弹性力学 应力分析
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
工程力学中的应力与应变分析方法探讨
工程力学中的应力与应变分析方法探讨在工程力学中，应力与应变是研究材料和结构力学性能的重要概念。
应力是指单位面积内的力的大小，而应变则是指材料的形变程度。
应力与应变的分析方法是工程力学中的核心内容之一，本文将对工程力学中的应力与应变分析方法进行探讨。
一、应力分析方法在工程力学中，常用的应力分析方法有静力学方法、接触力学方法和弹性力学方法。
静力学方法是通过平衡方程分析物体所受到的力，并计算得出应力分布情况；接触力学方法则是研究物体间的接触行为，通过接触区域的应力分布来分析力的传递情况；弹性力学方法则是应用弹性力学原理，通过杨氏模量和泊松比等参数计算得出应力分布情况。
静力学方法是应力分析中最基本的方法之一，它基于物体所受到的力的平衡条件进行分析。
静力学方法分为静力学平衡和弹性力学平衡两种情况。
静力学平衡是指物体在外力作用下不发生形变，通过将物体分解为若干个力的平衡条件方程来求解各个部位的应力；而弹性力学平衡则是物体在外力作用下发生形变，通过应力-应变关系来求解应力分布情况。
静力学方法在工程力学中应用广泛，可以分析各种载荷下的应力情况。
接触力学方法是研究物体与物体之间接触行为的力学方法，通过分析接触面的应力分布来推导出力的传递情况。
在实际工程应用中，接触力学方法广泛用于轴承、齿轮、摩擦等接触问题的分析与设计。
接触力学方法主要利用弹性力学和接触力学理论，通过建立接触面的几何模型和接触条件，求解接触区域的应力分布。
弹性力学方法是应力分析中最常用的方法之一，它基于弹性力学理论，通过材料的弹性参数计算得出应力分布。
弹性力学方法广泛应用于材料和结构强度分析中。
弹性力学方法主要使用线弹性理论，通过杨氏模量和泊松比等参数来描述材料的弹性性能，根据应力-应变关系计算得出应力分布情况。
二、应变分析方法在工程力学中，常用的应变分析方法有光栅衍射法、电测法和应变计法。
光栅衍射法是利用光学原理来测量物体表面的应变分布情况，通过测量光栅的位移来计算应变大小；电测法则是利用电阻应变片等设备来测量物体表面的应变分布情况；应变计法则是通过安装应变计来测量物体表面的应变分布情况。
弹性力学_第二章__应力状态分析
弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。
应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。
由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。
因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。
确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。
⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。
应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。
本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。
本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。
体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。
弹性力学一点应力状态
有限元法
有限差分法
将物体离散化为有限个小的单元，然 后对每个单元进行应力分析，最后将 所有单元的应力结果进行汇总。
将物体离散化为有限个小的差分网格， 然后对每个差分网格进行应力分析， 最后将所有差分网格的应力结果进行 汇总。
边界元法
将物体表面离散化为有限个小的边界 元，然后对每个边界元进行应力分析， 最后将所有边界元的应力结果进行汇 总。
04
一点应力状态的测量和计 算
测量方法
直接测量法
通过在物体表面打孔或钻 孔，将应变片粘贴在孔内， 然后通过测量应变片的电 阻变化来计算应力。
光学干涉法
利用光学干涉原理，通过 测量物体表面的微小变形 量来计算应力。
声学法
利用声波在物体中的传播 特性，通过测量声波的传 播时间和速度来计算应力。
计算方法
我们还发现，在某些条件下， 一点应力状态会出现奇异行为 ，如应力集中、应变局部化等 现象。
对未来研究的展望
通过实验和数值模拟，深入研究不同材料在不 同条件下的应力状态特性，以揭示其与材料性
能和结构稳定性的关系。
此外，还可以将弹性力学一点应力状态的研究成果应 用于其他领域，如生物医学、地质工程等，以促进相
弹性力学一点应力状 态
目录
• 引言 • 弹性力学基础 • 一点应力状态的定义和分类 • 一点应力状态的测量和计算 • 一点应力状态的应用 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学
弹性力学是研究物体在力的作用 下产生的弹性变形的学科。
一点应力状态
一点应力状态是指在弹性力学中 ，选取一个点作为研究对象，分 析该点在各种应力作用下的状态 。
02
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学 第二章 应力分析
ν
∫∫ ∫∫∫ eijkr j T k dS + eijk rj Fkdv = 0
S
V
ν
因为Tk = σ rkν r ，所以由 Gauss 公式有
∫∫ ∫∫∫( ) eijkr jσ rkν r dS =
eijk rjσ rk ,r dv
S
V
又因为
rj ,r
= δ jr
=
∂x j ∂xr
故使上式成为
方程(2.5.3)式有根，应有三个根，即σ1 ,σ 2 ,σ 3 ，称为主应力，(2.5.3) 和 (2.5.4)式可重写成
(σ − σ1 )(σ − σ 2 )(σ − σ 3 ) = 0
J1 = σ1 + σ 2 +σ 3
J 2 = σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1
J 3 = σ1σ 2σ 3
消去公因子得 (2.3.1a) 式的第二式，同理由另两个方向的平衡得到其余的两式，
∂σ xx ∂x
+
∂σ yx ∂y
+
∂σ zx ∂z
+
X
=
0
∂σ xy ∂x
+
∂σ yy ∂y
+
∂σ zy ∂z
+Y
=0
∂σ xz ∂x
+
∂σ yz ∂y
+
∂σ zz ∂z
+
Z
=0
或
(2.3.1a)
2
对应σ 2 , 可求出 ν j = a j − ib j ，因此 (4) 式中的因子
( )( ) 1 2
② 积分方程法 上述的平衡方程也可用积分方程的方法得到。作用在被分割出物体上的合力为零的矢量 方程为
弹性力学理论
弹性力学理论弹性力学理论是研究物体在受力作用下的变形和应力分布规律的科学理论。
它是应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析至关重要。
本文将从理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面对弹性力学进行论述。
一、理论概述弹性力学理论是力学中的重要分支，它研究的是物体在受力作用下的弹性变形和应力分布规律。
从宏观上来看，弹性力学理论可以用于解释物体的形变和变形后的恢复情况。
从微观角度来看，弹性力学理论涉及到原子和分子之间的相互作用力，以及它们之间的位移和应力的关系。
二、基本原理弹性力学理论建立在几个基本原理之上。
首先是虚功原理，它表明物体在受力作用下的形变能量等于外力对物体所做的功。
其次是共轭原理，说明应力与应变之间存在一一对应的关系。
弹性力学还依赖于线性弹性假设，即假设物体的应力与应变之间是线性关系。
三、应力分析弹性力学理论对于应力分析提供了有力的工具。
应力是物体内部的力分布，它可以通过弹性模量、泊松比等参数进行描述。
弹性力学理论可以计算各个部位的应力大小和分布情况，从而评估物体在受力下是否会发生破坏。
在工程实践中，应力分析是设计结构和材料的重要环节。
四、变形分析除了应力分析，变形分析也是弹性力学理论的重要内容。
变形是物体在受力作用下发生的形状改变，它可以通过应变进行描述。
弹性力学理论可以计算物体在受力下的变形情况，包括线性弹性变形和非线性变形等。
通过对变形进行分析，可以判断物体是否满足设计要求，以及设计参数的合理性。
五、应用弹性力学理论在工程领域有广泛的应用。
在结构设计中，弹性力学理论可以用于计算各个部位的应力和变形情况，从而预测结构的安全性和可靠性。
在材料工程中，弹性力学理论可以评估材料的弹性性能和变形行为，为材料选择和优化提供指导。
此外，弹性力学理论还被应用于地质勘探、地震学和生物力学等领域。
结论弹性力学理论作为应用力学的基础学科，对于工程领域的设计和分析具有重要意义。
通过理论概述、基本原理、应力分析、变形分析和应用等方面的论述，对弹性力学进行了全面介绍。
应力分析
10. 偏应力
σ1′＝σ1－σ
σ2 ′＝σ2－σ
σ3 ′＝σ3－σ
地壳深部一般应力状态：σ1＝σ2＝σ3＝ρgh，接近于静岩应力状态。
1. 应力场：受力物体内部各点瞬时应力状态的组合
均匀应力场：各点应力状态相同（可以按点应力方法处理）
5. 主应变和应变主方向
在均匀变形条件下，变形物体内部总是可以截取这样一个立方体，其三个相互垂直的截面上只有线应变而无剪应变，这三个线应变称为主应变，这三个主平面称为主应变面。
最大伸长方向：最大应变主方向(λ1)或最大主应变轴(X or A)
最大压缩方向：最小应变主方向(λ3)或最小主应变轴(Z or C)
3. 均匀变形和非均匀变形
均匀变形：各部分的变形性质、方向、大小均相同。特征：
变形前的平面、直线变形后仍保持平面和直线；
变形前相互平行的平面和直线变形后仍保持平行
非均匀变形：物体内部各部分变形的方向、大小和性质不一致。
非均匀连续变形可以分解成若干部分，按均匀变形的方法加以研究。
1.应力状态:过物体中某一点的各个不同方向截面上的应力情况(18个)。
弹性力学(剪应力互等定理)证明：任何受力 主平面（主应力面）：
主应力所作用的截面：S1, S2, S3
3. 主应力：
σ1(最大)，σ2 (中间) ，σ3 (最小) ；?1- ?3 之值称为应力差。
4. 主应力轴：σ1，σ2，σ3每对主应力的方向线
5. 应力椭球：以物体内一点主应力s1， s2 ， s3为主轴的椭球体。
直观表达物体内该点受力状况。
6. 应力椭圆：应力椭球的三个主切面
弹性力学的应力分析与优化
弹性力学的应力分析与优化弹性力学是一门研究物体在受力作用下的变形和恢复性质的学科。
在工程领域中，弹性力学的应用十分广泛，特别是在结构设计和材料优化方面。
本文将探讨弹性力学中的应力分析与优化方法。
一、应力分析弹性力学的应力分析研究了物体在受力作用下的应力分布情况。
应力是物体内部分子间相互作用的结果，是描述物体抵抗外力的能力的物理量。
应力在弹性力学中分为三种类型：拉应力、剪应力和压应力。
拉应力（tensile stress）是指物体在受拉力作用下产生的应力，通常用符号σ表示。
拉应力的计算公式为：σ = F / A其中，F为物体上的拉力，A为物体上受力截面的面积。
拉应力越大，物体的变形程度越大。
剪应力（shear stress）是指物体在受剪力作用下产生的应力，通常用符号τ表示。
剪应力的计算公式为：τ = F / A其中，F为物体上的剪切力，A为物体上受力截面的面积。
剪应力越大，物体的变形程度越大。
压应力（compressive stress）是指物体在受压力作用下产生的应力，通常也用符号σ表示。
压应力的计算公式与拉应力相同，即：σ = F / A不同的是，压应力与拉应力的方向相反。
压应力越大，物体的变形程度越大。
在应力分析过程中，我们可以通过解析法或数值模拟法来求解物体内部的应力分布情况。
解析法主要适用于简单几何形状的物体，例如直杆或简支梁。
数值模拟法则可以用来求解复杂几何形状的物体，例如复杂结构的建筑或机械零件。
二、优化设计在弹性力学的应用中，我们常常需要通过优化设计来提高物体的性能或减少材料的使用量。
优化设计旨在寻找最优的结构形式或材料参数，使得物体在给定的约束条件下达到最佳的性能指标。
优化设计可以分为两种类型：形状优化和拓朴优化。
形状优化主要是通过改变物体的几何形状来优化结构。
例如，在某一受力部位增加材料的厚度或减小切削孔的直径，以提高物体的刚度或承载能力。
形状优化的方法有很多，包括拟合法、参数法和拓扑有机化等。
弹性力学中的形变与应力分析
弹性力学中的形变与应力分析弹性力学是力学的一个分支，关注物体在受到外力作用下的形变与应力分析。
在弹性力学中，形变是指物体由于外力作用而产生的形状的改变，而应力则是指物体内部的力。
形变和应力是密切相关的，它们之间的关系可以通过弹性模量来描述。
弹性模量是一个物质特性参数，它反映了物质在受力作用下形变和应力之间的关系。
在弹性力学中，常用的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量是描述物体沿一个方向受拉或受压时形变与应力之间关系的参数。
它可以用来衡量物体的刚性程度，即物体在受力作用下的变形程度。
剪切模量是描述物体在受到剪切力作用时形变与应力之间的关系的参数。
泊松比则是描述物体在受到拉力作用时，在垂直方向上的横向收缩程度与拉伸程度之间的比值。
弹性力学通过研究物体在外力作用下的形变和应力，可以预测和解释物体的力学行为。
例如，当一个弹性体受到拉力作用时，由于杨氏模量的存在，它会发生形变，但形变后能够恢复到原始形状。
这是因为杨氏模量描述了物体形变与应力之间的线性关系，即形变与应力成正比。
当拉力消失时，物体会恢复到原始形状，这就是弹性力学的基本原理之一。
在弹性力学中，还有一些常用的形变和应力分析方法。
例如，拉伸实验是常用的实验方法之一，它可以通过将材料置于拉伸装置中，施加拉力并测量形变和应力来研究物体的力学性质。
另一个常用的方法是剪切实验，它用于研究材料在受到剪切力作用时的形变和应力。
这些实验方法可以帮助工程师和科学家更好地了解材料的性质，并为工程和设计提供依据。
弹性力学的应用十分广泛。
它在工程领域中被广泛应用于材料的选用和设计。
例如，在建筑工程中，工程师需要了解材料在受到外力后的变形情况，以确保建筑物的结构安全可靠。
在航空航天工程中，弹性力学被用于研究飞机和宇航器的结构，并优化设计，以提高飞行性能和安全性。
此外，弹性力学还在其他领域如汽车制造、电子设备以及医学器械等方面有着广泛的应用。
总结起来，弹性力学中的形变与应力分析是研究物体在受到外力作用下的变形和力学行为的重要内容。
应力分析原理
应力分析原理
应力分析原理是一种用于研究物体受力情况的方法。
应力是物体内部受到的力的分布情况，通常以单位面积上的力来描述。
应力分析原理主要包括以下几个方面。
首先，应力分析原理基于弹性力学理论。
弹性力学是研究物体在受到外力作用后，形状和尺寸发生变化的性质和规律。
它假设物体在受力后会恢复到原来的形状和尺寸，同时也假设物体的变形与受力有一定的数学关系。
其次，应力分析原理基于克希荷夫定律。
克希荷夫定律是弹性力学的基本定律之一，它描述了物体内部各点的应力与应变之间的关系。
根据克希荷夫定律，应力与应变成正比例，比例系数为物体的弹性模量。
再次，应力分析原理基于受力平衡条件。
根据受力平衡的原理，物体各点受到的合力和合力矩为零。
通过分析物体的受力平衡条件，可以得到物体内部各点的应力分布情况。
最后，应力分析原理还基于材料的力学性质。
不同的材料具有不同的力学性质，例如刚度、强度、韧性等。
根据材料的力学性质，可以预测物体在受力后的变形情况，并进一步分析应力的分布。
综上所述，应力分析原理是基于弹性力学、克希荷夫定律、受力平衡条件和材料的力学性质等基本原理，通过对物体受力情况进行分析，揭示物体内部应力的分布情况。
弹性力学中的应力与应变关系
弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。
在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。
本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。
一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。
它可以分为正应力和剪应力。
正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。
应力的大小一般采用希腊字母σ表示。
应变是描述物体形变情况的物理量。
它可以分为线性应变和体积应变。
线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。
应变的大小可以用希腊字母ε表示。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。
其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。
其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。
胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。
例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。
三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。
其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。
当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。
非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。
它可以更好地描述材料的实际变形情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。
本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
弹性力学中的应力与应变理论
弹性力学中的应力与应变理论弹性力学是研究物体在受力作用下的变形与恢复的力学分支。
应力与应变理论是弹性力学的重要组成部分，它描述了物体在受到外力作用时产生的应力和应变之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨弹性力学中的应力与应变理论。
一、应力的概念与分类应力是物体在受力作用下产生的单位面积的内力。
根据受力方向的不同，应力可以分为三类：拉应力、压应力和剪应力。
1. 拉应力：拉应力是指物体在受到拉伸力作用下产生的应力。
拉应力可分为轴向拉应力和切向拉应力。
轴向拉应力是指沿物体轴线方向产生的应力，而切向拉应力则是指垂直于轴线方向产生的应力。
2. 压应力：压应力是指物体在受到压缩力作用下产生的应力。
与拉应力类似，压应力也可分为轴向压应力和切向压应力。
3. 剪应力：剪应力是指物体在受到剪切力作用下产生的应力。
剪应力沿着物体内部平面的切线方向产生。
二、应变的概念与分类应变是物体在受力作用下发生的长度、面积或体积的变化。
根据变形形式的不同，应变可分为三类：线性应变、平面应变和体积应变。
1. 线性应变：线性应变是指物体在受力作用下产生的长度变化与初始长度之比。
它是最基本的应变形式，常用符号ε表示。
线性应变假设变形产生的应力与应变之间呈线性关系。
2. 平面应变：平面应变是指物体在受到外力作用下产生的面积变化与初始面积之比。
平面应变常用符号γ表示。
3. 体积应变：体积应变是指物体在受到外力作用下产生的体积变化与初始体积之比。
体积应变常用符号η表示。
三、胡克定律与应力应变关系胡克定律是弹性力学中最基本的定律之一，它描述了由于外力作用下物体的弹性变形情况。
胡克定律可以简要表述为：应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得出应力与应变的数学关系，即应力等于弹性模量与应变之积。
根据具体的应力类型和应变类型，应力与应变的关系可以用不同的公式来表示。
四、应力与应变的计算方法在实际应用中，为了计算物体在受力作用下的应变情况，可以使用不同的方法来计算应力和应变。
弹性力学中的应力和应变
弹性力学中的应力和应变弹性力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律。
在弹性力学中，应力和应变是两个关键的概念。
本文将详细介绍弹性力学中的应力和应变，并探讨它们之间的关系和物体在外力作用下的行为。
一、应力的概念与分类在弹性力学中，应力是描述物体内部受力状况的物理量。
它的定义是单位面积上的力，即单位面积上所受的力。
在材料力学中，通常将力的作用面积取无限小，这样就可以得到面积趋于无穷小的情况下的应力。
根据作用方向的不同，应力可以分为三种类型：正应力、剪应力和体应力。
1. 正应力：即垂直于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
正应力可以分为正拉应力和正压应力，正拉应力是指物体上的拉力，正压应力是指物体上的压力。
2. 剪应力：即平行于物体截面的力在该截面上单位面积的作用力。
剪应力是指物体上的切力，它使得物体相对于截面沿切应变方向发生形变。
3. 体应力：即物体内部体积元素上的力在该体积元素上单位体积的作用力。
体应力是指物体中各个点处的压力或拉力。
二、应变的概念与分类应变是描述物体变形程度的物理量，它是物体的形状改变相对于初始形状的相对变化量。
应变也可以分为三种类型：线性应变、剪应变和体应变。
1. 线性应变：即物体在受力下沿作用力方向产生的长度变化与初始长度的比值。
线性应变通常用拉伸应变表示。
2. 剪应变：即物体在受剪力作用下发生的相对位移与物体初始尺寸的比值。
3. 体应变：即物体受力时体积的相对变化量与初始体积的比值。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，它们之间通过杨氏模量来联系。
杨氏模量是描述物体在拉伸应力作用下的应变程度的物理量。
弹性体的材料有两个重要的杨氏模量：弹性模量（或称杨氏模量）和剪切模量。
1. 弹性模量（E）：它描述的是物体在正应力作用下的正应变情况。
根据材料的不同，弹性模量也不同。
2. 剪切模量（G）：它描述的是物体在剪应力作用下的剪应变情况。
弹性力学中的应力分布
弹性力学中的应力分布弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和应力分布规律的科学，广泛应用于工程设计和材料研究。
在弹性力学中，应力分布是一个非常重要的概念，它描述了物体在外力作用下的内部应力状况。
本文将探讨弹性力学中的应力分布及其影响因素。
首先，我们需要了解什么是应力。
应力是单位面积上的力，它描述了物体内部各点对面积上的单位力的反应。
根据牛顿定律，应力可以分为两种类型：拉应力和压应力。
当物体受到外拉力时，其内部发生拉伸，此时的应力被称为拉应力；相反，如果物体受到外压力，则会发生压缩，产生压应力。
所以，根据力的作用方向和力对单位面积的作用方式，我们可以确定应力的类型。
其次，应力的分布不是均匀的，而是随着物体的形状和受力情况而变化的。
在弹性力学中，最简单的情况是一维拉伸或压缩。
在这种情况下，物体的形状是直线型，应力的分布是线性的，即应力随着位置的改变而线性变化。
这可以用胡克定律来描述，胡克定律指出应力与应变之间存在线性关系。
应变是物体形变程度的度量，可以用长度或角度的变化来表示。
当物体受到拉力时，它会产生拉伸应变，而当物体受到压力时，会产生压缩应变。
然而，实际情况往往更加复杂。
当物体的形状不再是直线时，应力的分布就有所变化。
例如，在悬臂梁或梁上的集中力作用下，应力的分布呈现出不均匀的情况。
在这种情况下，物体的形状是曲线状，应力的分布也会随之变化。
在曲线的凸起部分，应力较大，在曲线的凹陷部分，应力较小。
这是因为在曲线的凸起部分，物体受到的外力更大，所以产生更大的应力。
这种现象在工程设计中是非常重要的，因为不均匀的应力分布可能导致物体的破坏。
此外，应力分布还受到材料的性质和外力的大小和方向的影响。
不同的材料对外力的响应方式不同，有些材料更容易变形，有些材料则更难变形。
这取决于材料的弹性模量，即材料在受力下的变形程度。
弹性模量越大，材料的刚度越大，物体的形变程度越小。
因此，不同的材料在受力下会产生不同的应力分布。
第二章_应力讲解
第二章 应力分析研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。
第1节 内力和外力1.1 外力：物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。
我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。
1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。
量纲：力/（长度）3。
求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法：X X 2X X 2第2节 应力和应力张量2.1 应力当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法：过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力）FF -l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。
即n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++==,,1S n P B C S A B C ∆∆∆∆==0)()(=++-V f S t S t i i n ∆∆∆而 S n S t t i i i i ∆∆=-=-,)()(代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ∆∆或 )()(i i n t n t =展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n++= 或n t m t l t t z y x n )()()()( ++=2.1 应力张量每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1jxj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1(x 2x 1 x 1(x)x 3,,32S n PAB S n PAC ∆=∆∆=∆同理，得j yj j j z yz y yy x yx y e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==2323222121)()2(jzj j j z zz y zy x zx z e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==3333232131)()3(将法线方向n 取为单位长度，则将式（3.25）代入式（3.26），得3.3.2.讨论：） （ ３３３３３３２２２２２２253.l p l p l p l p ⎪⎪⎪⎭⎪⎬====σσσσ） （2631232221.l l l =++７）＝１ （）（）＋（） （２３３２２２２2311.p p p σσσ+（1）：如果以p 1，p 2，p 3为坐标轴建立直角坐标系，则在此坐标系中，上式为一椭球面方程，主半轴分别为σ1，σ2，σ3，称为应力椭球面。
应力分析知识点总结
应力分析知识点总结一、引言应力分析是指在实际工程中，对物体内外受到的力在空间和时间上的分布规律进行研究，从而了解物体受力情况的一种理论和方法。
应力分析在工程领域中有着重要的应用，可以帮助工程师们更好地设计和制造各种工程结构，确保结构的安全性和稳定性。
本文将从应力分析的基本概念、应力分析的理论基础、常用的应力分析方法以及应力分析在工程中的应用等方面进行总结和介绍。
二、应力分析的基本概念1. 应力的定义应力是指物体内部分子间的相互作用所产生的一种内在力，通常表示为单位面积上的力。
在工程中，应力常常用来描述物体受力时的内部力状态，可以分为正应力和剪应力两种类型。
正应力是指垂直于物体截面的应力，可以表示为施加在物体上的正向压力或拉力。
而剪应力是指与物体截面平行的应力，通常形成剪切力。
2. 应变的定义应变是指物体在受力作用下发生的形变现象，通常用来描述物体受力后的形状和大小变化。
应变可以分为线性应变和剪切应变两种类型，线性应变指物体在受到正应力作用下发生的长度变化，而剪切应变则是描述物体在受到剪应力作用下产生的形变。
3. 应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，这一关系通常通过材料的力学性能参数来描述。
在弹性范围内，应力与应变之间存在着线性关系，可以通过杨氏模量、泊松比等参数来描述。
而在非弹性范围内，应力和应变之间的关系则需要通过材料的本构方程来描述。
三、应力分析的理论基础1. 弹性力学理论弹性力学理论是应力分析的重要理论基础，其研究范围包括材料的应力分布规律、应力和应变的关系、材料的本构关系等内容。
弹性力学理论可以帮助工程师们更好地理解和预测物体在受力条件下的力学性能，进而设计和优化工程结构。
2. 材料力学性能参数材料力学性能参数是描述材料抗力性能的重要指标，包括杨氏模量、泊松比、屈服强度、极限强度、断裂韧性等内容。
这些参数可以帮助工程师们更好地了解材料的力学特性，从而在设计和制造过程中选择合适的材料和工艺。
9.2、弹性力学应力分析 静力学和材料力学
have
ij ji
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三、应力张量分解
1
柯西应力张量还可以表示为
ij
1 3
kk
ij
sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called
)
t3(n)t3(n)
p2
令
x
t (n)
1
x2 y2 z2 p2
y
t(n) 2
球面方程
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z
t(n) 3
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x
t(n)
1
,
y
t(n) 2
,
z
t(n) 3
❖应力球面
球面 方程 x2 y2 z2 p2
• 若以斜截面上应力矢量的分量为直角坐标轴， 则应力球面的球心位于坐标原点，半径为p
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在x1方向平衡： t1(n)dA 11dA1 21dA2 31dA3 0
t1(n)dA 11dA n1 21dA n2 31dA n3 0 消去dA，得 t1(n) 11n1 21n2 31n3 j1n j
同理；在x2、 x3方向平衡：
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t(n) 2
j2nj
t(n)
3
j 3n j
t (n) i
ji n j
6
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二、柯西应力张量
❖应力张量
t (n) i
ji n j
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the
弹性力学-第四章 应力分析
Ti = σ ji n j
（4.12b） ）
第四章 应力分析 §4-2 应力张量
T x = n1σ x + n 2τ yx + n 3τ zx T y = n1τ xy + n 2σ y + n 3τ zy T z = n1τ xz + n 2τ yz + n 3σ z
或
T1 = n1σ 11 + n 2τ 21 + n 3τ 31 T 2 = n1τ 12 + n 2σ 22 + n 3τ 32 T3 = n1τ 13 + n 2τ 23 + n 3σ 33
dSi = ni dS
u表示质点的位移 表示时间，则加速度为， 表示质点的位移,t表示时间 表示质点的位移 表示时间，
（4.11） ）
ɺɺ 作用在四面体上的体积力和惯性力之和为 ( f − ρ u)dV 1 原理 各面的面力分别为T,-T1,-T2和-T3 由D’Alembert原理 dV = dSh 各面的面力分别为 3 ɺɺ TdS − T dS + ( f − ρ u)dV = 0
σ y ,τ yx ,τ yz
σ z ,τ zx ,τ zy
i,j,k为x,y,z轴的单位矢量 则各面的应力矢 为 轴的单位矢量,则各面的应力矢 轴的单位矢量 量可表示为
Tx = σ xi +τ xy j +τ xzk Ty =τ yxi +σ y j +τ yzk Tz =τ zxi +τ zy j +σ zk
i i
d 2u = u ɺɺ 2 dt
dSi = ni dS
P固定 不变 趋于 固定,n不变 趋于0 固定 不变,h趋于
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第三章 应力分析
第一节 柯西应力张量 第二节 斜截面上应力分量 第三节 应力张量坐标变换 第四节 主应力和主方向 第五节 八面体上的应力 第六节 平衡微分方程
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第一节 柯西应力张量
一、柯西应力矢量
dFj
❖应力矢量定义
符号说明
PdA ni
p 0 0
pI
0
p
0
0 0 p
ij
1 3
kk
ij
sij
矩阵形式
sij ij p ij
11 p
s
21
31
12 22 p
32
13 x p
23
xy
33 p zx
xy y p
yz
zx
yz
z p
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13 23
nn12
31 32 33 n3
世 俗
px xl xym zx n py xyl ym yzn pz zxl yzm z n
xxy zx
xy y yz
zx yz
l m
z n
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二、应力矢量的法切分量
力矢量的分量 dFj , 微元面积 dA ，外法线单位矢量的分量 ni 柯西应力矢量
t (n) dF dA
or
t (n) j
dFj dA
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❖正六面体上的应力矢量
矢量表示
e1、e2、e3为沿坐标的单位矢量
t (e1) 11e1 12e2 13e3 1 je j
第二节 斜截面上应力分量
一、应力矢量的坐标分量
t (n) i
ji n j
ij n j
展 开
t1(n) 11n1 12 n2 13n3
t
(n) 2
21n1
22n2
23n3
t
(n) 3
31n1
32n2
33n3
t(n) σ n 矩阵
11 21
12 22
❖解
11
t(n) σ n 21
12 22
13 23
nn12
31 32 33 n3
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50 50 80 0.5 106.6
t(n) 50
0
σ 21
22
23
31 32 33
Where 11, 22, 33 are normal stresses, and 12, 13, 21, 23, 31, 32 are shear stresses.
According to the theorem of conjugate
shear stresses in Strength of Materials, we
deviator stress tensor.
❖球形应力张量
平均正应力p
设 p 表示平均正应力 mean normal stress
p
1
3
kk
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展开 世俗
1 3
( 11
22
33 )
1 (
3
x
y
z
)
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球形应力张量
1 3
kk
ij
p ij
❖偏斜应力张量
分量形式
矩阵 形式
世 俗
l2 x m2 y n2 z 2lm xy 2mn yz 2nl zx
❖剪应力（ shear stress ）
N
t
2
2 N
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❖例题3.1
已知某点的应力张量（MPa）
50 50 80 50 0 75 80 75 30
试求法线方向余弦为（1/2、1/2、1/2） 斜面上的总应力、正应力和剪应力。
❖总应力t（ total stress ）
t 2 ti(n) ti(n) ( ij n j )( ik nk ) ij ik n j nk
❖正应力（ normal stress ）
N
t
(n i
)
ni
ij ni n j
展 开
n1211 n22 22 n32 33 2(n1n212 n2n3 23 n3n1 31)
22
t (e2 ) 21e1 22e2 23e3 2 je j
t (e3 ) 31e1 32e2 33e3 3 je j
that is
t(ei ) ij e j
分量表示
t (ei )
j
ij
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23
21 12
32 31 13
11
33
x2
x3
x1
3
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❖任意斜截面上的应力矢量
面积 dA，外法线单位矢量n
斜平面上应力矢量t(n)
四面体为 脱离体：
微元面积之 间的关系：
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dA1 dAcos dA n1 dA2 dAcos dA n2 dA3 dAcos dA n3
dAi dA ni
4
dAi dA ni
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components ji are components of a second-
order Cartesian tensor. This tensor is called
Cauchy工程专业：弹性力学
❖二阶应力张量的矩阵表示
11 12 13
3
j 3n j
t (n) i
ji n j
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二、柯西应力张量
❖应力张量
t (n) i
ji n j
Since ti(n) and ni denote vectors, it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the
have
ij ji
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三、应力张量分解
1
柯西应力张量还可以表示为
ij
1 3
kk
ij
sij
The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called
在x1方向平衡： t1(n)dA 11dA1 21dA2 31dA3 0
t (n)
1
dA
11dA
n1
21dA n2
31dA n3
0
消去dA，得 t1(n) 11n1 21n2 31n3 j1n j
同理；在x2、 x3方向平衡：
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t(n) 2
j2nj
t(n)