苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案文解析版

１．椭圆的定义平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于F１F ２）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F１，F２叫做椭圆的焦点．集合P＝{M|MF１＋MF２＝２a}，F１F２＝２c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．（１）当２a＞F１F２时，P点的轨迹是椭圆；（２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是线段；（３）当２a＜F１F２时，P点不存在．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）图形性质范围x∈[—a，a]，y∈[—b，b]x∈[—b，b]，y∈[—a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２[小题体验]１．已知椭圆错误!＋错误!＝１的两焦点为F１，F２，过F１作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF２的周长为________．答案：１２２．已知直线x—２y＋２＝0过椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x—２y＋２＝0与x轴的交点为（—２,0），即为椭圆的左焦点，故c＝２．直线x—２y＋２＝0与y轴的交点为（0,１），即为椭圆的顶点，故b＝１，所以a２＝b２＋c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋y２＝１．答案：错误!＋y２＝１３．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!，所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１１．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．２．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]１．（２0１9·无锡一中月考）已知椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6，则m＝________.解析：∵椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6，∴当焦点在x轴时，（１３—m）—（m—２）＝9，解得m＝３；当焦点在y轴时，（m—２）—（１３—m）＝9，解得m＝１２．答案：３或１２２．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４．答案：（３,４）∪（４,５）错误!错误![题组练透]１．与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的焦点，且离心率为错误!的椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆错误!＋错误!＝１，得a２＝9，b２＝４，∴c２＝a２—b２＝５，∴该椭圆的焦点坐标为（±错误!，0）．设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１，a′＞b′＞0，则c′＝错误!，又错误!＝错误!，解得a′＝５．∴b′２＝２５—５＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１２．（２0１8·海门中学测试）已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），点F关于直线y＝错误!x的对称点在椭圆C上，求椭圆C的标准方程．解：设点F关于y＝错误!x的对称点为P（x0，y0），又F（１,0），所以错误!解得错误!又点P在椭圆上，设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），所以错误!解得错误!则椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．３．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（１）经过点P（—２错误!，0），Q（0,２）两点；（２）与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的焦点且经过点（２，—错误!）．解：（１）由题意，P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝２错误!，b＝２，所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）设椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，所以F１（—１,0），F２（１,0），所以所求椭圆焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．由题意得错误!解得a２＝４＋２错误!，b２＝３＋２错误!或a２＝４—２错误!，b２＝３—２错误!（舍去），所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．[谨记通法]求椭圆标准方程的２种常用方法错误! 错误![典例引领]已知椭圆错误!＋错误!＝１（a ＞b ＞0）的右焦点为F ２（１,0），点H 错误!在椭圆上．（１）求椭圆的方程；（２）点M 在圆x ２＋y ２＝b ２上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x ２＋y ２＝b ２的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF ２Q 的周长是定值．解：（１）设椭圆的左焦点为F １.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F １（—１,0），F ２（１,0），半焦距c ＝１，因为H 错误!在椭圆上，所以２a ＝HF １＋HF ２＝ 错误!＋ 错误!＝6．所以a ＝３，b ＝２错误!，故椭圆的方程是错误!＋错误!＝１．（２）证明：设P （x １，y １），Q （x ２，y ２），则错误!＋错误!＝１，所以PF ２＝错误!＝ 错误!＝ 错误!.因为0＜x １＜３，所以PF ２＝３—错误!x １.在圆x ２＋y ２＝b ２中，M 是切点，所以PM ＝错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!x １.所以PF ２＋PM ＝３—错误!x １＋错误!x １＝３．同理，Q F ２＋Q M ＝３，所以F ２P ＋F ２Q ＋P Q ＝３＋３＝6．因此△PF ２Q 的周长是定值6．[由题悟法]利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法[即时应用]１．已知椭圆的两个焦点为F１（—错误!，0），F２（错误!，0），点P是椭圆上的点，且△PF１F２的周长是４＋２错误!，则椭圆的标准方程为________．解析：∵椭圆的两个焦点为F１（—错误!，0），F２错误!，∴椭圆的焦距为F１F２＝２错误!.∵△PF１F２的周长是４＋２错误!，∴PF１＋PF２＋F１F２＝４＋２错误!，可得PF１＋PF２＝４．根据椭圆的定义，可得２a＝PF１＋PF２＝４，∴a＝２，又∵c＝错误!，∴b＝错误!＝错误!，可得a２＝４，b２＝２．故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１２．已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且错误!⊥错误!.若△PF１F２的面积为9，则b＝________.解析：由题意知PF１＋PF２＝２a，错误!⊥错误!，所以PF错误!＋PF错误!＝F１F错误!＝４c２，所以（PF１＋PF２）２—２PF１·PF２＝４c２，所以２PF１·PF２＝４a２—４c２＝４b２.所以PF１·PF２＝２b２，所＝错误!PF１·PF２＝错误!×２b２＝b２＝9．所以b＝３．以S△PF１F２答案：３错误!错误![锁定考向]椭圆的几何性质是高考的热点，常见的命题角度有：（１）求离心率的值或范围；（２）根据椭圆的性质求参数的值或范围；（３）焦点三角形的研究．[题点全练]角度一：求离心率的值或范围１．（２0１9·连云港调研）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，过F２且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若F１A⊥OB，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可得A错误!，B错误!.∵F１A⊥OB，∴错误!·错误!＝—１，可得a２—c２＝错误!ac，即e２＋错误!e—１＝0，解得e＝错误!（负值舍去）．答案：错误!２．从椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F１，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是________．解析：由题意可设P（—c，y0）（c为半焦距），k OP＝—错误!，k AB＝—错误!，由于OP∥AB，所以—错误!＝—错误!，y0＝错误!，把P错误!代入椭圆方程得错误!＋错误!＝１，即错误!２＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围３．若方程错误!＋错误!＝１表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．解析：∵方程错误!＋错误!＝１表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴错误!解得a＞7．∴实数a的取值范围是（7，＋∞）．答案：（7，＋∞）４．如果x２＋ky２＝２表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．解析：x２＋ky２＝２转化为椭圆的标准方程，得错误!＋错误!＝１，因为x２＋ky２＝２表示焦点在y轴上的椭圆，所以错误!＞２，解得0＜k＜１．所以实数k的取值范围是（0,１）．答案：（0,１）角度三：焦点三角形的研究５．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，点P为椭圆C上一点，且∠F１PF２＝60°.（１）求椭圆C的离心率的范围；（２）求证：△F１PF２的面积只与椭圆C的短半轴长有关．解：（１）设PF１＝m，PF２＝n，则m＋n＝２a.在△PF１F２中，由余弦定理可知，４c２＝m２＋n２—２mn cos 60°＝（m＋n）２—３mn＝４a２—３mn≥４a２—３·错误!２＝４a２—３a２＝a２（当且仅当m＝n时取等号）．所以错误!≥错误!，即e≥错误!.又0＜e＜１，所以e的取值范围是错误!.（２）证明：由（１）知mn＝错误!b２，所以S△PF１F２＝错误!mn sin 60°＝错误!b２，即△PF１F２的面积只与短半轴长有关．[通法在握]１．应用椭圆几何性质的２个技巧（１）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如—a≤x≤a，—b≤y≤b,0＜e＜１，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．２．求椭圆离心率的方法（１）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．（２）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b２＝a２—c２消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．[演练冲关]１．已知椭圆错误!＋错误!＝１的离心率为错误!，则k的值为______．解析：当9＞４—k＞0，即—５＜k＜４时，a＝３，c２＝9—（４—k）＝５＋k，所以错误!＝错误!，解得k＝错误!.当9＜４—k，即k＜—５时，a＝错误!，c２＝—k—５，所以错误!＝错误!，解得k＝—２１，所以k的值为错误!或—２１．答案：错误!或—２１２．过椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点F１作x轴的垂线交椭圆于点P，F２为椭圆的右焦点，若∠F１PF２＝60°，则椭圆的离心率为________．解析：由题意，可设P错误!.因为在Rt△PF１F２中，PF１＝错误!，F１F２＝２c，∠F１PF２＝60°，所以错误!＝错误!.又因为b２＝a２—c２，所以错误!c２＋２ac—错误!a２＝0，即错误!e２＋２e—错误!＝0，解得e＝错误!或e＝—错误!，又因为e∈（0,１），所以e＝错误!.答案：错误!３．（２0１9·南京一模）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P 是椭圆C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝θ，若cos θ＝错误!，则椭圆C的离心率为________．解析：∵PF２⊥F１F２，cos∠PF１F２＝错误!，F１F２＝２c，∴PF１＝6c，PF２＝４错误!c，又PF１＋PF２＝２a，∴6c＋４错误!c＝２a，∴椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝３—２错误!.答案：３—２错误!错误!错误![典例引领]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!，且过点错误!.过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m（m＞a）于点M.已知点B（１,0），直线PB交l于点N.（１）求椭圆C的方程；（２）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．解：（１）因为椭圆C的离心率为错误!，所以a２＝４b２.又因为椭圆C过点错误!，所以错误!＋错误!＝１，解得a２＝４，b２＝１．所以椭圆C的方程为错误!＋y２＝１．（２）设P（x0，y0），且—２＜x0＜２, x0≠１，则错误!＋y错误!＝１．因为MB是PN的垂直平分线，所以点P关于点B的对称点N（２—x0，—y0），所以x0＝２—m.由A（—２,0），P（x0，y0），可得直线AP的方程为y＝错误!（x＋２），令x＝m，得y＝错误!，即M错误!.因为PB⊥MB，所以k PB·k MB＝—１，所以k PB·k MB＝错误!·错误!＝—１，即错误!＝—１．因为错误!＋y错误!＝１．所以错误!＝１．因为x0＝２—m，所以化简得３m２—１0m＋４＝0，解得m＝错误!.因为m＞２，所以m＝错误!.[由题悟法]直线与椭圆的位置关系的解题策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．[即时应用]（２0１8·南通、扬州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足错误!＝２错误!.（１）若点P的坐标为（２，错误!），求椭圆的方程；（２）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且错误!＝m错误!，直线OA，OB的斜率之积为—错误!，求实数m的值．解：（１）因为错误!＝２错误!，而P（２，错误!），所以A错误!，代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝１，１又椭圆的离心率为错误!，所以错误!＝错误!.２由１２，得a２＝２，b２＝１．故椭圆的方程为错误!＋y２＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），C（x３，y３）．因为错误!＝２错误!，所以P（—２x１，—２y１），因为错误!＝m错误!，所以（—２x１—x２，—２y１—y２）＝m（x３—x２，y３—y２），即错误!于是错误!代入椭圆方程，得错误!＋错误!＝１，即错误!错误!＋错误!错误!—错误!错误!＝１，３因为A，B在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．４因为直线OA，OB的斜率之积为—错误!，即错误!·错误!＝—错误!，结合２知错误!＋错误!＝0．５将４５代入３，得错误!＋错误!＝１，解得m＝错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知椭圆的中心在原点，焦点F１，F２在x轴上，P（２，错误!）是椭圆上一点，且PF１，F１F２，PF２成等差数列，则椭圆的方程为______________．解析：∵椭圆的中心在原点，焦点F１，F２在x轴上，∴设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），∵P（２，错误!）是椭圆上一点，且PF１，F１F２，PF２成等差数列，∴错误!且a２＝b２＋c２，解得a＝２错误!，b＝错误!，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１２．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为１２，离心率为错误!，则该椭圆方程为________________．解析：设椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），因为２a＝１２，错误!＝错误!，所以a＝6，c＝３，b２＝２7．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１３．椭圆错误!＋y２＝１的左、右两焦点分别为F１，F２，椭圆上一点P满足∠F１PF２＝60°，则△F１PF２的面积为________．解析：由题意，椭圆错误!＋y２＝１的左、右两焦点分别为F１，F２，则PF１＋PF２＝２错误!，F１F２＝２．由余弦定理，得F１F错误!＝PF错误!＋PF错误!—２PF１·PF２·cos 60°＝（PF１＋PF２）２—３PF１·PF，２解得PF１·PF２＝错误!.故△F１PF２的面积S＝错误!PF１·PF２·sin 60°＝错误!.答案：错误!４．（２0１9·南京名校联考）若n是２和8的等比中项，则圆锥曲线x２＋错误!＝１的离心率是________．解析：由n２＝２×8，得n＝±４，当n＝４时，曲线为椭圆，其离心率为e＝错误!＝错误!；当n＝—４时，曲线为双曲线，其离心率为e＝错误!＝错误!.答案：错误!或错误!５．（２0１8·北京东城模拟）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（—２,0），且长轴长与短轴长的比是２∶错误!，则椭圆C的方程是__________．解析：设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．由题意知错误!解得a２＝１6，b２＝１２．所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１6．（２0１8·启东中学检测）分别过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左右焦点F１，F２所作的两条互相垂直的直线l１，l２的交点在椭圆上，则此椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设两直线交点为M，令MF１＝m，MF２＝n.由椭圆的定义可得m＋n＝２a，因为MF１⊥MF，所以m２＋n２＝４c２，因为（m＋n）２＝m２＋n２＋２mn≤２（n２＋m２），当且仅当m＝n＝a时取２等号，即４a２≤２（４c２），所以a≤错误!c，所以错误!≥错误!，即e≥错误!，因为e＜１，所以错误!≤e ＜１．答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·启东模拟）设点P在圆x２＋（y—２）２＝１上移动，点Q在椭圆错误!＋y２＝１上移动，则P Q的最大值是________．解析：已知圆心C（0,２），P Q≤PC＋C Q＝１＋C Q，故只需求C Q的最大值即可．设Q（x，y），则C Q＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.∵—１≤y≤１，∴当y＝—错误!时，C Q max＝错误!＝错误!，∴P Q max＝１＋错误!.答案：１＋错误!２．（２0１9·常州模拟）若椭圆C的长轴长是短轴长的３倍，则C的离心率为________．解析：不妨设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），则２a＝２b×３，即a＝３b.所以a２＝9b２＝9（a２—c２）．即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·镇江期末）已知椭圆错误!＋错误!＝１（m＞n＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则错误!·错误!＝________.解析：法一：错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝|错误!|２—|错误!|２＝n—（m—n）＝２n—m.法二：设F１（—c,0），F２（c,0），P（x，y），则x２＋y２＝n，错误!·错误!＝（x＋c）（x—c）＋y２＝x２＋y２—c２＝n—（m—n）＝２n—m.答案：２n—m４．（２0１8·苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B１，B２分别为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B２F⊥AB１，则椭圆C的离心率是________．解析：因为F（c,0），B２（0，b），B１（0，—b），A（a,0），所以错误!＝（c，—b），错误!＝（a，b）．因为B２F⊥AB１，所以ac—b２＝0，即c２＋ac—a２＝0，故e２＋e—１＝0，解得e＝错误!（负值舍去）．答案：错误!５．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（—２错误!，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝４，则椭圆C的方程为________．解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），焦距为２c，右焦点为F′，连结PF′，如图所示．因为F（—２错误!，0）为C的左焦点，所以c＝２错误!.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝错误!＝错误!＝8．由椭圆定义，得PF＋PF′＝２a＝４＋8＝１２，所以a＝6，a２＝３6，于是b２＝a２—c２＝３6—（２错误!）２＝１6，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１6．（２0１9·启东月考）如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且OF＝错误!，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．解析：∵F为椭圆的右焦点，OF＝错误!，∴c＝错误!.设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（b＞0），∵A，B是椭圆的两个顶点，∴A错误!，B（0，b）．又∵C是AB的中点，∴C错误!.由OC的延长线交椭圆于点M，MF⊥OA，得M错误!.∵k OM＝k OC，∴错误!＝错误!，∴b＝错误!，故所求椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么C的方程为________．解析：设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），因为AB过F１且A，B在椭圆C上，所以△ABF２的周长＝AB＋AF２＋BF２＝AF１＋AF２＋BF１＋BF２＝４a＝１6，所以a＝４．又离心率e＝错误!＝错误!，所以c＝２错误!，所以b２＝a２—c２＝8，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１8．（２0１9·句容月考）离心率e＝错误!，焦距为４的椭圆的标准方程为________________．解析：∵椭圆的离心率e＝错误!，焦距为４，∴c＝２，a＝6，∴b２＝３２，∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１9．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），F１，F２分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF２交椭圆于另一点B.（１）若∠F１AB＝90°，求椭圆的离心率．（２）若错误!＝２错误!，错误!·错误!＝错误!，求椭圆的方程．解：（１）若∠F１AB＝90°，则△AOF２为等腰直角三角形，所以有OA＝OF２，即b＝c.所以a＝错误!c，e＝错误!＝错误!.（２）由题知A（0，b），F１（—c,0），F２（c,0），其中c＝错误!，设B（x，y）．由错误!＝２错误!，得（c，—b）＝２（x—c，y），解得x＝错误!，y＝—错误!，即B错误!.将B点坐标代入错误!＋错误!＝１，得错误!＋错误!＝１，即错误!＋错误!＝１，解得a２＝３c２.１又由错误!·错误!＝（—c，—b）·错误!＝错误!，得b２—c２＝１，即有a２—２c２＝１．２由１２解得c２＝１，a２＝３，从而有b２＝２．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．１0．（２0１8·南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF１并延长交椭圆于另一点Q，设错误!＝λ错误!.（１）若点P的坐标为错误!，且△P Q F２的周长为8，求椭圆C的方程；（２）若PF２⊥x轴，且椭圆C的离心率e∈错误!，求实数λ的取值范围．解：（１）因为F１，F２为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF１＋PF２＝Q F１＋Q F２＝２a，从而△P Q F２的周长为４a，由题意得４a＝8，解得a＝２．因为点P的坐标为错误!，且在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，解得b２＝３．所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）因为PF２⊥x轴，且P在x轴上方，所以可设P（c，y0），且y0＞0，Q（x１，y１）．因为点P在椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，解得y0＝错误!，即P错误!.因为F１（—c,0），所以错误!＝错误!，错误!＝（x１＋c，y１）．由错误!＝λ错误!，得—２c＝λ（x１＋c），—错误!＝λy１，解得x１＝—错误!c，y１＝—错误!，所以Q错误!.因为点Q在椭圆上，所以错误!２e２＋错误!＝１，即（λ＋２）２e２＋（１—e２）＝λ２，即（λ２＋４λ＋３）e２＝λ２—１．因为λ＋１≠0，所以（λ＋３）e２＝λ—１，从而λ＝错误!＝错误!—３．因为e∈错误!，所以错误!≤e２≤错误!，即错误!≤λ≤５．所以λ的取值范围为错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·宿迁调研）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，下顶点为A.若平行于AF且在y轴上截距为３—错误!的直线与圆x２＋（y—３）２＝１相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，下顶点为A，可得AF的斜率为—错误!，则平行于AF且在y轴上截距为３—错误!的直线方程为y＝—错误!x＋３—错误!.由该直线与圆x２＋（y—３）２＝１相切，可得错误!＝１，解得b＝c，所以e＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·连云港质检）已知两定点A（—２,0）和B（２,0），动点P（x，y）在直线l：y＝x＋３上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．解析：设点A关于直线l的对称点为A１（x１，y１），则有错误!解得x１＝—３，y１＝１，易知PA＋PB的最小值等于A１B＝错误!，因此椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!的最大值为错误!.答案：错误!３．已知椭圆M：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（１,0），P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥Q F，C为P Q中点，线段P Q的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B（线段P Q不垂直x轴），当Q运动到椭圆的右顶点时，PF＝错误!.（１）求椭圆M的方程；（２）若S△ABO∶S△BCF＝３∶５，求直线P Q的方程．解：（１）当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，所以PF＝错误!＝错误!，又c＝１，a２＝b２＋c２，所以a＝错误!，b＝１．所以椭圆M的方程为错误!＋y２＝１．（２）设直线P Q的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，联立椭圆方程得：（２k２＋１）x２＋４kbx＋２（b２—１）＝0，设点P（x１，y１），Q（x２，y２）,则错误!由错误!·错误!＝0，得（x１—１）（x２—１）＋y１y２＝0，即（k２＋１）x１x２＋（kb—１）（x１＋x２）＋b２＋１＝0，代入化简得３b２—１＋４kb＝0．４由y１＋y２＝k（x１＋x２）＋２b＝错误!，得C错误!，所以线段P Q的中垂线AB的方程为y—错误!＝—错误!错误!.令y＝0，x＝0，可得A错误!，B错误!，则A为BC中点，故错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２错误!.由４式得，k＝错误!，则x A＝错误!＝错误!，所以错误!＝２错误!＝错误!＝错误!，解得b２＝３．所以b＝错误!，k＝—错误!或b＝—错误!，k＝错误!.经检验，满足条件１２３，故直线P Q的方程为y＝错误!x—错误!或y＝—错误!x＋错误!.。