苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第五节椭圆教案文解析版

１．椭圆的定义

平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于F１F ２）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F１，F２叫做椭圆的焦点．

集合P＝{M|MF１＋MF２＝２a}，F１F２＝２c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．

（１）当２a＞F１F２时，P点的轨迹是椭圆；

（２）当２a＝F１F２时，P点的轨迹是线段；

（３）当２a＜F１F２时，P点不存在．

２．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）

图形

性质

范围x∈[—a，a]，y∈[—b，b]x∈[—b，b]，y∈[—a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A１（—a,0），A２（a,0）

B１（0，—b），B２（0，b）

A１（0，—a），A２（0，a）

B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）

a，b，c的关系c２＝a２—b２

[小题体验]

１．已知椭圆错误!＋错误!＝１的两焦点为F１，F２，过F１作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF２的周长为________．

答案：１２

２．已知直线x—２y＋２＝0过椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．

解析：直线x—２y＋２＝0与x轴的交点为（—２,0），即为椭圆的左焦点，故c＝２．

直线x—２y＋２＝0与y轴的交点为（0,１），即为椭圆的顶点，故b＝１，所以a２＝b２＋c２＝５，故椭圆的方程为错误!＋y２＝１．

答案：错误!＋y２＝１

３．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为________．

解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．

因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!，

所以错误!解得错误!

故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．

答案：错误!＋错误!＝１

１．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．２．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[小题纠偏]

１．（２0１9·无锡一中月考）已知椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6，则m＝________.

解析：∵椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为6，

∴当焦点在x轴时，（１３—m）—（m—２）＝9，解得m＝３；

当焦点在y轴时，（m—２）—（１３—m）＝9，解得m＝１２．

答案：３或１２

２．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是________．

解析：由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４．

答案：（３,４）∪（４,５）

错误!错误!

[题组练透]

１．与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的焦点，且离心率为错误!的椭圆的标准方程为________．

解析：由椭圆错误!＋错误!＝１，得a２＝9，b２＝４，∴c２＝a２—b２＝５，∴该椭圆的焦点坐标为（±错误!，0）．设所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１，a′＞b′＞0，则c′＝错误!，又错误!＝错误!，解得a′＝５．∴b′２＝２５—５＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．

答案：错误!＋错误!＝１

２．（２0１8·海门中学测试）已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），点F关于直线y＝错误!x的对称点在椭圆C上，求椭圆C的标准方程．

解：设点F关于y＝错误!x的对称点为P（x0，y0），

又F（１,0），所以错误!解得错误!

又点P在椭圆上，设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），

所以错误!解得错误!

则椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．

３．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：

（１）经过点P（—２错误!，0），Q（0,２）两点；

（２）与椭圆错误!＋错误!＝１有相同的焦点且经过点（２，—错误!）．

解：（１）由题意，P，Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，

所以a＝２错误!，b＝２，所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．

（２）设椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点分别为F１，F２，

所以F１（—１,0），F２（１,0），

所以所求椭圆焦点在x轴上，

设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．

由题意得错误!

解得a２＝４＋２错误!，b２＝３＋２错误!或a２＝４—２错误!，b２＝３—２错误!（舍去），

所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．

[谨记通法]

求椭圆标准方程的２种常用方法

错误! 错误!

[典例引领]

已知椭圆错误!＋错误!＝１（a ＞b ＞0）的右焦点为F ２（１,0），点H 错误!在椭圆上．

（１）求椭圆的方程；

（２）点M 在圆x ２＋y ２＝b ２上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x ２＋y ２＝b ２的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF ２Q 的周长是定值．

解：（１）设椭圆的左焦点为F １.

根据已知，椭圆的左右焦点分别是F １（—１,0），F ２（１,0），半焦距c ＝１，

因为H 错误!在椭圆上，

所以２a ＝HF １＋HF ２＝ 错误!＋ 错误!＝6．

所以a ＝３，b ＝２错误!，故椭圆的方程是错误!＋错误!＝１．

（２）证明：设P （x １，y １），Q （x ２，y ２），则错误!＋错误!＝１，

所以PF ２＝错误!＝ 错误!＝ 错误!.

因为0＜x １＜３，所以PF ２＝３—错误!x １.

在圆x ２＋y ２＝b ２中，M 是切点，

所以PM ＝错误!＝错误!＝ 错误!＝错误!x １.

所以PF ２＋PM ＝３—错误!x １＋错误!x １＝３．

同理，Q F ２＋Q M ＝３，

所以F ２

P ＋F ２Q ＋P Q ＝３＋３＝6．

因此△PF ２Q 的周长是定值6．

[由题悟法]

利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法