逻辑学 谓词逻辑

在传统逻辑中，含有全称量词的命题是全称命题， 含有存在量词的命题是特称命题。在现代逻辑中， 全称量词用“∨”和个体变元表示，如“所有x”或 “任何x”均记为“∨x ”。 存在量词用“？”和个体变元表示，如“有x”、 “存在x”、“至少有一个x”，均记为“？x”。 “∨x”和“？x”都是符号化量词，即逻辑的量词，它 们的意义是确定的，都是逻辑常项。
3.专有名词和二元谓词的符号化 （6）小李没有同任何人吵架。 如果用a表示专有名词“小李”，用D表示二元谓词 “…同…吵架”，用M表示“是人”，那么例（6） 可译为： ∨x（Mx→—Dax） （7）有些大一学生认识小李。 如果用F表示“是大一学生”，用R表示“认识”，则 例（7）可译为： ？X（Fx∧Rxa） 注意：以上对命题符号化时，由于没有限制论域（个 体域、变域），论域就包括整个宇宙中所有个体（事 物）的集合，即全域。但我们通常在一定的范围内讨 论问题，所以个体变元的论域被限制在一个特定范围 内，量词也就只表示这个特定范围内个体数量的语词。
第二，对个体变元加以量化。例如，在论域D中对 Fx进一步断定：对于所有的x来说，Fx成立；或者 断定：至少存在着一个x，Fx成立。 也就是断定：所有的个体是紫色的；或者断定：至 少有一个是紫色的。这样的断定就是命题，它们有 真假。 在量化过程中，我们使用了量词这类对谓词逻辑来 讲非常重要的语词。因此，需要把命题划分为个体 词、谓词、量词。 量词就是表示论域D中个体词数量的语词。量词分 为两种：一种是全称量词，如“每一个”、“所 有”、“凡”等，它们指称论域D中个体的全部； 另一种是存在量词，如“存在”、“有些”、“有” 等，它们指称论域D中个体至少有一个存在。
由此可见，命题至少可分为两部分：一是指称事物的 那部分，如“我”、“王五”、“李四”；二是指称 性质或关系的那部分，如“是学生”、“…是…的朋 友”。 应当指出的是，这里所谓的事物是极其广泛的，指客 观存在的个体，包括有形的自然实体（如某个人）和 无形的抽象客体（如某个自然数）。这些广泛的一个 事物统称为个体。 性质和关系则是依附个体、说明个体的，如“是红 的”、“大于”等等。性质和关系统称为属性。 表示个体的语词叫个体词。在自然语言中，个体词一 般是名词。如“马克思”、“北京”、“世界上最高 的山”等。 表示属性的语词叫谓词。在自然语言中，谓词通常是 联结词加形容词或名词组成词组，或者就是动词或动 词词组。如“是光荣的”、“是导体”、“大于”、
二、个体词与谓词
1.个体词、谓词的涵义 在谓词逻辑中，命题被分解为个体词、谓词和量 词（以及联结词）这些更小的逻辑单位。 那么，简单命题从内容上不外乎两类：一类表达 事物具有或不具有某种性质；一类表达事物与事 物之间具有或不具有某种关系。例如， （1）我是学生。 表达“我”这个人具有“学生”这一性质。 （2）王五不是李四的朋友。 指出名叫“王五”和“李四”的两个人之间没有 “朋友”这种关系。
因此，命题一旦被分解为个体词和谓词后，对于原来 只能用命题变元表示的简单命题，现在可以用较小的 逻辑单位更精确地符号化了。 比如，如果用a表示专有名称“张三”，用D表示一 元谓词“会死”。那么命题： 张三会死。可表示为Da。 读时，先读个体符号词，后读谓词符号。 如果用F表示二元谓词“…是…的朋友”，那么： Fxy表示x是y的朋友； —Fxy表示x不是y的朋友。 对于命题逻辑中的５个联结词：
因此，全称肯定命题应译成蕴含式： ∨x（x是自然数→x大于零） 如果用N和E分别表示“是自然数”、“大于零”。那 么例（2）的完全符号化为： ∨x（Nx→Ex） （3）所有大学生都不是儿童。 如果用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，则 全称否定命题可以符号化为： ∨x（Sx→—Cx） 读成：“对所有x而言，如果x是大学生，那么x不是儿 童”。 可见，全称命题一般应译为蕴含式。
例如，如果我们以自然数作为个体域D，那么∨x这个 量词就只表示“所有的自然数”，这样例（2）就可以 符号化为： ∨xEx。 如果以大学生为个体论域D，？x就表示“至少一个大 学生”。这样例（4）就可符号化为：？xCx。 对一个命题可以采用限制或不限制论域这两种方式把 它形式化。 （8）有的学生做对所有试题。 如果用S表示“是学生”，T表示“是试题”，R表示 “做对”，那么如果不限制论域，例（8）可以形式化 为： ？X（Sx∧∨y（Ty→Rxy）） 如果把个体变元x的变域限制为X=学生，把个体变元y 飞变域限制为Y=试题。那么，例（8）可形式化为： ？x∨yRxy
2. “….元谓词”的表述 谓词是用于说明个体词的。 说明一个个体词的谓词是一元谓词，如“…是光荣 的”、“…是导体”； 说明两个个体词的谓词是二元谓词，如“…是…的 朋友”、“…大于…”等； 说明三个个体词的谓词是三元谓词，如“…在… 和…之间”、“…在…和…之后”等； 依次类推，说明n个个体词的谓词是n元谓词。
表示性质或关系的符号是谓词符号，记为大写的： D,E,F,G,H,I,…。 谓词符号和个体词符号结合后形成的公式，可以刻画 形式简单的语句。其中，与个体变元结合后， 一元谓词形成的公式可记为：Dx,Ex,Fx,…; 二元谓词形成的公式可记为：Dxy,Exy,Fxy,…;或者， xDy,xEy,xFy,…; n元谓词形成的公式可记为：Dx1x2x3….xn, Ex1x2x3….xn ， Fx1x2x3….xn，…。
∧、∨、→、←→ 、—仍在原来的意义上使用。
三、量词
1.量词的涵义 前面讲到可将命题分为个体词和谓词。但是，仅 仅包含个体词和谓词的表达式也不全部都是具有 真假的简单命题。 如，语句Fx断定“x是紫色的”，但由于x是指称 不确定个体的个体变元，因而Fx没有真假，不是 命题，是没有真假的命题函数，即从个体到真值 的函数。这种语句，有时称为开语句。 那么，如何使得Fx这样的表达式有真假呢？可采 取两种方法。 第一，用个体常项代替个体变元。如，令a表示 “这朵玫瑰花”，那么Fa就表示语句“这朵玫瑰 花是紫色的”。这种语句称为闭语句。闭语句是 有真假的命题。
3.个体词、谓词的符号化 对于一个简单命题而言，至少可将其分解为两部分： 个体词、谓词。那么，如何将个体词和谓词用符号化 来表示呢？ 我们总是在一定范围内讨论个体的性质、个体之间的 关系。表示个体词的符号一般由个体变元和个体常项。 个体变元表示一定范围内的不确定个体，记为小写的： x,y,z,…;x1,x2,x3,…; 个体常项表示一定范围内确定的个体，记为小写的： a,b,c,…; 个体变元的变化范围即变域，逻辑上一般称为论域或 个体域，记为D。个体词就是指称D中个体的语词。
而谓词逻辑和命题逻辑不一样，在谓词逻辑中，简单 命题不是被当作基本单位来讨论，而是要讨论其内部 结构，以此作为出发点展开推演。例如， 所有的作案者都有作案动机， 某甲没有作案动机， 所以，某甲不是作案者。 这个推理的前提和结论都是简单命题，推理的根据主 要涉及量词。这种关于量词的推理理论，现代逻辑称 为谓词逻辑。 谓词逻辑是命题逻辑的发展。与命题逻辑不同，它把 简单命题加以分析，区别出哪些是个体词，哪些是谓 词，哪些是量词，抽象出它们的形式，然后研究这些 命题形式的逻辑性质和关系，找出有效推理的形式和 规律。考察和研究这一部分的逻辑理论，就构成了谓 词逻辑。
第十章 谓词逻辑
第一节 谓词逻辑概述
一、命题逻辑与谓词逻辑 二、个体词与谓词 三、量词
一、命题逻辑与谓词逻辑
通过前面关于命题逻辑的学习，我们知道命题逻 辑是关于联结词的推理理论。在命题逻辑中，简 单命题被当做基本单位来讨论，简单命题分为： 主项、谓项、联项、量项，对其内部结构不再分 析。如，
如果某甲作案，那么他一定有作案动机， 某甲没有作案动机， 所以，某甲没作案。 这个推理的根据就是关于“如果，那么”的推导 规则。这种关于联结词的推理理论，就是命题逻 辑。
（4）有的大学生是儿童。 可符号化为：？x（Sx∧Cx） 读作：“存在x，x 是大学生而且x是儿童”。 （5）有人不是中国人。 如果用H表示“是人”，用C表示“是中国人”，则 可将命题（5）符号化为： ？x（Hx∧—Cx） 可见，特称命题一般译为合取式。那么，SAP、SEP、 SIP、SOP四种命题形式，如果s不是个体词，那么可 取谓词语言（S，P），其中s、p都是一元谓词，则可 以得到这些命题在谓词逻辑中对应的符号化形式。 （见板书）如果s是个体词，此时没有形如SIP、SOP 的命题，而SAP、SEP在谓词逻辑中的形式。（见板书）
2.直言命题的符号化形式 AEIO四种直言命题，均可以通过谓词逻辑将其符号化。 例如，（1）凡事物都是发展的。 如果用x表示（1）的个体词，用D表示谓词“是发展 的”，那么（1）可表示为：∨xDx。 读成：“对所有x而言，x都是发展的。” （2）凡自然数都大于零。 如果不限制论域，那么这个命题的翻译比较复杂，它 不能写成：∨x（x都大于零）。因为其是说：“对于 所有的x，x都大于零”。由于对论域没加限制，所以 个体变元可以泛指宇宙中的任何个体。这样其意指宇 宙中所有个体均大于零，这和（2）的含义不符。