1 = (100 - 2) / 2 + 1 = 50 + 1 = 51S = (首项 + 末项) * 项数 / 2 = (2 + 100) * 51 / 2 = 102 * 51 / 2 = 2601答案：2+4+6+...+100的和为2601。

3. 题目：已知数列1+3+5+...+99的和为S，求S的值。

解析：这是一个从1到99的等差数列，首项为1，末项为99，公差为2。

同样地，我们可以利用求和公式计算其和。

计算过程如下：首项 = 1末项 = 99公差 = 2项数 = (末项 - 首项) / 公差 + 1 = (99 - 1) / 2 + 1 = 98 / 2 + 1 = 50S = (首项 + 末项) * 项数 / 2 = (1 + 99) * 50 / 2 = 100 * 50 / 2 = 5000答案：数列1+3+5+...+99的和为5000。

4. 题目：求和数列1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2的和。

数列求和经典练习题(含答案解析)

1.在等差数列{a n }中，已知a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34，求前20项之和．解法一由a 6＋a 9＋a 12＋a 15＝34 得4a 1＋38d ＝34＝20a 1＋190d＝5(4a 1＋38d)=5×34=170由等差数列的性质可得：a 6＋a 15=a 9＋a 12＝a 1＋a 20 ∴a 1＋a 20=17 S 20＝1702.已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3·a 7=－12，a 4＋a 6=－4，求它的前20项的和S 20的值．解法一设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由已知可得由②，有a 1＝－2－4d ，代入①，有d 2=4 再由d ＞0，得d ＝2 ∴a 1=－10最后由等差数列的前n 项和公式，可求得S 20＝180 解法二由等差数列的性质可得： a 4＋a 6＝a 3＋a 7 即a 3＋a 7＝－4 又a 3·a 7=－12，由韦达定理可知： a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的二根解方程可得x 1=－6，x 2＝2又＝＋×S 20a d 20120192解法二 S =(a +a )202=10(a a )20120120×＋(a 2d)(a bd)12 a 3d a 5d = 41111＋＋＝－①＋＋＋－②⎧⎨⎩∵ d ＞0 ∴{a n }是递增数列 ∴a 3＝－6，a 7=23. 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n(m ＞n)，求前m ＋n 项和S m+n ．解法一设{a n }的公差d 按题意，则有=－(m ＋n)解法二设S x ＝Ax 2＋Bx(x ∈N)①－②，得A(m 2－n 2)＋B(m －n)＝n －m ∵m ≠n ∴ A(m ＋n)＋B=－1 故A(m ＋n)2＋B(m ＋n)＝－(m ＋n) 即S m+n ＝－(m ＋n)4.设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，d =a =2a 10S 1807120--a 373，＝－，＝S na d m S ma d n (m n)a d =n mn 1m11＝＋＝①＝＋＝②①－②，得－·＋·－n n m m m n m n ()()()()--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-+-121212即＋－∴··a d =11m n S m n a m n m n d m n a m n d m n++=++++-=+++-+12121211()()()()()Am Bm n An Bn m22＋＝①＋＝②⎧⎨⎪⎩⎪b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321--5.在等差数列{a n }中，设前m 项和为S m ，前n 项和为S n ，且S m ＝S n ，m ≠n ，求S m+n ．且S m ＝S n ，m ≠n∴S m+n ＝06. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝25，S 9＝S 17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．解法一建立S n 关于n 的函数，运用函数思想，求最大值．∵a 1=25，S 17＝S 9 解得d ＝－2∴当n=13时，S n 最大，最大值S 13＝169解法二因为a 1=25＞0，d ＝－2＜0，所以数列{a n }是递减等分析解 d =y x 51(1)=y x52(2)可采用＝由a a m na ab b m n ----------21433264(2)(1)÷，得b b a a 432183--=解 S (m n)a (m n)(m n 1)d(m n)[a (m n 1)d]m+n 11∵＝＋＋＋＋－＝＋＋＋－1212∴＋－＝＋－整理得－＋－＋－ma m(m 1)d na n(n 1)d(m n)a (m n)(m n 1)=011112122d即－＋＋－由≠，知＋＋－＝(m n)[a (m n 1)d]=0m n a (m n 1)d 0111212根据题意：＋×，＝＋×S =17a d S 9a d 1719117162982∴＝＋－－＋－－＋S 25n (2)=n 26n =(n 13)169n 22n n ()-12∵a 1＝25，S 9＝S 17∴a n =25＋(n －1)(－2)=－2n ＋27即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13=169．解法三利用S 9=S 17寻找相邻项的关系．由题意S 9=S 17得a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 17=0 而a 10＋a 17=a 11＋a 16=a 12＋a 15=a 13＋a 14 ∴a 13＋a 14＝0，a 13=－a 14 ∴a 13≥0，a 14≤0 ∴S 13=169最大．解法四根据等差数列前n 项和的函数图像，确定取最大值时的n ． ∵{a n }是等差数列 ∴可设S n ＝An 2＋Bn二次函数y=Ax 2＋Bx 的图像过原点，如图3．2－1所示∵S 9＝S 17，∴取n=13时，S 13＝169最大差数列，若使前项和最大，只需解≥≤，可解出．n a 0a 0n n n+1⎧⎨⎩∴×＋××＋×，解得－9252d =1725d d =29817162∴－＋≥－＋＋≥≤≥∴2n 2702(n 1)270n 13.5n 12.5n =13⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎩∴对称轴 x =9+172=137．求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到+2说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．8. 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----⇒aq 2=4a ＋②解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509⇒8b d =162－①⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509得：①a =a a 2213说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成简化计算过程的作用．9.证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n )类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n )说明本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 10．数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n ．解法一利用等比数列的前n 项和公式若q=1，则S n =na 1，即na 1=48，2na 1=96≠60，所以q ≠1①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq＋＋．S S =S (S S )n 22n 2n 2n 3n ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )]=S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n2n 2nS (S S )=S [S (1q )S (1q q )]=S (22q q )S S =S (S S )n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2nn 22n 2n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋∵S =a (1q )1n 1n --q=S n (1＋q n ＋q 2n )解法二利用等比数列的性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 ∴ (60－48)2=48·(S 3n －60) ∴ S 3n =63．解法三取特殊值法取n=1，则S 1=a 1=48，S 2n =S 2=a 1＋a 2=60 ∴ a 2=12∵ {a n }为等比数列S 3n =S 3=a 1＋a 2＋a 3=6311．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n+1=4a n ＋2(n ∈N*)，a 1=1(1)设b n =a n+1－2a n (n ∈N*)，求证：数列{b n }是等比数列；解 (1)∵ S n+1=4a n ＋2 S n+2=4a n+1＋2S =a (1)a (1)(1+)1q 2n 11--=--=+q qq q S q nn n n n 211()∴q =14S =a (1q )1qn 3n 13n --=-++-a q q q qn n n 12111()()∴S =48(1+116)=633n +14∴ q =a a a =3213=14(2)c =a 2(n N*){c }n nnn 设∈，求证：数列是等差数列．两式相减，得S n+2－S n+1=4a n+1=4a n (n ∈N*) 即：a n+2=4a n+1－4a n变形，得a n+2－2a n+1=2(a n+1－2a n ) ∵ b n =a n+1－2a n (n ∈N*) ∴ b n+1=2b n由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．由S 2=a 1＋a 2=4a 1＋2，a 1=1 可得a 2=5，b 1=a 2－2a 1=3 ∴ b n =3·2n-1将b n =3·2n-1代入，得说明利用题设的已知条件，通过合理的转换，将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决(2) c =a 2(n N*)c =b 2n nnn+1n n+1∵∈∴-=-=-++++c a a a a n n n n n n nn 11112222c c =34(n N*)n+1n －∈由此可知，数列是公差的等差数列，它的首项，故＋－·即：{c }d =34c =a 2c =(n 1)C =34n 11n n =-12123414n。

数列求和的习题及答案

数列求和的习题及答案1.已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.2.设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.3. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S4.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.5. 求证：nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 6. 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值7.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，… 8.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 9. 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.10. 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.11.求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 12. 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 13. 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.14. 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 15. 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.16. 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.答案：1.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 2.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 ∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(m ax =n f3.解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+4.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S5.证明：设nn n n n n C n C C C S )12(5321++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由mn nmn C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-113)12()12(…………..…….. ②①+②得n nn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=6.解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.57.解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 8.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n9.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n 10. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n11 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立12.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 013. 解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝514. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝1015. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091n n ---⋅ ＝)91010(8111n n --+ 16.解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n（裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313。

数列求和练习题(基础、经典、好用)

数列求和一、选择题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n2．(2013·清远模拟)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．1213．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 012，S 2 0102 010－S 2 0042 004＝6，则S 2 013等于( )A ．2 011B ．2 010C ．0D ．24．(2013·梅州质检)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 013项的和等于( )A.3 0192 B ．3 019 C ．1 508 D ．2 0135．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12n C.23(1－14n ) D.23(1－12n ) 二、填空题6．已知{a n }是公差为－2的等差数列，a 1＝12，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 20|＝________．7．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f （n ）}(n ∈N *)的前n 项和是________．8．设数列{x n }满足log a x n ＋1＝1＋log a x n (n ∈N ＋，a >0且a ≠1)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋x 103＋…＋x 200的值为________．三、解答题9．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前n项和公式．10．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .11．(2013·揭阳模拟)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解析及答案一、选择题1．【解析】 S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1. 【答案】 C2．【解析】 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.【答案】 C3．【解析】设等差数列的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ， ∴S n n ＝－2 012＋(n －1)·d 2， ∴数列{S n n }是以－2 012为首项，以d 2为公差的等差数列，由S 2 0102 010－S 2 0042 004＝6得6×d 2＝6，∴d ＝2.∴S 2 0132 013＝－2 012＋(2 013－1)×22＝0，则S 2 013＝0.【答案】 C4．【解析】因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，…，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －11，n ＝2k(k ∈N *)．故S 2 013＝1 007×12＋1 006×1＝3 0192.【答案】 A5．【解析】 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝(12)2n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12＋(12)3＋…＋(12)2n －1＝23(1－14n )．【答案】 C二、填空题6．【解析】由题意知，a n ＝12＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋14，令－2n ＋14≥0，得n ≤7，∴当n ≤7时，a n ≥0，当n ＞7时，a n ＜0，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 20|＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(a 8＋a 9＋…＋a 20)＝2S 7－S 20＝2[7×12＋7×62×(－2)]－[20×12＋20×192×(－2)]＝224.【答案】 2247．【解析】 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2.∴f (x )＝x (x ＋1)，因此1f （n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝n n ＋1. 【答案】 n n ＋18．【解析】 log a x n ＋1＝1＋log a x n ，得x n ＋1＝ax n 且a >0，a ≠1，x n >0， ∴数列{x n }是公比为a 的等比数列，∴x 101＋x 102＋x 103＋…＋x 200＝x 1a 100＋x 2a 100＋x 3a 100＋…＋x 100a 100＝100a 100.【答案】 100a 100三、解答题9．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝－6，a 6＝0，所以⎩⎨⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得a 1＝－10，d ＝2. 所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3.所以{b n }的前n 项和公式为S n ＝b 1（1－q n ）1－q＝4(1－3n )． 10．【解】 (1)法一设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，在a 2n ＝S 2n －1中，令n ＝1，n ＝2，得⎩⎨⎧a 21＝S 1，a 22＝S 3，即⎩⎨⎧a 21＝a 1，（a 1＋d ）2＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.法二 ∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 2n －12＝a n ， ∴S 2n －1＝a 1＋a 2n －12(2n －1)＝(2n －1)a n . 由a 2n ＝S 2n －1，得a 2n ＝(2n －1)a n ，又∵a n ≠0，∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 11．【解】 (1)设{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4. 解得a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n .(2)由(1)可得，b n ＝n ·q n －1，于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.若q ≠1，将上式两边同乘以q ， qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n . 两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－（n ＋1）q n ＋1q －1，于是，S n ＝nq n ＋1－（n ＋1）q n ＋1（q －1）2. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，（q ＝1），nq n ＋1－（n ＋1）q n ＋1（q －1）2，（q ≠1）.。

2022届高考数学复习题：数列求和

2022届高考数学复习题：数列求和1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1. 答案：C2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15 解析：∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案：A3．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n＋a n ＋1}的前10项和为( ) A ．100 B ．110 C ．120D ．130解析：{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120，故选C. 答案：C4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A. 答案：A5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n ，则其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520解析：令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝2(1＋2＋…＋20)－3⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋152＋…＋1520＝2×20×(20＋1)2－3×15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15201－15＝420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520. 答案：C6．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋ n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121解析：a n ＝1n ＋ n ＋1＝n ＋1－n ( n ＋1＋ n )( n ＋1－ n )＝n ＋1－ n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋(n ＋1－ n )＝n ＋1－1＝10.即 n ＋1＝11，所以n ＋1＝121，n ＝120.答案：A7．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0， a 11＜0，所以T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：608．设函数f (x )＝12＋log 2x 1－x ，定义S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n ＝________.解析：因为f (x )＋f (1－x )＝12＋log 2x 1－x＋12＋log 21－x x＝1＋log 21＝1，所以2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝n －1.所以S n ＝n －12. 答案：n －129．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 10．已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n ，求最小的正整数n ，使得S n ＞2 0162 017. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝8a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1，令1－12n ＋1＞2 0162 017，解得n ＞1 008，故取n ＝1 009. 11．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3 ＋…＋1b 10b 11＝( ) A.817 B.919 C.1021D.1123解析：由定义可知a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＝5(n ＋1)2，可求得a n ＋1＝10n ＋5，所以a n ＝10n －5，则b n ＝2n －1.又1b n b n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋1b 2－…－1b 10＋1b 10－1b 11＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 11＝1021. 答案：C12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( ) A ．－30 B ．－60 C ．90D ．120解析：由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －2＝6－8k ；当n ＝4k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －1＝1；当n ＝4k (k ∈N *)时，a n ＝a 4k ＝8k .所以a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8，所以S 60＝8×15＝120. 答案：D 13．(2021·模拟)已知T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m ＞T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( ) A ．1 026 B ．1 025 C ．1 024D ．1 023解析：因为2n ＋12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以T n ＝n ＋1－12n ，所以T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m ＞T 10＋1 013，所以整数m 的最小值为1 024.故选C. 答案：C14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1 ②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 016＝1－21 0081－2＋2×(1－21 008)1－2＝3×21 008－3.答案：3×21 008－315．已知数列2 017,2 018,1，－2 017，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018＝________. 解析：由题意可知， a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝2 017，a 2＝2 018，所以a 3＝1，a 4＝－2 017，a 5＝－2 018，a 6＝－1，a 7＝2017，…，所以a n ＋6＝a n ，即数列{a n }是以6为周期的数列，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以S 2 018＝336(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋(a 1＋a 2)＝ 4 035. 答案：4 03516．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＋1＝S n＋a n＋2，a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式．(2)若数列{b n}满足b na n＝( 2)1＋a n，求数列{b n}的前n项和T n.解析：(1)因为S n＋1＝S n＋a n＋2，所以a n＋1－a n＝2，所以数列{a n}是公差为2的等差数列，因为a1，a2，a5成等比数列，所以a22＝a1·a5，所以(a1＋2)2＝a1(a1＋8)，解得a1＝1.所以a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)因为数列{b n}满足b na n＝( 2)1＋a n，所以b n＝(2n－1)( 2)1＋(2n－1)＝(2n－1)·2n.所以数列{b n}的前n项和T n＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，所以2T n＝2×2＋3×23＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，所以T n＝6＋(2n－3)×2n＋1.。

(完整版)数列求和练习题

数列求和1.在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.252．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )． A ．15B ．12C ．－12D ．－153．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )．A ．n 2＋1－12n －1B ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12nD ．n 2＋2－12n －14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )． A ．11B ．99C ．120D ．1215. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，令b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }的前10项和T 10＝( )A ．70B ．75C ．80D ．856．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( )A ．16B ．8C ．4D ．不确定 7．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )．A ．1－14nB ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n二、填空题8．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________．9．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.11．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若数列{a n}满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1122 1＝1且⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3a n a n ＋1＝12(n ∈N *)，则a 3＝________，数列{a n }的通项公式为a n ＝________.12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，那么数列{b n }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和S n 为________．三、解答题13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .14．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .15．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和S n .16．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960. (1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.。

数列求和习题及答案

数列求和习题及答案(共3页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-§ 数列求和（时间：45分钟满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．在等比数列{a n } (n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和为( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－12112．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n －23．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( ) A ．126 B ．130C ．132D ．1344．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－4005．数列1·n ,2(n －1),3(n －2)，…，n ·1的和为( )n(n ＋1)(n ＋2) n(n ＋1)(2n ＋1) n(n ＋2)(n ＋3)n(n ＋1)(n ＋2)二、填空题(每小题6分，共24分)6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.7．已知数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n 之间满足关系式S n ＝2－3a n ，则a n ＝__________.8．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.9．设关于x 的不等式x 2－x<2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足关系式2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.11．(14分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的最小正整数n 的值．12．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．答案6. 13(4n－1) 7. 12⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －18.n n ＋110010. (1)解由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3 (n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1，即a n ＝3a n －1 (n ≥2)．故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n. (2)证明 ∵b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1<1. 11解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0.由题意知：a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)．②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝－n ·2n，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－(1×2＋2×22＋…＋n ·2n)．设T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ·2n，③ 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ·2n ＋1.④由③－④，得－T n ＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，∴－T n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.∴S n ＝－(n －1)·2n ＋1－2.要使S n ＋n ·2n ＋1>50成立，即－(n －1)·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1>50，即2n>26.∵24＝16<26,25＝32>26，且y ＝2x是单调递增函数， ∴满足条件的n 的最小值为5.12解 (1)由题意得(a 1＋d)(a 1＋13d)＝(a 1＋4d)2，整理得2a 1d ＝d 2.∵a 1＝1，解得d ＝2，d ＝0(舍)． ∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)． (2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1). 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t<9.又∵t ∈Z，∴适合条件的t 的最大值为8.。

小学数学《数列求和》练习题(含答案)(1)

小学数学《数列求和》练习题（含答案）【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100（2）1、3、5、7、……、87、89、91（3）3、4、5、6、……、76、77、78（4）4、7、10、13、……、40、43、46（5）2、6、10、14、18、……、82、86分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。

（2）配组：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（87、88）、（89、90）、（91、92），1—92有92项，每组2项，那么可以得到92÷2=46组，所以原数列有46项。

（3）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。

对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。

（4）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。

当然，我们还可以有其他的配组方法。

（5）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。

这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。

数列的通项与求和练习题

数列的通项与求和练习题数列是数学中一种常见的数学对象，涉及了数学中的许多重要概念与方法。

对于数列的通项与求和问题，我们需要通过理论知识与练习来加深理解与熟练运用。

本文将给出一些数列的通项与求和练习题，帮助读者加深对数列的理解与应用。

一、等差数列1. 设等差数列的首项为a1，公差为d。

该等差数列的第n项是多少？答案：an = a1 + (n-1)d2. 设等差数列的首项为a1，公差为d。

前n项的和是多少？答案：Sn = n/2 * (a1 + an)例题：已知等差数列的前5项分别为2、5、8、11、14。

求该等差数列的通项公式与前20项的和。

解答：首先，根据等差数列的定义可知，公差d=5-2=3。

又已知a1=2，代入等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可得通项公式为an = 2 + (n-1) * 3。

其次，利用等差数列前n项和的公式Sn = n/2 * (a1 + an)，代入已知条件，即可求得前20项的和。

二、等比数列1. 设等比数列的首项为a1，公比为q。

该等比数列的第n项是多少？答案：an = a1 * q^(n-1)2. 设等比数列的首项为a1，公比为q。

前n项的和是多少？答案：Sn = a1 * (q^n - 1)/(q-1)，当q不等于1时；Sn = n * a1，当q=1时。

例题：已知等比数列的第2项为3，公比为2。

求该等比数列的通项公式与前10项的和。

解答：首先，设该等比数列的首项为a1，代入等比数列的通项公式an =a1 * q^(n-1)，可得通项公式为an = a1 * 2^(n-1)。

其次，利用等比数列前n项和的公式Sn = a1 * (q^n - 1)/(q-1)，代入已知条件，即可求得前10项的和。

三、斐波那契数列1. 斐波那契数列的定义是：F(1) = 1，F(2) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，n≥3。

求斐波那契数列的第n项。

求和练习题

求和练习题一、基础求和题1. 计算下列各数列的和：1 +2 +3 + + 102 + 4 + 6 + + 203 + 6 + 9 + + 365 + 10 + 15 + + 502. 求下列等差数列的和：首项为2，末项为20，公差为2首项为3，末项为30，公差为3首项为4，末项为40，公差为4首项为5，末项为45，公差为5 3. 求下列等比数列的和：首项为2，公比为2，项数为5首项为3，公比为3，项数为4首项为4，公比为4，项数为3首项为5，公比为5，项数为2二、混合求和题4. 计算下列各数列的和：1 + 3 + 5 + + 19 + 212 + 4 + 6 + + 18 + 203 + 6 + 9 + + 24 + 274 + 8 + 12 + + 40 + 445. 求下列等差数列和等比数列的和：等差数列：首项为2，末项为20，公差为2；等比数列：首项为3，公比为3，项数为5等差数列：首项为3，末项为30，公差为3；等比数列：首项为4，公比为4，项数为4等差数列：首项为4，末项为40，公差为4；等比数列：首项为5，公比为5，项数为3等差数列：首项为5，末项为45，公差为5；等比数列：首项为6，公比为6，项数为26. 求下列混合数列的和：1 +2 +3 + + 10 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + + 2^103 + 6 + 9 + + 36 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + + 3^64 + 8 + 12 + + 40 + 4^1 + 4^2 + 4^3 + + 4^55 + 10 + 15 + + 50 + 5^1 + 5^2 + 5^3 + + 5^4三、复杂求和题7. 求下列数列的和：1^2 + 2^2 + 3^2 + + 10^21^3 + 2^3 + 3^3 + + 5^31^4 + 2^4 + 3^4 + + 4^41^5 + 2^5 + 3^5 + + 3^58. 求下列数列的和：1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/101/2 + 1/4 + 1/6 + + 1/201/3 + 1/6 + 1/9 + + 1/271/4 + 1/8 + 1/12 + + 1/409. 求下列数列的和：sin(1) + sin(2) + sin(3) + + sin(10)cos(1) + cos(2) + cos(3) + + cos(10)tan(1) + tan(2) + tan(3) + + tan(5)cot(1) + cot(2) + cot(3) + + cot(4)四、四、多项式求和题10. 求下列多项式的和：(1 + 2x + 3x^2) + (4 + 5x + 6x^2) + + (10 + 11x + 12x^2)(x^3 + 2x^2 + 3x) + (4x^3 + 5x^2 + 6x) + + (10x^3 + 11x^2 + 12x)(1 + x + x^2 + x^3) + (2 + 2x + 2x^2 + 2x^3) + + (5 + 5x + 5x^2 + 5x^3)(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5) + (2x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 5x + 6) + + (5x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 8x + 9)五、分数求和题11. 求下列分数数列的和：1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/1001/2 + 1/4 + 1/6 + + 1/2001/3 + 1/6 + 1/9 + + 1/3001/4 + 1/8 + 1/12 + + 1/40012. 求下列分数数列的和：1/1 1/2 + 1/3 1/4 + + 1/99 1/1001/2 1/4 + 1/6 1/8 + + 1/198 1/2001/3 1/6 + 1/9 1/12 + + 1/297 1/3001/4 1/8 + 1/12 1/16 + + 1/396 1/400六、特殊数列求和题13. 求下列特殊数列的和：Fibonacci数列前20项的和（Fibonacci数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ）Catalan数列前10项的和（Catalan数列：1, 1, 2, 5, 14, 42, ）Lucas数列前15项的和（Lucas数列：2, 1, 3, 4, 7,11, ）Harmonic数列前30项的和（Harmonic数列：1, 1/2, 1/3, 1/4, ）14. 求下列数列的和：平方数的和：1^2 + 2^2 + 3^2 + + 50^2立方数的和：1^3 + 2^3 + 3^3 + + 20^3第四次幂的数列和：1^4 + 2^4 + 3^4 + + 10^4第五次幂的数列和：1^5 + 2^5 + 3^5 + + 8^5七、组合求和题15. 求下列组合数列的和：C(1,1) + C(2,1) + C(3,1) + + C(10,1)C(2,2) + C(3,2) + C(4,2) + + C(9,2)C(3,3) + C(4,3) + C(5,3) + + C(8,3)C(4,4) + C(5,4) + C(6,4) + + C(7,4)16. 求下列组合数列的和：C(5,0) + C(6,1) + C(7,2) + + C(10,5)C(6,0) + C(7,1) + C(8,2) + + C(11,6)八、函数求和题17. 求下列函数在指定区间内的和：f(x) = x 在区间 [1, 10] 上的和g(x) = x^2 在区间 [1, 5] 上的和h(x) = x^3 在区间 [1, 3] 上的和j(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的和18. 求下列函数在指定区间内的和：f(x) = e^x 在区间 [0, 1] 上的和g(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的和h(x) = √x 在区间 [1, 10] 上的和j(x) = cos(x) 在区间[0, 2π] 上的和九、数列变换求和题19. 求下列数列变换后的和：原数列：1, 2, 3, , 100；变换后数列：1^2, 2^2, 3^2, , 100^2原数列：2, 4, 6, , 100；变换后数列：2^3, 4^3, 6^3, , 100^3原数列：3, 6, 9, , 99；变换后数列：3^4, 6^4, 9^4, , 99^4原数列：4, 8, 12, , 100；变换后数列：4^5, 8^5,12^5, , 100^520. 求下列数列变换后的和：原数列：1/1, 1/2, 1/3, , 1/100；变换后数列：1/1^2, 1/2^2, 1/3^2, , 1/100^2原数列：1/2, 1/4, 1/6, , 1/100；变换后数列：1/2^3, 1/4^3, 1/6^3, , 1/100^3原数列：1/3, 1/6, 1/9, , 1/99；变换后数列：1/3^4, 1/6^4, 1/9^4, , 1/99^4原数列：1/4, 1/8, 1/12, , 1/100；变换后数列：1/4^5, 1/8^5, 1/12^5, , 1/100^5十、综合求和题21. 求下列数列的和：1 + 3 + 5 + + 97 + 99 + 2/1 + 2/2 + 2/3 + + 2/502 + 4 + 6 + + 98 + 100 + 3/1 + 3/2 + 3/3 + + 3/333 + 6 + 9 + + 96 + 99 + 4/1 + 4/2 + 4/3 + + 4/254 + 8 + 12 + + 100 + 104 + 5/1 + 5/2 + 5/3 + +5/2022. 求下列数列的和：(1 + 2 + 3 + + 50) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/50)(1 + 2 + 3 + + 100) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/100)(1 + 2 + 3 + + 150) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/150)(1 + 2 + 3 + + 200) (1/1 + 1/2 + 1/3 + + 1/200)十一、矩阵求和题23. 求下列矩阵所有元素的和：3x3 矩阵：[ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9] ]4x4 矩阵：[ [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16] ]5x5 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20], [21, 22, 23, 24, 25] ] 6x6 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5, 6], [7, 8, 9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16, 17, 18], [19, 20, 21, 22, 23, 24], [25, 26, 27, 28, 29, 30], [31, 32, 33, 34, 35, 36] ]24. 求下列矩阵对角线元素的和：主对角线：3x3 矩阵：[ [1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8,9] ]副对角线：4x4 矩阵：[ [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16] ]主对角线：5x5 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20], [21, 22, 23, 24, 25] ]副对角线：6x6 矩阵：[ [1, 2, 3, 4, 5, 6], [7, 8, 9, 10, 11, 12], [13, 14, 15, 16, 17, 18], [19, 20, 21, 22, 23, 24], [25, 26, 27, 28, 29, 30], [31, 32, 33, 34, 35, 36] ]十二、多项式乘积求和题25. 求下列多项式乘积的和：(x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x + 2)(x + 3)(x + 4) + +(x + 10)(x + 11)(x + 12)(x^2 + 1)(x^2 + 2)(x^2 + 3) + (x^2 + 2)(x^2 + 3)(x^2 + 4) + + (x^2 + 5)(x^2 + 6)(x^2 + 7)(x^3 + 1)(x^3 + 2)(x^3 + 3) + (x^3 + 2)(x^3 + 3)(x^3 + 4) + + (x^3 + 4)(x^3 + 5)(x^3 + 6)(x^4 + 1)(x^4 + 2)(x^4 + 3) + (x^4 + 2)(x^4 + 3)(x^4 + 4) + + (x^4 + 3)(x^4 + 4)(x^4 + 5)26. 求下列多项式乘积的和：(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) + (2 + x)(2 + 2x)(2 + 3x) + + (10 + x)(10 +答案：一、基础求和题1. 552. 2103. 9454. 220二、混合求和题5. 1056. 2807. 330三、复杂求和题8. 3859. 9.6462510. 1.57079633四、多项式求和题11. 33012. 33013. 33014. 330五、分数求和题15. 2.8289682516. 1.48829558六、特殊数列求和题17. 1771018. 22019. 489520. 816七、组合求和题21. 20422. 204八、函数求和题由于函数求和通常涉及到定积分，这里只给出一些常见函数在指定区间内的和的近似值：17. f(x) = x 在区间 [1, 10] 上的和约为 55g(x) = x^2 在区间 [1, 5] 上的和约为 55h(x) = x^3 在区间 [1, 3] 上的和约为 36j(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的和约为 218. f(x) = e^x 在区间 [0, 1] 上的和约为 e 1g(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的和约为 e 1h(x) = √x 在区间 [1, 10] 上的和约为 2.82896825 j(x) = cos(x) 在区间[0, 2π] 上的和约为 0九、数列变换求和题19. 945020. 9450十、综合求和题21. 429022. 4290十一、矩阵求和题23. 9, 34, 65, 13624. 15, 15十二、多项式乘积求和题25. 由于这些多项式乘积的和涉及到高阶多项式的展开和求和，通常需要使用数学软件或手动展开来计算，这里只给出一些近似值： (x + 1)(x + 2)(x + 3) + + (x + 10)(x + 11)(x + 12) 的和将是一个关于 x 的多项式，具体值需要展开后计算。

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1、1+2+3+4+5+6……+100
2、1+3+5+7+9……+97+99
3、求数列5、8、11、14……中的第33项是多少？
4、求数列3、
5、7、9……中的第26项是多少？
5、求末项为2011，公差为5，项数为201项的等差数列的首项。

6、一个项数为15的等差数列，公差为2，末项为148，求首项。

7、求首项是5，公差为3的等差数列的前25项的和。

8、求公差为3，末项为107，共30项的等差数列的和。

9、有一堆粗细均匀的圆木堆成下图的形状。

最上面一层有6根，每向下一层增加一根。

共堆了25层。

问这堆圆木一共多少根？
10、用3根等长的火柴棒摆成一个等边三角形。

用这样的等边三角形按下图所示摆成一个大的等边三角形。

如果这个大的等边三角形底边是10根火柴。

那么这个大的等边三角形中一共要放根火柴？
11、时钟在每个整点敲打。

敲打的次数等于该时刻的时钟钟面数。

每半点也敲一下。

时钟一昼夜总共敲打多少次？
12、2+6+10+……+98+102
13、1+4+7+10+……+97
14、求所有被4除余数是1的两位数的和。

15、求所有除以5余3的两位数的和。

16、在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。

写出插入的5个数。

17、在20和68之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。

写
出插入的5个数。

18、15个连续奇数的和是2025。

其中最大的奇数是多少？
19、8个连续偶数的和是200。

其中最大的偶数是几？最小的呢？
20、1-50中所有不能被5或7整除的数的和是多少？
21、在1-80这80个数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？
22、1234+2345+3456+4567+5678+6789+7900=。